92_轴对称1

轴对称一．填空题（共26小题）1．（2019•上海）如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点．将△ABE沿直线BE翻折，点A落在点F处，联结DF，那么∠EDF的正切值是．2．（2019•西藏）如图，把一张长为4，宽为2的矩形纸片，沿对角线折叠，则重叠部分的面积为．3．（2019•陕西）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为．4．（2019•黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是．5．（2019•内江）如图，在菱形ABCD中，sin B=45，点E，F分别在边AD、BC上，将四边形AEFB 沿EF 翻折，使AB 的对应线段MN 经过顶点C ，当MN ⊥BC 时，AE AD 的值是 ．6．（2019•通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边上的一点，且AM =13AD ，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ．则A ′C 长度的最小值是 ．7．（2019•长春）如图，有一张矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝6．先将矩形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将△AEF 沿EF 翻折，AF 与BC 相交于点G ，则△GCF 的周长为 ．8．（2019•吉林）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝10，BD ⊥AD ．若将△BCD 沿BD 折叠，点C 与边AB 的中点E 恰好重合，则四边形BCDE 的周长为 ．9．（2019•鸡西）一张直角三角形纸片ABC ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，点D 为BC边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当△BDE 是直角三角形时，则CD 的长为 ．10．（2019•咸宁）如图，先有一张矩形纸片ABCD ，AB ＝4，BC ＝8，点M ，N 分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①CQ＝CD；②四边形CMPN是菱形；③P，A重合时，MN＝2√5；④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5．其中正确的是（把正确结论的序号都填上）．11．（2019•深圳）如图，在正方形ABCD中，BE＝1，将BC沿CE翻折，使B点对应点刚好落在对角线AC上，将AD沿AF翻折，使D点对应点刚好落在对角线AC上，求EF ＝．12．（2019•河南）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE=35a．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为．13．（2019•淮安）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝．14．（2019•广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是（结果用含a，b代数式表示）．15．（2019•泸州）在平面直角坐标系中，点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，则a+b的值是．16．（2019•杭州）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于．17．（2019•天水）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD 沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为．18．（2019•淄博）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．如图1，当CD=12AC时，tanα1=34；如图2，当CD=13AC时，tanα2=512；如图3，当CD=14AC时，tanα3=724；……依此类推，当CD=1n+1AC（n为正整数）时，tanαn＝．19．（2019•资阳）如图，在△ABC中，已知AC＝3，BC＝4，点D为边AB的中点，连结CD，过点A作AE⊥CD于点E，将△ACE沿直线AC翻折到△ACE′的位置．若CE′∥AB，则CE′＝．20．（2019•天津）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE＝5，则GE的长为．21．（2019•江西）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝°．22．（2019•成都）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD 的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．23．（2019•潍坊）如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB＝．24．（2019•临沂）在平面直角坐标系中，点P（4，2）关于直线x＝1的对称点的坐标是．25．（2019•青岛）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为cm．26．（2019•泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝3√6，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是．二．解答题（共10小题）27．（2019•鞍山）妈妈给小红和弟弟买了一本刘慈欣的小说《流浪地球》，姐弟俩都想先睹为快．于是小红对弟弟说：我们利用下面中心涂黑的九宫格图案（如图所示）玩一个游戏，规则如下：我从第一行，你从第三行，同时各自任意选取一个方格，涂黑，如果得到的新图案是轴对称图形，我就先读，否则你先读．小红设计的游戏对弟弟是否公平？请用画树状图或列表的方法说明理由．（第一行的小方格从左至右分别用A，B，C表示，第三行的小方格从左至右分别用D，E，F表示）28．（2019•鞍山）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（1，1），C（3，2）．（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标．（2）已知△A2B2C2与△ABC关于直线l对称，若点C2的坐标为（﹣2，﹣3），请直接写出直线l的函数解析式．注：点A1，B1，C1及点A2，B2，C2分别是点A，B，C按题中要求变换后对应得到的点．29．（2019•永州）（1）如图1，在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AB＝6，AD＝8，将平行四边形ABCD分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹）（2）若将一边长为1的正方形按如图2﹣1所示剪开，恰好能拼成如图2﹣2所示的矩形，则m的值是多少？（3）四边形ABCD是一个长为7，宽为5的矩形（面积为35），若把它按如图3﹣1所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图3﹣2所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为36）．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由．30．（2019•湘潭）如图，将△ABC沿着AC边翻折，得到△ADC，且AB∥CD．（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（2）若AC＝16，BC＝10，求四边形ABCD的面积．31．（2019•徐州）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：（1）∠ECB＝∠FCG；（2）△EBC≌△FGC．32．（2019•常州）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E．（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是；（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．33．（2019•广西）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）（1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；（3）请写出A1、A2的坐标．34．（2019•天门）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（1）如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m；（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n．35．（2019•临沂）如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G，连接AG，作GH⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH．显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF 的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180°的角平分线），并说明理由．36．（2019•滨州）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．轴对称参考答案与试题解析一．填空题（共26小题）1．【解答】解：如图所示，由折叠可得AE＝FE，∠AEB＝∠FEB=12∠AEF，∵正方形ABCD中，E是AD的中点，∴AE＝DE=12AD=12AB，∴DE＝FE，∴∠EDF＝∠EFD，又∵∠AEF是△DEF的外角，∴∠AEF＝∠EDF+∠EFD，∴∠EDF=12∠AEF，∴∠AEB＝∠EDF，∴tan∠EDF＝tan∠AEB=ABAE=2．故答案为：2．2．【解答】解：设BF长为x，则FD＝4﹣x，∵∠ACB＝∠BCE＝∠CBD，∴△BCF为等腰三角形，BF＝CF＝x，在Rt△CDF中，（4﹣x）2+22＝x2，解得：x＝2.5，∴BF＝2.5，∴S△BFC=12BF×CD=12×2.5×2＝2.5．即重叠部分面积为2.5．故答案为：2.5．3．【解答】解：如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“＝”，∵正方形边长为8，∴AC=√2AB=8√2，∵O为AC中点，∴AO＝OC=4√2，∵N为OA中点，∴ON=2√2，∴ON'＝CN'=2√2，∴AN'=6√2，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴CMBM =CN′AN′=13∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM为等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值为2，故答案为：2．4．【解答】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝60°，∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，∵MA′＝MB′，∴△A′MB′为等边三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14，∴CD的最大值为14，故答案为14．5．【解答】解：延长CM交AD于点G，∵将四边形AEFB沿EF翻折，∴AE＝ME，∠A＝∠EMC，BF＝FN，∠B＝∠N，AB＝MN∵四边形ABCD是菱形∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°∵sin B =45=sin N =CF FN， ∴设CF ＝4x ，FN ＝5x ，∴CN =2−CF 2=3x ，∴BC ＝9x ＝AB ＝CD ＝AD ，∵sin B =45=sin D =GC CD∴GC =36x 5∴GM ＝GC ﹣（MN ﹣CN ）=36x 5−6x =65x∵∠A +∠B ＝180°，∠EMC +∠EMG ＝180°∴∠B ＝∠EMG∴sin B ＝sin ∠EMG =45=EG EM ∴cos ∠EMG =35=GM EM∴EM ＝2x ，∴AE ＝2x ，∴AE AD =2x 9x =29故答案为：296．【解答】解：过点M 作MH ⊥CD 交CD 延长线于点H ，连接CM ，∵AM =13AD ，AD ＝CD ＝3∴AM ＝1，MD ＝2∵CD ∥AB ，∴∠HDM ＝∠A ＝60°∴HD =12MD ＝1，HM =√3HD =√3∴CH ＝4∴MC=√MH2+CH2=√19∵将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，∴AM＝A'M＝1，∴点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，∴当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值∴A'C长度的最小值＝MC﹣MA'=√19−1故答案为：√19−17．【解答】解：由折叠的性质可知，∠DAF＝∠BAF＝45°，∴AE＝AD＝6，∴EB＝AB﹣AE＝2，由题意得，四边形EFCB为矩形，∴FC＝ED＝2，∵AB∥FC，∴∠GFC＝∠A＝45°，∴GC＝FC＝2，由勾股定理得，GF=√FC2+GC2=2√2，则△GCF的周长＝GC+FC+GF＝4+2√2，故答案为：4+2√2．8．【解答】解：∵BD⊥AD，点E是AB的中点，∴DE＝BE=12AB＝5，由折叠可得，CB＝BE，CD＝ED，∴四边形BCDE的周长为5×4＝20，故答案为：20．9．【解答】解：分两种情况：①若∠DEB＝90°，则∠AED＝90°＝∠C，CD＝ED，连接AD ，则Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），∴AE ＝AC ＝6，BE ＝10﹣6＝4，设CD ＝DE ＝x ，则BD ＝8﹣x ，∵Rt △BDE 中，DE 2+BE 2＝BD 2，∴x 2+42＝（8﹣x ）2，解得x ＝3，∴CD ＝3；②若∠BDE ＝90°，则∠CDE ＝∠DEF ＝∠C ＝90°，CD ＝DE ，∴四边形CDEF 是正方形，∴∠AFE ＝∠EDB ＝90°，∠AEF ＝∠B ，∴△AEF ∽△EBD ，∴AF ED =EF BD ，设CD ＝x ，则EF ＝CF ＝x ，AF ＝6﹣x ，BD ＝8﹣x ，∴6−x x =x 8−x ，解得x =247，∴CD =247，综上所述，CD 的长为3或247， 故答案为：3或247．10．【解答】解：如图1，∵PM∥CN，∴∠PMN＝∠MNC，∵∠MNC＝∠PNM，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN，∵NC＝NP，∴PM＝CN，∵MP∥CN，∴四边形CNPM是平行四边形，∵CN＝NP，∴四边形CNPM是菱形，故②正确；∴CP⊥MN，∠BCP＝∠MCP，∴∠MQC＝∠D＝90°，∵CP＝CP，若CQ＝CD，则Rt△CMQ≌△CMD，∴∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立，故①错误；点P与点A重合时，如图2，设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴CN＝8﹣3＝5，AC=√AB2+BC2=4√5，∴CQ=12AC=2√5，∴QN=√CN2−CQ2=√5，∴MN＝2QN＝2√5．故③正确；当MN过点D时，如图3，此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S=14S菱形CMPN=14×4×4=4，当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S=14×5×4=5，∴4≤S≤5，故④错误．故答案为：②③．11．【解答】解：如图，作FM⊥AB于点M．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠CAD＝45°．∵将BC沿CE翻折，B点对应点刚好落在对角线AC上的点X，∴EX＝EB＝AX＝1，∠EXC＝∠B＝90°，∴AE=√AX2+EX2=√2．∵将AD沿AF翻折，使D点对应点刚好落在对角线AC上的点Y，∴AM ＝DF ＝YF ＝1，∴正方形的边长AB ＝FM =√2+1，EM =√2−1， ∴EF =√EM 2+FM 2=√(√2−1)2+(√2+1)2=√6． 故答案为√6．12．【解答】解：分两种情况：①当点B ′落在AD 边上时，如图1．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝∠B ＝90°，∵将△ABE 沿AE 折叠，点B 的对应点B ′落在AD 边上， ∴∠BAE ＝∠B ′AE =12∠BAD ＝45°，∴AB ＝BE ，∴35a ＝1， ∴a =53；②当点B ′落在CD 边上时，如图2．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AD ＝BC ＝a ．∵将△ABE 沿AE 折叠，点B 的对应点B ′落在CD 边上， ∴∠B ＝∠AB ′E ＝90°，AB ＝AB ′＝1，EB ＝EB ′=35a ， ∴DB ′=√B′A 2−AD 2=√1−a 2，EC ＝BC ﹣BE ＝a −35a =25a ． 在△ADB ′与△B ′CE 中，{∠B ′AD =∠EB ′C =90°−∠AB ′D ∠D =∠C =90°， ∴△ADB ′∽△B ′CE ，∴DB′CE =AB′B′E，即√1−a 225a =135a ， 解得a 1=√53，a 2=−√53（舍去）．综上，所求a 的值为53或√53． 故答案为53或√53．13．【解答】解：如图，连接PB ，交CH 于E ，由折叠可得，CH 垂直平分BP ，∴E 为BP 的中点，又∵H 为AB 的中点，∴HE 是△ABP 的中位线，∴AP ∥HE ，∴∠BAP ＝∠BHE ，又∵Rt △BCH 中，tan ∠BHC =BC BH =43， ∴tan ∠HAP =43，故答案为：43．14．【解答】解：方法1、如图，由图可得，拼出来的图形的总长度＝5a +4[a ﹣2（a ﹣b ）]＝a +8b故答案为：a +8b ．方法2、∵小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形∴口朝上的有5个，口朝下的有四个，而口朝上的有5个，长度之和是5a ，口朝下的有四个，长度为4[b ﹣（a ﹣b ）]＝8b ﹣4a ， 即：总长度为5a +8b ﹣4a ＝a +8b ，故答案为a +8b ．15．【解答】解：∵点M （a ，b ）与点N （3，﹣1）关于x 轴对称，∴a ＝3，b ＝1，则a +b 的值是：4．故答案为：4．16．【解答】解：∵四边形ABC 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，设AB ＝CD ＝x ，由翻折可知：P A ′＝AB ＝x ，PD ′＝CD ＝x ，∵△A ′EP 的面积为4，△D ′PH 的面积为1，∴D ′H =12x ，∵12•x •12x ＝1， ∴x ＝2（负根已经舍弃），∴AB ＝CD ＝2，PE =√22+42=2√5，PH =√12+22=√5，∴AD ＝4+2√5+√5+1＝5+3√5，∴矩形ABCD 的面积＝2（5+3√5）＝10+6√5．故答案为10+6√517．【解答】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ＝5，AB ＝CD ＝3，∵矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上的F 处，∴AF ＝AD ＝5，EF ＝DE ，在Rt △ABF 中，∵BF =√AF 2−AB 2=4，∴CF ＝BC ﹣BF ＝5﹣4＝1，设CE ＝x ，则DE ＝EF ＝3﹣x在Rt △ECF 中，∵CE 2+FC 2＝EF 2，∴x 2+12＝（3﹣x ）2，解得x =43，∴EF ＝3﹣x =53，∴sin ∠EFC =CE EF =45．故答案为：45． 18．【解答】解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n +1，分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，2n +1，(2n+1)2−12，(2n+1)2+12中的中间一个．∴tan αn =2n+1(2n+1)2−12=2n+12n 2+2n ． 故答案为：2n+12n 2+2n ．19．【解答】解：如图，作CH ⊥AB 于H ．由翻折可知：∠AE ′C ＝∠AEC ＝90°，∠ACE ＝∠ACE ′，∵CE ′∥AB ，∴∠ACE ′＝∠CAD ，∴∠ACD ＝∠CAD ，∴DC ＝DA ，∵AD ＝DB ，∴DC ＝DA ＝DB ，∴∠ACB ＝90°，∴AB =√AC 2+BC 2=5，∵12•AB •CH =12•AC •BC ， ∴CH =125， ∴AH =√AC 2−CH 2=95，∵CE ′∥AB ，∴∠E ′CH +∠AHC ＝180°，∵∠AHC ＝90°，∴∠E ′CH ＝90°，∴四边形AHCE ′是矩形，∴CE ′＝AH =95，故答案为95． 20．【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝12，∠BAD ＝∠D ＝90°，由折叠及轴对称的性质可知，△ABF ≌△GBF ，BF 垂直平分AG ，∴BF ⊥AE ，AH ＝GH ，∴∠BAH +∠ABH ＝90°，又∵∠F AH +∠BAH ＝90°，∴∠ABH ＝∠F AH ，∴△ABF ≌△DAE （ASA ），∴AF ＝DE ＝5，在Rt △ABF 中，BF =√AB 2+AF 2=√122+52=13，S △ABF =12AB •AF =12BF •AH ，∴12×5＝13AH ，∴AH =6013，∴AG ＝2AH =12013， ∵AE ＝BF ＝13，∴GE ＝AE ﹣AG ＝13−12013=4913，故答案为：4913．21．【解答】解：∵∠BAD ＝∠ABC ＝40°，将△ABD 沿着AD 翻折得到△AED ，∴∠ADC ＝40°+40°＝80°，∠ADE ＝∠ADB ＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴∠CDE ＝100°﹣80°＝20°，故答案为：2022．【解答】解：∵在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，∴AB ＝CD ＝1，∠ABD ＝30°，∵将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A 'B 'D '，∴A ′B ′＝AB ＝1，A ′B ′∥AB ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠BAD ＝120°，∴A ′B ′＝CD ，A ′B ′∥CD ，∴四边形A ′B ′CD 是平行四边形，∴A ′D ＝B ′C ，∴A 'C +B 'C 的最小值＝A ′C +A ′D 的最小值，∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADE＝60°，DH＝EH=12AD=12，∴DE＝1，∴DE＝CD，∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠E＝∠DCE＝30°，∴CE＝2×√32CD=√3．故答案为：√3．23．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝∠C＝∠B＝90°，AB＝DC，由翻折知，△AED≌△A'ED，△A'BE≌△A'B'E，∠A'B'E＝∠B＝∠A'B'D＝90°，∴∠AED＝∠A'ED，∠A'EB＝∠A'EB'，BE＝B'E，∴∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB=13×180°＝60°，∴∠ADE＝90°﹣∠AED＝30°，∠A'DE＝90°﹣∠A'EB'＝30°，∴∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DC＝30°，又∵∠C＝∠A'B'D＝90°，DA'＝DA'，∴△DB'A'≌△DCA'（AAS），∴DC＝DB'，在Rt△AED中，∠ADE＝30°，AD＝2，∴AE =3=2√33， 设AB ＝DC ＝x ，则BE ＝B 'E ＝x −2√33∵AE 2+AD 2＝DE 2， ∴（2√33）2+22＝（x +x −2√33）2， 解得，x 1=−√33（负值舍去），x 2=√3，故答案为：√3．24．【解答】解：∵点P （4，2），∴点P 到直线x ＝1的距离为4﹣1＝3，∴点P 关于直线x ＝1的对称点P ′到直线x ＝1的距离为3，∴点P ′的横坐标为1﹣3＝﹣2，∴对称点P ′的坐标为（﹣2，2）．故答案为：（﹣2，2）．25．【解答】解：设BF ＝x ，则FG ＝x ，CF ＝4﹣x ．在Rt △ADE 中，利用勾股定理可得AE =2√5．根据折叠的性质可知AG ＝AB ＝4，所以GE =2√5−4．在Rt △GEF 中，利用勾股定理可得EF 2＝（2√5−4）2+x 2，在Rt △FCE 中，利用勾股定理可得EF 2＝（4﹣x ）2+22， 所以（2√5−4）2+x 2＝（4﹣x ）2+22，解得x =2√5−2．则FC ＝4﹣x ＝6−2√5．故答案为6−2√5．26．【解答】解：如图，连接EC ， ∵四边形ABCD 为矩形，∴∠A ＝∠D ＝90°，BC ＝AD ＝12，DC ＝AB ＝3√6，∵E 为AD 中点，∴AE ＝DE =12AD ＝6由翻折知，△AEF ≌△GEF ，∴AE ＝GE ＝6，∠AEF ＝∠GEF ，∠EGF ＝∠EAF ＝90°＝∠D ，∴GE ＝DE ，∴EC 平分∠DCG ，∴∠DCE ＝∠GCE ，∵∠GEC ＝90°﹣∠GCE ，∠DEC ＝90°﹣∠DCE ，∴∠GEC ＝∠DEC ，∴∠FEC ＝∠FEG +∠GEC =12×180°＝90°， ∴∠FEC ＝∠D ＝90°，又∵∠DCE ＝∠GCE ，∴△FEC ∽△EDC ，∴FE DE =EC DC ，∵EC =√DE 2+DC 2=√62+(3√6)2=3√10，∴FE 6=√103√6， ∴FE ＝2√15，故答案为：2√15．二．解答题（共10小题）27．【解答】解：不公平，理由如下：根据题意，画树状图如图：由树状图可知，共有9种等可能出现的情况，其中得到轴对称图案的情况有5种，分别为（A 、D ）、（A 、F ）、（B 、E ）、（C 、D ）、（C 、F ）．∴P （小红涂）=59．P （弟弟涂）=49．∵59＞49． ∴小红设计的游戏对弟弟不公平．28．【解答】解：（1）如图，△A 1B 1C 1为所作，C 1（﹣1，2）；（2）如图，△A 2B 2C 2为所作，∵C （3，2），C 2（﹣2，﹣3），△A 2B 2C 2与△ABC 关于直线l 对称，∴直线l 垂直平分直线CC 2，∴直线l 的函数解析式为y ＝﹣x ．29．【解答】解：（1）如图所示：（2）依题意有11+m =1−m m ，解得m 1=−1+√52，m 2=−1−√52（负值舍去）， 经检验，m 1=−1+√52是原方程的解． 故m 的值是−1+√52； （3）∵77+2≠34， ∴直角三角形的斜边与直角梯形的斜腰不在一条直线上， 故重新拼成的图形的面积会增加．30．【解答】解：（1）四边形ABCD 是菱形；理由如下：∵△ABC 沿着AC 边翻折，得到△ADC ，∴AB ＝AD ，BC ＝CD ，∠BAC ＝∠DAC ，∠BCA ＝∠DCA ， ∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠DAC ，∴∠BAC ＝∠DAC ＝∠BCA ＝∠DCA ，∴AD ∥BC ，AB ＝AD ＝BC ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形；（2）连接BD 交AC 于O ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC =12AC ＝8，OB ＝OD ，∴OB =√BC 2−OC 2=√102−82=6，∴BD ＝2OB ＝12，∴四边形ABCD 的面积=12AC ×BD =12×16×12＝96．31．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠BCD ，由折叠可得，∠A＝∠ECG，∴∠BCD＝∠ECG，∴∠BCD﹣∠ECF＝∠ECG﹣∠ECF，∴∠ECB＝∠FCG；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B，AD＝BC，由折叠可得，∠D＝∠G，AD＝CG，∴∠B＝∠G，BC＝CG，又∵∠ECB＝∠FCG，∴△EBC≌△FGC（ASA）．32．【解答】解：（1）连接AC′，∵四边形ABCD平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，由折叠知，BC'＝BC，∠C'BD＝∠CBD，∴AD＝BC'，∠ADB＝∠C'BD，∴BE＝DE，∴AE＝C'E，∴∠DAC'=12（180°﹣∠AEC'）＝90°−12∠AEC'，同理：∠ADB＝90°−12∠BED，∵∠AEC'＝∠BED，∴∠DAC'＝∠ADB，∴AC'∥BD，故答案为：AC′∥BD；（2）EB与ED相等．由折叠可得，∠CBD＝∠C'BD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠EDB＝CBD，∴BE＝DE．33．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；（3）A1（2，3），A2（﹣2，﹣1）．34．【解答】解：（1）如图①，直线m即为所求（2）如图②，直线n即为所求35．【解答】解：过点H作HN⊥BM于N，则∠HNC＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝BC，∠D＝∠DAB＝∠B＝∠DCB＝∠DCM＝90°，①∵将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，∴△ADE≌△AFE，∴∠D＝∠AFE＝∠AFG＝90°，AD＝AF，∠DAE＝∠F AE，∴AF＝AB，又∵AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴∠BAG＝∠F AG，∠AGB＝∠AGF，∴AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线；②由①知，∠DAE＝∠F AE，∠BAG＝∠F AG，又∵∠BAD＝90°，∴∠GAF+∠EAF=12×90°＝45°，即∠GAH＝45°，∵GH⊥AG，∴∠GHA＝90°﹣∠GAH＝45°，∴△AGH为等腰直角三角形，∴AG＝GH，∵∠AGB+∠BAG＝90°，∠AGB+∠HGN＝90°，∴∠BAG＝∠NGH，又∵∠B＝∠HNG＝90°，AG＝GH，∴△ABG≌△GNH（AAS），∴BG＝NH，AB＝GN，∴BC＝GN，∵BC﹣CG＝GN﹣CG，∴BG＝CN，∴CN＝HN，∵∠DCM＝90°，∴∠NCH＝∠NHC=12×90°＝45°，∴∠DCH＝∠DCM﹣∠NCH＝45°，∴∠DCH＝∠NCH，∴CH是∠DCN的平分线；③∵∠AGB+∠HGN＝90°，∠AGF+∠EGH＝90°，由①知，∠AGB＝∠AGF，∴∠HGN＝∠EGH，∴GH是∠EGM的平分线；综上所述，AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线，CH是∠DCN的平分线，GH 是∠EGM的平分线．36．【解答】（1）证明：由题意可得，△BCE≌△BFE，∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE，∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，∴∠FGE＝∠FEG，∴FG＝FE，∴FG＝EC，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE＝FE，∴四边形CEFG是菱形；（2）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，∴AF＝8，∴DF＝2，设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x，∵FDE＝90°，∴22+（6﹣x）2＝x2，解得，x=10 3，∴CE=10 3，∴四边形CEFG的面积是：CE•DF=103×2=203．。