探究与发现 祖暅原理与柱体椎体球体体积共28页文档
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人教A版课标版必修探究与发现 祖暅原理与柱体椎体球体的体积共27页
人教A版课标版必修探积
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温
42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚
43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊
44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温
42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚
43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊
44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积 (2)
课后作业
画出教学楼的三视图和直观图，估计教学楼的高、 宽、长及墙壁的厚度、窗户的大小等数据，体会 数学在生活中的应用。
探究柱体的体积
探究锥体的体积
问：一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？
C' B'
A'
C' B'
A'
C
B
CHale Waihona Puke BAA分割成的每个锥体的体积有什么关系？说明理由
锥体的体积：
1 V锥体 3 V柱体
探究球体的体积
课堂小结
知识方面：本节课探究了利用祖暅原理获得柱体、 锥体、球体的体积公式
思维能力方面：体会到联想、类比、猜想、证明 等合情推理及逻辑推理的方法在探索新知识方面 的重要作用
祖暅原理与 柱体、锥体、球体的体积
甘肃省张掖市实验中学 唐超
明目标、知重点重点
1.了解祖暅原理； 2.能利用祖暅原理求柱体、锥体的体积； 3.能利用祖暅原理求球体的体积
祖暅介绍
祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭的影响，尤其 是父亲的影响，他从小热爱科学特别是对数学具有浓厚的兴趣。祖 冲之除了在圆周率方面的成就，还与他的儿子祖暅在一起，用巧妙 的方法解决了柱体、锥体、球体的体积计算。他们当时采取的原理， 在西方被称为“卡瓦列利”原理，但这是在租氏父子以后一千多年以 后，被意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念租氏父子的这一伟 大发现，数学上也将这个原理称作“祖暅原理”
小实验
将一叠作业本放在桌子上组成一个几何体，将它们改变一 下形状，几何体的形状发生了改变，几何体的高改变了没 有？几何体的体积改变了没有？说明理由
祖暅原理
“幂势既同，则积不容异"
“幂”是面积，“势”指的是高。
画出教学楼的三视图和直观图，估计教学楼的高、 宽、长及墙壁的厚度、窗户的大小等数据，体会 数学在生活中的应用。
探究柱体的体积
探究锥体的体积
问：一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？
C' B'
A'
C' B'
A'
C
B
CHale Waihona Puke BAA分割成的每个锥体的体积有什么关系？说明理由
锥体的体积：
1 V锥体 3 V柱体
探究球体的体积
课堂小结
知识方面：本节课探究了利用祖暅原理获得柱体、 锥体、球体的体积公式
思维能力方面：体会到联想、类比、猜想、证明 等合情推理及逻辑推理的方法在探索新知识方面 的重要作用
祖暅原理与 柱体、锥体、球体的体积
甘肃省张掖市实验中学 唐超
明目标、知重点重点
1.了解祖暅原理； 2.能利用祖暅原理求柱体、锥体的体积； 3.能利用祖暅原理求球体的体积
祖暅介绍
祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭的影响，尤其 是父亲的影响，他从小热爱科学特别是对数学具有浓厚的兴趣。祖 冲之除了在圆周率方面的成就，还与他的儿子祖暅在一起，用巧妙 的方法解决了柱体、锥体、球体的体积计算。他们当时采取的原理， 在西方被称为“卡瓦列利”原理，但这是在租氏父子以后一千多年以 后，被意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念租氏父子的这一伟 大发现，数学上也将这个原理称作“祖暅原理”
小实验
将一叠作业本放在桌子上组成一个几何体，将它们改变一 下形状，几何体的形状发生了改变，几何体的高改变了没 有？几何体的体积改变了没有？说明理由
祖暅原理
“幂势既同，则积不容异"
“幂”是面积，“势”指的是高。
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1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
人教A版课标版必修探究与发现 祖暅 原理与柱体椎体球体的体积
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
Байду номын сангаас
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人教A版课标版必修探究与发现 祖暅 原理与柱体椎体球体的体积
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积
探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积祖暅原理是一种用来计算一些碰撞问题的方法。
它是由荷兰物理学家爱文·伽兹（Awe M. C. J. Gase）在1971年首次提出的。
祖暅原理可以应用于各种情况，包括碰撞、反弹、散射等。
这个原理的基本思想是，根据碰撞前后的动量守恒和能量守恒原理，可以推导出碰撞物体的质量、速度等参数。
柱体、锥体和球体是几何学中常见的三维几何体，它们的体积可以通过数学公式推导得到。
首先来讨论柱体。
柱体是一个具有平行的底面和均匀直径的圆柱形物体。
它的体积可以通过计算底面的面积乘以高度来获得。
具体地说，柱体的体积公式为：V=πr²h，其中r为底面半径，h为柱体的高度。
而锥体是一个具有底面是圆的三角锥形物体。
计算锥体的体积需要先求出底面的面积，再乘以高度的三分之一、锥体的体积公式为：
V=(1/3)πr²h，其中r为底面半径，h为锥体的高度。
最后，球体是一个具有球形的物体。
计算球体的体积需要先求出球的半径，再将半径的三次方乘以π的四分之三、具体地说，球体的体积公式为：V=(4/3)πr³，其中r为球的半径。
以上是关于柱体、锥体和球体的体积计算公式的一些基本介绍。
要具体计算一些物体的体积，需要提供它的底面半径、高度或半径等参数。
同时要注意单位的一致性，确保结果的准确性。
人教版高中数学必修二《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》
（3）注意展示点评任务，展示人书写要迅速。
在展示评价后，若你仍有补充， 我们奖励 20 分
2020/3/11
题 号 方式
自探一 板书 自探二 板书
展示分工
第五组 第一组
点评分工
展示要求：
1.书面展示要板书工整、规范、快速; 2.组长结合本组情况，适当选派代表; 3.非展示同学继续讨论，完成后结合展示点评，迅速记
积为____。
5，0
2020/3/11
总结本节课内容，重点，难点！ 总结本节课同学们的表现！
2020/3/11
课后探究
利用祖暅原理探究台体的体积公式。 球、柱、台、锥体体积之间的关系。
课后作业：完成课时作业1。
2020/3/11
2020/3/11
学习目标:
（1）能够利用祖暅原理求柱体和锥体的体积。 （2）能够利用祖暅原理求球体的体积。
2020/3/11
祖暅原理 “幂势既同，则积不容异”
2020/3/11
探究一
如图，下面是底面积都等于S，，高都等于 h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅 原理推导柱体的体积公式吗？
V长方体 S底h
2020/3/11
2020/3/11
2020/3/11
结论 半径为R的球 的体积公式是
V球
4 3
R3
2020/3/11
质疑再探
2020/3/11
运用拓展
1.类比祖暅原理,如图所示,在平面直角坐标系中, 图1是一个形状不规则的封闭图形,图2是一个上 底为1的梯形,且当实数t取[0,3]上的任意值时，直 线y=t被图1和图2所截得的两线段长始终相等， 则图1的面积为___.
2020/3/11
在展示评价后，若你仍有补充， 我们奖励 20 分
2020/3/11
题 号 方式
自探一 板书 自探二 板书
展示分工
第五组 第一组
点评分工
展示要求：
1.书面展示要板书工整、规范、快速; 2.组长结合本组情况，适当选派代表; 3.非展示同学继续讨论，完成后结合展示点评，迅速记
积为____。
5，0
2020/3/11
总结本节课内容，重点，难点！ 总结本节课同学们的表现！
2020/3/11
课后探究
利用祖暅原理探究台体的体积公式。 球、柱、台、锥体体积之间的关系。
课后作业：完成课时作业1。
2020/3/11
2020/3/11
学习目标:
（1）能够利用祖暅原理求柱体和锥体的体积。 （2）能够利用祖暅原理求球体的体积。
2020/3/11
祖暅原理 “幂势既同，则积不容异”
2020/3/11
探究一
如图，下面是底面积都等于S，，高都等于 h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅 原理推导柱体的体积公式吗？
V长方体 S底h
2020/3/11
2020/3/11
2020/3/11
结论 半径为R的球 的体积公式是
V球
4 3
R3
2020/3/11
质疑再探
2020/3/11
运用拓展
1.类比祖暅原理,如图所示,在平面直角坐标系中, 图1是一个形状不规则的封闭图形,图2是一个上 底为1的梯形,且当实数t取[0,3]上的任意值时，直 线y=t被图1和图2所截得的两线段长始终相等， 则图1的面积为___.
2020/3/11
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积课件
的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。
类比祖暅原理,如图,在平面直角坐
标系中,图1是一个形状不规则的封
闭图形,图2是一个上底为1的梯形,
且当实数t取[0,3]上的任意值时，
直线y=t被图1和图2所截得的两线
段长始终相等，则图1的面积为___.
祖暅原理
人教版高中数学必修二
2.我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原
人教版高中数学必修二
设有底面积都等于S，高都等于h的锥体（如图：
两个棱锥和一个圆锥），使它们的下底面在同一
平面内。你能得到什么结论？
祖暅原理
C1
人教版高中数学必修二
B1 C1
A1
C
B1
A1
B C
A
B
A
祖暅原理
C1
人教版高中数学必修二
B1 C1
A1
C
B1
A1
B C
A
锥体的体积
B
A
V锥体
1
S底h
于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截
面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
祖暅原理的提出要比其他国家的数学家早
一千多年。在欧洲直到17世纪，才有意大利
数学家卡瓦列里提出上述结论。
祖暅原理
人教版高中数学必修二
由祖暅原理可得：V柱体=Sh
其中S 是柱体的底面积， h是柱体的高。
祖暅原理
2.我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原
理）：“幂势既同，则积不容异”。“势”即是高，“幂”是
5，
0
面积。意思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体
的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。
类比祖暅原理,如图,在平面直角坐
标系中,图1是一个形状不规则的封
闭图形,图2是一个上底为1的梯形,
且当实数t取[0,3]上的任意值时，
直线y=t被图1和图2所截得的两线
段长始终相等，则图1的面积为___.
祖暅原理
人教版高中数学必修二
2.我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原
人教版高中数学必修二
设有底面积都等于S，高都等于h的锥体（如图：
两个棱锥和一个圆锥），使它们的下底面在同一
平面内。你能得到什么结论？
祖暅原理
C1
人教版高中数学必修二
B1 C1
A1
C
B1
A1
B C
A
B
A
祖暅原理
C1
人教版高中数学必修二
B1 C1
A1
C
B1
A1
B C
A
锥体的体积
B
A
V锥体
1
S底h
于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截
面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
祖暅原理的提出要比其他国家的数学家早
一千多年。在欧洲直到17世纪，才有意大利
数学家卡瓦列里提出上述结论。
祖暅原理
人教版高中数学必修二
由祖暅原理可得：V柱体=Sh
其中S 是柱体的底面积， h是柱体的高。
祖暅原理
2.我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原
理）：“幂势既同，则积不容异”。“势”即是高，“幂”是
5，
0
面积。意思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体
的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。
探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积
锥的体积事实上对于一个任意的锥体设它的底面积为s高为h那么锥体的体积等于三分之一的底乘高球的体积我们不妨研究半球半径为r的体积用平行于底面且与底面的距离为l的平面截半球所得的圆面半径为r球的体积我们取一个底面半径和高都为r的圆柱从圆柱中间挖去一个圆锥圆锥的顶点为圆柱下底面的圆心底面为圆柱的上底面
为什么能用祖暅原理
在西方，球体的体积计算方法虽然早已由希腊数学家 阿基米德发现，但“祖暅原理”是在独立研究的基础上得出 的，且比阿基米德的内容要丰富，涉及的问题要复杂。二 者有异曲同工之妙。这一原理主要应用于计算一些复杂几 何体的体积上面。
在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里 (Cavalieri.B,1589-1647)发现。于1635年出版的《连续不 可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为 "卡瓦列里原理"。其实，他的发现要比我国的祖暅晚 1100多年。
球是圆的旋转体，而椭圆、双曲线、 抛物线与圆同属于圆锥曲线，那么椭 圆、双曲线、抛物线绕其对称轴旋转 所得到的几何体，体积又如何求呢？
我们能不能将球的体积的推导方法 迁移到旋转椭球体，旋转双曲体和 旋转抛物体的求法中去？
祖暅原理运用
椭球的体积
将椭圆
x2 a2
y2 b2
1 绕y轴旋转一周所得到的几何体称之
双曲线有两条渐近线， 而椭圆与抛物线则没有。如 果我们从这一差异入手让两条渐近线也一同绕虚轴旋一周， 那么在α与β之间也就形成了一个圆锥体，这正是我们所 需的几何图模型。
祖暅原理运用
祖暅原理运用
评注：对于此问题的解决， 我们没有去构造两个几何体 使它们的体积相等，而是运 用了割补思想，创造性应用 了祖暅原理。在旋转单叶双 曲面问题中， 我们将基本经 验（圆柱体中挖出一个几何 体）进行了调整，将基本要 素：所求几何体、圆锥体、 圆柱体等进行了重组，扩展 了基本原理的适应范围，体 现了创造性思维。
为什么能用祖暅原理
在西方，球体的体积计算方法虽然早已由希腊数学家 阿基米德发现，但“祖暅原理”是在独立研究的基础上得出 的，且比阿基米德的内容要丰富，涉及的问题要复杂。二 者有异曲同工之妙。这一原理主要应用于计算一些复杂几 何体的体积上面。
在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里 (Cavalieri.B,1589-1647)发现。于1635年出版的《连续不 可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为 "卡瓦列里原理"。其实，他的发现要比我国的祖暅晚 1100多年。
球是圆的旋转体，而椭圆、双曲线、 抛物线与圆同属于圆锥曲线，那么椭 圆、双曲线、抛物线绕其对称轴旋转 所得到的几何体，体积又如何求呢？
我们能不能将球的体积的推导方法 迁移到旋转椭球体，旋转双曲体和 旋转抛物体的求法中去？
祖暅原理运用
椭球的体积
将椭圆
x2 a2
y2 b2
1 绕y轴旋转一周所得到的几何体称之
双曲线有两条渐近线， 而椭圆与抛物线则没有。如 果我们从这一差异入手让两条渐近线也一同绕虚轴旋一周， 那么在α与β之间也就形成了一个圆锥体，这正是我们所 需的几何图模型。
祖暅原理运用
祖暅原理运用
评注：对于此问题的解决， 我们没有去构造两个几何体 使它们的体积相等，而是运 用了割补思想，创造性应用 了祖暅原理。在旋转单叶双 曲面问题中， 我们将基本经 验（圆柱体中挖出一个几何 体）进行了调整，将基本要 素：所求几何体、圆锥体、 圆柱体等进行了重组，扩展 了基本原理的适应范围，体 现了创造性思维。