第2章 几何建模Geometry
几何geometry
坐标系 coordinate system
• How to build a coordinate system? • Two perpendicular reference lines (called coordinate axes) are chosen, one horizontal (called the “x-axis”), the other vertical (the “y-axis”). Their point of intersection denoted by O, is called the origin. On the x-axis a convenient point is chosen to the right of O and its distance from O is called the unit distance. Vertical distances along the Y-axis are usually measured with the same unit distance , although sometimes it is convenient to use a different scale on the y-axis. Now each point in the plane (sometimes called the xy-plane) is assigned a pair of numbers, called its coordinates. These numbers tell us how to locate the points.
• 经过圆心且其两个端点在圆周上的线段称为这个园的直 径，这条曲线的长度叫做周长。 • A triangle may be solved if three parts (at least one of these is a side ) are given. A right triangle has one angle, the right angle, always given. Thus a right triangle can be solved when two sides, or one side and an acute angle, are given.
ANSYS Workbench 17·0有限元分析：第2章-创建 Workbench 几何模型
第2章 创建Workbench几何模型 几何模型是进行有限元分析的基础，在工程项目进行有限元分析之前必须对其建立有效的几何模型，可以采用★ 了解2.1 认识DesignModelerDesignModeler（本书将其简写为DM）是ANSYS Workbench 17.0集成的几何建模平台，DM类似于其他的CAD建模工具，不同的是它主要为FEM服务，因此具备了一些其他CAD软件不具备的功能，如Beam Modeling（梁模型）、Spot Welds（点焊设置）、Enclosure Operation（包围体操作）、Fill Operation（填充操作）等。
在进行基本建模操作之前，先来认识一下DM的基本操作。
2.1.1 进入DesignModeler在ANSYS Workbench主界面的项目管理区中双击Geometry（几何体），即可进入DM，初次进入后会弹出如图2-1所示的DM操作界面。
在菜单栏中依次选择Units→需要的单位，即可选择相应的单位制，如图2-2所示。
通常情况下可根据绘图需要选择Millimeter（毫米mm），同时选中Always use project unit（总采用项目单位）复选框，建模过程中单位不能再更改。
在DM中几何建模通常是由CAD几何体开始的，有如图2-3所示的两种方式。
ANSYS Workbe nch 17.0有限元分析从入门到精通图2-1 DM主界面图2-2 选择单位图2-3 进入DM建模方式 从外部活动的CAD系统（Pro/Engineer、SolidWorks等）中探测并导入当前的CAD文件，该导入方式为Plug-in模式（双向模式），具体方法为：在DM中选择菜单栏中的File（文件）→Attach to Active CAD Geometry命令（从活动的CAD系统中导入CAD几何体）。
当外部系统是开启时，则DM与CAD之间会存在关联性。
导入DM所支持的特定格式的几何体文件（Parasolid、SAT格式等），该导入方式为Reader 模式（只读模式），具体方法为：在DM中选择菜单栏中的File（文件）→ Import External Geometry File命令（导入外部几何体文件）。
几何建模
旋转扫描法
广义扫描法
立方体网格模型
•立体网络模型表示实体的方法 •将包含实体的空间分割成均匀的小立方体，建立一个三维 数组，使数组中的每一个元素p[i][j][k]与(i,j,k)的小立 方体相对应。当该立方体被物体所占据时， p[i][j][k]实体的集合运算以及体积计算 •缺点 •不是一种精确的表示法，近似程度完全取决于分割的精度， 与几何体的复杂程度无关 •需要大量的存储空间
边界表示中的层次结构
与表面模型的区别
边界表示法的表面必须封闭、有向，各张表面间有严 格的拓扑关系，形成一个整体； 而表面模型的面可以不封闭，面的上下表面都可以有 效，不能判定面的哪一侧是体内与体外； 此外，表面模型没有提供各张表面之间相互连接的信 息。
实用系统中的CSG法和B-rep法 (1)由于CSG法描述实体的能力强，故几乎 在所有基于边界表示法的实用系统中，都采 用CSG法作为实体输入手段。 例如，有建立体素的命令，进行各种体素拼 合的命令，以及修改某个体素的命令等；当 执行这些命令时，相应地生成或修改边界表 示数据结构中的数据。
CSG树
－
以上说明了几何实体构造法构造实 体的基本方法。但需要指出的是， 体素经集合论中的交、并、差运算 后可能产生客观上并不存在的实体。 下面以二维情况为例加以说明。
正则形体
对于任一形体，如果它是3维欧氏空间中非 空、有界的封闭子集，且其边界是二维流 形（即该形体是连通的），我们称该形体 为正则形体，否则称为非正则形体。
曲面可通过以下的生成方式产生：
1. 通过一条或多条曲线构造曲面
线性拉伸面或柱状面
直纹面
旋转面
扫成面
Coons曲面
4 第2章 数学建模概述
2. 问题分析
可以假设车型、轮胎类型、路面条件都相同； 假设汽车没有超载； 假设刹车系统的机械状况、轮胎状况、天气状况 以及驾驶员状况都良好； 假设汽车在平直道路上行驶，驾驶员紧急刹车， 一脚把刹车踏板踩到底， 汽车在刹车过程没有转方向. 这些假设都是为了使我们可以仅仅考虑车速对 刹车距离的影响. 这些假设是初步的和粗糙的，在建 模过程中，还可能提出新假设，或者修改原有假设.
2.1.2 数学建模的全过程
数学建模（Mathematical Modeling）是建立数学 模型解决实际问题的全过程，包括数学模型的建立、 求解、分析和检验四大步骤（见下图）. 现实对象 的信息 检验 现实对象 的解答 分析 建立 数学模型 求解 数学模型 的解答
2.1.2 数学建模的全过程
（1）数学模型的建立，就是指从现实对象的信 息提出数学问题，选择合适的数学方法，识别常量、 自变量和因变量，引入适当的符号并采用适当的单位 制，提出合理的简化假设，推导变量和常量所满足的 数量关系，表述成数学模型.
2.1.4 数学建模的方法
4. 连续化和离散化
根据研究对象是随着时间（或空间）连续变化还 是离散变化，可以建立连续模型或者离散模型. 连续模型便于利用微积分求出解析解，并做理论 分析，而离散模型便于在计算机上做数值计算. 在数学建模的过程中，连续模型离散化、离散变 量视作连续变量都是常用方法. 典型的例子有微分方程模型及其数值解.
2.1.2 数学建模的全过程
（4）数学模型的检验，就是指把数学模型的解 答解释成现实对象的解答，给出实际问题所需要的分 析、预报、决策或控制的结果，检验现实对象的解答 是否符合现实对象的信息（包括实际的现象、数据或 计算机仿真） ，从而检验数学模型是否合理、是否适 用.
LMS Test.Lab中文操作指南_Geometry几何建模
LMS b中文操作指南— Geometry几何建模比利时LMS国际公司北京代表处2009年2月LMS b中文操作指南— Geometry 几何建模目录第一步，软件启动 (3)第二步，界面及工作表流程 (4)1. Geometry界面 (4)2. Geometry工作表 (4)第三步，创建几何 (5)1. 创建组件 (6)2. 创建节点 (7)3. 创建线 (9)4. 创建面 (10)5. 创建从节点 (10)第四步，几何操作 (11)1. 平移、缩放及旋转 (11)2. 右键菜单操作 (11)3. 其他操作 (13)第五步，如何在柱坐标或球坐标下建立模态分析几何模型 (14)1. 坐标系的选择： (14)2. 关于整体坐标系和局部坐标系的说明 (16)3. 关于欧拉角的使用说明 (17)第六步，外部几何模型文件的导入 (18)第一步，软件启动¾通过Windows开始菜单¾通过桌面图标当安装LMS Test. Lab后，系统会在桌面上创建一个LMS Test. Lab文件夹，通过此文件夹也可启动软件。
通过打开Test lab 9A文件夹，双击Geometry按钮，作为一项独立的任务开始¾在任意Test lab的模块中，通过add ins…进行添加第二步，界面及工作表流程1. Geometry 界面2. Geometry 工作表节点工作表 ¾ 从节点 – 创建主/从自由度Geometry 工作表组成: ¾ 组件工作表 – 创建组件 ¾ – 创建节点¾ 线工作表 – 创建线 ¾ 面工作表 – 创建面第三步，创建几何几何坐标的输入有三种方式¾直角坐标¾柱坐标¾球坐标在部件工作表中可以选取不同的坐标输入方式下面以直角坐标输入方式为例创建几何¾ １－－定义组件名称； ¾ ２－－定义对应组件颜色； ¾ ３－－定义组件间的相对位置 ¾ ４－－接受输入状态；¾ ５－－在单击Accept Table 后文件列表中会显示相应的组件名如下图中1也可选取显示组件的位置position 应x,y,z); 选取显示组向(orientatio 另外，单击Table Options 后，弹出组件表设置对话框，在其中可进行组件表显示的设置，所示。
geometry函数
geometry函数一、介绍geometry函数是一个用于处理几何图形的函数，它可以实现一系列几何图形的计算和操作。
几何图形是指二维或三维空间中的点、线、面等物体，是数学和物理学中重要的研究对象。
geometry函数可以帮助我们在程序中轻松地处理各种几何图形，包括计算它们的面积、周长、体积等。
二、基本概念在使用geometry函数之前，我们需要了解一些基本概念：1. 点：在二维平面上表示为(x,y)，在三维空间中表示为(x,y,z)。
2. 直线：由两个点确定，在二维平面上通常用斜率截距式表示为y=kx+b，在三维空间中通常用参数方程表示为x=x0+t*a,y=y0+t*b,z=z0+t*c。
3. 圆：由一个圆心和半径确定，在二维平面上通常用标准式表示为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，在三维空间中通常用参数方程表示为x=a+r*cos(t), y=b+r*sin(t), z=c。
4. 矩形：由四个顶点确定，在二维平面上通常用左下角坐标和右上角坐标表示为(x1,y1,x2,y2)，在三维空间中通常用六个面的坐标表示为(x1,y1,z1,x2,y2,z2)。
5. 三角形：由三个点确定，在二维平面上通常用三个顶点坐标表示为(x1,y1,x2,y2,x3,y3)，在三维空间中通常用三个顶点坐标表示为(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3)。
6. 多边形：由多个点确定，在二维平面上通常用顶点坐标数组表示，每个顶点的坐标为(x[i],y[i])，在三维空间中通常用顶点坐标数组表示，每个顶点的坐标为(x[i],y[i],z[i])。
7. 立体图形：包括球体、立方体、圆柱、圆锥等，在三维空间中通常用各自的参数方程表示。
三、函数列表geometry函数包含以下几种类型的函数：1. 点相关函数：包括计算两点之间距离、计算两点之间的中点、判断一个点是否在某条直线上等。
2. 直线相关函数：包括计算两条直线之间的夹角、计算两条直线是否相交、计算一条直线与一个矩形是否相交等。
第二讲-几何建模
e e->opp()
e->start() = e->opp()->end();
e->start()
class HalfEdge { HalfEdge *opp; Vertex *end; Face *left; HalfEdge *next; };
HalfEdge e;
e->left()
Non-Manifold
Closed Manifold
Open Manifold
拓扑
v = 12 f = 14 e = 25 c=1 g=0 b=1 图的亏格(genus)：handle的数目。 在沿其撕裂后，能够使图保持连通 的封闭路径的最大数目的一半
Euler-Poincare 公式 v+f-e = 2(c-g)-b
• • • • 将一个隐式的曲面转换为三角网格 在3D网格（grid）上定义的隐式曲面 在每个立方体（cube）中根据8个顶点的标量值来确定重构曲面 一般用于医学数据
点云
深度图像
网格（Mesh）
– – – – – 图形学中最常用的表达 简单 可表达复杂形状 图形硬件支持 一般为三角网格
为什么是三角网格
网格的数据结构是否优秀
• 构建数据结构的时间复杂度
• 进行一个查询操作的时间复杂度 • 进行一个网格编辑操作的时间复杂度（更 新数据结构） • 空间复杂度
数据结构举例
• 面列表（ List of faces）
• 邻接矩阵（Adjacency matrix） • 半边结构（Half-edge）
一个实际的文件例子 .obj文件
All neighboring vertices
edge
介绍几何模型
介绍几何模型几何模型是几何学的一个重要概念，用于描述和研究现实世界中的物体形状和结构。
它是对物体的几何特征进行抽象和建模的过程，使得我们能够通过数学方法来分析和解决与这些物体相关的问题。
几何模型可以分为二维模型和三维模型。
二维模型是在平面上进行建模，用于描述平面上的几何图形，如点、线、多边形等。
常见的二维几何模型有直线模型、射线模型、线段模型、圆模型等。
这些模型可以用来描述物体的位置、形状、大小等特征，从而帮助我们理解和分析几何问题。
三维模型则是在三维空间中进行建模，用于描述物体的立体形状和结构。
常见的三维几何模型有球体模型、立方体模型、圆柱模型、圆锥模型等。
这些模型可以用来描述物体的体积、表面积、几何中心、对称性等特征，从而帮助我们进行三维几何推理和计算。
几何模型在现实生活中有着广泛的应用。
在工程领域，几何模型可以用来设计和分析建筑、机械、电路等物体的形状和结构。
在计算机图形学中，几何模型可以用来描述和渲染三维图形，实现虚拟现实、电影特效、游戏等应用。
在地理学中，几何模型可以用来描述地球的形状和地理现象，帮助我们理解和研究地理问题。
几何模型的建立和使用需要一定的数学知识和技巧。
我们需要了解几何学的基本概念和定理，掌握几何模型的表示方法和计算方法。
同时，我们还需要具备空间想象力和几何直觉，能够将实际问题抽象为几何模型，并运用数学方法进行求解。
在几何模型的研究中，还涉及到一些与其他学科的交叉。
例如，在计算机图形学中，几何模型与计算机科学、物理学、光学等学科有着密切的联系。
在工程领域中，几何模型与材料科学、力学等学科相结合，可以用来设计和优化复杂的结构和系统。
几何模型是描述和研究物体形状和结构的重要工具和方法。
通过建立和使用几何模型，我们可以更好地理解和解决与几何相关的问题。
几何模型的应用领域广泛，涉及到工程、计算机图形学、地理学等多个学科。
几何模型的研究需要数学知识和技巧，并与其他学科进行交叉。
希望通过本文的介绍，读者对几何模型有更深入的了解和认识。
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示例
Glide
Normal Revolve
将曲面绕坐标轴转一角度，产生实体
■
方 式 Break Blend Disassemble Refit Reverse 说 明 将简单实体按某方式分割成多个简单体 将多个简单实体合并成一个，且新实体在边界一阶导数连续 将B-rep实体分解成一组简单实体 将复杂体转化成由相互连续的三次曲面描述的几何体 改变几何体三参数方向
硬线: 指网格划分时必须处在有限单元边界上的几何线
作用：(1) 处理不同模型间连接 (2) 施加边界条件 (3) 定义物理特性 操作: Associate 将Point定义为Surface或 Curve的硬点 将Curve定义为Surface的硬线 Disassociate 将定义的硬点、硬线还原成一般的点或线
方 法
Location Distance Node
说
明
显示点在坐标系中坐标值 显示二点间距离 显示与该点相关结点
■Transform / Point(变换点)
方 法 Translate Rotate Scale Mirror Mcoord Pivot Position Vsum Mscale
一个矢量 转轴及转角 坐标系及缩放因子 镜面 二个坐标系 三个点：其中一个为原点，其它二点用来确 定转角及方向 三个原始点,三个目标点 二个原点及对应的二组XYZ方向上的缩放因 子 参考坐标系，XYZ缩放因子 移动矢量，旋转变换矩阵 新坐标点是对原点在XYZ方向缩放后的坐标 新点是移动，缩放，旋转变换共同作用结果
方 法 Curve
Composite
说
明
过2，3或4个点产生一次，二次或三次曲面 将多个曲面合并成一大复杂曲面 将复杂曲面重构成由三角形，四边形曲面组成的简单曲面 由3条或4条封闭曲线，生成三角形或四边形曲面 提取实体表面，或按一定参数提取实体内某一面 二个面间产生倒角面 当二面交接处有裂纹时，用match消除间隙，以保证连接协调 二曲线间产生有理面 指定母面上一外边界，或一外边界和多条内边界，创建trimmed 面 过3或4个顶点创建面(或在母面上创建面) 指定原点及一矢量，创建矩形面 曲线(或边)沿指定方向拉伸出一面，拉伸时可进行缩放和转动 基线(base curve)沿路径(direction curve)滑动，形成曲面 曲线(或边)沿法向偏置产生曲面 曲线绕轴旋转产生曲面
根据[X，Y，Z]创建点，可在Databox中用鼠标拾起，或在屏幕上捕捉
按均匀或等比方式在二点间产生N个点 在曲率中心创建点 在曲线或边指定位置创建点。如：ξ=0.5点为中点，ξ=0.333为三等分点 在二线或边交点处，创建点 给定偏置位移，创建点 创建线与面交点 点投影到线、面、体上创建点
■显示点(Show/ Point)
Blend
Disassemble Edge Match Refit Reverse Sew
合并多个曲面为一个，且边界一阶导数连续
把Trimmed Surface打散，分解成简单曲面 消除相邻曲面间缝隙，使协调一致 将复杂曲面，用简单三次曲面（Parametric Cubes）替换，新曲面在指定公差 内与原始面一致 将曲面及其相应单元反向 自动缝补曲面，即自动执行Edit/Point/Equivalence和Edit/Surface/Edge Match
▲ ▲实体
Patran中分为：简单实体（Parametric Solid) B-rep实体(Boundary representation Solid）
简单实体：只能是四面体,五面体或六面体
可用P1~P8八个顶点 可用ξ1,ξ2,ξ3三参数表示 显示为蓝色（Blue）
简单实体可用IsoMesh (mapped) 网格划分器将 实体划分为六面体、五面体单元； 也可以Tet网格划分器将实体划分为四面体单元
■Show /Curve
方 式 Attribute Arc Angles Length Range Node 说 明 显示曲线几何类型，长度和起始点等 显示有关圆弧信息 显示二线间夹角 显示长度在指定范围的部分特性，并求长度和 显示曲线(或边)上所有硬点
示例
▲ 面(Surface)
■面的Select Menu
▲几何分类及描述
任何几何在Patran中都由Point、Curve、Surface、Solid构成
▲▲点
0 维几何，用X,Y,Z三坐标描述，缺省蓝绿色（cyan）
▲ ▲曲线
Patran中分为：简单曲线（ASM Curve）和复杂曲线（Chained Curve） 简单曲线：由两端点P1，P2及参数坐标ξ(0~1)描述。缺省黄色((Yellow) ξ=0 起点参数，ξ=1 终点参数
注：网格划分中,仅Paver划分器能识别硬点、硬线
示例
方 法
说 明
由二、三或四点产生直线、二次曲线或三次曲线 产生过三点的圆弧
由一组首尾相连曲线产生复合线(Chained Curve)；可封闭或 不封闭；Auto Chain功能，自动查找并显示可行的下一曲线
ห้องสมุดไป่ตู้类 型
简单曲线 简单曲线 复杂曲线 简单曲线 简单曲线 简单曲线 简单曲线 简单曲线 简单曲线 简单曲线
根据一矢量原点及一个矢量，建长方体
将曲面沿矢量方向拉伸成实体 注:：Trimmed Surface不能拉伸成-Rep实体 由基准曲面（Base Surface）沿1或2条路径（Director Curve）滑动， 产生一个实体。注：Trimmed Surface不能作为基准曲面。 将曲面沿法向偏置一段距离，形成实体
打断曲线或边，可通过参数或点来定断开位置
把二条或多条曲线(或边)合并成一条曲线；新曲线一阶导数连续,不会与原曲线一致
把(Chained曲线分解成一组简单曲线 延长曲线 把多条曲线(边)合成一条;新曲线在指定公差内与原曲线一致 将曲线转换成相互连续的分段三次曲线 改变曲线参数方向 修剪曲线到指定位置
示例
示例
■
■
▲ 体(Solid)
■
方 式 Surface B-Rep
Decompose
说 明
根据2个，3个或4个简单面建1次，2次或3次简单实体 根据一组协调封闭曲面生成B-Rep实体 指定实体内一些顶点位置，分解实体
Face Vertex Xyz Extrude
指定5~6个封闭边界面创建简单实体 指定顶点建实体
显示为绿色(Green)
简单曲面可以用IsoMesh(mapped)或Paver划分器划分网格
复杂曲面：任意形状封闭外边界和任意多任意形状封闭内边界 一般内外封闭曲线都是复杂曲线 任何曲面都可用复杂曲面表示 超过4条边的曲面一定为复杂曲面
显示为洋红色(Magenda)
复杂曲面只能用Paver划分器划分网格
输入参数
说 明
根据给定矢量平移或拷贝点 给定转轴及转角，转动或拷贝点 在指定坐标系，放大或收缩点位置 根据指定镜面，产生点镜面映射 坐标值不变，参考坐标系由 1变为 2。在将模 型装配对准时有用 根据三个点所定义的转轴和转角，转动一个 点
注：变换操作对所有几何一样
■硬点、硬线（Associate/Disassociate) 硬点: 指网格划分中必须为有限元结点的几何点
Decompose
任何面 曲面 体表面 二条线定面
Edge Extract Fillet Match Ruled
■面产生法
Trimmed Vertex XYZ
示例
Extrude Glide Normal Revolve
■Edit / Surface
方 Break 法 说 明
曲面按某方式（如曲线，参数位置等）分割成多个小曲面
边由顶点(Vertex)构成
■上级拓扑存在，其子拓扑已存在
2. 读入几何模型
■步骤：
(1)File=> Import
(2)选source
(3)指定Import File
(4)指定输入选项
(4)点Apply
（6）CAD几何统计确定
■Patran读入文件类型
SolidWork几何可读入
直接从CAD读几何模型时产生的中性文本文件 MSC/ARIES几何模型通过该格式访问
IGES标准可读入，也可输出几何 bdf 文件, Nastran标准输入文件，也 可在Menu Bar中Analysis输入 可合并Patran数据库,自动处理重复名称、编号 可进行参数设置
在Patran读模型时,隐去(Suppress)分析中不必要的CAD细节
3. 创建、编辑几何
Create(创建) Delete(删除) Edit(编辑) Show(显示) Transform(变换) Verify(检验) Associate(相关) Disassociate(删相关) Renumber(重编号)
B-rep 实体：由边界面描述的实体，可表任何实体 CAD软件读入的模型，都属B-rep实体 显示为白色（White）
B-rep实体只能以Tet网格划分器将实体划分为四面体单元
▲ ▲平面、向量
平面：由面内的点和法向定义
向量：由大小、方向、原点定义
用途：建立几何
▲几何拓扑描述
■体(Body)由面(Face)构成 Face由边(Edge)构成
任何线 曲线 面或体的边 二点定义曲线 曲线上一段 二面交线
Manifold Normal
Project
Pwl Spline Tangent Curve Tangent Point XYZ Involute Revolve
按给定投影方向，将线向面上投影
由一组点产生分段折线
由一组点产生样条曲线（Loft Spline 或B-Spline）二端切线 方向可指定
复杂曲线: 多条简单曲线合并而成，可封闭，可不封闭，显示为紫红色