探究与发现祖暅原理与柱体椎体球体体积29页PPT
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祖暅原理完整课件
拓展了数学应用领域
祖暅原理的应用不仅仅局限于几何学领域，还可以拓展到物理学、 工程学等其他领域，为这些领域的发展提供了数学支持。
提高了数学家的思维能力
祖暅原理的证明需要较高的数学思维能力，因此它的提出也促进了 数学家思维能力的提高。
对后世数学家启示意义
重视基础概念的研究
祖暅原理的提出，强调了基础概念在数学发展中的重要性，对后世 数学家注重基础概念的研究产生了积极的影响。
主要贡献
祖暅在数学方面的主要贡献包括提出祖暅原理，即等高处横截面积相等的两个 立体，其体积也必然相等。这一原理在解决一些复杂的几何问题时具有重要的 作用。
南北朝时期数学发展概况
南北朝时期数学发展背景
南北朝时期是中国古代数学发展的重要阶段，这一时期的数 学家们在继承和发扬前人成果的基础上，取得了许多新的突 破和进展。
如何运用祖暅原理解决实际问题？解决方案：结合实际问题进行分析和讲解，引导学生掌握运用祖暅原理解 决实际问题的思路和方法；同时加强练习和巩固，提高学生的解题能力。
难点三
如何在现代数学视角下重新审视祖暅原理？解决方案：介绍现代数学中的相关概念和性质，引导学生了解祖 暅原理在现代数学中的地位和作用；同时鼓励学生进行探究和创新，发现新的证明方法和应用领域。
祖暅原理完整课件
contents
目录
• 祖暅简介与历史背景 • 祖暅原理内容及表述方式 • 祖暅原理证明方法及过程剖析 • 祖暅原理在几何学中应用举例 • 祖暅原理对数学发展影响及评价 • 跨学科视角下的祖暅原理思考
01
祖暅简介与历史背景
祖暅生平及主要贡献
祖暅生平
祖暅是南北朝时期著名的数学家和天文学家，他的一生致力于数学和天文学的 研究，为后世留下了宝贵的学术遗产。
祖暅原理的应用不仅仅局限于几何学领域，还可以拓展到物理学、 工程学等其他领域，为这些领域的发展提供了数学支持。
提高了数学家的思维能力
祖暅原理的证明需要较高的数学思维能力，因此它的提出也促进了 数学家思维能力的提高。
对后世数学家启示意义
重视基础概念的研究
祖暅原理的提出，强调了基础概念在数学发展中的重要性，对后世 数学家注重基础概念的研究产生了积极的影响。
主要贡献
祖暅在数学方面的主要贡献包括提出祖暅原理，即等高处横截面积相等的两个 立体，其体积也必然相等。这一原理在解决一些复杂的几何问题时具有重要的 作用。
南北朝时期数学发展概况
南北朝时期数学发展背景
南北朝时期是中国古代数学发展的重要阶段，这一时期的数 学家们在继承和发扬前人成果的基础上，取得了许多新的突 破和进展。
如何运用祖暅原理解决实际问题？解决方案：结合实际问题进行分析和讲解，引导学生掌握运用祖暅原理解 决实际问题的思路和方法；同时加强练习和巩固，提高学生的解题能力。
难点三
如何在现代数学视角下重新审视祖暅原理？解决方案：介绍现代数学中的相关概念和性质，引导学生了解祖 暅原理在现代数学中的地位和作用；同时鼓励学生进行探究和创新，发现新的证明方法和应用领域。
祖暅原理完整课件
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目录
• 祖暅简介与历史背景 • 祖暅原理内容及表述方式 • 祖暅原理证明方法及过程剖析 • 祖暅原理在几何学中应用举例 • 祖暅原理对数学发展影响及评价 • 跨学科视角下的祖暅原理思考
01
祖暅简介与历史背景
祖暅生平及主要贡献
祖暅生平
祖暅是南北朝时期著名的数学家和天文学家，他的一生致力于数学和天文学的 研究，为后世留下了宝贵的学术遗产。
人教A版课标版必修探究与发现 祖暅原理与柱体椎体球体的体积PPT文档27页
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
人教A版课标版必修探究与发现 祖暅 原理与柱体椎体球体的体积
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
Байду номын сангаас
祖暅原理与几何体的体积ppt课件
【概念生成】 1.祖暅原理 (1) “幂势既同,则积不容异”,即“夹在两个平行平面间的两个几何体,如果 被平行于这两个平面的任意平面所截,两个截面的面积 总相等, 那么这两个几 何体的体积一定 相等” . (2) 作用: 等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积 相等.
2.柱体、锥体、台体和球的体积公式 其中S ′ 、S分别表示上、下底面的面积,h表示高, r ′ 和r 分别表示上、下底面 圆的半径,R表示球的半径.
(1)利用转换底面以便于找到几何体的高,从而求出几何体的体积. (2)利用等体积法可求点到平面的距离.
【定向训练】
如 图 所 示 , 已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1 , 且AA1⊥底面ABC,则三棱
锥B1-ABC1的体积为
.
【解析】三棱锥B1-ABC1的体积等于三棱锥A-B1BC1的体积,三棱锥A-B1BC1 的高为 , 底面积为 , 故其体积为
【定向训练】 若一圆柱与圆锥的高相等, 且轴截面面积也相等, 那么圆柱与圆锥的体积之
比为 ( )
A.1
B.
C.
D.
【解析】选D.设圆柱底面半径为R,圆锥底面半径r , 高都为h,由已知得2Rh=rh,
所以r=2R.
故V柱∶V锥=πR2h∶ πr2h= .
探究点二 等体积法的应用 【典例2】如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1C上的一点,求 三棱锥A-DED1的体积.
1.若一个球的表面积为4 π , 则这个球的体积是 ( )
【解析】选B.设球的半径为R,则4πR2=4π,解得R=1,于是 V= πR3= .
2.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图
高一数学 祖暅原理 ppt
祖暅原理指出，夹在两个平行平面间的几何体，若被平行于这两个平面的任意平面所截得的截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等。基于这一原理，我们探讨了如何求解球的体积。首先，通过实验排液法测量小球的体积，观察了半球的体积与底面积相等的旋转体体积的对比。接着，设定球的半径为R，截面半径为r，平面α与截ห้องสมุดไป่ตู้的距离为l，推导出截面圆的面积公式。进一步，通过比较圆截面与圆环面的面积，发现二者相等，根据祖暅原理，推导出球的体积公式为V球=4/3πR^3。这一过程典型地展示了祖暅原理在求解几何体体积中的应用，有助于理解并掌握该原理。
高考数学公开课祖暅原理ppt课件(2024)
拓展问题与讨论
在解答学生问题的过程中，教师可以适当提出拓展问题，引导学生 进行更深入的讨论和思考。
20
学生分享学习心得环节
分享学习经验
邀请已经掌握祖暅原理的学生分 享他们的学习经验和方法，帮助 其他同学更好地理解和掌握。
交流学习感悟
鼓励学生分享自己在学习祖暅原 理过程中的感悟和体会，促进彼 此之间的情感交流和学习动力。
2024/1/29
该原理给出了判断两个几何体体积相等的一个充分条件，为求解一些复杂几何体的体积提供了有效方法 。
5
祖暅原理意义
2024/1/29
01
祖暅原理在立体几何中具有重要地位，为解决许多 复杂几何问题提供了有力工具。
02
该原理体现了数学中的转化与化归思想，即通过转 化问题的形式或构造新的图形来简化问题。
12
例题二：利用祖暅原理证明不等式问题
解析
我们可以将函数$f(x)$和$g(x)$的图像分别视为两个几 何体的侧面，然后通过比较这两个几何体的体积来证 明不等式。
2024/1/29
解答
设函数$f(x)$和$g(x)$的图像分别与直线$x = 0$、$x = 1$及$x$轴所围成的几何体的体积分别为$V_f$和 $V_g$。根据祖暅原理，如果两个几何体在等高处的截 面积相等，则它们的体积相等。因此，我们可以通过比 较两个几何体在等高处的截面积来证明不等式。在距离 底面高度为$y$处，函数$f(x)$的截面积为$sqrt{y}$， 函数$g(x)$的截面积为$sqrt[3]{y^2}$。由于$sqrt{y} leq sqrt[3]{y^2}$，所以两个几何体在等高处的截面 积满足$sqrt{y} leq sqrt[3]{y^2}$。根据祖暅原理，我 们得到$V_f leq V_g$，即当$x in [0,1]$时，有$f(x) leq g(x)$。
在解答学生问题的过程中，教师可以适当提出拓展问题，引导学生 进行更深入的讨论和思考。
20
学生分享学习心得环节
分享学习经验
邀请已经掌握祖暅原理的学生分 享他们的学习经验和方法，帮助 其他同学更好地理解和掌握。
交流学习感悟
鼓励学生分享自己在学习祖暅原 理过程中的感悟和体会，促进彼 此之间的情感交流和学习动力。
2024/1/29
该原理给出了判断两个几何体体积相等的一个充分条件，为求解一些复杂几何体的体积提供了有效方法 。
5
祖暅原理意义
2024/1/29
01
祖暅原理在立体几何中具有重要地位，为解决许多 复杂几何问题提供了有力工具。
02
该原理体现了数学中的转化与化归思想，即通过转 化问题的形式或构造新的图形来简化问题。
12
例题二：利用祖暅原理证明不等式问题
解析
我们可以将函数$f(x)$和$g(x)$的图像分别视为两个几 何体的侧面，然后通过比较这两个几何体的体积来证 明不等式。
2024/1/29
解答
设函数$f(x)$和$g(x)$的图像分别与直线$x = 0$、$x = 1$及$x$轴所围成的几何体的体积分别为$V_f$和 $V_g$。根据祖暅原理，如果两个几何体在等高处的截 面积相等，则它们的体积相等。因此，我们可以通过比 较两个几何体在等高处的截面积来证明不等式。在距离 底面高度为$y$处，函数$f(x)$的截面积为$sqrt{y}$， 函数$g(x)$的截面积为$sqrt[3]{y^2}$。由于$sqrt{y} leq sqrt[3]{y^2}$，所以两个几何体在等高处的截面 积满足$sqrt{y} leq sqrt[3]{y^2}$。根据祖暅原理，我 们得到$V_f leq V_g$，即当$x in [0,1]$时，有$f(x) leq g(x)$。
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课课件_6
思考 我们怎样求一个小球的体积？
排水 法
V V 球
排开水
H h
如何求地球的体积呢？
祖暅原理
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于 这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截 面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
幂势即同, 积不容异
思考:利用此原理如何得到球的体积公式?
高与底面半径均为R的旋转体体积对比
3
2
答：球O的体积为 3 a3.
2
D A
D1 A1
D A
D1 A1
C B
O C1
B1
C B O
C1
B1
深入探究
若正方体的棱长为a，则
a
3a
2a
D A
C
D
D
B
A
CA
B
D1 A1
C1 A1 B1
D1 B1
C1
D1
ห้องสมุดไป่ตู้
A1
C B
C1 B1
学以致用
已知地球的赤道长40075.24千米，能否求出 地球的体积？(假设地球是一个标准的球体）
3
球的体积计算公式：
V球
4
3
R3
实验
V半球 V圆柱 V圆锥
2 R3
3
结论
A
R
O
半径为R的球的体积是
V 4 R3
3
例题讲解
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的 直径，求球的体积与圆柱体积之比.
分析：球内切于圆柱
解：设球的半径为R
V球 V圆柱
4 R3
3
R2 2R
2 3
必修2 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积(共30张PPT)
1 Ｖ圆台＝ 3 πh
(r r 1r 2 r 2 )
2 1
2
反思感悟
问题8：柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大 上底缩小
S 0 1 1 V Sh S S V ( S S S S )h V Sh 3 3 S为底面面积， S为底面面积， S，S’分别为上、下 h为柱体高 h为锥体高 底面面积，h 为台体 高
知道它们前后的体积相等的条件为:
1 .高度相同 2.同一层上每页纸大小(面积)一样 3.每层与放作业本的桌面平行
祖暅的介绍：
祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭的 影响，尤其是父亲的影响，他从小对数学具有浓 厚的兴趣。祖冲之除了在计算圆周率方面的成就，还与 他的儿子祖暅一起，用巧妙的方法解决了柱体，锥体， 球体的体积计算。他们当时采用的原理，在西方被称为 “卡瓦列利”原理，但这是在祖氏父子以后一千多年才由 意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念祖氏父子的 这一伟大发现，数学上也称这个原理为“祖暅原理”。
例1：如图，在长方体 ABCD ABC D 中， 截下一个棱锥 C ADD ,求棱锥的体积与剩 余部分的体积之比。 D'
解： 长方体可以看成直四棱柱 ADD' A' BCC ' B '
设它的底面 ADD A 面积为S，高为h， 则它的体积为V Sh 因为棱锥 C A' DD'
探究点二 锥体的体积计算公式
锥体体积公式及其探索思路？
锥体的体积公式Ｖ锥体＝?
锥体的代表 ? 等底面积等高的 任意两个锥体的 体积相等
+
A’ B’
C’
问题6：三棱柱分割
成三个三棱锥,他们三个 的体积相等吗？为什么？
探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积
在西方，球体的体积计算方法虽然早已由希腊数学家 阿基米德发现，但“祖暅原理”是在独立研究的基础上得出 的，且比阿基米德的内容要丰富，涉及的问题要复杂。二 者有异曲同工之妙。这一原理主要应用于计算一些复杂几 何体的体积上面。
在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里 (Cavalieri.B,1589-1647)发现。于1635年出版的《连续不 可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为 "卡瓦列里原理"。其实，他的发现要比我国的祖暅晚 1100多年。
球是圆的旋转体，而椭圆、双曲线、 抛物线与圆同属于圆锥曲线，那么椭 圆、双曲线、抛物线绕其对称轴旋转 所得到的几何体，体积又如何求呢？
我们能不能将球的体积的推导方法 迁移到旋转椭球体，旋转双曲体和 旋转抛物体的求法中去？
祖暅原理运用
椭球的体积
将椭圆
x2 a2
y2 b2
1 绕y轴旋转一周所得到的几何体称之
2. 计算如图半球在高度h处的截面面积 R h R
祖暅原理运用
球的体积的推导在中学教材中是构造性证 明的典范，也是我国古代数学的杰出成就之一。 在中学教材中对其有详细的推导过程，但如果 我们只停留在球的体积推导上面，那么这种构 造性证明对思维的锻炼价值就不能得到充分发 挥。所以请思考如下问题：
祖暅原理运用
祖暅原理运用
祖暅原理运用
小结：上述推导方法其实是球的体积推导方法的“重演”。这实 质上是一种同化性迁移。它是在不改变原有知识结构的前提下， 直接将原有的经验应用到本质相同的一类事物中去，从而直接完 成迁移。在这里主要依赖于事物之间的本质特征的相似性，从而 在实质认同的基础上实现本质类化。
祖暅原理运用
锥的体积事实上对于一个任意的锥体设它的底面积为s高为h那么锥体的体积等于三分之一的底乘高球的体积我们不妨研究半球半径为r的体积用平行于底面且与底面的距离为l的平面截半球所得的圆面半径为r球的体积我们取一个底面半径和高都为r的圆柱从圆柱中间挖去一个圆锥圆锥的顶点为圆柱下底面的圆心底面为圆柱的上底面
在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里 (Cavalieri.B,1589-1647)发现。于1635年出版的《连续不 可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为 "卡瓦列里原理"。其实，他的发现要比我国的祖暅晚 1100多年。
球是圆的旋转体，而椭圆、双曲线、 抛物线与圆同属于圆锥曲线，那么椭 圆、双曲线、抛物线绕其对称轴旋转 所得到的几何体，体积又如何求呢？
我们能不能将球的体积的推导方法 迁移到旋转椭球体，旋转双曲体和 旋转抛物体的求法中去？
祖暅原理运用
椭球的体积
将椭圆
x2 a2
y2 b2
1 绕y轴旋转一周所得到的几何体称之
2. 计算如图半球在高度h处的截面面积 R h R
祖暅原理运用
球的体积的推导在中学教材中是构造性证 明的典范，也是我国古代数学的杰出成就之一。 在中学教材中对其有详细的推导过程，但如果 我们只停留在球的体积推导上面，那么这种构 造性证明对思维的锻炼价值就不能得到充分发 挥。所以请思考如下问题：
祖暅原理运用
祖暅原理运用
祖暅原理运用
小结：上述推导方法其实是球的体积推导方法的“重演”。这实 质上是一种同化性迁移。它是在不改变原有知识结构的前提下， 直接将原有的经验应用到本质相同的一类事物中去，从而直接完 成迁移。在这里主要依赖于事物之间的本质特征的相似性，从而 在实质认同的基础上实现本质类化。
祖暅原理运用
锥的体积事实上对于一个任意的锥体设它的底面积为s高为h那么锥体的体积等于三分之一的底乘高球的体积我们不妨研究半球半径为r的体积用平行于底面且与底面的距离为l的平面截半球所得的圆面半径为r球的体积我们取一个底面半径和高都为r的圆柱从圆柱中间挖去一个圆锥圆锥的顶点为圆柱下底面的圆心底面为圆柱的上底面