测量的不确定度,测量误差
再谈测量误差和测量不确定度的主要区别
误 差 又与 无 限多 次 测量 的 平 均值 有 关 ， 因此 它 们 都
是理想化的概念。 实际上只能得到它们的估计值， 因 而误差的可操作性较差 。而不确定度则可 以根据实
验 、 料 、 验 等 信 息进 行 评 定 ， 而 是 可 以定量 操 资 经 从
差 ” 系统误 差 ” 和“ 的分 类 之 间不 存 在 简单 的对 应 关 系 。“ 随机 ” “ 统 ” 示 两 种 不 同 的 性 质 ， “ 和 系 表 而 Ａ 类 ” Ｂ类” 示 两种 不 同的 评定 方法 。 目前 ， 和“ 表 国际 上 一 致认 为 ， 为避 免 误 解 和混 淆 ， 再 使 用 “ 机 不 不 随 确 定度 ” 系统不 确定 度 ” 两 个术 语 （ 两个 术语 和“ 这 这 在 采用 不确定 度概 念 的初期 ， 曾被许 多人 经常 使用 ， 并 且至今 还有 不少 人 在不正 确地 使用 ） 在进行 测 量 。 不 确 定度评 定 时 ， 般 不 必 区分 各 不 确定 度 分 量 的 一 性 质 。若 必须 要 区分 时 ， 应表 述为 “ 也 由随机效 应 引 入 的不 确定度 分量 ” “ 或 由系统效 应 引入 的不 确定 分
作的。
１ ４ 根据 误 差的定 义 ， ． 误差 表示 两个 量 的差值 。当 测 量结 果大 于 真 值 时误 差 为 正值 ， 当测 量 结 果 小于
真 值时误 差为 负值 。因此误 差 既不应 当也 不可 能 以
“ 号 的形式 出现 。 ±” 而根 据规 定 ， 不确 定度 以分 散 区 间的半宽 度表 示 ， 且恒 为正值 ， 在不 确定 度之 前也 故 不 能冠 以“ 号 。即使 不确 定度 是 由方差 经开 方后 ±” 得到， 也仅 取 其正值 。 １ ５ 误差 和 不确 定度 的合成 方法 不 同 。 差是 一个 ． 误 确 定的量 值 ， 因此对 各个 误差 分 量进行 合成 时 ， 采用 代 数相加 的方 法 。 不确 定度 是 一个 区间 ， 而 因此 当对 应 于各个 不确 定度分 量 的输入 量 估计 值彼 此不 相关 时， 用方 和根法 进行 合 成 （ 称为 几何相 加 ） 否 则应 也 ， 考虑 加入 相关 项 。 １ ６ 已知系统 误差 的估 计值 时 ， 以对测 量结果 进 ． 可
测量误差与测量不确定度的联系
测量误差与测量不确定度的联系摘要：主要研究测量误差和测量不确定度的联系，分析了测量不确定度的提出和发展情况以及其科学意义，在此基础上，对测量误差和测量不确定度的联系进行了探讨。
关键词：测量误差；测量不确定度测量误差和测量不确定是测量专业经常涉及到的两个概念，二者之间有一定联系，但是也有一定区别，实际工作中发现，很多技术报告和学术研究都存在着把误差当做不确定度的情况，这是一种作为研究人员和测量专业从业人员不应该有的常识性错误。
深入探究测量误差和测量不确定度的联系，对提高测量精度控制误差有重要意义。
一、测量不确定度（一）提出与发展不确定度一词最早来自1927年德国物理学家海森堡于量子力学中提出的不确定度关系，也称作测不准关系。
1963年，美国标准局数理统计专家艾森哈特对仪器校准系统的研究中，首次提出测量不确定度的概念。
1970年，NBS测量保证方案的研究与推广工作对不确定度的定量表示方法进行了研究推广。
1977年，国际计量委员会要求国际计量局成立不确定度表示工作组，征求多个国家计量院和国际组织关于不确定度的意见之后，公布了一份测量不确定度建议书，即为INC-1（1980）《实验不确定度表述》，标志着测量不确定度表示方式逐渐统一。
1986年，CIPM和其他国际组织共同制定了《不确定度测量表示指导细则》，并与1995年进行了增补修订。
（二）内涵测量不确定度是经典误差理论的应用和发展，是现代误差理论的主要内容，也是测量结果质量评定重要参考指标，用于表示、定量评定测量结果变化的不肯定性和人们对测量认识不足的程度，不确定度越小，表示测量结果可用价值越高，可用价值越高，其测量水平也随之提升。
测量不确定度广泛用于贸易、生产、医疗、环保以及科学技术领域，计量标准的建立、检定规程的制定、实验室认可和质量认证都要求出具测量不确定度分析报告。
严格意义上讲，不出具不确定的此类昂数据是没有意义的数据，科技工作者和测量专业技术人员都应该深刻理解测量不确定的概念，理解不确定度争取的表示和评定方法，才能够更好的适应现代计量测试技术发展。
测量误差和测量不确定度
常用计量术语
测量误差的基本概念 测量不确定度的基本概念 测量误差 测量误差的合成 测量不确定度的评定
学习要求
理解常见的计量术语及定义 掌握测量不确定度和测量误差的概念
了解误差的合成和测量不确定度的计算和 评定方法
由于各种因素的影响，任何一种测量都不
可避免地存在误差。
二、测量
1、测量原理（measurement principle， principle of measurement） phenomenon serving as a basis of a measurement 用作测量基础的现象。 例1：用于温度测量的热点效应。 例2：用于物质的量浓度测量的能量吸收 现象可以是物理、化学、生物性质的。
2、测量方法（measurement method，method of measurement） 定义：generic description of a logical organization of operations used in a measurement 在测量中使用的操作的一种逻辑组织的一般描述。 测量方法可以用如下的方式证明合格： — 替代的测量方法； — 差动的或零值的测量方法； — 直接或间接测量方法。
2、量的真值（true quantity value、true value of a quantity） 定义：quantity value consistent with the definition of a quantity，即：与量的定义一致的量值。 以误差的方式来描述测量，量的真值可以认为是独一无 二的，实际上也是不可知的。 以不确定度的方式来认识测量，由于一个量的定义的细 节的固有不完整性，存在着不是一个而是一组与定义一 致的真值。但这组真值无论从原理上还是实际上，也是 不可知的。 对于基本常数来说，可以认为只有单个真值。 当与被测量有关的定义不确定度与 测量不确定度的其他 分量相比可以忽略时，被测量可以认为有一个本质上独 一无二的真值。这是被GUM及有关文件采用的方法，这 里的“真”被认为是重复。
测量误差和不确定度
，、测量误差和不确定度物理实验离不开测量。
测量操作是一种比较过程，就是把被测量和体现计量单位的标准量进行比较，从而确定被测量的值。
我国法定的计量单位是以国际单位制（SI）为基础制定的。
在国际单位制（SI）中有7个独立定义的基本单位。
（1）长度单位：米（m）o l m是1/299,792,458s时间间隔内光在真空中行程的长度。
（2）质量单位：千克（kg）°1kg等于国际千克原器的质量。
（3）时间单位：秒（s）o1s是133Cs （铯）原子基态的两个超精细能级间跃迁的辐射周期的9,192,631,770倍的持续时间。
（4）电流强度单位：安培（A）。
在真空中相距lm的两根无限长而截面积可忽略的平2X 10-7行直导线内通过一恒定电流，若这恒定电流使两条导线之间每米长度上产生的力为•，这个恒定电流的电流强度为1A。
/（5）热力学温度单位：开尔文（K）°1K是水三相点热力学温度的1/273.16。
（6）物质的量单位：摩尔（mol）o1mo 1是一系统的物质的量，该系统中所包含的基本单元数与0.012 kgC - 12的原子数目相等。
（7）发光强度单位：坎德拉（cd）°1cd是一光源在给定方向的发光强度，该光源发出频率为540X1012H Z的单色辐射，且在此方向上辐射强度为1 / 6 8 3 W每球面度。
这7个基本单位所对应的物理量称做基本量，由基本量导出的单位称做导出单位，其对应物理量是导出量。
有些导出单位还有专门名称和特有符号，如赫兹（Hz）、牛顿（N）、帕斯卡（Pa）、伏特（V）、焦耳（J）、瓦特（W）、库仑（C）、法拉（F）、欧姆（Q）、亨利（H）、韦伯（Wb）、特斯拉（T）等。
除了基本单位和导出单位还有两个辅助单位：平面角以弧度为单位（rad），立体角以球面度为单位（sr）。
在测量过程中，由于测量仪器精度、实验条件局限和各种因素的影响，测量结果总是与实际待测量有一定差异，即存在测量误差。
测量误差及不确定度
测量不确定度的主要来源 （1）
（1）被测量定义的不完善。 （2）实现被测量定义方法的不理想。 （3）测量样本不能完全代表定义的被测量。 （4）对测量过程受环境影响的认识不充分，或测量环境 条件不完善。 （5）对模拟的主要来源 （2）
（6）测量仪器的分辨力不够。 （7）计量标准和标准物质的赋值不准确。 （8）引用数据或其它参数的不确定度。 8 （9）测量方法和测量过程引入的近似值及假设。 （10）在相同条件下，重复观测的随机变化。 （11）系统误差修正不完善。
u ( y) = 4 ui ( y) ∑ v i
4 c
自由度的意义
自由度反映了标准不确定度的可靠程度，即不确 定度的不确定度。自由度越大，不确定度的可靠 程度越高。 注意：（1）不要认为把不确定度的可能值估计大 了就可以提高可靠性从而提高自由度。 （2）不确定度估大或估小都会降低自由度， 只有估准才能提高自由度。
B类评定的信息来源
(1)以前的观测数据。 (2)对有关技术资料和测量仪器特性的了解和检验。 (3)生产部门提供的技术说明文件。 (4)校准证书、检定证书或其他文件提供的数据，准确 度的等级，极限误差。 (5)某些资料给出的参考数据及其不确定度。 (6)实验方法标准给出的重复性限r或复现性限R。
B类评定方法(1)
pi u ( xi ) 相对合成方差为uc(y)/y= ∑ x 1 i
n 2
xipi ∏
输入量相关时的合成
当被测量与实测分量相关，且相关系数r(xi,xj)=1时
∂f 合成标准不确定度为 uc(y)= ∑ ( )u( xi ) 1 ∂xi
n
即代数和
输入量部分相关的合成，可以向相关或不相关 不相关两极 不相关 简化，从而进行合成计算。
浅议对“测量误差和测量不确定度”的理解和应用
量值求得平均值的标准 Ｏ ＝００ ４ ．１ｍｍ， 则直径Ｄ的测藿标准不确定度ｕ ＝
ｏ ＝ ００ ４ ．１ｍｍ。又 因 Ｓ Ｄ ＝ ７Ｄ ２所 以 ／ ｒ ／ ，
Ｕ ：Ｉ ｏｕ ＝Ｏ０ ２ｍ ｔ ｓ ｌ ／ 。 ． ｍ ２
自由度 Ｖ， ２ ＝ －１＝ ｌ （） 卡尺的示 值误差 引起的标 准不确 定分量ｕ 有仪 器说 明书获得 游标 ２游标 ２ 卡尺的 示值误差 范围 士０ ０ｍｍ。 均匀分 布 ， ，２ 取 计算得 游标 卡尺 标准 不确定 度
＝
＝
０． ９ １ １ ２ ０１ １ １ １１
取相对标准差 ｏＵ ｕ ＝３％， ，／ ， ５ 对应其 自由度 Ｖ， １［ ０ ３ ） ＝ ／２×（．５ 】＝
４
３３ 不确 定度合成 ． 因不确 定度 分量 ｕ， ． 互独立 ， 、ｕ 相 面积 测量 的合成 标 准不确 定度 Ｕ ： ，Ｕ ＋ ， （． ｕ ）＝ 『（．２） （．１） ［ ０ ２ ＋ ００９ ０ 】＝００ ９ ．２ｍｍ 自由度 ｖ＝ １ ９ ．４ ３４ 不确 定度报 告 ．
应用 技术
Ｉ ＊ ． ■
Ｃａ ｉｅｄｃｌ ｖ ｈ ｅ ｈｏＲｉ ｉｓｎａＴｎｇｅｗ ｎｃｃｎｅｏｙ ｅ
பைடு நூலகம்
浅议 对 “ 测量 误 差和 测 量 不确 定 度 ＂ 的理 解 和 应 用
冯 群
（ 西省产 品质量 监督检验 所 陕 陕西 西安 ７ ０５） １０ ４ ［ 摘 要］ 何 正确理 解不 确定度 与误 差这 两个概 念 ， 如 并能 在技 术工作 中正确运 用， 实验室 技术 人员 亟需要 解决 的问题 。 是 【 关键谰 】 测量误 差 测量 不确 定度 理解 应用 中图 分类号 ： ＴＵ９４ １５ ８ ． １ 文献标识 码 ： Ａ 文章编号 ：Ｏ９ ９ ４ ２１）４ ０ ９－ １ ｌ０— １Ｘ（Ｏ ２ｏ— ２０ ０
测量不确定度与测量误差的区别
测量不确定度与测量误差的区别
1定义：测量误差表明测量结果偏离真值，是一个差值
测量不确定度表明测量之值的分散性，是一个区间。
用标准偏差、标准偏差的倍数、或说明了置信水平的区间半宽度来表示。
2分类：测量误差按出现于测量结果中的规律，分为随机误差和系统误差两类，它们都是无限多次测量的理想概念
测量不确定度按是否用统计方法求得，分为A类评定和B类评定两种评定方法。
它
们都以标准不确定度表示
3可操作性：测量误差由于真值末知，往往不能得到测量误差的值。
当用约定真值代替真值时，可以得到测量误差的估计值。
测量不确定度可以由人们根据实验、资料、经验等信息进行评定，从而可以定量
确定测量不确定度的值。
4数值符号：测量误差:非正即负，不能用正负号表示。
测量不确定度:是一个无符号的参数，当由方差求得时，取其正平方根。
5合成方法：测量误差：各误差分量的代数和。
测量不确定度：当各分量彼此独立时用方和根法进行合成，否则应考虑加入相
关项。
6结果修正：测量误差：已知系统误差的估计值时，可以对测量结果进行修正，得到已修正的测量结果。
测量不确定度：不能用测量不确定度以测量结果进行修正。
对已修正测量结果
进行不确定度评定时，应考虑修正不完善引入的不确定度分量。
7结果说明：测量误差：客观存在的，不以人的认识程度而转移。
误差属于给定的测量结果，相同测量结果具有相同的误差，而与得到该测量结果的测量仪器和测量方法无
关。
测量不确定度：与人们对被测量、影响量、以及测量过程的认识有关。
合理赋予
被测量的任一个值，均具有相同的测量不确定度。
计量学基础教学：第3讲_第3章_测量误差和测量不确定度
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三、测量不确定度与测量误差
不确定度为无符号的参数，恒取正值。当 用方差求取时，取其正平方根。
误差为带有正号或负号的量值，不能用 （±）号表示。
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计量学基础
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三、测量不确定度与测量误差
测量不确定度的大小决定了测量结果的使用 价值，值越小，使用价值越高。 误差主要是用于对误差源的分析方面，用以 对测量结果的修正。
1970年以来，美国NBS推广MAP( 计量保证方案)；
1978年，BIPM(国际计量局)书面征询各国意见后，起 草了一份 INC-1980建议：实验不确定度表示。1981年 10月CIPM(国际计量委员会)发文(CI-1981建议) 批准 了INC-1980建议。
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计量学基础
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计量学基础
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(二)系统误差的发现
1 系统误差与测量次数无关，因此不 能采用增加测量次数的方法使其消除或减 小。
2 许多系统误差可通过实验确定（或根 据实验方法、手段的特性估算出来）并加 以修正。 3 对某些系统误差的认识不足或没有 相应的手段予以充分确定，而不能修正， 此时通常可估计未消除系统误差的界限。
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三、测量不确定度与测量误差
真值按其本性不是确定的，往往无法得到测 量误差的值，所以实际用的是约定真值。当用 约定真值代替真值时，可以得到测量误差的估 计值。
测量不确定度可以由人们根据实验、资料、 经验等信息进行评定，从而可以定量确定测量 不确定度的值。
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计量学基础
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什么叫测量的不确定度？什么叫测量误差？测量不确定度和误差是计量学中研究的基本命题，也是计量测试人员经常运用的重要概念之一。
它直接关系着测量结果的可靠程度和量值传递的准确一致。
然而很多人由于概念不清，很容易将二者混淆或误用，本文结合学习《测量不确定度评定与表示》的体会，着重谈谈二者之间的不同之处。
首先要明确的是测量不确定度与误差二者之间概念上的差异。
测量不确定度表征被测量的真值所处量值范围的评定。
它按某一置信概率给出真值可能落入的区间。
它可以是标准差或其倍数，或是说明了置信水准的区间的半宽。
它不是具体的真误差，它只是以参数形式定量表示了无法修正的那部分误差范围。
它来源于偶然效应和系统效应的不完善修正，是用于表征合理赋予的被测量值的分散性参数。
不确定度按其获得方法分为A、B两类评定分量。
A类评定分量是通过观测列统计分析作出的不确定度评定，B类评定分量是依据经验或其他信息进行估计，并假定存在近似的“标准偏差”所表征的不确定度分量。
误差多数情况下是指测量误差，它的传统定义是测量结果与被测量真值之差。
通常可分为两类：系统误差和偶然误差。
误差是客观存在的，它应该是一个确定的值，但由于在绝大多数情况下，真值是不知道的，所以真误差也无法准确知道。
我们只是在特定的条件下寻求最佳的真值近似值，并称之为约定真值。
通过对概念的理解，我们可以看出测量不确定度与测量误差的主要有以下几方面区别：一.评定目的的区别：测量不确定度为的是表明被测量值的分散性；测量误差为的是表明测量结果偏离真值的程度。
二.评定结果的区别：测量不确定度是无符号的参数，用标准差或标准差的倍数或置信区间的半宽表示，由人们根据实验、资料、经验等信息进行评定，可以通过A，B两类评定方法定量确定；测量误差为有正号或负号的量值，其值为测量结果减去被测量的真值，由于真值未知，往往不能准确得到，当用约定真值代替真值时，只可得到其估计值。
三.影响因素的区别：测量不确定度由人们经过分析和评定得到，因而与人们对被测量、影响量及测量过程的认识有关；测量误差是客观存在的，不受外界因素的影响，不以人的认识程度而改变；因此，在进行不确定度分析时，应充分考虑各种影响因素，并对不确定度的评定加以验证。
否则由于分析估计不足，可能在测量结果非常接近真值（即误差很小）的情况下评定得到的不确定度却较大，也可能在测量误差实际上较大的情况下，给出的不确定度却偏小。
四.按性质区分上的区别：测量不确定度分量评定时一般不必区分其性质，若需要区分时应表述为：“由随机效应引入的不确定度分量”和“由系统效应引入的不确定度分量”；测量误差按性质可分为随机误差和系统误差两类，按定义随机误差和系统误差都是无穷多次测量情况下的理想概念。
五.对测量结果xx的区别：“不确定度”一词本身隐含为一种可估计的值，它不是指具体的、确切的误差值，虽可估计，但却不能用以修正量值，只可在已修正测量结果的不确定度中考虑修正不完善而引入的不确定度；而系统误差的估计值如果已知则可以对测量结果进行修正，得到已修正的测量结果。
一个量值经修正后，可能会更靠近真值，但其不确定度不但不减小，有时反而会更大。
这主要还是因为我们不能确切的知道真值为多少，仅能对测量结果靠近或离开真值的程度进行估计而已。
虽然测量不确定度与误差有着以上种种不同，但它们仍存在着密切的联系。
不确定度的概念是误差理论的应用和拓展，而误差分析依然是测量不确定度评估的理论基础，在估计B类分量时，更是离不开误差分析。
例如测量仪器的特性可以用最大允许误差、示值误差等术语描述。
在技术规范、规程中规定的测量仪器允许误差的极限值，称为“最大允许误差”或“允许误差限”。
它是制造厂对某种型号仪器所规定的示值误差的允许范围，而不是某一台仪器实际存在的误差。
测量仪器的最大允许误差可在仪器说明书中查到，用数值表示时有正负号，通常用绝对误差、相对误差、引用误差或它们的组合形式表示。
例如土0.1PV，土1％等。
测量仪器的最大允许误差不是测量不确定度，但可以作为测量不确定度评定的依据。
测量结果中由测量仪器引入的不确定度可根据该仪器的最大允许误差按B类评定方法评定。
又如测量仪器的示值与对应输入量的约定真值之差，为测量仪器的示值误差。
对于实物量具，示值就是其标称值。
通常用高一等级测量标准所提供的或复现的量值，作为约定真值（常称校准值或标准值）。
在检定工作中，当测量标准给出的标准值的扩展不确定度为被检仪器最大允许误差的～时，且被检仪器的示值误差在规定的最大允许误差内，则可判为合格。
1．测量1.1什么是测量？测量告知我们关于某物的属性。
它可以告诉我们某物体有多重，或者有多热，或者有多长。
测量就赋予这种属性一个数。
测量总是用某种仪器来实现的。
尺子、秒表、称重称，以及温度计都是测量仪器。
测量结果通常有两部分组成：一个数和一个测量单位，例如"这有多长？……2米"。
1.2什么不是测量？有些过程看起来像是测量，然而并不是。
例如，两根绳子做比较，看那一根长些，这实际上就不是测量。
计数通常也不认为是测量。
检测（test）往往不是测量；检测通常要得出"是或非"的答案，或者"合格或不合格"的结果。
（但是，测量可以是检测的局部过程，逐而得出检测结果）。
2．测量不确定度2．1什么是测量不确定度？测量不确定度是对任何测量的结果存有怀疑。
你也许认为制作良好的尺子、钟表和温度计应该是可靠的，并应给出正确答案。
但对每一次测量，即使是最仔细的，总是会有怀疑的余量。
在日常说话中，这可以表述为"出入"，例如一根绳子可能2米长，由1cm的"出入"。
2．2测量不确定度的表述由于对任何测量总是存在怀疑的余量，所以我们需要回答"余量有多大？"和"怀疑有多差？"这样，为了给不确定度定量实际上需要有两个数。
一个是该余量（或称区间）的宽度；另一个是置信概率，说明我们对"真值"在该余量范围内有多大把握。
例如：我们可以说某棍子的长度测定为20厘米加或减1厘米，由95%的置信概率。
这结果可以写成：20cm±1cm，置信概率为95%。
这个表述是说我们对棍子长度在19厘米到12厘米时间由95%的把握。
还有其他一些表述置信概率的方式，对此将在下文第7节中再说。
2．3误差与不确定度的比较不要混淆术语"误差"和"不确定度"是很重要的。
误差：是某待测物的测得值与"真值"之间的差。
不确定度：是定量表示对测量结果的怀疑程度。
无论何时我们都可能试图去修正任何已知的误差，例如：通过从校准证书得到的xx值。
但是我们并不知道其值的任何误差都是不确定度的来源。
2．4为什么测量不确定度是重要的你也许对测量不确定度有兴趣仅仅是因为你希望要做质量好的测量，并要了解结果。
但是，还有其他一些更特殊的理由要考虑测量不确定度。
你也需要做测量作为下列工作的一部分：●校准--必须在证书上报告测量不确定度。
●检测--需要测量不确定度来确定合格与否。
●允差--在你能确定是否符合允差以前，你需要知道不确定度。
……或者你可能需要阅读或了解校准证书或者检测或测量的书面技术规范。
测量不确定度初学者指南关于数字集合的基本统计学（二）3．关于数字集合的基本统计学3．1 "测量再而三，只为一剪子"…操作误差工匠中间有一种说法，"测量再而三，只为一剪子"。
这意思是说，在着手工作以前通过两、三次核对测量，你就能减少工作中出错的风险。
事实上，任何测量至少进行三次是明智的做法。
若测量只进行一次，就意味着出错可能完完全被忽视了。
如果你做两次测量而两者并不一致，你仍然不会知道哪一个是"错"的。
但如果你做三次测量，切有两次彼此一致，而且第三个差很多，那么你就能怀疑这第三个测量结果。
所以，仅仅为了防止出大错，或叫操作误差，对任何测量至少进行三次就是明智的。
但是测量不确定度实际上并不是操作误差。
这是有对重复测量多次的其他重要理由。
3．2基本统计计算从你的测量重，通过取多次读数并进行某些基本统计计算，你就能增加你所得到的信息量。
有两项最主要的统计计算，就是要求的一组数值的平均值或算术平均值，以及它们的标准偏差。
3．3获得最佳估计值--取多次读数的平均值虽然重复测量给出不同结果，但你也许并没有做错什么。
这可能是由于进行的测量有自然变化。
（例如：若你在野外测量风速，常常不会有稳定的值。
）或者，也可能因为你的测量器具没有工作在完全稳定状态。
（例如：卷尺可能因拉紧情况不同而给出不同结果。
）如果在重复读数时读数有变化，那么最好多次读数并取平均值。
平均值给你的是"真值"的估计值。
平均值和算术平均值通常是在符号上方加一短杠来表示，例如？（#x短杠）就是x的平均值。
图以表示一组量值及其平均值图解说明。
例1则说明如何计算算术平均值。
图1"圆点图"说明一组实例值并标出了平均值3．4你应该对多少次读数求平均一般说来，你用的测量值越多，那么你得到的"真"值的估计值就越好。
理想的估计值应当无穷多数值集来求得平均值。
但增加读数要做额外的工作，而且会产?quot;缩小回报"的效果。
什么是合理的次数呢？10次是普遍选择的，因为这能是计算容易。
采取20次只比10次给出稍好的估计值，采用50次只比20次稍好。
根据经验通常取4至10次读数就够了。
3．5分散范围…标准偏差在重复测量给出了不同结果时，我们就要了解这些读数分散范围有多宽。
量值的分散范围告诉了我们关于测量不确定度的情况。
通过了解这种分散范围有多大，我们就能着手判断这次测量或者组测量的质量如何。
有时候我们知道了最大值和最小值之间的范围就够了。
但是对一组少量的值，这就不可能给出关于最大值和最小值之间读数分散性的有用信息。
例如，一个很大的分布范围可能会由于单次读数而与其他读数差很多。
对分散范围定量的常见形式是标准偏差。
一个数集的标准偏差告诉我们各个读数代表性的与该组读数平均值差多少。
根据"经验"，全部读数大概有三分之二会落在平均值的加、减（±）一倍标准偏差范围内。
大概有全部读数的95%会落在两倍标准偏差范围内。
虽然这种"尺度"决非普遍适用，但应用广泛。
对标准偏差的"真"值只能从一组非常大量（无穷多）的读数来求得。
从适度个数的量值能够求得的只是标准偏差的估计值。
3．6计算估计的标准偏差----------------------------------------------------------------------例2表明如何计算标准偏差的估计值例2计算一组数值的估计的标准偏差单用笔和纸来算标准偏差是不方便的，但下例可以手算。