祖暅原理与柱体、球体的体积课后作业
2020新教材高中数学第十一章立体几何初步11.1.6祖暅原理与几何体的体积练习新人教B版必修第四册
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积课后篇巩固提升基础巩固1.若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径,则圆锥、圆柱、球的体积之比为( ) A.1∶3∶4 B.1∶3∶2 C.1∶2∶4D.1∶4∶2R ,则V 圆锥=13πR 2·2R=23πR 3,V 圆柱=πR 2·2R=2πR 3,V 球=43πR 3.所以V 圆锥∶V 圆柱∶V 球=23∶2∶43=1∶3∶2.故选B .2.正方体的内切球的体积为36π,则此正方体的表面积是 ( )A.216 B .72 C .108 D .6483.长方体三个面的面积分别为2、6和9,则长方体的体积是( ) A.6√3 B.3√6 C.11D.12a ,b ,c ,则ab=2,ac=6,bc=9,相乘得(abc )2=108,∴V=abc=6√3.4.圆台的体积为7π,上、下底面的半径分别为1和2,则圆台的高为( ) A.3 B.4 C.5D.6,V=13(π+2π+4π)h=7π,∴h=3.5.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积之比为( )A.1B.12 C.√32D.34R ,圆锥底面半径r ,高都为h ,由已知得2Rh=rh ,∴r=2R.故V 柱∶V 锥=πR 2h ∶13πr 2h=34.故选D .6.若两球的体积之和是12π,经过两球球心的截面圆周长之和为6π,则两球的半径之差为( ) A.1 B.2C.3D.4R 、r (R>r ),则由题意得{4π3R 3+4π3R 3=12π,2πR +2πR =6π,解得{R =2,R =1.故R-r=1.故选A .7.(多选题)如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点E ,F ,且EF=√22,则下列结论正确的是( )A.AC ⊥平面BEFB.AE ,BF 始终在同一个平面内C.EF ∥平面ABCDD.三棱锥A-BEF 的体积为定值AC ⊥平面BB 1D 1D ,即AC ⊥平面BEF ,∴A 对;∵EF ∥BD ,BD ⊂面ABCD ,EF ⊄面ABCD ,得EF ∥平面ABCD ,∴C 对;∵S △BEF =12×√22×1=√24,设AC ,BD 交于点O , AO ⊥平面BB 1D 1D ,AO=√22 ∴V A-BEF =13×√24×√22=112,∴D 对;∵B ,E ,F 同在平面BB 1D 1D 上,而A 不在平面BB 1D 1D 上,∴AE ,BF 不在同一个平面内,B 错误.故选ACD .8.已知圆锥SO 的高为4,体积为4π,则底面半径r= .r ,则13πr 2×4=4π,解得r=√3,即底面半径为√3.39.已知棱长为2的正方体的体积与球O 的体积相等,则球O 的半径为 .O 的半径为r ,则43πr 3=23,解得r=√6R3.√6π10.一个正方体的八个顶点都在体积为43π的球面上,则正方体的表面积为 .解析由43πR 3=43π,得R=1.设正方体的棱长为a ,则√3a=2R ,所以a=3,故正方体的表面积S 表=6a 2=6×(√3)2=8.11.将一钢球放入底面半径为3 cm 的圆柱形玻璃容器中,钢球全部没入水中,水面升高4 cm,则钢球的半径是 .4cm,则钢球的体积为V=π×32×4=36π,即有43πR 3=36π,所以R=3cm .12.某街心花园有许多钢球(钢的密度为7.9 g/cm 3),每个钢球重145 kg,并且外径等于50 cm,试根据以上数据,判断钢球是空心的还是实心的.如果是空心的,空心部分也为球心相同的球.请你计算出它的内径(π取3.14,结果精确到1 cm,2.243≈11.240 98).50cm 的钢球的质量为7.9×43π×(502)3≈516792(g),街心花园中钢球的质量为145000g,而145000<516792, 所以钢球是空心的.设球的直径为2x cm,那么球的质量为7.9×[43π×(502)3-43πR 3]=145000.解得x 3≈11240.98,∴x ≈22.4,2x ≈45(cm).即钢球是空心的,其内径约为45cm .能力提升1.如图,在三棱台ABC-A 1B 1C 1中,AB ∶A 1B 1=1∶2,则三棱锥A 1-ABC ,B-A 1B 1C ,C-A 1B 1C 1的体积之比为( ) A.1∶1∶1B .1∶1∶2C .1∶2∶4D .1∶4∶4h ,S △ABC =S ,则R △R 1R 1R 1=4S ,所以R R 1-RRR =13S △ABC ·h=13Sh ,R R -R 1R 1R 1=13R △R 1R 1R 1·h=43Sh.又V 台=13h (S+4S+2S )=73Sh ,所以R R -R 1R 1R =V 台-R R 1-RRR −R R -R 1R 1R 1=73Sh-13Sh-43Sh=23Sh.所以所求体积之比为1∶2∶4.故选C .2.三棱锥P-ABC 的高PO=8,AC=BC=3,∠ACB=30°,M ,N 分别在BC 和PO 上,且CM=x ,PN=2x (x ∈[0,3]),下列四个图象大致描绘了三棱锥N-AMC 的体积V 与x 的变化关系,其中正确的是( )V=13S △AMC ·NO=13(12×3R ×sin30°)·(8-2x )=-12(x-2)2+2,x ∈[0,3].故选A .3.两个相同的正四棱锥组成如图①所示的几何体,可放入棱长为1的正方体(如图②)内,使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有( )A.1个B .2个C .3个D .无穷多个,截面如图③所示.图③可见正方形中内接正方形的面积S 不可能唯一,故V=13×S ×12×2不唯一.4.有64个直径都为R4的球,记它们的体积之和为V 甲,表面积之和为S 甲;一个直径为a 的球,记其体积为V 乙,表面积为S 乙,则( ) A.V 甲>V 乙且S 甲>S 乙 B.V 甲<V 乙且S 甲<S 乙 C.V 甲=V 乙且S 甲>S 乙 D.V 甲=V 乙且S 甲=S 乙V 甲=16πa 3,S 甲=4πa 2,V 乙=16πa 3,S 乙=πa 2,∴V 甲=V 乙,且S 甲>S 乙.故选C .5.两个球的表面积之差为48π,它们的大圆周长之和为12π,则这两个球的半径之差为 .R 、r (R>r ),则{4πR 2-4πR 2=48π,2πR +2πR =12π,即{R -R 2=12,R +R =6.所以R-r=2.6.如图①,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为1 cm 和半径为3 cm 的两个圆柱组成的几何体.当这个几何体如图②水平放置时,液面高度为20 cm,当这个几何体如图③水平放置时,液面高度为28 cm,则这个几何体的总高度为 cm .1cm 和半径为3cm 的两个圆柱的高分别为h 1cm 和h 2cm,则由题意知π·32·h 2+π·12·(20-h 2)=π·12·h 1+π·32·(28-h 1),整理得8π(h 1+h 2)=232π,所以h 1+h 2=29.7.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化公路上的积雪之用),已建仓库的底面直径为12 m,高4 m .养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐.现有两种方案:一是新建仓库的底面直径比原来大4 m(高不变);二是高度增加4 m(底面直径不变). (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积和表面积. (2)哪个方案更经济?方案一中仓库的底面直径变成16m,半径r 1为8m,高h 1为4m,则圆锥的母线长l 1=4√5m,所以仓库的体积V 1=13πR 12h 1=2563π(m 3).表面积S 1=πr 1l 1=32√5π(m 2).方案二中仓库的高h 2变成8m,半径r 2为6m,则圆锥的母线长为l 2=10m .所以仓库的体积V 2=13πR 22h 2=2883π(m 3)=96π(m 3),表面积S 2=πr 2l 2=60π(m 2).(2)因为V 2>V 1,S 2<S 1, 故方案二比方案一更经济.8.如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知半球的直径是6 cm,圆柱筒高为2 cm .(1)这种“浮球”的体积是多少 cm 3(结果精确到0.1)?(2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100克,那么共需胶多少克?因为半球的直径是6cm,可得半径R=3cm,所以两个半球的体积之和为V 球=43πR 3=43π·27=36π(cm 3).又圆柱筒的体积为V圆柱=πR2·h=π×9×2=18π(cm3).所以这种“浮球”的体积是V=V球+V圆柱=36π+18π=54π≈169.6(cm3).(2)根据题意,上下两个半球的表面积是S球表=4πR2=4×π×9=36π(cm2),又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S圆柱侧=2πRh=2×π×3×2=12π(cm2),所以1个“浮球”的表面积为S=36π+12π104=48π104(m2).因此,2500个这样的“浮球”表面积的和为2500S=2500×48π104=12π(m2).因为每平方米需要涂胶100克,所以共需要胶的质量为100×12π=1200π(克).。
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 练习(2)(解析版) (2)
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积一、选择题1．如图，棱柱ABC A B C '''-的体积为1，则四棱锥C AA B B ''-的体积是（ ）A ．13B ．12C ．23D ．342．如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切），若内切球的体积为43π，则圆柱的侧面积为( )A ．πB ．2πC ．4πD ．8π3．设矩形边长分别为()a b a b 、＞，将其按两种方式卷成高为a 和b 的圆柱（无底面），其体积分别为a V 和b V ,则a V 与b V 的大小关系是( )A ．a b V V ＞B ．a b V V =C ．a b V V ＜D ．不确定4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛5．（多选题）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是（ ）A ．圆柱的侧面积为22R πB ．圆锥的侧面积为22R πC ．圆柱的侧面积与球面面积相等D ．圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：26．（多选题）如图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为4，动点E ，F 在棱AB 上，且2EF =，动点Q 在棱D C ''上，则三棱锥A EFQ '-的体积（ ） \A ．与点E ，F 的位置有关B ． 163A EFQ V 三棱锥'-=C ．A EFQ V 三棱锥'-不确定D ．与点E ，F ，Q 的位置均无关，是定值二、填空题 7．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这 个圆台的体积是 .8．已知一个铜质的实心圆锥的底面半径为6，高为3，现将它熔化后铸成一个铜球（不计损耗），则该铜球的半径是__________．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为________.10．已知直三棱柱底面的一边长为2cm ，另两边长都为3cm ，侧棱长为4cm ，它的侧面积为 体积为三、解答题11．如图所示，多体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ，32EF ，EF 到平面ABCD 的距离为2，求该多面体的体积V .12．如图，有一个水平放置的无盖正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，若不计容器的厚度，如何求出球的体积？(1)求出球的半径；(2)求球的体积.。
探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积 (2)
画出教学楼的三视图和直观图，估计教学楼的高、 宽、长及墙壁的厚度、窗户的大小等数据，体会 数学在生活中的应用。
探究柱体的体积
探究锥体的体积
问：一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？
C' B'
A'
C' B'
A'
C
B
CHale Waihona Puke BAA分割成的每个锥体的体积有什么关系？说明理由
锥体的体积：
1 V锥体 3 V柱体
探究球体的体积
课堂小结
知识方面：本节课探究了利用祖暅原理获得柱体、 锥体、球体的体积公式
思维能力方面：体会到联想、类比、猜想、证明 等合情推理及逻辑推理的方法在探索新知识方面 的重要作用
祖暅原理与 柱体、锥体、球体的体积
甘肃省张掖市实验中学 唐超
明目标、知重点重点
1.了解祖暅原理； 2.能利用祖暅原理求柱体、锥体的体积； 3.能利用祖暅原理求球体的体积
祖暅介绍
祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭的影响，尤其 是父亲的影响，他从小热爱科学特别是对数学具有浓厚的兴趣。祖 冲之除了在圆周率方面的成就，还与他的儿子祖暅在一起，用巧妙 的方法解决了柱体、锥体、球体的体积计算。他们当时采取的原理， 在西方被称为“卡瓦列利”原理，但这是在租氏父子以后一千多年以 后，被意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念租氏父子的这一伟 大发现，数学上也将这个原理称作“祖暅原理”
小实验
将一叠作业本放在桌子上组成一个几何体，将它们改变一 下形状，几何体的形状发生了改变，几何体的高改变了没 有？几何体的体积改变了没有？说明理由
祖暅原理
“幂势既同，则积不容异"
“幂”是面积，“势”指的是高。
2020_2021学年新教材高中数学第十一章立体几何初步11.1.6祖暅原理与几何体的体积同步刷题
3．[山西太原第十二中学2018高二期中]下列平面图形中，
通过围绕定直线l旋转可得到如图所示几何体的是( B)
刷基础
解析 A.旋转得到的几何体由一个圆锥以及一个圆柱构成；C.旋转得到的几何体由两个圆锥构成；D. 旋转得到的几何体由一个圆锥以及一个圆柱构成．所以选B.
课时2 组合体的表面积与体积
解析
课时1 柱体、锥体、台体及球的体积
题型3 与球的切、接有关的体积问题
刷基础
解析
课时1 柱体、锥体、台体及球的体积
题型3 与球的切、接有关的体积问题
刷基础
解析
课时1 柱体、锥体、台体及球的体积
题型3 与球的切、接有关的体积问题
刷基础
D
解析
课时2 组合体的表面积与体积
刷基础
题型1 组合体的结构特征
题型1 柱体、锥体、台体的体积
7．[山东青岛2018高一学情调研]已知一个圆锥的侧面展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°， 底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为________．
解析
课时1 柱体、锥体、台体及球的体积
题型1 柱体、锥体、台体的体积
刷基础
解析
课时1 柱体、锥体、台体及球的体积
题型2 球的体积
1．[安徽宿州十三所重点中学2019高二期中]以一个直角三角形的斜边所在的直线为旋转轴旋转一周 所得的几何体是( D) A．一个圆柱 B．一个圆锥 C．一个圆台 D．两个圆锥
解析 由题意结合旋转体的特征可得所得的空间几何体由两个圆锥构成，且两圆锥共底面，一个顶 点位于底面上方，一个顶点位于底面下方．
刷基础
题型3 组合体的表面积
8．如图所示，在边长为4的等边三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，D为 BC的中点，H，G分别是BD，CD的中点，若将等边三角形ABC绕AD旋转180°，求 阴影部分形成的几何体的表面积．
人教版高中数学必修二《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》
在展示评价后，若你仍有补充， 我们奖励 20 分
2020/3/11
题 号 方式
自探一 板书 自探二 板书
展示分工
第五组 第一组
点评分工
展示要求：
1.书面展示要板书工整、规范、快速; 2.组长结合本组情况，适当选派代表; 3.非展示同学继续讨论，完成后结合展示点评，迅速记
积为____。
5，0
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总结本节课内容，重点，难点！ 总结本节课同学们的表现！
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课后探究
利用祖暅原理探究台体的体积公式。 球、柱、台、锥体体积之间的关系。
课后作业：完成课时作业1。
2020/3/11
2020/3/11
学习目标:
（1）能够利用祖暅原理求柱体和锥体的体积。 （2）能够利用祖暅原理求球体的体积。
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祖暅原理 “幂势既同，则积不容异”
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探究一
如图，下面是底面积都等于S，，高都等于 h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅 原理推导柱体的体积公式吗？
V长方体 S底h
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结论 半径为R的球 的体积公式是
V球
4 3
R3
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质疑再探
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运用拓展
1.类比祖暅原理,如图所示,在平面直角坐标系中, 图1是一个形状不规则的封闭图形,图2是一个上 底为1的梯形,且当实数t取[0,3]上的任意值时，直 线y=t被图1和图2所截得的两线段长始终相等， 则图1的面积为___.
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祖暅原理与柱体锥体球体的体积
探究与发现:祖眶原理与柱体、锥体、球体的体积一、教材分析本节是必修2第一章的“探究与发现”内容，是在学生已经初步学习了柱体、锥体、球体的体积公式的基础之上对体积公式的由来的进一步探究，主要内容是用祖唯原理推导柱体、锥体、球体的体积公式；通过模型演示，利用祖瞄原理，推广到柱、锥、球体的体积计算.通过学习，使学生感受几何体体积的求解过程，初步了解空间几何体问题的思想方法，逐步提高解决空间几何体问题的能力.在推理的过程中，感受我国文化的魅力，通过数形结合导出柱、锥、球体的体积公式.这些过程正是培养和发展学生逻辑推理、数学直观、数学抽象、和数学建模等数学学科核心素养的重要过程.二、学情分析学生己经掌握了第一章的基础之上，对空间几何体具有一定的直观感知、操作确认、度量计算等方法.他们的思维正从经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的实物来理解抽象的逻辑关系.同事思维的严密性需要进一步加强.三、设计思路1、由祖随原理推导柱、锥、球的体积.其知识设计结构图如下:2、结合唐特工作室的雾误悟教学思想：博学・审问•明辨•笃行的教学设计路线.在本节课的教学中我努力实践以下两点：(1)在课堂活动中通过师生合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式.(2)在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，充分利用错误资源，力争在培养学生数学知识的同时让学生感受数学文化.（3）通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，培养学生主动学习、善于观察、灵活应用的能力.四、教学目标根据班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：（1）理解祖唯原理的含义，理解利用祖唯原理计算几何体体积的方法；（2）在用祖唾原理推导柱、锥、球体体积的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法；（3）通过介绍我国古代数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感,提高学习数学的兴趣.五、教学重难点教学重点：理解祖瞄原理的含义，以及柱体、锥体、球体的体积公式的探究;教学难点：运用祖瞄原理推导球的体积，学生探究能力的培养.六、教学方法雾误悟、探究式、启发式七、教学过程：（-）【博学情境】课题引入，提出问题数学在人类历史的发展中，有着重要的作用，扮演着重要的角色，可以毫不夸张地说：如果咱们的生活离开了数学，那么人类的历史将无法展开。
高中数学第一章立体几何初步第9课时1.1.7柱锥台和球的体积课时作业新人教B版必修2
课时目标高中数学第一章立体几何初步第 9课时1.1.7柱锥台和球的体积课时作业新人教B 版必修21. 了解祖暅原理.2 •掌握柱、锥、台和球的体积计算公式.3•会利用柱、锥、台和球的体积公式解决有关几何体的体积问题.1.柱体（棱柱、圆柱）的体积公式为 V 柱体=Sh, （S 为柱体底面积，h 为柱体的高），V 圆 柱=冗r 2h （r 为底面半径，h 为圆柱的高）.一 一 12•若一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积为S ,高为h ,则它的体积是 V 锥体=^Sh,若圆锥 1 2的底面半径为r ,咼为h ,则它的体积为 V 圆锥=㊁冗r h .13.若一个台体上、下底面的面积分别为 S'、S,高为h ,则它的体积公式为 V 台体=~3h （S+ 佟一+ S'），若圆台上、下底面半径分别为r '、r,高为h,则它的体积为 V 圆台=gn h （r 22+ rr '+ r '）.434. 球的半径为 R,则球的体积为 V 球=云冗戌312 2 288 3— X 8=—— cm.当圆柱的高为 12 cm 时，V = 2 nn8 2 1923nX — X 12= cm .2 n n一、选择题（每个5分，共30分） 1.圆柱的侧面展开图是长 12 cm ,宽C 1923B. ---- cmn8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为（A 2883A. ----- cmn 厂 288 3 192 C.— cm 或— n3cm nD . 192n cm 3圆柱的高为8 cm 时，V =nX 解析:2. 已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240°,则该圆锥的体积为（）A. 2 2B.C.4：'2D. 4.33 3答案：D解析：设正方体的棱长为X,则正方体的体对角线长为Q3x,由题设有-n3=_3 n,解得x=芈所以选D.二、填空题（每个5 分7.右一个球的体积为答案：12n 「，共15分）n,则它的表面积为.解析：设球的半径为R,则3 n R = 4寸3 n,「. R=^3,—球的表面积S= 4 n R = 4 nX3=12 n.&木星的表面积约是地球的120倍，体积约是地球的___________ 倍.答案：240 ,30解析：由题意，得4n R木=4n F地• 120,所以R木= 120R地.所以V 木=3 n lF^= 3兀・（120R 地）3= 240 叮30 • 3 n FF ft= 240,. 30V 地.3 3 39•如图，E, F分别为正方形ABC啲边BC CD的中点，AB= 2,沿图中虚线将该正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是 ____________答案：3解析：折叠起来后，B, C D三点重合，设为点S,则围成的三棱锥为S- AEF其中,SAL SESA!SF,SE!SF,且SA= 2,SE= SF= 1,如图，所以此三棱锥的体积 1 1V=3X2X1X1X21 =3.三、解答题10. （12分）已知等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的表面积为S,求其内接正四棱柱的体积.解：设等边圆柱的底面半径为r，则高h= 2r.2 2T S= S 侧+ 2S 底=2 n rh + 2 n r = 6 n r ,1 2V P -ABCD = 3S 四边形 ABCD- PC= 3.能力提升12. （5分）如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为（1） 画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（2）求这个几何体的表面积及体积.该几何体的俯视图可以是（ ） 11的正方形，且体积为2，则解：(1)这个几何体的直观图如图所示.⑵这个几何体可看成是正方体ABC D ABGD和直三棱柱BCQ- A D P的组合体. 由PA= PD= 2, AD = AD= 2，可得PA丄PD.故所求几何体的表面积S= 5X2 2+ 2X 2X '2 + 2X 2X( 2)2= 22+ 4 2, 所求几何体的体积V= 23+ 2X('2)2X 2= 10.。
4.24祖暅原理与几何体的体积作业
祖暅原理与几何体的体积一、单选题1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为（ ）A ．B ．64C ．16D ．962．一平面截球O 的圆面，球心到这个平面的距离是2cm ，则球O 的体积是( )A ．12π cm 3B ．36π cm 3C ．cm 3D ．108πcm 3 3．如果两个球的体积之比为8:27，那么两个球的表面积之比为（ ）A ．8:27B ．2:3C ．4:9D ．2:9 4．如图，棱柱ABC A B C '''-的体积为1，则四棱锥C AA B B ''-的体积是（ ）A ．13B ．12C ．23D ．345．已知圆柱的高等于1，侧面积等于4π，则这个圆柱的体积等于（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π 6．若三棱柱111ABC A B C -的体积为8，过AB ，AC ，11A B 中点截去一个小的三棱柱，则剩下的几何体的体积为（ ）A ．1B ．4C ．6D ．7 7．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的体积为（ ）A 3aB 3aC ．373a π D 3a 8．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为：A ．224cm π，B ．215cm π，C ．224cm π，D ．以上都不正确． 9．将若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ．若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）A． B ．6cm C ． D ． 10．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅满足祖暅原理的条件.若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，由此推算三棱锥的体积为( )A B C D ．43π二、多选题11．已知ABC ∆的三边长分别是3AC =，4BC =，5AB =.下列说法正确的是（ ） A ．以BC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15π B ．以BC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π C ．以AC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25π D ．以AC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π 12．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是（ ）A ．圆柱的侧面积为22R πB ．圆锥的侧面积为22R πC ．圆柱的侧面积与球面面积相等D ．圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2。
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祖暅原理与柱体、球体的体积课后作业
1.（2013上海理科13题）在xOy 平面上，将两个半
圆弧)1(1)1(22≥=+-x y x 和())3(1322≥=+-x y x 、两条直
线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影
部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过
())1(,0≤y y 作Ω的水平截面，所得截面面积为
ππ8142+-y ，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为___________.
【答案】ππ1622+
【解答】根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为πππππ162822122+=⋅+⋅⋅.
2.我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前5-6世纪）提出了一条原理“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个
几何体的体积相等．设由曲线y x 42=和直线0,4==y x 所围成的平面图形，绕y 轴
旋转一周所得到的旋转体为1Г；由同时满足,
16,022≤+≥y x x ()()42,422222≥++≥-+y x y x ，的点()y x ,构成的平面图形，绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为2Г，根据祖暅原理等知识，通过考察2Г可以得到1Г的体积为 ．
【答案】32π
【解析】作出两曲线所表示的可行区域知，2Г的轴截面为一半径为4的半圆内切
两半径为2的小圆所形成，面积近似为1Г的轴截面面积的两倍，符合祖暅原理．又
2Г的体积为πππ64234243433=⨯⨯-⨯=V ，
于是1Г所表示几何体的体积应为32π．故填32π．。