2020年高考数学模拟试卷 (8)-0722(含答案解析)

2020年高考数学模拟试卷 (8)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−1,0，1}，B={0,1，2}，则A∪B=()A. {0,1}B. {0,1，2}C. {−1,0，1，2}D. {−1,0，0，l，1，2}2.已知i为虚数单位，则1i+i3=()A. 0B. 1−iC. 2iD. −2i3.设向量a⃗=(x,x+1)，b⃗ =(1,2)，且a⃗⊥b⃗ ，则x=()A. 1B. −23C. 23D. −14.已知双曲线C：x2a2−y23=1的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程是()A. y=±√33x B. y=±13x C. y=±√3x D. y=±3x5.已知{a n}为公比q>1的等比数列，若a2005,a2006是方程4x2−8x+3=0的两根，则a2007+a2008的值是()A. 18B. 19C. 20D. 216.已知sinα=35，且α∈(0,π2)，则sin 2α=()A. −2425B. −1625C. 1225D. 24257.设实数x，y满足约束条件{3x+y≥5x−4y≥−7x≤2，则z=x+4y的最大值为()A. −2B. 9C. 11D. 4148.已知各项均为正数且递减的等比数列{a n}满足a3，32a4，2a5成等差数列，前5项和S5=31，则a5=()A. 14B. 1C. 2D. 49.如图，向正方形中随机撒一把豆子，经统计，落在正方形中的豆子总数为N，其中m粒豆子落在白色四角星型区域内，以此估计圆周率π为()A. 4N−4mNB. 2N−2mNC. 2mND. 4mN10.设a=0.512,b=0.914,c=log50.3，则a,b,c的大小关系是()．A. a>c>bB. c>a>bC. a>b>cD. b>a>c11.函数f(x)=sinxln(x+2)的图象大致是()A. B.C. D.12.若函数f(x)=(x+1)e x，则下列命题正确的是()A. 对任意m<−1e2 ，都存在x∈R，使得f(x)<mB. 对任意m>−1e2 ，都存在x∈R，使得f(x)<mC. 对任意x∈R，都存在m<−1e2 ，使得f(x)<mD. 对任意x∈R，都存在m>−1e2 ，使得f(x)<m二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知抛物线x2=2ay的准线方程为y=−2，则实数a的值为_______14.一组样本数据的茎叶图如图所示：则这组数据的平均数等于______ ．15.在△ABC中，若√3a=2bsinA，则角B等于______．16.一个四棱柱的各个顶点都在一个直径为2cm的球面上，如果该四棱柱的底面是对角线长为√2cm的正方形，侧棱与底面垂直，则该四棱柱的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.等差数列{a n}的前n项和为S n，a1+a3=10，S4=24．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令T n=1S1+1S2+⋯1S n，求T n．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AB=1，G是PD的中点，E是AB的中点(1)求证：GA⊥面PCD；(2)求证：GA//面PCE；(3)求点G到面PCE的距离．19.为了调查某高中学生每天的睡眠时间，现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查，结果如下：女生：睡眠时间(小时)[4,5)[5,6)[6,7)[7,8)[8,9]人数24842男生：睡眠时间(小时)[4,5)[5,6)[6,7)[7,8)[8,9]人数15653(1)现把睡眠时间不足5小时的定义为“严重睡眠不足”，从睡眠时间不足6小时的女生中随机抽取2人，求此2人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率；(K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d)20.已知椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，圆C的方程为(x−2)2+(y−1)2=203，若椭圆E与圆C相交于A，B两点，且线段AB恰好为圆C的直径．(1)求直线AB的方程；(2)求椭圆E的标准方程．21.设函数f(x)=(1−x2)e x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax+1，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x2+y2−2y=0，倾斜角为π的直线l过点M(−2,0)，以原6点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．(1)求C1和C2交点的直角坐标；(2)若直线l与C1交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．23.已知函数f(x)=|x−1|+|2x+4|．(1)求不等式f(x)≥5的解集；(2)若m>1，n>1，求证：f(mn)−|2mn+4|>|n−m|．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键． 由A 与B ，求出两集合的并集即可． 【解答】解：∵A ={−1,0，1}，B ={0,1，2}， ∴A ∪B ={−1,0，1，2}， 故选C . 2.答案：D解析：【分析】把1i 分子分母同乘(−i)，i 3=−i ，问题可求，本题考查了复数代数形式的混合运算，熟记i 2=−1，属基础题． 【解答】解：1i +i 3=−ii(−i)−i =−2i ． 故选D ． 3.答案：B解析：【分析】本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0，然后利用向量的数量积公式，属于基础题． 利用已知条件a ⃗ ⊥b ⃗ ，由向量垂直的充要条件列出方程a ⃗ ⋅b ⃗ =0，即x +2(x +1)=0，求出x 的值． 【解答】解：因为a ⃗ =(x,x +1)，b ⃗ =(1,2)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，所以a ⃗ ⋅b ⃗ =0， 即x +2(x +1)=0， 解得x =−23 ．故选B ． 4.答案：C解析：解：双曲线C ：x 2a 2−y 23=1的离心率为2，可得√a 2+3a=2，解得a =1，双曲线的焦点在x 轴上，双曲线的方程为x 2−y 23=1，可得双曲线的渐近线方程为y =±√3x ，故选：C ． 由题意双曲线C ：x 2a 2−y 23=1的离心率为2，可得a ，再由渐近线方程可得所求．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.答案：A解析：【分析】本题主要考查了等比数列的应用．【解答】解：由条件可知，方程4x2−8x+3=0的两根为12,3 2，又q>1，所以a2005=12,a2006=32,q=3，所以a2007+a2008=(a2005+a2006)q2=18．故选A．6.答案：D解析：解：∵sinα=35，且a∈(0,π2)，∴cosα=√1−sin2α=45，∴sin2α=2sinαcosα=2×35×45=2425．故选：D．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而利用二倍角的正弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．7.答案：C解析：【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合即可求解．本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，是中档题．【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图，化目标函数z=x+4y为y=−x4+z4，联立{x =2x −4y =−7，解得A(2,94)，由图可知，当直线z =x +4y 过点(2,94)时，z 取得最大值11． 故选C ． 8.答案：B解析：【分析】本题考查等比数列通项，等比数列求和，涉及等差数列性质，属于基础题． 由题意求出首项和公比，即可求解． 【解答】解：各项均为正数且递减的等比数列{a n }满足a 3，32a 4，2a 5成等差数列，前5项和S 5=31， 则{3a 4=a 3+2a 5S 5=31, 即{3a 1q 3=a 1q 2+2a 1q 4a 1(1−q 5)1−q=31, 又{a n }为各项均为正数且递减的等比数列，则0<q <1， 解得q =1(舍去)或q =12， 故a 1=16，所以a 5=16×(12)4=1．故选B ． 9.答案：A解析：【分析】本题主要考查几何概型的应用，根据几何概型的概率公式，进行估计是解决本题的关键，比较基础． 根据几何概型的概率公式，得到π×124=N−m N，即可得到结论．【解答】解：设圆弧的半径为1.则正方形的边长为2， 根据几何概型的概率公式可以得到π×124=N−m N，即π=4N−4m N，故选A .10.答案：D解析：【分析】本题考查了指数函数性质与对数运算，比较大小，属于基础题．【解答】解：a=0.512=0.2514,b=0.914>0.2514>0,c=log50.3<0，所以b>a>c．故选D．11.答案：D解析：【分析】本题考查给出函数的解析式判断函数的图像，属于基础题．解题时可以根据函数性质排除不满足条件的选项．【解答】解：定义域{x|x>−2,且x≠−1}，排除B，C，当x取1时，y为正，排除A．故选D．12.答案：B解析：【分析】本题考查命题的真假判断与应用、利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属中档题．对函数f(x)=(x+1)e x，求导数f′(x)，令f′(x)=0，求得x值，然后列表，根据导数符号即可判断极值点求得极值，即可得出正确答案．【解答】解：令f′(x)=(x+2)e x=0，得x=−2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(−∞,−2)−2(−2,+∞)y′−0+y↘极小值↗所以，当x=−2时，函数有极小值，且f(−2)=−1e2 ，如图．故对任意m>−1e2 ，都存在x∈R，使得f(x)<m．故选B．13.答案：4解析：【分析】本题主要考查抛物线的准线方程，属于基础题．【解答】解：抛物线x2=2ay的准线方程为y=−2，a2=2,a=4.故答案为4．14.答案：25解析：解：根据茎叶图得出数据：14，21，22，23，23，24，36，37．平均数=(14+21+22+23+23+24+36+37)÷8=25．故答案为：25．根据茎叶图得出数据，再运用求平均数公式即可求出这组数据的平均数．本题考查的是样本平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键，为简单题．15.答案：π3或2π3解析：【分析】本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，根据三角函数的值求角，属于中档题．由已知可得asinA =3，而由正弦定理可得asinA=bsinB，从而得到3=bsinB，由此求得sin B的值，进而可求B的值．【解答】解：在△ABC中，若√3a=2bsinA，即asinA =√3，再由正弦定理可得asinA =bsinB，∴√3= bsinB，sinB=√32．再由0<B<π可得B=π3或2π3，故答案为π3或2π3．16.答案：(2+4√2)cm2解析：解：设这个四棱柱的侧棱长为a，∵四棱柱的各个顶点都在一个直径为2cm的球面上，该四棱柱的底面是对角线长为√2cm的正方形，侧棱与底面垂直，∴该四棱柱的底面是边长为1cm的正方形，∴√12+12+a22=1，解得a=√2，∴该四棱柱的表面积S =2×12+4×1×√2=2+4√2(cm 2). 故答案为：(2+4√2)cm 2．设这个四棱柱的侧棱长为a ，推导出该四棱柱的底面是边长为1cm 的正方形，且√12+12+a 22=1，求出a =√2，由此能求出该四棱柱的表面积．本题考查四棱柱的表面积的求法，考查棱柱及其外接球的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.答案：解：(1)∵a 1+a 3=10，S 4=24，设等差数列{a n }的公差为d ， ∴{2a 1+2d =104a 1+4×32d =24，解得{a 1=3d =2, 则数列{a n }的通项公式a n =3+(n −1)×2=2n +1； (2)S n =n(a 1+a n )2=n(3+2n+1)2=n(n +2)，则1S n=1n(n+2)=12(1n −1n+2)，则T n =1S 1+1S 2+⋯+1S n=12(1−13+12−14+13−15+⋯+1n−1−1n+1+1n −1n+2)=12(1+12−1n+1−1n+2)=34−12(1n+1+1n+2)， 即T n =34−12(1n+1+1n+2).解析：本题主要考查等差数列的通项公式以及数列的求和，利用裂项法是解决本题的关键，考查学生的计算能力．(1)根据等差数列的通项公式，建立方程组，求出首项和公差，即可求数列{a n }的通项公式； (2)利用裂项相消法，即可求T n =1S 1+1S 2+⋯1S n的值．18.答案：解：(1)证明：∵CD ⊥AD ，CD ⊥PA∴CD ⊥平面PAD ∴CD ⊥AG ， 又PD ⊥AG ，∴GA ⊥面PCD(2)证明：作EF ⊥PC 于F ，因面PEC ⊥面PCD ∴EF ⊥平面PCD ，又由(Ⅰ)知AG ⊥平面PCD ∴EF//AG ，又AG ⊄面PEC ，EF ⊂面PEC ， ∴GA//面PCE(3)由GA//面PCE 知A 、G 两点到平面PEC 的距离相等由(2)知A 、E 、F 、G 四点共面，又AE//CD ∴AE//平面PCD ∴AE//GF ，∴四边形AEFG 为平行四边形，∴AE =GF PA =AB =1，G 为PD 中点，FG //̲̲̲12CD ∴FG =12∴AE =FG =12(9分) ∴V P−AEC =13(12⋅12⋅1)⋅1=112 又EF ⊥PC ，EF =AG =√22∴S△EPC=12PC⋅EF=12⋅√3⋅√22= √64又V P−AEC=V A−PEC，∴13S△EPC⋅ℎ=112，即√612ℎ=112，∴ℎ=√66∴G点到平面PEC的距离为√66．解析：(1)欲证GA⊥面PCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AG与平面PCD内两相交直线垂直，根据CD⊥AD，CD⊥PA，可证得CD⊥平面PAD，从而CD⊥AG，又PD⊥AG满足线面垂直的判定定理条件；(2)欲证GA//面PCE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AG与平面PEC内一直线平行，作EF⊥PC于F，根据面面垂直的性质可知EF⊥平面PCD，而AG⊥平面PCD，则EF//AG，又AG⊄面PEC，EF⊂面PEC，满足定理所需条件；(3)由AG//平面PEC知A、G两点到平面PEC的距离相等先求出V P−AEC的体积，再根据V P−AEC= V A−PEC建立等式关系，从而求出G点到平面PEC的距离．本题主要考查了线面垂直的判定，以及线面平行的判定和点到平面的距离的度量，同时考查了空间想象能力、运算求解能力、推理论证的能力，属于中档题．19.答案：解：(1)选取的20名女生中，“睡眠严重不足”的有2人，设为A、B，睡眠时间在[5,6)的有4人，设为a、b、c、d；从中选取2人的情况有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15种，其中恰有1人“睡眠严重不足”的有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd共8种，因此2人中恰有一个为“严重睡眠不足”的概率为P=815；计算观测值，得k=40(12×6−14×8)220×26×14×20=4091≈0.440<2.706，对照数表，得出没有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”．解析：(1)利用列举法求出基本事件数以及对应事件的概率；(2)填写2×2列联表，根据公式计算观测值，对照数表得出统计结论．本题考查了用列举法求古典概型的概率问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题目．20.答案：(1)解：由e=ca =√22得，c2a=12∴a2−b2c2=12，即a2=2b2，∴椭圆E的方程为x22b2+y2b2=1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∵线段AB恰好为圆C的直径，∴线段AB的中点恰好为圆心(2,1)，于是有x1+x2=4，y1+y2=2，由于x122b2+y12b2=1，x222b2+y22b2=1，两式相减，并整理得，(x1+x2)(x1−x2)+2(y1+y2)(y1−y2)=0有(x1−x2)+(y1−y2)=0，∴k AB=y1−y2x1−x2=1，∴直线AB的方程为y−1=−(x−2)，即x+y−3=0．(2)解：由(1)知y=−x+3，代入x22b2+y2b2=1并整理得，3x2−12x+18−2b2=0，∵椭圆E与圆C相交于A，B两点，∴△=(−12)2−4×3×(18−2b2)>0，解得b2>3，于是x1+x2=4，x1x2=18−2b23，依题意，|AB|=2√203，而|AB|=2|x1−x2|=√2√(x1+x2)2−4x1x2=√2√42−4×18−2b23，∴√2√42−4×18−2b23=2√203，解得b2=8，满足b2>3，∴a2=2b2=16，∴所求椭圆E的标准方程x216+y28=1．解析：(1)通过椭圆的离心率设出椭圆E的方程为x22b2+y2b2=1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用平方差法求出直线的斜率，然后求解直线方程．(2)y=−x+3，代入x22b2+y2b2=1并整理得，3x2−12x+18−2b2=0，利用判别式以及韦达定理弦长公式，求解a，b得到椭圆方程．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，平方差法的应用，考查转化思以及计算能力．21.答案：解：(1)f′(x)=(1−2x−x2)e x，令f′(x)=0，得x=−1−√2或x=−1+√2，当x∈(−∞,−1−√2)时，f′(x)<0；当x∈(−1−√2,−1+√2)时，f′(x)>0；当x∈(−1+√2,+∞)时，f′(x)<0．所以f(x)在(−∞,−1−√2)，(−1+√2,+∞)单调递减，在(−1−√2,−1+√2)单调递增．(2)f(x)=(1+x)(1−x)e x ．当a ≥1时，设函数ℎ(x)=(1−x)e x ，ℎ′(x)=−xe x <0(x >0)，因此ℎ(x)在[0,+∞)上单调递减，而ℎ(0)=1，故ℎ(x)≤1，所以f(x)=(x +1)ℎ(x)≤x +1≤ax +1；当0<a <1时，设函数g(x)=e x −x −1，g′(x)=e x −1>0(x >0)，所以g(x)在[0,+∞)上单调递增，而g(0)=0，故e x ≥x +1．当0<x <1时，f(x)>(1−x)(1+x)2，(1−x)(1+x)2−ax −1=x(1−a −x −x 2)， 取x 0=√5−4a−12，则x 0∈(0,1)，(1−x 0)(1+x 0)2−ax 0−1=0，故f(x 0)>ax 0+1；当a ≤0时，取x 0=√5−12，则x 0∈(0,1)，f(x 0)>(1−x 0)(1+x 0)2=1≥ax 0+1，综上，a 的取值范围是[1,+∞)．解析：【分析】本题主要考查了函数的单调性，属于中档题． (1)求导，解f′(x)<0，f′(x)>0；判断单调性； (2)讨论a 的取值，判断单调性，求出a 的取值范围．22.答案：解：(1)曲线C 2的极坐标方程为，化为直角坐标系的方程为x +y −2=0，联立{x +y −2=0x 2+y 2−2y =0, 消去x 得，y 2−3y +2=0， 解得y =1或2，故C 1和C 2交点的坐标为(0,2)，(1,1)． (2)依题意，直线l 的参数方程为为参数)，把直线l 的参数方程{x =−2+√32t y =12t代入x 2+y 2−2y =0，得(−2+√32t)2+(12t)2−t =0，即t 2−(2√3+1)t +4=0，设A ，B 对应得参数分别为t 1,t 2， 则t 1+t 2=2√3+1，t 1·t 2=4． 易知点M 在圆x 2+y 2−2y =0外，所以|MA|+|MB|=|t 1+t 2|=2√3+1．解析：本题主要考查由直线极坐标方程求直角坐标方程，由直线直角坐标方程求其参数方程，考查参数的几何意义，属于中档题． (1)将曲线C 2的极坐标方程化成直角坐标方程，联立方程即可求解；(2)通过设直线l 的参数方程，联立方程，利用参数的几何意义求解．23.答案：解：(1)|x −1|+|2x +4|≥5等价于{x <−21−x −2x −4≥5或{−2≤x ≤11−x +2x +4≥5或{x >1x −1+2x +4≥5， 解得x ≤−83或0≤x ≤1或x >1，所以原不等式的解集为(−∞,−83]∪[0,+∞)．(2)要证：f(mn)−|2mn +4|>|n −m|， 只要证|mn −1|>|n −m|， 只需证(mn −1)2>(n −m)2，而(mn −1)2−(n −m)2=m 2n 2−m 2−n 2+1=(m 2−1)(n 2−1)>0， 从而原不等式成立．解析：考查绝对值不等式的解法，分类讨论思想，中档题． (1)分类讨论求出即可； (2)运用分析法证明结果．。