正态分布(1)
26正态分布1.
S(-, -1s)=0.1587
S(-, -0s)=0.5
S(-1s,
)=0.3413
-3s
-2s -s
+s +2s +3s
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
正态曲线下的面积规律
S(-, -3s)=0.0013
S(-, -2s)=0.0228
x =μ
对称.
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
（－∞，μ] 时f ( x)为增函数. （4）当 x∈ （μ，+∞） 时f ( x)为减函数. 当 x∈
正态曲线
正态密度曲线
σ＝0.5
均值m表明了总体的重
σ＝1
σ＝2
心所在，标准差s 表明了 总体的离散程度。
O
μ一定
ｘ
正态曲线的性质
σ＝0.5
(1)曲线在x轴上方,与x轴不相交.
第三步：作出频率分布直方图
y
频率/组距
中间高，两头低， 左右大致对称
x
知识点一：正态密度曲线
若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布 直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称 此曲线为概率密度曲线． 概率密度曲线的形状特征．
频率 组距
概率密度曲线
“中间高，两头低， 左右对称”
总体在区间 (a , b)内取值的概率
-x1 -x2
x2 x1
正态曲线下的面积规律
S(-, )=0.5 -3s)=0.1587 -2 -1 )=0.0013 )=0.0228
S(-, +1 +3 +2 )=1 s)=0.6587 )=0.9987 )=0.9772
正态分布1
式中σ 为总体标准差；μ 为总体均数；π
为圆周率，即3.14159···；e为自然对数的底，
即2.71828···。
若某一随机变量的概率密度函数（频率曲线方程） 为上式，则称该变量X服从参数为μ和σ的正态分布， 记为：X～N（μ,σ2）。
函数方程中μ为位置参数，σ为形状参数。
在σ不变的情况下，函数曲线形状不变，若μ变大 时，曲线位置向右移；若μ变小时，曲线位置向左 移。
正态分布的应用
估计医学正常值范围。 医学正常值范围又称医学参考值范围，医学正常值范 围是指包括绝大多数正常人的各种生理及生化指标 的范围。 一般常用 95%或 99%的医学参考值范围。 某指标的 95%或 99%的医学参考值范围只包括 95%或 99%的正常人该指标的变量值分布范围，还有 5%或 1% 的正常人该指标的变量值不在此范围内。所以，在诊 断时参考值范围只能起“参考”作用，不在此范围并 不一定异常（患病），在此范围内也不一定正常（不 患病）。
正态分布曲线及其面积分布： 在正态曲线下，μ ±1σ 、μ ±1.96σ 和μ ±2.58σ 所对应的面积分别为 0.6827、0.9500 和 0.9900。
图一：
图二： 图三：
图四：
当有一随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），若要求某
一区间（x1,x2）的曲线与横轴围成的面积时，无须运 用积分学知识求从x1移到x2所对应区域的面积大小来得 到这一区间所对应的面积。此时，我们可以通过变量 变换，把X转变成u，即把一般的正态分布变换为标准 正态分布，通过求标准正态分布区间(u1,u2)所对应的面 积来间接求得一般正态分布区间（x1,x2）所对应的面 积。
正态分布
正态分布的概念
正态分布习题(1)
注：正态分布的定义与性质要牢记。
正态分布典型例题解答
4. 设随机变量 X
N (0,1)，求随机变量 Y 1 2 | X |的概率密度。
返回
1 y 解：当 y 1时， FY ( y ) P{Y y} P{1 2 | X | y} P X 2 y 1 1 y P X P X 2 2 y 1 1 y 1 y 1 2 2 2 2 2 1 y 1 1 y f ( y ) 2 所以， Y 2 2 2
正态分布典型例题解答
1. 填空 (1) 设随机变量 X (2) (3)
下一页
(4) (5) (6) 设 X , Y 服从相同分布 N (, 2 )，则 E (aX bY )(aX bY ) ______.
N (0,1)，则 P{| X | 1} _______. 1 设随机变量 X N (20, 22 )，若 P{ X a} ，则 a ______. 2 2 1 ( x85) e ,( x )，则 P{X 5} ____. 随机变量 X 的概率密度 f ( x) 8 2 设随机变量 X 与 Y 独立且都服从 N (, ) ，则 2 X Y 3 _______. 2 2 设随机变量 X N (3, 4 )，则 E ( X ) ______.
2. 某工厂生产的电子管的寿命 X(小时)服从 N (160, 2 ), 若要求概率 P{120 X 200} 0.80
3. 某物体的温度T(。F)是一个随机变量，已知 T
足 S 5 (T 32) ，求S的概率密度。 解答
标准的正态分布
标准的正态分布正态分布，又称高斯分布，是概率论和统计学中最重要的连续型概率分布之一。
它具有许多重要的性质，因此在自然和社会科学中经常出现。
正态分布的形状呈钟形曲线，两侧尾部逐渐减小，呈对称分布。
在正态分布中，均值、中位数和众数是相等的，且位于分布的中心。
正态分布的密度函数可以用以下公式表示：f(x) = (1/(σ√(2π))) exp(-((x-μ)²/(2σ²)))。
其中，μ是分布的均值，σ是标准差，π是圆周率，exp是自然对数的底数。
正态分布具有许多重要的特性，其中之一是68-95-99.7法则。
这一法则指出，大约68%的数据落在均值加减一个标准差的范围内，约95%的数据落在均值加减两个标准差的范围内，约99.7%的数据落在均值加减三个标准差的范围内。
这一特性使得正态分布在统计推断中有着重要的应用，可以帮助我们对数据的分布进行初步的判断。
正态分布在自然界和社会科学中有着广泛的应用。
例如，人的身高、智力分数、体重等都呈现出正态分布的特征。
在工程和经济学中，许多随机变量的分布也可以近似地用正态分布来描述。
因此，对正态分布的理解和运用对于我们理解和分析各种数据具有重要意义。
在实际应用中，我们经常会遇到需要对数据进行正态性检验的情况。
正态性检验是指通过统计方法来判断数据是否符合正态分布。
常见的正态性检验方法包括直方图分析、QQ图检验、Shapiro-Wilk检验等。
通过对数据进行正态性检验，我们可以更好地选择适当的统计方法，从而得到更加准确的分析结果。
除了在统计学和概率论中的应用外，正态分布还在金融工程、风险管理、医学诊断等领域发挥着重要作用。
例如，在金融领域，股票价格的日收益率往往呈现出正态分布的特征，这对于风险管理和投资决策具有重要意义。
总之，正态分布作为概率论和统计学中最重要的分布之一，具有广泛的应用价值。
通过对正态分布的深入理解和运用，我们可以更好地分析和解释各种数据现象，为科学研究和实际应用提供有力支持。
正态分布判定标准(一)
正态分布判定标准(一)正态分布判定标准引言正态分布是统计学中最重要的分布之一，广泛应用在各个领域的数据分析和建模中。
判断一个数据集是否服从正态分布是数据分析的基础，本文将介绍常用的正态分布判定标准。
直方图观察法使用直方图是最常见的判断一个数据集是否服从正态分布的方法之一。
1.绘制直方图：将数据按照一定的组距分组，并绘制柱状图。
横轴表示数据的取值范围，纵轴表示该范围内数据的频数或频率。
2.观察直方图形状：正态分布的直方图呈钟形曲线状，均值处的频数最高，两侧对称逐渐变小。
如果数据的直方图近似呈现钟形曲线状，则可以初步认定数据集服从正态分布。
正态概率图观察法正态概率图是一种常用的判定数据服从正态分布的方法。
1.绘制正态概率图：将数据按照从小到大排序，并绘制点图。
横轴表示数据的排序位置，纵轴表示数据的值。
2.观察图形形状：如果数据集服从正态分布，图形应该近似为一条直线。
如果图形出现明显的非线性趋势或者拐点，则说明数据不服从正态分布。
正态概率图更加直观地展现了数据是否服从正态分布。
Shapiro-Wilk检验法Shapiro-Wilk检验是一种常用的正态性检验方法，适用于样本量较小的情况。
1.提出假设：首先提出原假设和备择假设。
原假设（H0）是“样本数据符合正态分布”，备择假设（H1）是“样本数据不符合正态分布”。
2.计算检验统计量：根据样本数据计算出Shapiro-Wilk检验的统计量W。
3.判断拒绝域：根据设定的显著性水平，查表得到临界值。
如果W小于临界值，则拒绝原假设，说明数据不服从正态分布；反之，则无法拒绝原假设，说明数据服从正态分布。
Shapiro-Wilk检验是一种较为准确的正态性检验方法，但对于样本量较大的数据集效果并不理想。
正态性指标判定法除了上述方法外，还可以通过一些统计指标来判定数据的正态性。
1.偏度（Skewness）：衡量数据分布的偏斜程度。
当偏度接近0时，数据分布较为对称，符合正态分布；当偏度大于0时，数据分布向右偏斜，当偏度小于0时，数据分布向左偏斜。
高考数学理一轮复习 X1-4正态分布、线性回归精品课件
备选例题1 设随机变量ξ服从正态分布：ξ～ N(1,4)，试求：
(1)P(0＜ξ≤2)； (2)求常数C，使P(ξ≤C)＝32·P(ξ＞C)．
参考数据：Φ(0)＝0.5，Φ(1)＝0.8413，Φ(2) ＝0.9772，Φ(0.5)＝0.6915，Φ(1.88)＝ 0.9697，Φ(3)＝0.9987.
2．小概率事件是指事件发生的概率很小的事， 通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可 能发生的．
3．统计中假设检验的基本思想：根据小概率 事件在一次试验中几乎不可能发生的原理和 从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的 统计假设作出判断，是拒绝假设，还是接受 假设．
4．利用线性回归方程，可由一个变量的值预 测或控制另一个变量的值．借助计算器，特 别是含统计的计算器，能简化手工的计算， 迅速得出正确结果．
(函数Φ(x0)实际上是正态总体N(0,1)的累积分
布函数)，即Φ(x0)＝
．
(5)两个重要公式：ⅰ.Φ(－x)＝1Φ(x)
－
；
Φ(a)
ⅱ.P(a＜ξ＜b)＝Φ(b)－
． 小于
(6)对于任一正态分布总体N(μ，σ2)来说，取
值 x的概率为F(x)＝Φ(
)．
(7)假设检验的基本思想
ⅰ.提出统计假设，如假设随机变量服从正态 分布等；
5．“回归”和“相关”含义是不同的：如果 两个变量中的一个变量是人为可以控制、非 随机的，另一变量的变化是随机的且随着控 制变量的变化而变化，则这两变量间的关系 就称为回归关系；若两个变量都是随机的， 则称它们之间的关系为相关关系，在本教材 中，两者不加区别．
方法规律·归纳
题型 一
正态分布的基本运算
思维 提示
①P(x＜x0)＝Φ(x0)； ②Φ(x0)＝1－Φ(－x0)；
高二数学(选修-人教B版)-正态分布-1教案
教案把这批产品的内径尺寸看作一个总体，那么这100件产品的实际尺寸就是一个容量为100的样本，由此可得到这组样本数据的频率分布直方图.当样本容量n越来越大，分组越来越细时，上图会有怎样的变化？当样本容量n越来越大，分组越来越细时，频率直方图上面的折线越接近于下图的曲线。
从随机变量的角度来看，如果把产品的尺寸看作随机变量X，则这条曲线通常称为X的概率密度曲线.这条曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1.而随机变量X落在指定的两个数a,b之间的概率，即由正态曲线，过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积，就是X落在区间(a,b]的概率的近似值，如图.本题中，产品尺寸落在区间(a,b )内的概率，就是图中带斜线部分的面积.由于a,b 是在产品尺寸范围内任意取值的，所以这套概率曲线就能精确地反映X 取值的规律。
概率密度曲线反映变化规律所起的作用与离散型随机变量分布列的作用是相同的。
在生产、科研和日常生活中，经常会遇到这样一类随机现象，它们是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而每一个这种偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用。
例如：钢铁加工厂生产钢管时，加工零件的机器的磨损程度、使用的材料的差异、工人操作的习惯、周围的环境的温度等因素都可能会对钢管内径的尺寸起微小的影响，导致产品内径尺寸的波动。
（二）给出概念，研究性质与特点表示这类随机现象的随机变量的概率分布一般近似服从正态分布，服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量。
正态分布概率密度曲线的函数表达式为()22()21e ,(,).2πx f x x μσσ--=∈-∞+∞⋅ 其中，μ,σ是参数，且σ>0,−∞<μ<+∞. 正态分布概率密度曲线的函数表达式中参数μ,σ分别是正态变量的数学期望和标准差。
期望为μ 、标准差为σ的正态分布通常记作N (μ,σ2).正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线.μ的意义：总体平均数反映总体随机变量的平均水平；σ的意义：总体随机变量的集中与分散的程度.（1）μ=−1,σ=0.5（2）μ=1,σ=2（3）μ=0,σ=1观察正态曲线，你能得到哪些特点？正态曲线的特点：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.（3）曲线在x = μ处达到峰值(最高点) （4）当 x < μ时,曲线上升;当x >μ时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x 轴为渐近线,向它无限靠近.(5)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.对参数σ, μ的理解(1)正态分布由参数σ,μ唯一确定，因此正态分布常记作N (μ,σ2) ．(2)参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．正态曲线下的面积规律(1)X 轴与正态曲线所夹面积恒等于1； (2)对称区域面积相等。
5.正态分布(1)全解
均数μ相同、标准差σ不同的正态分布曲线
F0 0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
标准差σ相同、均数μ不同的正态分布曲线
•
二、标准正态分布
1、定义称参数为μ=0，σ=1的正态分布为标准 正态分布，即随机变量的概率密度为
Y 1 e 2
z2 2
, z
则称z服从标准正态分布，记作z～N（0，1）。 在数理统计中,一般正态分布都可以化为标准正 态分布,即
【例2】已知X～N（2.5,4),求 P(2.8<X<4.2),P(1.5<X<3.8),P(X<3.2) 【解】
2.5 4, 2 2.8 2.5 X 2.5 4.2 2.5 P(2.8 X 4.2) P( ) 2 2 2 P(0.15 Z 0.85) 0.3023 0.0596 0.2427 P(1.5 X 3.8) P(0.5 Z 0.65) P(0 Z 0.5) P(0 Z 0.65) 0.1915 0.2422 0.4337 P( X 3.2) P(Z 0.35) 0.5 P(0 Z 0.35) 0.5 0.1368 0.6368
200×0.0436=8.72≈9(人);200×3423=68.46≈69(人);200×0.00 51≈1(人)
3、利用正态分布进行能力分组或评定成绩的等第
例3 某师大一年级有学生300人,他们的某种能力指标可以用正态
分布来描述,现将他们按能力分成A、B、C、D、E五个组参加一 项测试，求各组人数。
2
4、3s原则：任何一组样本数据的观测值几 乎均位于平均值两侧3个标准差范围之内。
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课堂小结 1、正态曲线的定义及其解析式
2、正态分布的定义 3、正态曲线的性质 4、3σ原则
作业：P75 习题2.4 A组 1. 2
再 见
频率分布折线图
频率/ 组距 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 组距
高二数学 选修2-3
2.4 正态分布
1、正态曲线
y
O
x
这条曲线就是(或近似地)下列函数的图象:
φμ,σ x
1
e
x μ 2
2σ2
,x
3、正态曲线的性质:
4、3 s 原则:
若X~N(m,s 2 ) ,则对于任何实数a>0,概率
P(m a x ≤ m a)
ma
ma m,s ( x)dx
mБайду номын сангаас为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 a 而言，该面
积随着 s 的减少而变大 。这说明s 越小, 落在区间(m a, m a]
m 的概率 越大 ，即X集中在 周围概率 越大。
m-a m+a
P(m s X m s ) 0.6826, P(m 2s X m 2s ) 0.9544, P(m 3s X m 3s ) 0.9974.
我们从上图看到，正态总体在 m 2s , m 2s 以外取值的概率只有 4.6％，在m 3s , m 3s 以外取值的概率只有0.3 ％。由于这些概率值很
, ,
2πσ
其中实数μ和σσ 0为参数.我们称φμ,σ x的
图象为正态分布密度曲线 ,简称正态曲线.
m 的意义
总体平均数,反映总体随机变量 的平均水平
s的意义
总体标准差,反映总体随机变量的 集中与分散的程度
s1
平均数
思考 y
O
xx
若用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐 标,则X是一个随机变量.X落在区间(a,b]的概率如何求？
小（一般不超过5 ％ ），通常称这些情况发生为小概率事件。
当a 3s时正态总体的取值几乎总取值于区间m 3s , m 3s 之
内,其他区间取值几乎不可能.在实际运用中就只考虑这个区间,
称为 3s 原则.
例 某地区数学考试的成绩X服从正态分布，其密度曲 线如图所示，成绩位于区间（52,68] 的概率是多少？
创设情景，引入新课
高尔顿钉板实验
沿底部建立一个水平坐标轴，用X表示落下的小球第1 次与高尔顿板底部接触时的坐标，X在某个区间就记这 个区间的频数增加一次，画出频率分布直方图.
频率/ 组距 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05
O
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 组距
b
P(a X b) a m,s (x)dx
2、正态分布的定义:
如果对于任何实数a <b,随机变量X满足:
b
P(a X b) a m,s (x)dx
则称为X的正态分布.正态分布由参数μ、σ唯一确 定.正态分布记作N（μ，σ2）.其图象称为正态曲线.
如果随机变量X服从正态分布， 则记作 X~ N（ μ，σ2）