圆锥曲线复习题1
高考数学圆锥曲线综合题题库1 含详解
1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设1F 、2F 分别是椭圆22154x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ⋅的最大值和最小值；（Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴===设P （x ，y ），则1),1(),1(2221-+=--⋅---=⋅y x y x y x PF3511544222+=--+x x x ]5,5[-∈x ，0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ⋅有最小值3；当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ⋅有最大值4（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y由方程组2222221(54)5012520054(5)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪+-+-=⎨⎪=-⎩，得依题意220(1680)0k k ∆=-><<，得 当5555<<-k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则45252,4550222102221+=+=+=+k k x x x k k x x.4520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k kk k k x k y又|F 2C|=|F 2D|122-=⋅⇔⊥⇔R F k k l R F12042045251)4520(0222222-=-=+-+--⋅=⋅∴k k k k k kk k k RF ∴20k 2=20k 2－4，而20k 2=20k 2－4不成立， 所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D| 综上所述，不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点P （1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C 在l 上.(1)求动圆圆心的轨迹M 的方程；.B ,A M 3,P )2(两点相交于的直线与曲线且斜率为设过点-（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由 （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.解：(1)依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2=4x.:y x4y )1x (3y )1x (3y :AB ,)i )(2(2得消去由的方程为直线由题意得⎩⎨⎧=--=--=.3162x x |AB |),32,3(B ),332,31(A .3x ,31x ,03x 10x 321212=++=-===+-所以解得假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即),(9314y ,)332y ()34()32y (4:)316()32y ()131(,)316()32y ()13(2222222222舍不符解得相减得-=-+=++⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+++因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形. （ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，.32y ,C ,B ,A ,32y 1x )1x (3y ≠=⎩⎨⎧-=--=故三点共线此时得由，9256)316(|AB |,y 3y 34928)332y ()311(|AC |222222==+-=-+--=又， , 392y ,9256y y 334928y y 3428,|AB ||AC ||BC |22222时即即当>++->+++>∠CAB 为钝角.9256y y 3428y y 334928,|AB ||BC ||AC |22222+++>+-+>即当.CBA 3310y 为钝角时∠-<22222y y 3428y 3y349289256,|BC ||AC ||AB |++++->+>即又0)32y (,034y 334y :22<+<++即.该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是:)32(9323310≠>-<y y y 或.解法二： 以AB 为直径的圆的方程为:38 1x :L )332,35()38()332y ()35x (222的距离为到直线圆心-=-=++-. ).332,1(G L AB ,--相切于点为直径的圆与直线以所以当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G 点不重合，且A ， B ，C 三点不共线时， ∠ACB 为锐角，即△ABC 中∠ACB 不可能是钝角. 因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角. 932y 1x ).31x (33332y :AB A =-=-=-得令垂直的直线为且与过点.3310y 1x ),3x (3332y :AB B -=-=-=+得令垂直的直线为且与过点.,)32,1(C ,,32y x )1x (3y 时的坐标为当点所以解得又由-=⎩⎨⎧-=--= A ，B ，C 三点共 线，不构成三角形.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是：).32(9323310≠>-<y y y 或3、(江苏省启东中学高三综合测试三)（1）在双曲线xy=1上任取不同三点A 、B 、C ，证明：⊿ABC 的垂心H 也在该双曲线上；（2）若正三角形ABC 的一个顶点为C(―1,―1)，另两个顶点A 、B 在双曲线xy=1另一支上，求顶点A 、B 的坐标。
高考数学一轮复习专题训练—圆锥曲线的定值问题
圆锥曲线的定值问题题型一 长度或距离为定值【例1】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点A 与左、右焦点F 1，F 2构成一个面积为1的直角三角形． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 与椭圆C 相切，求证：点F 1，F 2到直线l 的距离之积为定值．(1)解 ∵椭圆C 的上顶点A 与左、右焦点F 1，F 2构成一个面积为1的直角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，bc ＝1， ∴b ＝c ＝1， ∴a 2＝b 2＋c 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 ①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝±2， 点F 1，F 2到直线l 的距离之积为(2－1)(2＋1)＝1. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，Δ＝(4km )2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝－8(m 2－2k 2－1)＝0， ∴m 2＝1＋2k 2，点F 1到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d 1＝|－k ＋m |k 2＋1，点F 2到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d 2＝|k ＋m |k 2＋1.∴d 1d 2＝|－k ＋m |k 2＋1·|k ＋m |k 2＋1＝|m 2－k 2|k 2＋1＝|2k 2＋1－k 2|k 2＋1＝1.综上，可知当直线l 与椭圆C 相切时，点F 1，F 2到直线l 的距离之积为定值1.感悟升华 圆锥曲线中的定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的．定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现．【训练1】 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M ，N 分别是C 1，C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值． 证明 当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33， 当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝⎛⎭⎫显然|k |>22，则直线OM 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1，得⎩⎨⎧x 2＝14＋k 2，y 2＝k24＋k 2，所以|ON |2＝1＋k 24＋k 2，同理|OM |2＝1＋k 22k 2－1， 设O 到直线MN 的距离为d ，因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2， 所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33.综上，O 到直线MN 的距离是定值． 题型二 斜率或其表达式为定值【例2】 (2020·兰州诊断)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．(1)解 由题设知c a ＝22，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0， 由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2， 从而直线AP ，AQ 的斜率之和为k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2(即为定值)．【训练2】 (2021·大同模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，已知|AB |＝4，且点⎝⎛⎭⎫e ，345在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值． (1)解 ∵|AB |＝4，∴2a ＝4，∴a ＝2， 又点⎝⎛⎭⎫e ，354在椭圆上，∴e 24＋4516b2＝1， 又b 2＋c 2＝a 2＝4，联立方程组解得b 2＝3， ∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 设点P 的坐标为(s ，t )，点M ，N 的横坐标为m (m ≠±2)， 则直线AP 的方程为y ＝t s ＋2(x ＋2)，故M ⎝⎛⎭⎫m ，ts ＋2(m ＋2)，故直线BM 的斜率k 1＝t (m ＋2)(s ＋2)(m －2)，同理可得直线AN 的斜率k 2＝t (m －2)(s －2)(m ＋2)，故k 1k 2＝t (m ＋2)(s ＋2)(m －2)×t (m －2)(s －2)(m ＋2)＝t 2s 2－4，又点P 在椭圆上，∴s 24＋t 23＝1，∴t 2＝－34(s 2－4)，∴k 1k 2＝－34(s 2－4)s 2－4＝－34.即直线AN 与直线BM 的斜率之积为定值．题型三 几何图形面积为定值【例3】 (2021·昆明诊断)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ，点(1，e )在椭圆E上，点A (a,0)，B (0，b )，△AOB 的面积为32，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，直线OM 的斜率为k 1，直线ON 的斜率为k 2，且k 1k 2＝－19，证明：△OMN 的面积是定值，并求此定值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋e 2b 2＝1，e ＝ca ，c 2＝a 2－b 2，得b ＝1.又S △AOB ＝12ab ＝32，得a ＝3.所以椭圆E 的标准方程为x 29＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率不存在时，设直线l ：x ＝t (－3<t <3且t ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 2＝1，x ＝t ，得y 2＝1－t 29，则k 1k 2＝1－t 29t×－1－t 29t＝－1－t 29t 2＝－19，解得t 2＝92.所以S △OMN ＝12×2×1－t 29×|t |＝32.当直线l 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 29＋y 2＝1消去y 并整理，得(9k 2＋1)x 2＋18kmx ＋9m 2－9＝0. Δ＝(18km )2－4(9k 2＋1)(9m 2－9)＝36(9k 2－m 2＋1)>0， x 1＋x 2＝－18km9k 2＋1，x 1x 2＝9m 2－99k 2＋1，k 1k 2＝y 1x 1×y 2x 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )x 1x 2＝－9k 2＋m 29m 2－9＝－19， 化简得9k 2＋1＝2m 2，满足Δ>0.|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝⎛⎭⎫－18km 9k 2＋12－4·9m 2－99k 2＋1＝61＋k 2·9k 2－m 2＋19k 2＋1.又原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2， 所以S △OMN ＝12×|MN |×d＝31＋k 2·9k 2－m 2＋19k 2＋1×|m |1＋k 2＝3|m |2m 2－m 22m 2＝32.综上可知，△OMN 的面积为定值32.感悟升华 探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可．【训练3】 已知点F (0,2)，过点P (0，－2)且与y 轴垂直的直线为l 1，l 2⊥x 轴，交l 1于点N ，直线l 垂直平分FN ，交l 2于点M . (1)求点M 的轨迹方程；(2)记点M 的轨迹为曲线E ，直线AB 与曲线E 交于不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 2－1＝x 1＋m 2(m 为常数)，直线l ′与AB 平行，且与曲线E 相切，切点为C ，试问△ABC 的面积是否为定值．若为定值，求出△ABC 的面积；若不是定值，说明理由．解 (1)由题意得|FM |＝|MN |，即动点M 到点F (0,2)的距离和到直线y ＝－2的距离相等，所以点M 的轨迹是以F (0,2)为焦点，直线y ＝－2为准线的抛物线，根据抛物线定义可知点M 的轨迹方程为x 2＝8y .(2)由题意知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝8y 消去x 整理得x 2－8kx －8b ＝0.则x 1＋x 2＝8k ，x 1·x 2＝－8b .设AB 的中点为Q ，则点Q 的坐标为(4k,4k 2＋b )．由条件设切线方程为y ＝kx ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 2＝8y 消去y 整理得x 2－8kx －8t ＝0.∵直线与抛物线相切，∴Δ＝64k 2＋32t ＝0，∴t ＝－2k 2， ∴切点C 的横坐标为4k ，∴点C 的坐标为(4k,2k 2)． ∴CQ ⊥x 轴，∵x 2－x 1＝m 2＋1， ∴(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4(－8b ) ＝64k 2＋32b ＝(m 2＋1)2，∴b ＝(m 2＋1)2－64k 232.∴S △ABC ＝12|CQ |·|x 2－x 1|＝12·(2k 2＋b )·(x 2－x 1)＝(m 2＋1)364，∵m 为常数，∴△ABC 的面积为定值．1．(2021·洛阳高三统考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，其焦点为F ，O 为坐标原点，直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ，M 为AB 的中点． (1)若p ＝2，M 的坐标为(1,1)，求直线l 的方程．(2)若直线l 过焦点F ，AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求证：2|MN |2|FN |为定值．(1)解 由题意知直线l 的斜率存在且不为0， 故设直线l 的方程为x －1＝t (y －1) 即x ＝ty ＋1－t ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1－t ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4＋4t ＝0， ∴Δ＝16t 2＋16－16t ＝16(t 2－t ＋1)＞0，y 1＋y 2＝4t ， ∴4t ＝2，即t ＝12.∴直线l 的方程为2x －y －1＝0.(2)证明 ∵抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，∴焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0. 由题意知直线l 的斜率存在且不为0，∵直线l 过焦点F ，故设直线l 的方程为x ＝ty ＋p2(t ≠0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋p 2y 2＝2px，得y 2－2pty －p 2＝0， ∴y 1＋y 2＝2pt ，Δ＝4p 2t 2＋4p 2＞0. ∴x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋p ＝2pt 2＋p ， ∴M ⎝⎛⎭⎫pt 2＋p2，pt .∴MN 的方程为y －pt ＝－t ⎝⎛⎭⎫x －pt 2－p2. 令y ＝0，解得x ＝pt 2＋3p2，N ⎝⎛⎭⎫pt 2＋3p 2，0， ∴|MN |2＝p 2＋p 2t 2，|FN |＝pt 2＋3p 2－p2＝pt 2＋p ， ∴2|MN |2|FN |＝2(p 2＋p 2t 2)pt 2＋p＝2p ，为定值．2．(2020·新高考山东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点A (2,1)．(1)求C 的方程；(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．(1)解 由题设得4a 2＋1b 2＝1, a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝6，b 2＝3. 所以C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，代入x 26＋y 23＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 于是x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2.①由AM ⊥AN ，得AM →·AN →＝0， 故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0. 将①代入上式，可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2－(km －k －2)4km1＋2k 2＋(m －1)2＋4＝0， 整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0. 因为A (2,1)不在直线MN 上，所以2k ＋m －1≠0，所以2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1. 所以直线MN 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －23－13(k ≠1)． 所以直线MN 过点P ⎝⎛⎭⎫23，－13. 若直线MN 与x 轴垂直，可得N (x 1，－y 1)．由AM →·AN →＝0，得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0.又x 216＋y 213＝1，所以3x 21－8x 1＋4＝0. 解得x 1＝2(舍去)，或x 1＝23.此时直线MN 过点P ⎝⎛⎭⎫23，－13. 令Q 为AP 的中点，即Q ⎝⎛⎭⎫43，13.若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边， 故|DQ |＝12|AP |＝223.若D 与P 重合，则|DQ |＝12|AP |.综上，存在点Q ⎝⎛⎭⎫43，13，使得|DQ |为定值．。
圆锥曲线测试题1
高二数学圆锥曲线与方程测试题一.选择题:〔本大题共12小题，每题5分，共60分.〕1.曲线121022=++-k y k x 是焦点在x 轴上的椭圆，那么〔 〕 21,F F 是椭圆1925:22=+y x C 的左、右焦点，点M 是椭圆C 上一点，且321π=∠MF F ，那么21MF F ∆的面积为〔 〕3抛物线的顶点在坐标原点，准线方程是,2=x 那么该抛物线标准方程为〔 〕4.双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线是x y 3=,那么双曲线离心率是〔 〕5.抛物线241x y =的准线方程是〔 〕6.设21,F F 是双曲线169:22=-y x C 的左、右焦点,点M 在C 上且101=MF ,那么 2MF 〔 〕4.A 16.B 4.C 或16 12.D7.F 是抛物线y x C 4:2=的焦点，过F 的直线交抛物线于B A ,两点,且线段AB 中点纵坐标为3，那么AB 等于〔 〕8设21,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，假设椭圆C 上存在一点M 使,120021=∠MF F 那么椭圆C 的离心率的取值范围是〔 〕9.双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线平行直线,102:+=x y l双曲线的一个焦点在直线l 上，那么双曲线的方程为( )1205.22=-y x A 1520.22=-y x B C.2233125100x yD.2233110025x y10.21,F F 是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使,3)(2221ab b PF PF -=-那么该双曲线的离心率为〔 〕 11. F 是抛物线x y C 4:2=的焦点，过F 的直线l 交抛物线于A,B 两点,假设BF AF 3=,那么直线l 的方程为〔 〕12. 椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的右焦点为),0,3(F 过F 的直线交E 于A,B 两点，假设AB 的中点坐标为)1,1(-，那么E 的方程为〔 〕 二填空题：(本大题共4小题，每题5分，共20分.) 13.抛物线y 2＝38x 的焦点到双曲线x 2－23y ＝1的渐近线的距离是________；14设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有一样渐近线，那么C 的方程为________；15双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A在C 上，假设12||2||F A F A =，那么21cos AF F ∠=________.16椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .假设|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，那么C 的离心率e ＝__________.三.解答题〔共6个小题，共70分，要求写出必要的证明或解答过程〕 17(10分)动点M 到定点)0,1(F 的距离与它到定直线1:-=x l 的距离相等.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)过点F 斜率2的直线l 交点M 的轨迹于B A ,两点，求AB 的长.18(12分)椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的离心率,23=e 且E 过点)1,0(.(1)求椭圆E 的方程；(2)定点A 的坐标为)2,0(，M 是椭圆E 上一点，求AM 的最大值.19(12分)21,F F 是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点.(1)求证：双曲线C 上任意一点M 到双曲线两条渐近线的距离之积为常数；(2)过1F 垂直于x 轴的直线交C 于点P ，,212PF PF =且E 过点)0,1(，求双曲线E 的方程.20(12分)设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左、右焦点分别为2123F F AB =. （1） 求椭圆E 的离心率；（2） 设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M ，=.求椭圆的方程.21(12分)如图,点)1,0(-P 是椭圆22122:1x y C a b+=〔0a b >>〕的一个顶点，1C 的长轴是圆222:4C x y +=的直径．1l ，2l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于A ，B 两点，2l 交椭圆1C 于另一点D ． 〔Ⅰ〕求椭圆1C 的方程；〔Ⅱ〕求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程．22(12分)如图，抛物线2:4C x y =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D 〔O 为坐标原点〕.（1）证明：动点D 在定直线上； （2）作C 的任意一条切线l〔不含x 轴〕与直线2y =相交于点1N ，与〔1〕中的定直线相交于点2N ，证明：2221||||MN MN -为定值，并求此定值.23(12分)抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF∆为正三角形.〔Ⅰ〕求C 的方程；〔Ⅱ〕假设直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ， 〔ⅰ〕证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；〔ⅱ〕ABE ∆的面积是否存在最小值？假设存在，请求出最小值；假设不存在，请说明理由.高二数学圆锥曲线与方程测题试答题卡姓名： ；得分 ；一.选择题〔本大题共12个小题,每题5分，共60分〕二.填空题〔本大题共4个小题，每题5分，共20分〕13 ; 14 ; 15 ; 16 .三.解答题〔本大题6个小题，共70分，要求写出必要的证明、演算或推理过程〕 117(10分) 18(12分) 19(12分) 20(12分) 21(12分) 22〔12分〕高二数学2021-2021 学年度第一学期期中考试〔理科〕参考答案 一选择题：1-5 CABBD 6-10 DBCDA 11-12 AC 二填空题：1613-； 54 13.3 323 三解答题：17〔10分〕〔1〕在ABC 中，因为c b a ,.成等比数列∴ac b =2 ……2分又∵.22bc a c ac =-+∴ bc a c b =-+222 ……3分根据余弦定理得：.0,212cos 222π<<=-+=A bc a c b A 且 所以： 3π=A ……5分〔2〕由〔1〕得 ac b =2 根据正弦定理得：C A B sin sin sin 2= …… 7分所以：23sin sin sin sin sin sin sin 2====A C C A C B B c b …… 10分18(1)设等差数列}{n a 的公差为d .∴3615652{11=+=+d a d a …… 3分 解得： 2,11==d a所以：12-=n a n …… 6分(2) 1222-==n a n nb 得 122)12(-+-=+n n n n b a …… 8分∴数列}{n n b a +的前n 项和为)2222()12531()212()25()23()21(12531253--+++++-++++=+-+++++++=n n n n n T 2)14(3241)41(22)121(n n n n n +-=--+-+= ……12分19 证明：ABC ∆中，AD AB DAB 2,600==∠ 根据余弦定理：AD DAB AB AD AB AD BD 3cos 222=∠⋅-+=∴ 090=∠ADB 即：AD BD ⊥ …… 3分 又∵ABCD PD 平面⊥所以： BD PA ⊥ …… 6分〔2〕因为BC ∥AD∴PCB ∠是异面直线PC AD 与所成的角. …… 8分由BC ∥AD ，BD AD ⊥ 得BD BC ⊥ 又∵ABCD PD 平面⊥ ∴PB BC ⊥ (10)分在AD BD PA PB AD BC PBC Rt 2,22=+==∆中， 所以：异面直线PC AD 与所成的角的余弦值为.55…… 12分20∵2.2605286276257246236,5597531=++++==++++=y t (3)分∴5.6420)2()4(8.2548.152)3.3(0)2.14)(2()4)(2.24(ˆ22222=+++-+-+⨯+⨯+-⨯+--+--=b…… 6分 所以：所求的回归直线方程为：7.2275.6ˆ+=t y…… 8分 (2)当11=t 时，2.2997.227115.6ˆ=+⨯=y…… 11分 所以：2021年该地区的粮食需求量约为299.2万吨。
圆锥曲线综合大题练 分类题组-2023届高三数学一轮复习
题组：圆锥曲线综合大题练题型1：定点问题1.椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，其左焦点到点P(2,1)的距离为√10．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．2.已知抛物线C：y2=2px经过点M（2，2），C在点M处的切线交x轴于点N，直线l1经过点N且垂直于x轴．（Ⅰ）求线段ON的长；（Ⅱ）设不经过点M和N的动直线l2：x=my+b交C于点A和B，交l1于点E，若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．3.已知椭圆C：2222=1x ya b（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.4.如图，椭圆E：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=12．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且∆ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．5.如图，已知椭圆Γ：x 2b2+y2a2=1(a>b>0)的离心率e=√22，短轴右端点为A,M(1.0)为线段OA的中点．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆Γ相交于P,Q两点，试问在x轴上是否存在定点N，使得∠PNM=∠QNM，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．题型2：定值问题1.已知椭圆C ：22221+=x y a b （0a b >>）的离心率为 32 ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N.求证：BM AN ⋅为定值.2.如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线的准线与轴交于点,过点的直线与抛物线交于两点, 设到准线的距离. （1）若,求抛物线的标准方程；（2）若,求证：直线的斜率的平方为定值.xOy ()220y px p =>l x M M ,A B ()11,A x y l ()20d p λλ=>13y d ==0AM AB λ+=AB3.椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率√22，点（2，√2）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．4.已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率√22，的离心率为，点A(1,√32)在椭圆C上，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，且l与圆x2+y2=5的相交于不在坐标轴上的两点P1,P2，记直线OP1,OP2的斜率分别为k1,k2，求证：k1∙k2为定值．5.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率√22，若圆x 2+y 2=a 2被直线x − y −√2=0截得的弦长为2。
学生版圆锥曲线（1）
圆锥曲线（1）一、基础训练1．若椭圆2215x y m +=的离心率e =，则m 的值是________． 2．若抛物线22y x =上的一点M 到坐标原点O则M 到该抛物线焦点的距离为________．3．双曲线22260x y -+=上一个点P 到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为________．4．已知双曲线2212x y a -=的一个焦点坐标为(，则其渐近线方程为________． 5．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为1F ，2F .若曲线C 上存在点P 满足1122::4:3:2P F F F P F =，则曲线C 的离心率等于________． 6.若椭圆22221x y a b+=的焦点在x 轴上，过点1(1,2作圆221x y +=的切线，切点分别为,A B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．二、典型例题例1 (1)椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A ，B .当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是________．(2) 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得12PF e PF =，则该椭圆离心率e 的取值范围是________． (3)已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是________．例2已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点为(2,0)A ，离心率为2.直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当AMN ∆k 的值．例3已知双曲线2213y x -=，椭圆与该双曲线共焦点，且经过点(2,3) ． (1)求椭圆方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，直线l 为椭圆的右准线，N 为l 上的一动点，且在x 轴上方，直线AN 与椭圆交于点M . ①若AM MN =，求AMB ∠的余弦值；②设过A ，F ，N 三点的圆与y 轴交于P ，Q 两点，当线段PQ 的中点为(0,9)时，求这个圆的方程．例4如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点(1,0)P ，(0,2)Q ．设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T .求证：点T 在椭圆C 上．三、作业1．点P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F ，2F 为椭圆的焦点，如果1275PF F ︒∠=，2115PF F ︒∠=，则椭圆的离心率为________．2．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为m 的值为________．3.已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y ，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为________．5．设P 点在圆22(2)1x y +-=上移动，点Q 在椭圆2219x y +=上移动，则PQ 的最大值是________．6．已知1F ，2F 分别是椭圆14822=+y x 的左、右焦点, 点P 是椭圆上的任意一点, 则121||PF PF PF -的取值范围是 ．7. 已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，左、右两个焦点分别为1F ，2F ，上顶点),0(b A ，21F AF ∆为正三角形且周长为6.（1）求椭圆C 的标准方程及离心率；（2）O 为坐标原点，直线A F 1上有一动点P ，求||||2PO PF +的最小值．8.如图，点1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点2F 作直线2PF 的垂线交直线2a x c=于点Q .(1)如果点Q 的坐标是(4,4) ，求此时椭圆C 的方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．9．设A 、B 分别为椭圆12222=+b y a x ()0>>b a 的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,1在该椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P 为直线4=x 上不同于点()0,4的任意一点，若直线AP 与椭圆相交于异于A 的点M ．证明：MBP ∆为钝角三角形．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点，A ，B ，C 分别为椭圆E 的右、下、上顶点，满足5FC BA = ，椭圆的离心率为12．（1）求椭圆的方程；（2）若P 为线段FC （包括端点）上任意一点，当PA PB取得最小值时，求点P 的坐标； （3）设点M 为线段BC （包括端点）上的一个动点，射线MF 交椭圆于点N ，若NF FM λ= ，求实数λ的取值范围．。
2024年新高考版数学专题1_9.5 圆锥曲线的综合问题(分层集训)
解析 (1)设动点P的坐标为(x,y),因为| PF | = 5 ,
d5
所以
(x 1)2 y2
=
5 ,即5[(x+1)2+y2]=|x+5|2,整理得 x2 + y2 =1.所以动点P的
| x5|
5
54
轨迹方程为 x2 + y2 =1.
54
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),由(1)可得点A的坐标为(0,-2),故直线AM:y=
AC
·BC
=1,
则点C的轨迹为 ( )
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线
答案 A
3.(2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,8)已知圆C的方程为(x-1)2
+y2=16,B(-1,0),A为圆C上任意一点,若点P为线段AB的垂直平分线与直线
AC的交点,则点P的轨迹方程为 ( )
A. x2 + y2 =1
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的离心率e=
2 ,四
2
个顶点组成的菱形的面积为8 2 ,O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过☉O:x2+y2= 8
上任意点P作☉O的切线l与椭圆E交于点M,N,求证:
PM
·
3
PN
为定值.
解析 (1)由题意得2ab=8 2 ,e= c = 2 ,a2=b2+c2,
2
3
6
,
0
,∴
PM
=
0,
2
3
6
,
PN
=
0,
2
6 3
,
∴
圆锥曲线大题专题及答案
解析几何大题专题第一类题型 弦长面积问题1．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率是2，且过点P ．直线2y x m =+与椭圆C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求PAB △的面积的最大值；（Ⅲ）设直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ．判断||PM ，||PN 的大小关系，并加以证明．2. （本小题14分） 已知椭圆22:13+=x y C m m，直线:20+-=l x y 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，与x 轴交于点B ，点,P Q 与点B 不重合.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）当2∆=OPQ S 时，求椭圆C 的方程；（Ⅲ）过原点O 作直线l 的垂线，垂足为.N 若λ=PN BQ ，求λ的值.3．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>离心率等于12，(2,3)P、(2,3)Q-是椭圆上的两点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）,A B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值.4．（本小题满分14分）已知椭圆C：2231(0)mx my m+=>的长轴长为O为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；（Ⅱ）设点(3,0)A，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若||||BA BP=，求四边形OPAB面积的最小值.5．（本小题共14分）已知椭圆C：2214xy+=，F为右焦点，圆O：221x y+=，P为椭圆C上一点，且P位于第一象限，过点P作PT与圆O相切于点T，使得点F，T在OP两侧.（Ⅰ）求椭圆C的焦距及离心率;（Ⅱ）求四边形OFPT面积的最大值.6.（本小题13分）已知抛物线C：y2=2px经过点P(2，2)，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．（I）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（II）若OA OB，求△AOB面积的最小值.第二类题型 圆过定点问题（ 包括点在圆上 点在圆外 点在圆内）1．（本小题满分14 分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点，且｜AB ｜＝2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且直线PA ，PB 与直线x ＝4分别交于M ， N两点．是否存在点P 使得以MN 为直径的圆经过点（2,0）？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由。
华师一附中2024届高三《圆锥曲线大题--每日一题》试题
华师一高三上每日一题（圆锥曲线）一、解答题1．已知12,F F 为椭圆C 的左､右焦点，点31,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为其上一点，且124PF PF +=.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点，与y 轴交于点M ，若存在m ，使得34OA OB OM +=，求m 的取值范围.2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距4，且过点63M （2，）（1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率存在且不经过原点的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点(,P Q 异于椭圆C 的上、下顶点），当OPQ △的面积最大时，求OP OQ k k ⋅的值.3．已知椭圆C ：22221x y a b +=的离心率为32，上顶点为M ，下顶点为N ，2MN =，设点()(),20T t t ≠在直线2y =上，过点T 的直线,TM TN 分别交椭圆C 于点E 和点F ，直线EF 与y 轴的交点为P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若NFP △的面积为MEP △的面积的2倍，求t 的值.4．设双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的一个焦点坐标为()3,0，离心率3e =，A ，B 是双曲线上的两点，AB 的中点()1,2M ．（1）求双曲线C 的方程；（2）求直线AB 方程；(3)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，问A 、B 、C 、D 四点是否共圆？若共圆证之，若不共圆给予充分理由．5．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过3(1,)2和6(2,)2两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，当动点M 在定直线4x =上运动时，直线AM ，BM 分别交椭圆于两点P 和Q （不同于B ，A ）.证明：点B 在以PQ 为直径的圆内.6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为(2,0)A -，不与x 轴平行的直线l 过C 的右)2-，()--1,2AB OF ⊥时，4AB =.（1）求C 的标准方程.（2）记P ，G ，Q 的横坐标分别为P x ，G x ，Q x ，判断223P Q G x x x +-是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.12．已知抛物线T 的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过()2,1-，11,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,2--，()3,2-四点中的两点.（1）求抛物线T 的方程：（2）已知圆()2223x y +-=，过点()(),13P m m -≠±作圆的两条切线，分别交抛物线T 于()11,A x y ，()22,B x y 和()33,C x y ，()44,D x y 四个点，试判断1234x x x x 是否是定值?若是定值，求出定值，若不是定值，请说明理由.13．如图3所示，点1F ，A 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点和右顶点，点F 为抛物线2:16C y x =的焦点，且124OF OA OF ==（O 为坐标原点）.（1）求椭圆E 的方程；（2）过点1F 作直线l 交椭圆E 于B ，D 两点，连接AB ，AD 并延长交抛物线的准线于点M ，N ，求证：1MF N ∠为定值.14．已知抛物线2:2(0)C x py p =>，F 为C 的焦点，过点F 的直线l 与C 交于H ，I 两点，且在H ，I 两点处的切线交于点T ，当l 与y 轴垂直时，||4HI =．（1）求C 的方程；（2）证明：2||||||FI FH FT ⋅=．15．过抛物线2:2(0)E y px p =>焦点F ，斜率为1-的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，||8AB =．（1）求抛物线E 的方程；（2）过焦点F 的直线l '，交抛物线E 于C 、D 两点，直线AC 与BD 的交点是否在一条直线上．若是，求出该直线的方程；否则，说明理由．。
圆锥曲线专题训练试卷(1)教师
圆锥曲线专题训练试卷（1）第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）( )【答案】B 【解析】试题分析：由椭圆方程知2100,10a a =∴=，236,6b b =∴=，那么22236,6c a b c =-=∴=，可得椭圆离心率为 考点：椭圆的标准方程与几何意义.2．下列曲线中焦点坐标为)0,1(-的是（ ）A ．y ＝－4x 2C 【答案】A【解析】a 2b 2故c2＝a2＋b2＝1，一个焦点为（－1，0），符合题意；抛物线y ＝－4x 2中，焦点为（0，，不符合题意；0）0，±1），不符合题意.故选A【知识点】圆锥曲线的性质3．方程1cos 2sin 22=+θθy x 表示椭圆，则θ的取值范围ABC D 【答案】D 【解析】试题分析：方程1cos 2sin 22=+θθy x 表示椭圆，则必须满足的条件为：sin 20,cos 0θθ>>，且sin 2cos θθ≠解不等式：sin 20cos 0θθ>⎧⎨>⎩，解得：)(26k ππ+Z k ∈，故正确选项D ．考点：①椭圆的简单性质；②三角函数不等式．4．点P 在双曲线上，21,F F 为焦点，且21PF PF ⊥，-（ ）B. 102C. 【答案】D【解析】由双曲线定义得：12||||2,PF PF a -=12||3,||PF a PF a ∴==222121212,||||||PF PF PF PF F F ⊥∴+=。
即2222594,()22c c a a c a a +==⇒=故选D5．已知0a b >>，12,e e 12lg lg e e +的值为（ ）A ．正数B ．负数C ．零D ．不确定【答案】B 【解析】试题分析：12lg lg e e +)lg(21e e =01lg =<，所以选C.考点：圆锥曲线的性质及对数的运算.6A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为（ ） A 、049=--y x B 、059=-+y xC 、022=-+y xD 、022=+-y x 【答案】B 【解析】A ，B 两点，设),(),,(2211y x B y x A则1）（2），由（1）（2）联立并相减得：点p 是AB 的中点所以1,12121=+=+y y x x ，所以，，则直线AB 的方程整理得059=+-y x . 考点：点差法求直线方程.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）7．(2014·武汉模拟)圆(x-a)2+y 2=1与双曲线x 2-y 2=1的渐近线相切,则a 的值是________. 【答案】±√2【解析】双曲线x 2-y 2=1的渐近线为y=±x,不妨取y=x,若直线y=x 与圆相切,则有圆心(a,0)到直线x-y=0的距离d=√2=1,即|a|=√2,所以a=±√2.8表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ． 【答案】（1,2） 【解析】试题分析：因为方程表示焦点在y 轴上的椭圆，所以013>->-m m ，解得21<<m考点：椭圆的性质9．一动点到y 轴距离比到点(2, 0)的距离小2,则此动点的轨迹方程为 . 【答案】)0(0)0(82<=≥=x y x x y 或【解析】设动点为(,),P x y ||2;x =+平方得244||y x x =+ 当0x ≥时，8;y x =当0x <时，0.y =所以动点的轨迹方程为)0(0)0(82<=≥=x y x x y 或10．12F F 、是椭圆的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12PF PF •的最大值是 【答案】1 【解析】试题分析：设),(y x P ，，22-≤-x ，12PF PF •=又42≤x ，所以，即12PF PF ⋅的最大值是1。
圆锥曲线专题一(图文课件分享)
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圆锥曲线基础知识
一、椭圆：
（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。
注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹；
（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：
中心在原点，焦点在x 轴上
中心在原点，焦点在y 轴上
标准方程
)0(122
22>>=+b a b
y a x )0(122
22>>=+b a b
x a y 图 形
顶 点 ),0(),,0()0,(),0,(2121
b B b B a A a A -- ),0(),,0()0,(),0,(21
21a B a B b A b A --
对称轴 x 轴，y 轴；短轴为b 2
，长轴为a 2
焦 点 )0,(),0,(21c F c F -
),0(),,0(21c F c F -
焦 距 )0(2||21>=c c F F 222b a c -=
离心率 )10(<<=
e a
c
e （离心率越大，椭圆越扁） 通 径
二、双曲线：
（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的
点的轨迹
注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。
||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹；
（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：
中心在原点，焦点在x 轴上
中心在原点，焦点在y 轴上
标准方程
)0(122
22>>=-b a b
y a x )0(12
2
22>>=-b a x y 图 形
顶 点 )0,(),0,(21a A a A -
),0(),,0(21a B a B -
对称轴 x 轴，y 轴；虚轴为b 2，实轴为a 2
焦 点 )0,(),0,(21c F c F -
),0(),,0(21c F c F -
焦 距 )0(2||21>=c c F F 222
b a c
+=
离心率 )1(>=
e a
c
e （离心率越大，开口越大） 渐近线 x a
b y ±
= x b
a y ±
= 通 径
三、抛物线：
（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离等于到一条定直线的距离点的轨迹。
其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。
（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：0>p
焦点在x 轴上， 开口向右
焦点在x 轴上，
开口向左
焦点在y 轴上，
开口向上
焦点在y 轴上，
开口向下
标准方程
px y 22=
px y 22-=
py x 22=
py x 22-=
图 形
顶 点 )0,0(O
对称轴 x 轴
y 轴
焦 点 )0,2
(p
F )0,2
(p F -
)2
,0(p F
)2
,0(p F -
离心率 1=e
准 线 2
p x -=
2
p x =
2
p y -
=
2
p y =
通 径 p 2
焦半径 2
||||0p x PF +
=
2
||||0p y PF +
=
焦点弦 θ
221sin 2p p x x =
++（当2πθ=
时，为p 2——通径）
焦准距
p
圆锥曲线复习题1
1. 椭圆15
32
2=+y x 的焦距是（ ） .A 22 .B 24 .C 2 .D
2
2. 抛物线y x =2的准线方程是 （ ）
（A ）014=+x （B ）014=+y （C ）012=+x
（D ）012=+y
3．椭圆552
2
=+ky x 的一个焦点是（0，2），那么k 等于 （ ）
.A 1- .B
5 .C 1 .D 5-
4．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为 （ ） A ．2 B C D ．5 5. 抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( )
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 6．双曲线122=+y mx 的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于 （ ）
.A 4
1
-
.B 4- .C 4 .D 41
7. 双曲线)0(12
2≠=-mn n
y m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为 ( )
A ．
16
3
B ．
8
3 C ．
3
16 D ．
3
8 8. 抛物线y=42
x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( ) ( A )
16
17
( B ) 1615 ( C ) 87 ( D ) 0
9．抛物线)0(22>=p px y 上一点M 到焦点的距离为a ，则点M 到准线的 距离是
10．过点)2,3(-A 的抛物线的标准方程是
11．在抛物线)0(22>=p px y 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值是
12.如果椭圆
19362
2=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是 13．已知双曲线222
2-=-y x ，则渐近线方程是
14．双曲线
11692
2=-y x 的两个焦点为1F 、2F ，点P 在双曲线上，若21PF PF ⊥，则点P 到x 轴的距离为
15．方程x 224–k + y 2
16 + k = 1 表示椭圆，则k 的取值范围是 .
16．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是 ．
17.椭圆12
2=+by ax 与直线x y -=1交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为
23
，则b a 的值为____________。
18．已知抛物线的方程x y 42
=，过定点)1,2(-P 且斜率为k 的直线l 与抛物线
x y 42=相交于不同的两点.求斜率k 的取值范围
19、已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长6。
(1)求椭圆C 的标准方程。
(2)设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。
20.已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率3=e ，焦距为32
（I ）求该双曲线方程.
（II ）是否定存在过点P 1(，1）的直线l 与该双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的
中点？若存在，请求出直线l 的方程，若不存在，说明理由.。