逻辑运算

用逻辑代数定律证明等式
例：证明 A + C + D ( A + C )( A + B )( B + C ) = AC + ABD + BCD 成立
证： 左边 = AC + D ( AC + A B + BC )
L 反演
= AC + D[ AC(B + B + AB(C + C + BC( A + A ] L配项 ） ） ）
重叠律： 重叠律： 反演律： 反演律： 吸收律
A+A=A A+B=A· B
A ·A=A AB = A + B
A + A ⋅ B＝A
A + A ⋅ B＝A + B
A ⋅ ( A + B)＝A )
( A + B) ⋅ ( A + C) ＝A + BC
其它常用恒等式 AB＋AC＋BC＝AB + AC ＋ ＋ ＝ AB＋AC＋BCD＝AB + AC ＋ ＋ ＝
=AB+ AC +
配项法： 配项法： + A = 1 A
)
例2.1.7
已知逻辑函数表达式为
L = ABD + A B D + ABD + A B C D + A B CD
，
要求：（ ）最简的与-或逻辑函数表达式 并画出相应的逻辑图； 或逻辑函数表达式， 要求：（1）最简的与 或逻辑函数表达式，并画出相应的逻辑图； ：（ （2）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。 ）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。 解： L = AB( D + D ) + A B D + A B D( C + C )
=AB + A B D + A B D = AB + A B ( D + D )
= AB + A B
= AB + A B
A B &
&
AB
&
L
& &
)
= AB ⋅ A B
)
A⋅ B
例2.1.8 试对逻辑函数表达式
L = A B C + AB C
进行变换，仅用或非门画出该表达式的逻辑图。 进行变换，仅用或非门画出该表达式的逻辑图。 解：
= AC + D（AC + AB + BC） L 合并
= AC + ABD + BCD L 吸收
左边=右边，等式得证
2.1.3 逻辑函数的代数法化简
1、逻辑函数的最简与-或表达式 逻辑函数的最简与在若干个逻辑关系相同的与-或表达式中， 在若干个逻辑关系相同的与-或表达式中，将其中包含的与项数 最少，且每个与项中变量数最少的表达式称为最简与-或表达式。 最少，且每个与项中变量数最少的表达式称为最简与-或表达式。
此外, 还有与-或 非门 非门(AND-OR-INVERTER) 此外 还有与 或-非门
集成门电路举例
例：7400 (四2输入与非门) 引脚排列图
7420 ：双4输入与非门 , 7430 ：8输入与非门, 7404/ 4069 ：六反相器(六非门) ， 7402/4001 ：四2输入或非门，4002 ：二4输入或非门
L = A B C + AB C = A B C + A B C
= A+ B + C + A+ B + C
= A+ B+C + A+ B+C
A
≥1 ≥1
A+ B+ C
B
≥1 ≥1
≥ 1
A+ B+ C
≥1
L
C
逻辑函数的代数化简法举例
L 例1. 化简逻辑函数： = AB + A C + BC + AB CD
F = AB + C ⋅ D + AC 例: F = AE + ( A + B )C + A D +
F ′ = ( A + E ) ⋅ ( AB + C )( A + D)
a. ( F' )' = F b. 若 F = G，则 F ' = G' G， 注意： 注意：反演规则与对偶式的区别 变量是否取反
2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式 2.1.1
1、基本公式 A 0、1律： + 0 = A A 互补律： 互补律： + A = 1 交换律： 交换律： + B = B + A A A+1=1 A·1=A A·A=0 A·B=B·A A·0=0
结合律： 结合律：A + B + C = A + ( B + C ) A · B · C = A · ( B · C ) A 分配律： 分配律： ( B + C ) = AB + AC A + BC = ( A + B )( A + C )
L = AC + C D
“与-或” 表达式 与 “与非 与非”表达式 与非-与非 与非 与非” “或-与”表达式 或与 “或非－或非” 表达 或非－或非” 或非 式 “与-或-非”表达式 与
= A C ⋅C D
= ( A + C )( C + D )
= ( A + C ) + ( C+D )
= AC + C D
= A + BC + CB + BD + DB
下面有两种化简结果:
= A + BC + CB + BD + C D + DB = A + BC + CB + BD + DB + CD
= A + BC + C D + DB
= A + CB + BD + C D
代数化简法的优缺点
优点： 优点：不受变量数目的限制。 缺点：没有固定的步骤可循,需要熟练运用各种公式和定理； 缺点 化简较复杂的逻辑函数时需要一定技巧和经验； 有时很难判定化简结果是否最简。
2、基本公式的证明 、 例
(真值表证明法) 真值表证明法)
， AB =
证明 A + B = A⋅ B
A+ B
列出等式、 列出等式、右边的函数值的真值表
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A B 1 1 0 1 0 1 A+B 0+0=1 0+1=0 1+0=0 1+1=0
A⋅ B AB
1 0 0 0 0·0 = 1 0·1 = 1 1·0 = 1 1·1 = 0
A+B 1 1 1 0
0 0
公式的证明方法： 公式的证明方法：(1)检验等式两边函数的真值表是 否一致; (2)用简单的公式证明略为复杂的公 式。
2.1.2 逻辑代数的基本规则
1. 代入规则 ： 在包含变量 逻辑等式中，如果用另一 在包含变量A逻辑等式中 逻辑等式中， 个函数式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。 个函数式代入式中所有 的位置，则等式仍然成立。这一规 的位置 则称为代入规则。 则称为代入规则。 例：B (A + C) = BA+BC， ， 用A + D代替A，得 代替 B [(A +D) +C ] = B(A +D) + BC = BA + BD + BC 代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围
解: L = AB + A C + BC = AB + ( A + B)C
= AB + AB C = AB + C
例2. 化简 L = AB + AC + BC + C B + BD + DB + ADE ( F + G ) 解: L = AB + AB + AC + BC + CB + BD + DB + ADE( F + G)
2 .逻辑代数与硬件描述语言基础 逻辑代数与硬件描述语言基础
2.1 2.2 逻辑代数 逻辑函数的卡诺图化简法
2.3 硬件描述语言 硬件描述语言Verilog HDL基础 基础
教学基本要求
1、熟悉逻辑代数常用基本定律、恒等式 熟悉逻辑代数常用基本定律、 和规则。 和规则。 掌握逻辑代数的变换和卡诺图化简法。 2、掌握逻辑代数的变换和卡诺图化简法。
2、逻辑函数的化简方法 、 化简的主要方法： 化简的主要方法： １．公式法（代数法） 公式法（代数法） ２．图解法（卡诺图法） 图解法（卡诺图法） 代数化简法： 代数化简法： 运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。 运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。 并项法: A+ A =1 并项法:
L = A B + CD + 0
的非函数
解：按照反演规则，得 按照反演规则，
L = (A + B) ⋅ (C + D ) ⋅ 1 = ( A + B )(C + D )
应用反演规则时要注意以下两点： 应用反演规则时要注意以下两点： （1）保持运算的先后顺序不变，必要时加括号 ）保持运算的先后顺序不变，必要时加括号; （2）变换中，多个变量上的公共非号保持不变。（思考： ）变换中，多个变量上的公共非号保持不变。 思考： 为什么） 为什么） 例: F = AB + C ⋅ D + A C