实验1.1_测量误差与不确定度(20130325修订)
测量误差与不确定度评定
测量误差与不确定度评定一、测量误差1、测量误差和相对误差（1）、测量误差测量结果减去被测量的真值所得的差，称为测量误差，简称误差。
这个定义从 20 世纪 70 年代以来没有发生过变化，以公式可表示为：测量误差＝测量结果－真值。
测量结果是由测量所得到的赋予被测量的值，是客观存在的量的实验表现，仅是对测量所得被测量之值的近似或估计，显然它是人们认识的结果，不仅与量的本身有关，而且与测量程序、测量仪器、测量环境以及测量人员等有关。
真值是量的定义的完整体现，是与给定的特定量的定义完全一致的值，它是通过完善的或完美无缺的测量，才能获得的值。
所以，真值反映了人们力求接近的理想目标或客观真理，本质上是不能确定的，量子效应排除了唯一真值的存在，实际上用的是约定真值，须以测量不确定度来表征其所处的范围。
因而，作为测量结果与真值之差的测量误差，也是无法准确得到或确切获知的。
过去人们有时会误用误差一词，即通过误差分析给出的往往是被测量值不能确定的范围，而不是真正的误差值。
误差与测量结果有关，即不同的测量结果有不同的误差，合理赋予的被测量之值各有其误差并不存在一个共同的误差。
一个测量结果的误差，若不是正值（正误差）就是负值（负误差），它取决于这个结果是大于还是小于真值。
实际上，误差可表示为：误差＝测量结果－真值＝（测量结果－总体均值）＋（总体均值－真值）＝随机误差＋系统误差（2）、相对误差测量误差除以被测量的真值所得的商，称为相对误差。
2、随机误差和系统误差（1）、随机误差测量结果与重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差，称为随机误差。
随机误差＝测量结果－多次测量的算术平均值（总体均值）重复性条件是指在尽量相同的条件下，包括测量程序、人员、仪器、环境等，以及尽量短的时间间隔内完成重复测量任务。
此前，随机误差曾被定义为：在同一量的多次测量过程中，以不可预知方式变化的测量误差的分量。
随机误差的统计规律性：○1对称性：绝对值相等而符号相反的误差，出现的次数大致相等，也即测得值是以它们的算术平均值为中心而对称分布的。
电测(1.1B)
xk μ x
随机误差
《电子测量技术》
数学期望
1 测量误差与测量不确定度 绪论
残差
残差是指每次独立测量值与有 限次测量的算术平均值之差。
残差
υk x k x
算术平均值
特点：残差的和为零。
《电子测量技术》
1 测量误差与测量不确定度 绪论
（2）产生原因
主要由影响量的随机时空变化
引起。这些影响量微小而又互不相
V
《电子测量技术》
1 测量误差与测量不确定度 绪论
（3）系统误差的修正
与系统误差大小相等、符号相反 的量值称为修正值，用C表示 。 计算式
约定真值（实际值）
C x0 x
《电子测量技术》
1 测量误差与测量不确定度 绪论
（3）系统误差的修正
xc x C
将测量结果与修正值相加，可有限 补偿系统误差。
《电子测量技术》
1 测量误差与测量不确定度 绪论
格拉布斯准则
测量次数较少的 情况下也适用。
对于被测量的一系列重复测量值 xk (k=1，2，…，n)，若第 m 次测量值 xm
满足：
x m x G p ( n ) s( x k )
则判断xm为异常值。
《电子测量技术》
格拉布斯系数
1 测量误差与测量不确定度 绪论
《电子测量技术》
1 测量误差与测量不确定度 绪论
1.2.2 测量不确定度的来源
测量不确定度的来源是指对测量 产生影响，导致被测量之值分散性的 所有因素。
要使评定出的测量不确定度较准确，应 充分考虑测量不确定度的来源。因为一个来 源就会产生一个不确定度分量。
《电子测量技术》
1 测量误差与测量不确定度 绪论
测量误差和测量不确定度PPT学习教案
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第三章 测量误差和测量不确定度
在测量不确定度定义中“合理赋予”这个词很关键： ①由于测量不确定度是表示测量分散性的参数，
• 设法把测量的误差减至最少。
• 求出被测量的最佳值（最近真值）算平均值（x
）
• 估计最佳值的可靠程度（接近真值的程度）计
算测量列的标准误差,即A类不确定度。
uA SX
xi x n 1
• 计算反映系统误差的Ｂ类标准不确定度 • 计算合成标准不确定度
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第三章 测量误差和测量不确定度
xn44确定各输入量的估计值确定各输入量的估计值xixi以及对应于各输入量估计值的标准不以及对应于各输入量估计值的标准不确定度确定度uuxixi输入估计值的标准不确定度可分为输入估计值的标准不确定度可分为aa类评定和类评定和bb类评55确定对应于各输入量的标准不确定度分量确定对应于各输入量的标准不确定度分量uiyuiyuiyciuuiyciuxixi是灵敏度系数是灵敏度系数66列出不确定度分量汇总表列出不确定度分量汇总表第21页共49页第三章第三章测量误差和测量不确定度测量误差和测量不确定度77将各标准不确定度分量将各标准不确定度分量uiyuiy合成得到合成标准不确定度合成得到合成标准不确定度上式称为不确定度传播率上式称为不确定度传播率确定被测量确定被测量yy可能值分布的包含因子可能值分布的包含因子99确定扩展不确定度确定扩展不确定度1010给出测量不确定度报告给出测量不确定度报告1122第22页共49页第三章第三章测量误差和测量不确定度测量误差和测量不确定度一标准不确定度的a类评定一标准不确定度的a类评定对被测量x在重复性条件或复现性条件下进行对被测量x在重复性条件或复现性条件下进行nn次独立重复次独立重复测量测量值为测量测量值为xixiii1122
测量误差和不确定度
，、测量误差和不确定度物理实验离不开测量。
测量操作是一种比较过程，就是把被测量和体现计量单位的标准量进行比较，从而确定被测量的值。
我国法定的计量单位是以国际单位制（SI）为基础制定的。
在国际单位制（SI）中有7个独立定义的基本单位。
（1）长度单位：米（m）o l m是1/299,792,458s时间间隔内光在真空中行程的长度。
（2）质量单位：千克（kg）°1kg等于国际千克原器的质量。
（3）时间单位：秒（s）o1s是133Cs （铯）原子基态的两个超精细能级间跃迁的辐射周期的9,192,631,770倍的持续时间。
（4）电流强度单位：安培（A）。
在真空中相距lm的两根无限长而截面积可忽略的平2X 10-7行直导线内通过一恒定电流，若这恒定电流使两条导线之间每米长度上产生的力为•，这个恒定电流的电流强度为1A。
/（5）热力学温度单位：开尔文（K）°1K是水三相点热力学温度的1/273.16。
（6）物质的量单位：摩尔（mol）o1mo 1是一系统的物质的量，该系统中所包含的基本单元数与0.012 kgC - 12的原子数目相等。
（7）发光强度单位：坎德拉（cd）°1cd是一光源在给定方向的发光强度，该光源发出频率为540X1012H Z的单色辐射，且在此方向上辐射强度为1 / 6 8 3 W每球面度。
这7个基本单位所对应的物理量称做基本量，由基本量导出的单位称做导出单位，其对应物理量是导出量。
有些导出单位还有专门名称和特有符号，如赫兹（Hz）、牛顿（N）、帕斯卡（Pa）、伏特（V）、焦耳（J）、瓦特（W）、库仑（C）、法拉（F）、欧姆（Q）、亨利（H）、韦伯（Wb）、特斯拉（T）等。
除了基本单位和导出单位还有两个辅助单位：平面角以弧度为单位（rad），立体角以球面度为单位（sr）。
在测量过程中，由于测量仪器精度、实验条件局限和各种因素的影响，测量结果总是与实际待测量有一定差异，即存在测量误差。
实验测量误差与不确定度修订
预习操作记录实验报告总评成绩《大学物理实验(I)》课程实验报告学院： 专业： 年级：实验人姓名(学号)： 参加人姓名(学号)：日期： 年 月 日 星期 上午[ ] 下午[ ] 晚上[ ]室温： 相对湿度：实验1.1 测量误差与不确定度[实验前思考题]1．列举测量的几种类型？2．误差的分类方法有几种？3．简述直接测量量和间接测量量的平均值及其实验标准差的计算方法，以本实验中实验桌面积的测量为例加以说明。
4．测量仪器导致的不确定度如何确定？在假设自由度为无穷大的情况下，直接测量量的扩展不确定度如何计算？请写出计算步骤。
（若不够写，请自行加页）[ 实验目的 ]1．学习游标卡尺、螺旋测微计、读数显微镜、电子天平的使用方法。
2．学习长度、重量、密度等基本物理量的测量方法。
3．学习测量误差和不确定度的概念和计算方法。
[ 仪器用具 ] 编号 仪器名称 数量 主要参数(型号，测量范围，测量精度)1 游标卡尺 12 螺旋测微计 13 读数显微镜 14 钢尺 15 钢卷尺 16 电子密度天平 17 量杯 18 待测薄板 19 待测金属丝 1 10 待测金属杯 1[ 原理概述 ]1．机械式游标卡尺图1.1. 1 游标卡尺结构查阅教材和说明书，写出游标卡尺各部分的名称： A. C ．E ． G ．B. D ． F ． H ．图1.1. 2 游标卡尺读数假设游标卡尺的单位为cm ，箭头所指的刻线对齐，则读数为：cm ．2． 机械式螺旋测微计图1.1. 3 螺旋测微计结构查阅教材和说明书，写出螺旋测微计各部分的名称： A. C ． E ．G ． I ．B. D ． F ． H ．图1.1. 4 螺旋测微计读数假设螺旋测微计的单位为mm ，按左图，读数为：mm ．注意：（1）转动微分筒之前需逆时针扳动锁把，使微分筒可自由转动。
（2）为保证测量时测杆与被测物表面的接触力恒定，测杆上安装有棘轮装置，使用时应通过旋转棘轮使测杆与工件接触，直至棘轮发出“咔咔”的声音。
实验误差与不确定度
1 平均值 x = n
p(x)
∑
n
i =1
xi
标准偏差
Sx =
∑ (x i
i =1
n
− x)
2
n −1
0
x
x
8
随机误差的高斯分布（正态分布） 随机误差的高斯分布（正态分布）
1 f ( x; x , σ ) = e σ 2π
1
−
( x − x )2
2σ 2
0.8
σ 2＝0.2
0.6
2σ 2
Gaussian Distribution
The standard deviation 标准偏差） （标准偏差）
σ＝ lim
∑ (x
i =1
i
− x)
2
N →∞
N
The standard deviation of the mean 平均值的标准偏差） （平均值的标准偏差）
σx =
σ
N
=
∑ (x
确定度传递公式）
例2：ρ =
m （函数为积商形式） abc ln ρ = ln m − ln a − ln b − ln c（取对数） dρ dm da db dc = − − − （求全微分式） ρ m a b c ∆ρ ∆ ∆ ∆ ∆ = m + a + b + c （用方和根形式合成不确定度传递公式） ρ m a b c
(38 . 1 + 24 . 4 + 2 . 4 )× 10 − 6
=
64 . 9 × 10 − 6 = 0 . 00806 = 0 . 81 %
∆ ∴ ∆ V = V ⋅ V = 9 . 436 × 0 . 0081 = 0 . 08 ( cm 3 ) V ∴ V = ( 9 . 44 ± 0 . 08 ) cm 3
大学物理实验绪论误差和不确定度
若各个独立的直接量的标准偏差分别为
σ x1 ,σ x2 , ,σ xm 则间接量y的标准偏差为:
f f f 2 2 σy ( σ x1 ) ( σ x2 ) ( σ xm ) 2 x 1 x 2 x m
1 f f f 2 2 E ( σ x1 ) ( σ x2 ) ( σ xm ) 2 y y x 1 x 2 x m σy
2. 误差的分类
根据误差产生的原因和性质，误差可分为 系统误差和偶然误差。
4
（1）系统误差 系统误差定义：在同一条件下，多次测量同一 物理量时，误差的大小和符号始终保持不变，或 在条件改变时，误差的大小和符号按一定规律变 化，这类误差叫系统误差。 系统误差的特征：确定性。
ห้องสมุดไป่ตู้
系统误差的来源：
由于测量仪器不完善、精度不够高或安装调试 不当对实验的影响。有时也称仪器误差。 例如：刻度不准、零点不对、应该水平放 置的仪器没有放水平等。
2
2 [u( y )]
28
2
表示真值处于
x σ x 区间内的概率为68.3%。
15
5. 测量结果的表示 设测量列的算数平均值及其总的标准偏差分别 为
x 和 x
，则测量结果可以表示为： (有单位)
（或 x ） x x x
E
x（或 x ）
x
100 %
(无单位)
16
二、直接测得量的误差估算
(一) 单次测量的误差估算应根据测得量的实际情况 和仪器误差进行。
6
系统误差的消除： 消除产生的原因。对测量过程及测量装置进行分 析和研究，找出可能产生系统误差的原因，并采 取相应措施使系统误差减小和消除。
第二章 测量误差与不确定度基础及测量数据处理.
m
2
xk M X
k 1
m
2
nk 当n n
2
1 n xk M X 当n n k 1
方差的物理意义 标准偏差（标准差、均方差）：方差的算术平方根
（2）测量值为连续值时的数学期望和方差
测量值在其取值区间内连续的时候，取值有无穷多个， 某一个取值出现的可能性（概率）趋于0，此时只能用概率 密度的概念来对测量值进行分析。 概率密度表达式： p x X x x x lim x 0 x
以1/n取代nk/n，上式可写成：
1 n M X xk n n k 1
测量值的数学期望反映了测量值的平均情况，并不能 体现测量值的离散程度。测量值的离散程度通常用测量值 的方差D（X）来表示。
D X 2 X xk M X pk
1
e
X M X 2 2 2 X
（2）矩形分布 矩形分布又称均匀分布。 （3）三角形分布
2、随机误差影响下测量值的数学期望和方差
随机误差的影响，使测量值在一定范围内上下波动， 测量值是一个随机变量。测量值的取值可能是连续的，也 可能是离散的。
（1）测量值为离散值时的数学期望和方差 假设测量值X的可能取值个数为m，对其进行n次测量， 测量值X的数学期望表示为：
uo的绝对误差uo uo 1 6000m V 3% 180m V uo 180m V uo uo 电压增益的绝对误差 A A A0 150 ui ui ui 1.2m V A A u o 电压增益A的相对误差＝ ＝ ui A0 A u o u o ＝ ＝ 1＝ 3％ ui uo
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预习操作记录实验报告总评成绩
《大学物理实验(I)》课程实验报告
学院： 专业： 年级：
实验人姓名(学号)： 参加人姓名(学号)：
日期： 年 月 日 星期 上午[ ] 下午[ ] 晚上[ ]
室温： 相对湿度：
实验1.1 测量误差与不确定度
[实验前思考题]
1．列举测量的几种类型？
2．误差的分类方法有几种？
3．简述直接测量量和间接测量量的平均值及其实验标准差的计算方法，以本实验中实验桌面积的测量为例加以说明。
4．测量仪器导致的不确定度如何确定？在假设自由度为无穷大的情况下，直接测量量的扩展不确定度如何计算？请写出计算步骤。
（若不够写，请自行加页）
[ 实验目的 ]
1．学习游标卡尺、螺旋测微计、读数显微镜、电子天平的使用方法。
2．学习长度、重量、密度等基本物理量的测量方法。
3．学习测量误差和不确定度的概念和计算方法。
[ 仪器用具 ] 编号 仪器名称 数量 主要参数(型号，测量范围，测量精度)
1 游标卡尺 1
2 螺旋测微计 1
3 读数显微镜 1
4 钢尺 1
5 钢卷尺 1
6 电子密度天平 1
7 量杯 1
8 待测薄板 1
9 待测金属丝 1 10 待测金属杯 1
[ 原理概述 ]
1．机械式游标卡尺
图1.1. 1 游标卡尺结构
查阅教材和说明书，写出游标卡尺各部分的名称： A. C ．
E ． G ．
B. D ． F ． H ．
图1.1. 2 游标卡尺读数
假设游标卡尺的单位为cm ，箭头所指的刻线对齐，则读数为：
cm ．
2． 机械式螺旋测微计
图1.1. 3 螺旋测微计结构
查阅教材和说明书，写出螺旋测微计各部分的名称： A. C ． E ．
G ． I ．
B. D ． F ． H ．
图1.1. 4 螺旋测微计读数
假设螺旋测微计的单位为mm ，按左图，读数为：
mm ．
注意：（1）转动微分筒之前需逆时针扳动锁把，使微分筒可自由转动。
（2）为保证测量时测杆与被测物表面的接触力恒定，测杆上安装有棘轮装置，使用时应通过旋转棘轮使测杆与工件接触，直至棘轮发出“咔咔”的声音。
这点对测量橡胶等较软的物体特别重要，同时还可起到保护螺纹的作用。
（3）使用螺旋测微计之前需校准零刻度。
（4）使用完毕，需使对杆和测杆离开一段距离，避免存放过程中因热胀冷缩损坏螺纹。
3．读数显微镜测量原理
图1.1. 5 读数显微镜结构
查阅教材和说明书，写出读数显微镜各部分的名称：
A. C ． E ． G ． I ．
K ．
B. D ． F ． H ． J ． L ．
注意：为了消除螺纹间隙引起的测量误差（俗称空转），测量时要使螺杆始终沿同一方向转动。
5. 密度天平安装方法
图1.1. 6 电子天平
A. 测试架(A1用于密度小于水的物体，A2用于密度大于水的物体)
B. C 型支架
C. 量杯
D. 搁台
E.电子天平主体
F. 水平调节螺钉
（1）调节天平的两只水平调节螺钉，将水平尺的气泡调节至中央。
（2）将C 型支架装在天平的秤盘芯上，用手轻轻旋转能灵活转动。
（3）将搁台放在工作面板上，搁台的限位柱卡在固定圈边上，水平转动使搁台不碰到C
型支架。
（4）将量杯放在搁台上， 根据需要选择A1或A2测试架并安装在C 型支架上，特别注
意测试架的限位柱需完全放置在C 型支架顶部的圆孔中。
（5）天平开机后需先进行“校准”、“清零”，然后再进行测量。
[ 实验内容及步骤]
1．选择合适的量具，测量金属或有机玻璃薄板的厚度。
要求测量误差小于0.5%。
2．选择合适的量具，测量金属丝的直径。
要求测量误差小于0.5%
3．选择合适的量具，测量实验桌桌面面积。
4．选择合适的量具，测量钢制毫米刻度尺的不均匀度。
要求测量至少10个刻度。
5．测量金属杯的密度并评估其不确定度。
1）方法一。
用游标卡尺和天平直接测量铜杯的体积和质量，计算密度及不确定度。
2）方法二—排水法。
根据阿基米德原理用排水法测金属杯的密度。
3）方法三—直读法。
用密度天平直接测量金属杯的密度。
4）比较三种方法的测量结果。
问题：请写出实验内容5的实验步骤：
*数字式读数显微镜可清零，故可直接测出两刻度线之间的距离l i；如果采用机械式读数显微镜，则需测出连续11个刻度线的位置a i，再计算出l i。
计算不均匀度：
5．测量金属杯的密度和不确定度（设自由度为无穷大）
（1） 方法一
铜杯质量m = 。
次数i 1 2 3 4 5 平均值实验标准差外径D/cm
内径d /cm
高度H/cm
深度h /cm
计算金属杯的密度及其不确定度：
（2）方法二（排水法）
在空气中测得金属杯的质量：m1＝在水中测得金属杯的质量：m2＝计算金属杯的密度和不确定度：
（3）方法三
被测金属杯的密度为：
被测金属杯的不确定度为：
（4）比较三种密度测量方法
[ 实验后思考题 ]
1．若机械式游标卡尺的测量精度为0.01mm，请问游标的刻度如何划分？
2．如何测量石蜡块的密度？石蜡块的形状不规则，且密度小于水的密度。