分式的化简及解分式方程汇编
分式化简技巧及分式应用题解法
分式运算的若干技巧进行分式运算应以分式的性质为基础，根据已知的条件特征和结构特征，克服思维定势，通过适当的变形、转化、沟通等解题手段，找到解题的捷径。
本文介绍几种常见的方法与技巧，供同学们参考。
练练并总结出化简分式的一般步骤 计算：一. 通分 例1. 化简：a a a a 3211---- 二. 约分 例2. 化简：a a a a a a a a 4323432311-++-++- 三. 运用分配律 例3. 化简：()()1111112a a a -++-- 四. 倒数法 例4. 已知a a +=13，求a a a 2421++的 3. 若ab b a 322=+,求分式)21)(21(222b a bba b -+-+的值 值。
五. 降次法 例5. 已知a a 2310-+=，求a a 361+的值。
解：由已知，得a a 213+=∴原式=+-+=+-a a a a a a a a 3242322211313()()[()]==a a3318118 六. 裂项法 例6. 计算：113215617122222a a a a a a a a ++++++++++ 七. 递进通分法 例7. 计算：1124822344788a x a x x a x x a x x x a--+-+-++-八. 换元法 例8. 化简：b a a b b a a b b a a b b a a b b a a b222233332222232++---÷++-() 九. 消元法 例9. 若4360270a b c a b c --=+-=，，求23657222222a b c a b c++++的值。
十. 参数法 例10. 已知abc ≠0，且满足a b c c a b c b a b ca+-=-+=-++，求()()()a b b c c a abc+++的值。
解：设a b c c a b c b a b cak +-=-+=-++=。
分式方程的解法
分式方程的解法分式方程是含有分式的方程，其基本形式为$ \frac{A}{B} = C $，其中A、B、C均为代数表达式。
解决分式方程的关键在于消除分母，求得方程的解。
本文将介绍两种常见的分式方程解法：通分法和代入法。
一、通分法通分法是解决分式方程的常用方法。
首先，我们需要找到方程中分式的公共分母，然后将方程两边的分式通分，最终得到一个简单的方程。
例1：解方程$ \frac{x+1}{2} + \frac{x-2}{3} = \frac{x-1}{6} $解：首先，我们发现分式$ \frac{x+1}{2} $、$ \frac{x-2}{3} $、$ \frac{x-1}{6} $的公共分母为6。
因此，我们可以将方程两边的分式通分，得到：$ \frac{3(x+1)}{6} + \frac{2(x-2)}{6} = \frac{x-1}{6} $接下来，我们将分子相加，并且令等式两边相等：$ \frac{3x+3+2x-4}{6} = \frac{x-1}{6} $化简后得到：$ \frac{5x-1}{6} = \frac{x-1}{6} $由于等式两边的分式相等，我们可以得到：$ 5x-1 = x-1 $继续化简，我们得到：$ 4x = 0 $最终解得：$ x = 0 $二、代入法代入法是另一种解决分式方程的方法。
通过代入合适的值来验证方程的解，从而求得方程的解。
例2：解方程$ \frac{x+3}{2x-1} = \frac{4x+5}{3x+2} $解：首先，我们假设一个数值代入方程，例如x=1。
将该值代入方程中，计算等式两边的结果。
当x=1时，方程变为：$ \frac{1+3}{2(1)-1} = \frac{4(1)+5}{3(1)+2} $化简后得到：$ \frac{4}{1} = \frac{9}{5} $由于等式两边不相等，我们可以推断x=1不是方程的解。
接下来，我们尝试另一个值，例如x=2。
分式化简技巧使用分式化简技巧解决问题
分式化简技巧使用分式化简技巧解决问题在数学中，分式是一种表达形式，由分子和分母组成，中间有一个分割线。
在解决数学问题时，我们经常会遇到需要化简分式的情况。
本文将介绍一些常用的分式化简技巧，以帮助读者更好地解决问题。
一、约分法约分法是最基本的分式化简技巧之一。
当分子和分母有公因子时，可以约去它们的公因子，从而化简分式。
下面以一个例子来说明这个技巧。
例子：将分式$\frac{12}{18}$化简。
解析：12和18都可以被2整除，因此它们的公因子是2。
我们可以将分子和分母都除以2，得到$\frac{6}{9}$。
接着，6和9都可以被3整除，所以它们的公因子是3。
将分子和分母都除以3，最终得到化简后的分式$\frac{2}{3}$。
二、分子因式分解法当分子可以因式分解时，我们可以将分子分解后进行化简。
下面以一个例子来展示这个技巧。
例子：将分式$\frac{x^2-4}{x^2-2x}$化简。
解析：首先，我们可以因式分解分子的二次多项式$x^2-4$，得到$(x-2)(x+2)$。
对于分母$x^2-2x$，我们可以提取公因子$x$，得到$x(x-2)$。
因此，将分子分母带入分式，得到$\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)}$。
可以看出，分子和分母都含有因式$(x-2)$，我们可以约去这个因式，最终化简得到$\frac{x+2}{x}$。
三、通分法通分法是化简带有分子和分母的分式的常用技巧。
这种情况通常发生在两个或多个分式相加或相减的时候。
下面以一个例子来说明通分法的使用。
例子：将分式$\frac{1}{x}+\frac{x}{1}$化简。
解析：首先，将两个分式通分，得到$\frac{1}{x}+\frac{x}{1}=\frac{1}{x}+\frac{x^2}{x}$。
接下来，我们需要将分子化为相同的形式。
因此，将分子$x^2$化为$\frac{x^2}{x}$。
最后，我们可以将这两个分式合并，并进行化简，得到$\frac{1+x^2}{x}$。
分式方程的解法与技巧_知识精讲
分式方程的解法与技巧【典型例题】1. 局部通分法：例1.分析：该方程的特点是等号两边各是两个分式，相邻两个分式的分子与分子，分母与分母及每个分式的分子与分母都顺序相差1，象这类通常采取局部通分法。
解：方程两边分别通分并化简，得：解之得：x＝6经检验：x＝6是原分式方程的根。
点拨：此题如果用常规法，将出现四次项且比较繁，而采用局部通分法，就有明显的优越性。
但有的时候采用这种方法前需要考虑适当移项，组合后再进行局部通分。
2. 换元法：例2.分析：此方程中各分式的分母都是含未知数x的二次三项式，且前两项完全相同，解：解此方程此方程无解。
点拨：换元法解分式方程，是针对方程实际，正确而巧妙地设元，达到降次，化简的目的，它是解分式方程的又一重要的方法，本题还有其它的设法，同学们可自己去完成。
3. 拆项裂项法：例3.分析：这道题虽然可用通分去分母的常规解法，但若将第二项拆项、裂项，则更简捷。
解：原方程拆项，变形为：裂项为：经检验：x＝1是原分式方程的解。
4. 凑合法：例4.分析：观察此方程的两个分式的分母是互为相反数，考虑移项后易于运算合并，能使运算过程简化。
解：部分移项得：∴x＝2经检验：x＝2是原分式方程的根。
5. 构造法：例5.分析：来求解，而不用常规解法。
解：原方程可化为：6. 比例法：例6.分析：由于方程两边分子、分母未知数的对应项系数相等，因此可以利用这样的恒等运算。
解：应用上述性质，可将方程变形为：【模拟试题】（答题时间：20分钟）解下列分式方程：1.2.3.4.5.【试题答案】1. 解：原方程变形为：即方程两边分别通分为：去分母得：化简得：解法2：原方程变变形得：两边分别通分得：去分母得：化简得：2. 由比例的性质可得：或解之得：经检验：是原分式方程的解。
3. 解：原方程可化为：化简得：∴原分式方程无解4. 原方程可变形为：设，则有∴原方程可化为：即解之得：当时，即，解得当时，即，解得经检验：，均是原方程的解。
分式的化简及解分式方程
分式的化简及解分式方程一、先化简，再求值1、 先化简，再求值：12112---x x ，其中x =－2．2、 先化简，再求值：1222)121(22++-÷+---x x x x x x x x ,其中x 满足3=x ．3、先化简，再求值：211(1)(2)11x x x -÷+-+-，其中6-=x .4、 先化简，再求值：2211()11a a a a ++÷--，其中2=x .5、 先化简，再求值：221211, 2.111x x x x x x x ⎛⎫-+-+÷= ⎪+-+⎝⎭其中6、先化简22()5525x x x x x x -÷---，然后选取一个你认为符合题意．．．．的x 的值代入求值．7、 先化简，再求值：2121(1)1a a a a++-⋅+，其中2-=a8、先化简分式a 2－9a 2＋6a ＋9 ÷a －3a 2＋3a －a －a 2a 2－1，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a 值，代入求值．9、先化简代数式⎪⎭⎫ ⎝⎛-++222a a a ÷412-a ，然后选取一个合适．．的a 值，代入求值10、先化简，再求值：112112++-⋅-x x x x ，其中x=2.11、先化简，再求值：21244422--++÷+--x x x x x x x ，其中4-=x12、先化简，再求值：2224441x x x x x x x --+÷-+-，其中32x =．13、化简2228224a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭14、11212222--÷+++-+x x x x x x x ，其中3-=x 。
15、化简121a a a a a --⎛⎫÷- ⎪⎝⎭，并任选一个你喜欢的数a 代入求值．16、计算 22()a b ab b a a a --÷- 17、 化简:35(2)482y y y y -÷+---18、先化简再计算：y x yx y x +---222，其中x =3，y =2．19、先将代数式⎝⎛⎭⎫x －x x ＋1 ÷⎝⎛⎭⎫1＋ 1 x 2－1 化简，再从－3＜x ＜3的范围内选取一个合适的整数x 代入求值．20、先化简，再求值：22332422a a a a a a ++÷---+，其中，5-=a21、老师布置了一道计算题：计算222222()()()()a b a b ab a b a b a b a b a b +--÷-+-+-+的值，其中2008,2009a b ==,小明把a b 、错抄成2009,2008a b ==，但老师发现他的答案还是正确的，你认为这是怎么回事？说说你的理由．二、解分式方程1、解分式方程：13321++=+x x x x 2、解分式方程： 31.12x x x -=-+3、解分式方程：23211x x x +=+- 4、解分式方程：54145=----x x x5、解分式方程：x x x --=--212221 6、解分式方程：0)1(213=-+--x x x x7、解分式方程：22111x x =--- 8、解分式方程：22333x x x -+=--。
分式的化简和分式方程
分式的化简和分式方程①.教学内容知识点1. 分式1. 两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式.整式A 除以整式B,可以表示成B A 的形式.如果除式B 中含有字母,那么称B A 为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零.2. 整式和分式统称为有理式,即有:⎩⎨⎧分式整式有理式3. 进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变. )0(,≠÷÷=⨯⨯=M M B M A B A M B M A B A4. 一个分式的分子分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.知识点2.分式的乘除1. 分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.即: BD AC D C B A =⋅, CB D ACD B A D C B A ⋅⋅=⋅=÷ 2. 分式乘方,把分子、分母分别乘方. 即: )(为正整数n B A B A n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛ 逆向运用n n n B A B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=,当n 为整数时,仍然有n n n B A B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛成立. 3. 分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.知识点3.分式的加减法1. 分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.2. 分式的加减法: 分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减; 上述法则用式子表示是:C B A C B C A ±=± (2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;上述法则用式子表示是:BDBC AD BD BC BD AD D C B A ±=±=± 3. 概念内涵: 通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解.知识点4.分式方程1. 解分式方程的一般步骤:①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;②解这个整式方程;③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去.2. 列分式方程解应用题的一般步骤:①审清题意;②设未知数;③根据题意找相等关系,列出(分式)方程;④解方程,并验根;⑤写出答案.②.教学辅助练习（或探究训练）知识点1.分式例1、练习1、1、下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .知识点2.分式的运算例2、例3、先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫1＋ 1 x －2÷ x 2－2x ＋1 x 2－4，其中x ＝－5． 【答案】解：412)211(22-+-÷-+x x x x ＝)2)(2()1(2122-+-÷-+-x x x x x ……………………2分＝2)1()2)(2(21--+⋅--x x x x x ＝12-+x x , ………………………………………………………………………5分 当5-=x 时，原式＝12-+x x ＝211525=--+-． ………………………………………8分 1、先化简再求值：)252(423--+÷--a a a a ， 其中1-=a2、先化简，再求值：)12(1aa a a a --÷-，并任选一个你喜欢的数a 代入求值.3、先化简22121111x x x x x -⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值.4、知识点3.分式方程例4：解方程：（1）51144x x x --=--解： 51144x x x -+=-- 方程两边同乘以，得 ． ∴检验：把x =5代入 x -5，得x -5≠0所以，x =5是原方程的解.（2）22162242x x x x x -+-=+--解：方程两边同乘以，得， ∴ ． 检验：把x =2代入 x 2—4，得x 2—4=0。
高中数学中的分式方程的解法
高中数学中的分式方程的解法在高中数学中，分式方程是一个重要的内容，它是由含有分式的方程组成的。
解决分式方程需要一些特定的技巧和方法。
本文将介绍一些常见的分式方程的解法。
一、一次分式方程的解法一次分式方程是指方程中只含有一次分式的方程。
解决一次分式方程的关键是将方程化简为一个整式方程。
例如，对于方程 $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-2} = \frac{3}{x-1}$，我们可以通过通分的方式消去分母，得到 $x(x-2) + 2(x+1) = 3(x+1)$。
然后，我们将方程化简为一个整式方程 $x^2 - 2x + 2x + 2 = 3x + 3$，进一步简化为 $x^2 - 3x - 1 = 0$。
最后，我们可以使用因式分解、配方法或求根公式等方法求得方程的解。
二、二次分式方程的解法二次分式方程是指方程中含有二次分式的方程。
解决二次分式方程需要将方程化简为一个二次方程。
例如，对于方程 $\frac{1}{x^2 - 1} + \frac{1}{x^2 - 4} = \frac{2}{x^2 - 9}$，我们可以先找到方程中的公共分母 $(x^2 - 1)(x^2 - 4)(x^2 - 9)$。
然后，我们将方程中的每一项乘以相应的公共分母，得到 $(x^2 - 4)(x^2 - 9) + (x^2 - 1)(x^2 - 9) = 2(x^2 - 1)(x^2 - 4)$。
进一步化简得 $x^4 - 13x^2 + 36 + x^4 - 10x^2 + 9 = 2x^4 - 6x^2$。
最后，我们将方程化简为一个二次方程 $2x^4 - 3x^2 - 45 = 0$，并使用因式分解、配方法或求根公式等方法求得方程的解。
三、分式方程的约束条件在解决分式方程时，有时需要考虑方程的约束条件。
约束条件是指方程中的变量需要满足的条件。
例如，对于方程 $\frac{x}{x+1} + \frac{2}{x-2} = \frac{3}{x-1}$，我们可以通过观察发现，当 $x=-1$、$x=1$、$x=2$、$x=3$时，方程的左边或右边的分式将无定义。
分式化简练习题精选及答案
分式化简练习题精选及答案分式是数学中的基本概念，它在数学中起到了非常重要的作用。
在分式化简练习中，我们需要掌握基本的分式化简原理，并且需要广泛练习各种类型的分式化简题目。
下面是一些常见的分式化简练习题目以及解答方法，希望对大家的学习有所帮助。
一、简单的分式化简题目1. 将 $\frac{2x+4}{x+2}$ 化简为最简分式。
解：这个分式可以化简为 $\frac{2(x+2)}{x+2}$，然后可以简化为 $2$。
2. 将 $\frac{x^2-4}{x+2}$ 化简为最简分式。
解：这个分式可以化简为 $\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}$，然后可以简化为 $x-2$。
3. 将 $\frac{x^2+4x+4}{x^2-4x+3}$ 化简为最简分式。
解：这个分式可以化简为 $\frac{(x+2)^2}{(x-1)(x-3)}$，然后可以简化为 $\frac{(x+2)^2}{(x-1)(x-3)}$。
二、含有多项式的分式化简题目1. 将 $\frac{x^3+8}{x^2-2x-24}$ 化简为最简分式。
解：这个分式可以化简为$\frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{(x-6)(x+4)}$，然后可以简化为 $\frac{x^2-2x+4}{x-6}$。
2. 将 $\frac{x^3-4x^2-7x+10}{x^2+4x+4}$ 化简为最简分式。
解：这个分式可以化简为 $\frac{(x-2)(x+1)^2}{(x+2)^2}$，然后可以简化为 $\frac{x-2}{x+2}$。
三、复杂的分式化简题目1. 将$\frac{1}{x^2+4x+3}+\frac{1}{x^2+2x}$ 化简为最简分式。
解：首先找到这两个分式的公共分母，它是$(x+1)(x+3)x(x+2)$。
然后将每个分式乘以合适的因数得到通分式，最后将通分式加起来得到最简分式。
2. 将 $\frac{x+1}{x^3-1}-\frac{1}{x^2-x}$ 化简为最简分式。
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分式的化简及解分式
方程
分式的化简及解分式方程
一、先化简，再求值
1、 先化简，再求值：
1
2112---x x ，其中x =－2．
2、 先化简，再求值：1222)121(22++-÷+---x x x x x x x x ,其中x 满足3=x ．
3、先化简，再求值：211(1)(2)11
x x x -
÷+-+-，其中6-=x .
4、 先化简，再求值：2211(
)11a a a a ++÷--，其中2=x .
5、 先化简，再求值：221211, 2.1
11x x x x x x x ⎛⎫-+-+÷= ⎪+-+⎝⎭其中
6、先化简22()5525
x x x x x x -÷---，然后选取一个你认为符合题意．．．．的x 的值代入求值．
7、 先化简，再求值：2121(1)1a a a a
++-⋅+，其中2-=a
8、先化简分式a 2－9a 2＋6a ＋9 ÷a －3a 2＋3a －a －a 2
a 2－1
，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a 值，代入求值．
9、先化简代数式⎪⎭⎫ ⎝⎛-++222a a a ÷4
12-a ，然后选取一个合适．．的a 值，代入求值
10、先化简，再求值：1
12112++-⋅-x x x x ，其中x=2.
11、先化简，再求值：2
1244422--++÷+--x x x x x x x ，其中4-=x
12、先化简，再求值：2224441x x x x x x x --+÷-+-，其中32
x =．
13、化简2228224a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭
14、1
1212222--÷+++-+x x x x x x x ，其中3-=x 。
15、化简121a a a a a --⎛⎫÷- ⎪⎝
⎭，并任选一个你喜欢的数a 代入求值．
16、计算 22()a b ab b a a a --÷- 17、 化简:35(2)482y y y y -÷+---
18、先化简再计算：y x y
x y x +---22
2，其中x =3，y =2．
19、先将代数式⎝ ⎛⎭⎪⎫x － x x ＋1 ÷⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋ 1 x 2－1 化简，再从－3＜x ＜3的范围内选取一个合适的整数x 代入求值．
20、先化简，再求值：22332422
a a a a a a ++÷---+，其中，5-=a
21、老师布置了一道计算题：计算222222()()()()
a b a b ab a b a b a b a b a b +--÷-+-+-+的值，其中2008,2009a b ==,小明把a b 、错抄成2009,2008a b ==，但老师发现他的答案还是正确的，你认为这是怎么回事？说说你的理由．
二、解分式方程
1、解分式方程：
13321++=+x x x x 2、解分式方程： 31.12
x x x -=-+
3、解分式方程：23211
x x x +=+- 4、解分式方程：54145=----x x x
5、解分式方程：x
x x --=--212221 6、解分式方程：0)1(213=-+--x x x x
7、解分式方程：22111x x =--- 8、解分式方程：22333x x x -+=--。