《金版新学案》高三数学一轮复习 空间图形的基本关系与公理随堂检测 理 北师大版
《金版新学案》高三数学一轮复习 简单的三角恒等变换随堂检测 理 北师大版
(2)设α∈(0，π)，f ＝ ，求sin α的值．
【解析】 (1)∵f(x)＝sin 2x＋cos 2x，
∴f ＝sin ＋cos ＝1.
(2)∵f ＝sin α＋cos α＝ .
∴sin ＝ ，cos ＝± .
sinα＝sin
＝ × － × ＝ .
∵α∈(0，π)，∴sinα＞0.故sinα＝ .
∵θ∈ ，∴－1＜sin θ＜－ ＜cos θ＜0.
∴cos θ－sin θ＞0，cos θ＋sin θ＜0.
∴原式＝cos θ－sin θ＋cos θ＋sin θ＝2cos θ.
【答案】 D
3．若△ABC中，sin B·sin C＝cos2 ，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等边三角形
【答案】 A
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．若 ＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
【解析】 ∵ ＝ ＝3，∴tan α＝2.
又tan(α－β)＝2，
∴tan(β－2α)＝tan
＝－tan
＝－ ＝ .
【答案】
8．若锐角α、β满足(1＋ tan α)(1＋ tan β)＝4，则α＋β＝________.
【答案】 A
5．定义运算 ＝ad－bc若cos α＝ ， ＝ ，0＜β＜α＜ ，则β等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 依题设得：
sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝ .
∵0＜β＜α＜ ，∴cos(α－β)＝ ，
又∵cos α＝ ，∴sin α＝ .
sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
北师大版高三数学(理)一轮复习《空间图形的基本关系与公理》课件
考纲要求
知识梳理
双击自测
核核心心考考点点
学科素养
-22-
考点1
考点2
考点3 知识方法 易错易混
考点3异面直线所成的角
例3如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-
A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 ()
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,∴P∈直线 DA.∴CE,D1F,DA三线共点.
考点1
第八章
8.3 空间图形的基本关系与公理
考纲要求
知识梳理
双击自测
核核心心考考点点
考点2
考点3 知识方法 易错易混
学科素养
-14-
思考:如何利用平面的基本性质证明点共线和线共点? 解题心得:1.点线共面问题的证明方法: (1)纳入平面法:先确定一个平面,再证有关点、线在此平面内; (2)辅助平面法:先证有关点、线确定平面α,再证其余点、线确定 平面β,最后证明平面α,β重合. 2.证明三线共点问题,常用的方法是:先证其中两条直线交于一点, 再证交点在第三条直线上.证交点在第三条直线上时,第三条直线 应为前两条直线所在平面的交线,可以利用公理3证明.
8.3 空间图形的基本关系与公理
第八章
8.3 空间图形的基本关系与公理
考考纲纲要要求求
知识梳理
双击自测
核心考点
学科素养
-2-
考纲要求:1.理解空间直线、平面位置关系的定义并了解可以作为 推理依据的公理和定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证 明一些空间位置关系的简单命题.
第八章
8.3 空间图形的基本关系与公理
《金版新学案》高三数学一轮复习 相关性最小二乘估计随堂检测 理 北师大版
2011《金版新学案》高三数学一轮复习相关性最小二乘估计随堂检测理北师大版(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．下列关系中，是相关关系的为( )①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．A．①② B．①③C．②③ D．②④【解析】学生的学习成绩与学生的学习态度和教师的执教水平是相关的，与学生的身高和家庭经济条件不相关．【答案】 A2．下列命题：①线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归直线y＝bx＋a及回归系数b，可以估计和预测变量的取值和变化趋势．其中正确的命题是( )A．①② B．①③C．②③ D．①②③【解析】利用最小二乘法求回归直线就是求样本数据的点到直线的距离的平方和最小值．利用回归直线，可以进行预测．而从散点图的分布可以判断是否线性相关．【答案】 D3．回归方程y＝1.5x－15，则( )A．y＝1.5x－15 B．15是回归系数aC．1.5是回归系数a D．x＝10时，y＝0【解析】由a＝y－b x得y＝b x＋a，即为A.【答案】 A4．下列叙述中：( )①变量间关系有函数关系，还有相关关系；②回归函数即用函数关系近似地描述相互关系；③∑i ＝1nx i ＝x 1＋x 2＋…＋x n ；④线性回归方程y ＝bx ＋a 中，b ＝∑i ＝1n(x i －x)(y i －y )∑i ＝1n(x i －x)2，a ＝y －b x ；⑤线性回归方程一定可以近似地表示所有相关关系．其中正确的有( ) A ．①②③ B．①②③④⑤ C ．①②③④ D．③④⑤【解析】 ①②③④显然正确，线性回归方程不一定可以近似地表示所有相关关系，如它不可表示非线性的相关关系，因此，⑤错误，所以选C.【答案】 C5．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ＝0.66x ＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )A ．83%B ．72%C ．67%D ．66%【解析】 将y ＝7.675代入回归方程，可计算得x≈9.26，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.675÷9.26≈0.83，即约为83%.【答案】 A6．三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的线性回归方程为( ) A ．y ＝1.75x －5.75 B ．y ＝1.75x ＋5.75 C ．y ＝－1.75x ＋5.75 D ．y ＝－1.75x －5.75 【解析】 方法一：设回归直线方程为y ＝bx ＋a ，则 b ＝x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3－3x y x 12＋x 22＋x 32－3x 2＝3×10＋7×20＋11×24－3×7×189＋49＋121－3×49＝1.75，a ＝y －b x ＝18－1.75×7＝5.75. 故y ＝1.75x ＋5.75，故选B.方法二：将点代入选项用代入法检验可排除A 、C 、D. 【答案】 B二、填空题(每小题6分，共18分)7．如图所示，有5组(x ，y)数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．【解析】 因为A 、B 、C 、E 四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，D 点离得远． 【答案】 D8．下表是某地的年降雨量与年平均气温，判断两者是否是相关关系________．(填“是”或“否”)【答案】 否9．已知回归方程y ＝4.4x ＋838.19，则可估计x 与y 增长速度之比约为________．【解析】 Δy ＝y 2－y 1＝4.4(x 2－x 1)， ∴x 2－x 1y 2－y 1＝14.4＝1044≈0.227. 【答案】 0.227 三、解答题(共46分)10．(15分)山东鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x 对产量y 影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg).(1)(2)判断是否具有相关关系． 【解析】 (1)散点图如图所示，(2)由散点图知，各组数据对应点大致都在一条直线附近，所以施化肥量x 与产量y 具有线性相关关系．11．(15分)已知变量x ，y 线性相关，x 与y 有下列对应数据：求y 对x 【解析】 x ＝1＋2＋3＋44＝52，y ＝12＋32＋2＋34＝74，∑i ＝14x i 2＝12＋22＋32＋42＝30，∑i ＝14x i y i ＝1×12＋2×32＋3×2＋4×3＝432， ∴b＝∑i ＝14x i y i －4xy∑i ＝14x i 2－4x2＝432－4×52×7430－4×254＝45，a ＝y －b x ＝74－45×52＝－14.∴y＝45x －14.12．(16分)某城区为研究城镇居民月家庭人均生活费支出和月人均收入的相关关系，随机抽取10户进行调查，其结果如下：利用上述资料：(1)画出散点图；(2)如果变量x与y之间具有线性相关关系，求出回归直线方程；(3)测算人均收入为280元时，人均生活费支出应为多少元？【解析】(1)散点图如图所示：(2) =637.4，=490.4，∴y=0.70 761x+39.369 39.(3)把x=280代入，得y≈237.5元，测算人均收入为280元时，人均生活费支出应为237.5元．。
《金版新学案》高三数学一轮复习 垂直关系随堂检测 文 北师大版
2011《金版新学案》高三数学一轮复习垂直关系随堂检测文北师
大版
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．(2009年山东卷)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，m⊥β，则α⊥β，反过来则不一定．所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．【答案】 B
2．(2009年广东卷)给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是( )
A．①和②B．②和③
C．③和④ D．②和④
【解析】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；
由平面与平面垂直的判定可知②正确；
空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；
若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．
【答案】 D
3．(2008年宁夏卷)已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
用心爱心专心 1。
高考数学一轮复习 空间图形的基本关系与公理课时作业36 文 北师大版
高考数学一轮复习空间图形的基本关系与公理课时作业36文北师大版一、选择题1．已知平面外一点P和平面内不共线三点A、B、C，A′、B′、C′分别在PA、PB、PC 上，若延长A′B′、B′C′、A′C′与平面分别交于D、E、F三点，则D、E、F三点( ) A．成钝角三角形B．成锐角三角形C．成直角三角形D．在一条直线上解析：D、E、F为已知平面与平面A′B′C′的公共点，由公理2知，D、E、F共线．答案：D2．已知α、β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点，命题q：α∥β，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a，b都平行于α与β的交线时，a与b无公共点，但α与β相交．当α∥β时，a与b一定无公共点，∴q⇒p，但p⇒/ q.答案：B3．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则( )A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面解析：对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾；对于选项B，过点P与l、m都垂直的直线，即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C，过点P与l、m都相交的直线有一条或零条；对于选项D，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条.答案：B4．[2011·四川卷]l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析：对于A，直线l1与l3可能异面；对于C，直线l1、l2、l3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线时而不共面；对于D，直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面. 所以选B.答案：B5．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA．①②B．②③C．①④D．③④解析：当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定惟一平面α.又a∥b，由a与b确定惟一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．答案：D6．平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，且C∉l，C∈β，又AB∩l＝R，如图所示，过A、B、C三点确定的平面为γ，则β∩γ是( )A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．直线AR解析：由已知条件可知，C∈γ，AB∩l＝R，AB⊂γ，所以R∈γ.又因为C，R∈β，故CR＝β∩γ.答案：C二、填空题7．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，另一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是①矩形，如ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形，另一个面为等边三角形的四面体，如A－A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如A－CB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A－A1DC，所以填①③④⑤.答案：①③④⑤8．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；⑤若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的命题是________(只填序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确．答案：①9．(2010年金华一模)在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH 与MN 异面； 图③中，连接MG ，GM ∥HN ； 因此GH 与MN 共面；图④中，G 、M 、N 共面，但H ∉面GMN ， ∴GH 与MN 异面．所以图②、④中GH 与MN 异面． 答案：②④ 三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为A 1A 的中点， 求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．证明：(1)分别连接EF 、A 1B 、D 1C . ∵E 、F 分别是AB 和AA 1的中点， ∴EF 綊12A 1B .又A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1D 1CB 为平行四边形． ∴A 1B ∥CD 1，从而EF ∥CD 1. ∴EF 与CD 1确定一个平面． ∴E 、F 、D 1、C 四点共面．(2)∵EF 綊12CD 1，∴直线D 1F 和CE 必相交，设D 1F ∩CE ＝P .∵P ∈D 1F 且D 1F ⊂平面AA 1D 1D ， ∴P ∈平面AA 1D 1D .又P ∈EC 且CE ⊂平面ABCD ， ∴P ∈平面ABCD ，即P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点， 而平面ABCD ∩平面AA 1D 1D ＝AD ， ∴P ∈AD .∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．11．已知E 和F 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AA 1和棱CC 1上的点，且AE ＝C 1F ，求证：四边形EBFD1是平行四边形．证明：如图所示，在DD1上取一点G，使D1G＝A1E，则易知A1E綊D1G，∴四边形A1EGD1为平行四边形，∴EG綊A1D1.又∵A1D1綊B1C1，B1C1綊BC，∴EG綊BC，∴四边形GEBC是平行四边形，∴EB綊GC.又∵D1G綊FC，∴四边形D1GCF是平行四边形，∴GC綊D1F，∴EB綊D1F，∴四边形EBFD1是平行四边形.12．在正方体AC1中，E是CD的中点，连结AE并延长与BC的延长线交于点F，连结BE 并延长交AD的延长线于点G，连结FG.求证：直线FG⊂平面ABCD且直线FG∥直线A1B1.证明：由已知得E是CD的中点，在正方体中，有A∈平面ABCD ，E∈平面ABCD，所以AE⊂平面ABCD.又AE∩BC＝F，所以F∈AE，从而F∈平面ABCD.同理，G∈平面ABCD，所以FG⊂平面ABCD.因为EC 綊12AB ，故在Rt △FBA 中，CF ＝BC ，同理，DG ＝AD .又在正方形ABCD 中，BC 綊AD ， 所以CF 綊DG .所以四边形CFGD 是平行四边形． 所以FG ∥CD .又CD ∥AB ，AB ∥A 1B 1， 所以直线FG ∥直线A 1B 1.。
高三数学一轮复习 8-2空间图形的基本关系与公理 北师大版
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第六章 数列
[解析] 本题主要考查平面几何，立体几何的线线， 线面的关系．
①平行关系的传递性．
②举反例：
a⊥b，b⊥c，则a∥c.
③举反例： 交．
a∥γ，b∥γ，则a与b相
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第六章 数列
④垂直于同一平面的两直线互相平行． 故①，④正确．
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第六章 数列
第六章 数列
6．直线AB、AD α，直线CB、CD β，点E∈AB， 点F∈BC，点G∈CD，点H∈DA，若直线EH∩直线FG＝ M，则点M与BD的关系是________．
[答案] M∈BD [解析] 由EH∩FG＝M，知M∈EH，所以M∈平面 CBD， 同理M∈平面ABD，又平面ABD∩平面CBD＝BD，故 M∈BD.
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第六章 数列
在 △ MEN 中 ， 由 余 弦 定 理 得 cos ∠ MEN ＝ ME2＋2MNEE·2N－EMN2＝225＋ ×59－ ×349＝－21，
又因为异面直线所成角的范围是(0,90°]，所以异面 直线 AC 与 BD 所成的角为 60°.
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第六章 数列
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第六章 数列
分别取 AA1、BA、A1C1 的中点 E、F、G，联结 EF、 FG、EG.
则∠FEG 或∠FEG 的补角是 BA1 与 AC1 所成的角， 设 BA＝AC＝AA1＝1，
则 EF＝ 22，EG＝ 22，FG＝ 1＋ 222＝ 26， ∴cos∠FEG＝2×12＋2122－×6422＝－121＝－12，
《金版新学案》高三数学一轮复习高效测评卷 第七章 立体几何 理 北师大版
《金版新学案》高三一轮总复习[B师大]数学理科高效测评卷(七)第七章立体几何—————————————————————————————————————【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)只有一项是符合题目要求的)1．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．下列四个命题中，真命题的个数为( )①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合②两条直线可以确定一个平面③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内A．1 B．2C．3 D．43．一个空间几何体的主视图、左视图都是面积为32，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为( )A．2 3 B．4 3C．4 D．84．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )A．54 B．54πC．58 D．58π5．设三条不同的直线a、b、c，两个不同的平面α，β，bα，cα.则下列命题不成立的是( )A．若α∥β，c⊥α，则c⊥βB．“若b⊥β，则α⊥β”的逆命题C．若a是c在α的射影，b⊥a，则c⊥bD．“若b∥c，则c∥α”的逆否命题6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )A.23B.33C.23D.637．设P是平面α外一点，且P到平面α内的四边形的四条边的距离都相等，则四边形是( )A．梯形B．圆外切四边形C．圆内接四边形D．任意四边形8．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是( )A．①②B．②③C．①④D．③④9．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A．πa2 B.73πa2C.113πa2D．5πa210．正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BB1＝4，长为1的线段PQ在棱AA1上移动，长为3的线段MN在棱CC1上移动，点R在棱BB1上移动，则四棱锥R－PQMN的体积是( )A．6 B．10C．12 D．不确定11．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( ) A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β12．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是直线，给出下列命题：①α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若α∥β，mβ，m∥α，则m∥β；③若m，n在γ内的射影互相垂直，则m⊥n；④若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n.其中正确命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3第Ⅱ卷(非选择题共90分)) 13．如图，一个空间几何体的主视图左视图和左视图都是边长为2的正三角形，俯视图是一个圆，那么该几何体的体积是________．14．如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的图的序号)．15．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，AD＝4，AA1＝3，分别过BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1＝VAEA1－DFD1，V2＝VEBE1A1－FCF1D1，V3＝VB1E1B－C1F1C.若V1∶V2∶V3＝1∶4∶1，则截面A1EFD1的面积为________．16．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为AA1的中点，在对角面BDD1B1上取一点M，使AM＋ME最小，其最小值为________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)一几何体的三视图如下：(1)画出它的直观图，并求其体积；(2)你能发现该几何体的哪些面互相垂直？试一一列出．18．(12分)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝AA1＝2，D是AB的中点．(1)求证：CD⊥平面ABB1A1；(2)求二面角D－A1C－A的正切值．19．(12分)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)；(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．20．(12分)如图所示，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，AD⊥DC，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝AB ＝12CD ＝1，M 为PB 的中点．(1)试在CD 上确定一点N ，使得MN ∥平面PAD ；(2)点N 在满足(1)的条件下，求直线MN 与平面PAB 所成角的正弦值．21．(12分)如图，已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且AG ＝13GD ，BG ⊥GC ，GB ＝GC ＝2，E是BC 的中点，四面体P －BCG 的体积为83.(1)求异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值； (2)求点D 到平面PBG 的距离；(3)若F 点是棱PC 上一点，且DF ⊥GC ，求PF FC的值．【解析方法代码108001100】22．(14分)如图，M 、N 、P 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、DD 1上的点． (1)若BM MA ＝BNNC，求证：无论点P 在D 1D 上如何移动，总有BP ⊥MN ；(2)若D 1P ∶PD ＝1∶2，且PB ⊥平面B 1MN ，求二面角M －B 1N －B 的余弦值； (3)棱DD 1上是否总存在这样的点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论．【解析方法代码108001101】答案一、选择题1．B 在空间中，两条直线没有公共点，可能是两条直线平行，也可能是两条直线异面，两条直线平行则两条直线没有公共点，∴“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条件．2．A ①两个平面有三个公共点，若这三个公共点共线，则这两个平面相交，故①不正确；两异面直线不能确定一个平面，故②不正确；在空间交于一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故④不正确；据平面的性质可知③正确．3．C 由几何体的三视图可得，此几何体是由两个正四棱锥底面重合在一起组成的，由主视图的面积为32，得菱形的边长为1，此几何体的表面积为S ＝8×12×1×1＝4. 4．A 设圆台的上、下底面半径分别为r ，R ，截去的圆锥与原圆锥的高分别为h ，H ，则r R ＝hH，又πR 2＝9·πr 2，∴R ＝3r ， ∴H ＝3h .∴13πR 2·H －13πr 2h ＝52. 即13πR 2·H －13π·19R 2·13H ＝52，∴13πR 2H ＝54. 5．B 命题C 即为三垂线定理；命题D 中的原命题即为线面平行的判定定理，所以D 正确；命题A 显然成立；对于命题B ，若α⊥β，则b 与β的位置关系都有可能．6．D 如图，连接BD 交AC 于O ，连接D 1O ，由于BB 1∥DD 1， ∴DD 1与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1所成的角，易知∠DD 1O 即为所求．设正方体的棱长为1，则DD 1＝1，DO ＝22，D 1O ＝62， ∴cos∠DD 1O ＝DD 1D 1O ＝26＝63. ∴BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为63. 7．B P 到平面α内的四边形的四条边的距离都相等，则P 在平面α内的射影到四边形的四条边的距离也都相等，故四边形有内切圆．8．C 由平行公理可知①正确；②不正确，若三条直线在同一平面内，则a ∥c ；③不正确，a 与b 有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知④正确．9．B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a . 如图，设O 、O 1分别为下、上底面中心，且球心O 2为O 1O 的中点，又AD ＝32a ，AO ＝33a ，OO 2＝a 2，设球的半径为R ，则R 2＝AO 22＝13a 2＋14a 2＝712a 2. ∴S 球＝4πR 2＝4π×712a 2＝73πa 2.10．A 四棱锥R －PQMN 的底面积为S ＝S △PQM ＋S △MNP＝12PQ ·AC ＋12MN ·AC ＝12(PQ ＋MN )·AC ＝12(1＋3)×32＝6 2. 其高h ＝322，V R －PQMN ＝13Sh ＝13×62×322＝6.11．D ∵m ∥α，m ∥β，α∩β＝l ，∴m ∥l . ∵AB ∥l ，∴AB ∥m .故A 一定正确． ∵AC ⊥l ，m ∥l ，∴AC ⊥m .从而B 一定正确． ∵A ∈α，AB ∥l ，l α，∴B ∈α. ∴AB β，l β.∴AB ∥β.故C 也正确．∵AC ⊥l ，当点C 在平面α内时，AC ⊥β成立，当点C 不在平面α内时，AC ⊥β不成立．故D 不一定成立．12．B 本题为线面位置关系的判定，注意对线面平行与垂直的判定定理与性质定理的应用．①错，当两平面同时垂直于一个平面时，这两个平面也可以平行，如正方体相对的两个平面；②正确，不妨过直线m 作一平面与α，β同时相交，交线分别为a ，b ，由α∥β知a ∥b ，又m ∥α⇒m ∥a ，∴m ∥b ，又m ⊄β，∴m ∥β；③错，不妨设该直线为正方体的两对角线，其在底面的射影为正方形的两对角线，它们是互相垂直的，但正方体的两对角线不垂直；④错，以正方形两平行棱，或一条棱及与其相交的面对角线为例，可找到反例．二、填空题13．解析： 由三视图知该几何体是底面半径为1，高为3的圆锥． 因此，其体积V ＝13π·12×3＝33π.答案：33π 14．解析： 图①为空间四边形D ′OEF 在前面(或后面)上的投影．图②为空间四边形D ′OEF 在左面(或右面)上的投影．图③为空间四边形D ′OEF 在上面(或下面)上的投影．答案： ①②③15．解析： 设AE ＝x ，BE ＝6－x ，V 1＝VAEA 1－DFD 1，V 2＝VEBE 1A 1－FCF 1D 1，V 3＝VB 1E 1B －C 1F 1C ，且V 1∶V 2∶V 3＝1∶4∶1，所以12×(3x )×4∶(6－x )×3×4∶12×(3x )×4＝1∶4∶1，解得x ＝AE ＝2，∴A 1E ＝A 1A 2＋AE 2＝13， ∴SA 1EFD 1＝413. 答案： 41316．解析： 取CC 1的中点F ，连接EF ，EF 交平面BB 1D 1D 于点N ，且EN ＝FN ， 所以F 点是E 点关于平面BB 1D 1D 的对称点， 则AM ＋ME ＝AM ＋MF ，所以当A ，M ，F 三点共线时，AM ＋MF 最小，即AM ＋ME 最小， 此时AM ＋MF ＝AF ＝AC 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫CC 122＝3a2. 答案： 32a三、解答题17．解析： (1)该几何体的直观图如图，棱锥P －ABC ，其中PC ⊥面ABC ，∠ABC ＝90°，△ABC 斜边AC 上的高为125cm ，PC ＝6 cm ，AC ＝5 cm ，∴V P －ABC ＝13×12×5×125×6＝12(cm 3)．(2)互相垂直的面分别有：面PAC ⊥面ABC ，面PBC ⊥面ABC ，面PBC ⊥面PAB .18．解析： (1)证明：因为AC ＝CB ，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点， 所以CD ⊥AB ，又因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CD ⊥AA 1，又∵AB ∩AA 1＝A ，∴CD ⊥平面ABB 1A 1.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，∵AC ＝CB ＝AA 1＝2，∴A (2,0,0)，A 1(2,0,2)，D (1,1,0)，C (0,0,0)，C 1(0,0,2)．显然平面A 1AC 的法向量为m ＝(0,1,0)，设平面A 1CD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ A 1D →·n ＝0A 1C →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y －2z ＝02x ＋2z ＝0，令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)，令m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n |m ||n |＝－33， ∴二面角D －A 1C －A 的余弦值为33，其正切值为 2. 19．解析： (1)由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为9.6－8×2r 8＝1.2－2r ， ∴塑料片面积S ＝πr 2＋2πr (1.2－2r )＝πr 2＋2.4πr －4πr 2＝－3πr 2＋2.4πr ＝－3π(r 2－0.8r )．∴当r ＝0.4时，S 有最大值，约为1.51平方米．(2)若灯笼底面半径为0.3米，则高为1.2－2×0.3＝0.6(米)．制作灯笼的三视图如图．20．解析： 方法一：(1)过点M 作ME ∥AB 交PA 于E 点，连接DE .要使MN ∥平面PAD ，则MN ∥ED ，∴四边形MNDE 为平行四边形，∴EM 綊DN .又∵EM 綊12AB ，而AB ＝12CD ， ∴DN ＝14CD ，∴DN ＝12. (2)∵MN ∥ED ，∴直线MN 与平面PAB 所成的角即为直线ED 与平面PAB 所成的角．∵PA ⊥面ABCD ，∴PA ⊥AD ，而AB ⊥AD ，∴DA ⊥面PAB ，∴∠DEA 为直线ED 与平面PAB 所成的角．由题设计算得DE ＝52， ∴sin ∠DEA ＝AD DE ＝255. 方法二：过点M 作ME ∥AB 交PA 于E 点，连接DE .要使MN ∥平面PAD ，则MN ∥ED ，∴四边形MNDE 为平行四边形．以AD 、AB 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系A —xyz ，如图所示．则由题意得A (0,0,0)、B (0,1,0)、D (1,0,0)、C (1,2,0)、P (0,0,1)、M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0. (1)∵D N →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴|D N →|＝12. (2)∵PA ⊥面ABCD ，∴PA ⊥AD ，而AB ⊥AD ，∴DA ⊥面PAB .又∵N M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12， D A →＝(－1,0,0)，∴cos 〈N M →，D A →〉＝NM →·DA →|NM →|·|DA →|＝152·1＝255， ∴直线MN 与平面PAB 所成的角的正弦值为255. 21．解析： (1)由已知V P －BGC ＝13S △BCG ·PG ＝13·12BG ·CG ·PG ＝83，∴PG ＝4， 如图所示，以G 点为原点建立空间直角坐标系O －xyz ， 则B (2,0,0)，C (0,2,0)，P (0,0,4)，故E (1,1,0)，GE →＝(1,1,0)，PC →＝(0,2，－4)，cos 〈GE →，PC →〉＝GE →·PC →|G E →|·|P C →|＝22×20＝1010， ∴异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值为1010. (2)平面PBG 的单位法向量n 0＝(0，±1,0)，∵GD →＝34A D →＝34BC →， B (2,0,0)，C (0,2,0)，∴GD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，0， ∴点D 到平面PBG 的距离为|GD →·n 0|＝32. (3)设F (0，y ，z )，则DF →＝OF →－OD →＝(0，y ，z )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，0 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，y －32，z ，GC →＝(0,2,0)． ∵DF →⊥GC →，∴DF →·GC →＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫32，y －32，z ·(0,2,0) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －32＝0，∴y ＝32. 在平面PGC 内过F 点作FM ⊥GC ，M 为垂足，则GM ＝32，MC ＝12， ∴PF FC ＝GM MC ＝3.22．解析： (1)证明：连接AC 、BD ，则BD ⊥AC ，∵BM MA ＝BN NC，∴MN ∥AC ，∴BD ⊥MN .又∵DD 1⊥平面ABCD ，∴DD 1⊥MN ，∵BD ∩DD 1＝D ，∴MN ⊥平面BDD 1.又P 无论在DD 1上如何移动，总有BP ⊂平面BDD 1，∴无论点P 在D 1D 上如何移动，总有BP ⊥MN .(2)以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的坐标系．设正方体的棱长为1，AM ＝NC ＝t ，则M (1，t,0)，N (t,1,0)，B 1(1,1,1)，P (0,0，23)， B (1,1,0)，A (1,0,0)，∵MB 1→＝(0,1－t,1)，B P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1，23. 又∵BP ⊥平面MNB 1，∴MB 1→·B P →＝0，即t －1＋23＝0，∴t ＝13， ∴MB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，1， M N →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23，0. 设平面MNB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧ MB 1→·n ＝0M N →·n ＝0，得x ＝y ，z ＝－23y . 令y ＝3，则n ＝(3,3，－2)． ∵AB ⊥平面BB 1N ， ∴A B →是平面BB 1N 的一个法向量， A B →＝(0,1,0)．设二面角M －B 1N －B 的大小为θ， ∴cos 〈n ，A B →〉＝，3，－，1，22＝32222. 则二面角M －B 1N －B 的余弦值为32222. (3)存在点P ，且P 为DD 1的中点， 使得平面APC 1⊥平面ACC 1. 证明：∵BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1， ∴BD ⊥平面ACC 1.取BD 1的中点E ，连接PE ， 则PE ∥BD ，∴PE ⊥平面ACC 1.∵PE ⊂平面APC 1， ∴平面APC 1⊥平面ACC 1.。
2022《金版新学案》高三数学一轮复习 抛物线随堂检测 理 北师大版
2021《金版新学案》高三数学一轮复习拋物线随堂检测理北师大
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一、选择题每小题6分，共36分
1．拋物线＝42上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是
D．0
【解析】M到焦点的距离为1，则其到准线的距离也为1
又∵拋物线的准线为＝－错误!，
∴M点的纵坐标为错误!
【答案】 B
2．双曲线错误!－错误!＝1mn≠0的离心率为2，有一个焦点与拋物线2＝4的焦点重合，则mn的值为
【解析】由题意错误!
∴m＝错误!，n＝错误!∴mn＝错误!
【答案】 A
3．若点2ac2ac4c
18 m11 m2.3 m4.3 m3 m 为－3,．
故方程可设为=a32a＜0．
发球点的坐标C为-11,，
代入方程可得a=-，
∴抛物线方程为=-32，
令=9，则=-933＜0，
故球能发在场内．
12．16分
如右图所示，直线1和2相交于点M，1⊥2，点N∈1，以A、B为端点的曲线段C上任一点到2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|NB|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．
【解析】以直线1为轴，线段MN的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以2为准线的抛物线的一段．其中A、B分别为曲线段C的端点．设曲线段C的方程为2=2N|，
所以M、N
由|AM|=，|AN|=3，得
22N为锐角三角形，所以错误!＞A
故舍去错误!所以错误!
由点B在曲线段C上，得B＝|BN|－错误!＝4
综上，曲线段C的方程为2＝81≤≤4，＞0．。
2021《金版新学案》高三数学一轮复习 空间向量及其运算随堂检测 理 北师大版2
2021?金版新学案?高三数学一轮复习 空间向量及其运算随堂检测理 北师大版一、选择题(每题6分，共36分)1．向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12x ，x .b ＝(x,1,2)，其中x>0.假设a ∥b ，那么x 的值为( ) A ．8 B ．4C ．2D ．0【解析】 方法一：因x ＝8,2,0时都不满足a ∥b .而x ＝4时，a ＝(8,2,4)＝2(4,1,2)＝2b ，∴a ∥b .方法二：a ∥b 且x>0⇔存在λ>0使a ＝λb⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，x ＝(λx，λ，2λ) ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ λx＝8x 2＝λx ＝2λ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2x ＝4.【答案】 B2．以下命题中，不正确的命题个数是( )①空间任意五边形ABCDE ，那么AB →＋BC →＋CD →＋DE →＋EA →＝0；②假设a ∥b ，那么a 所在直线与b 所在直线平行；③空间任意两非零向量a 、b 共面；④空间向量a 平行于平面α，那么a 所在直线平行于平面α.A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由向量加法知①正确；当a ∥b 时，a 与b 所在直线平行或重合，故②是错误的；很明显③是正确的；根据向量与平面平行的定义知，④是错误的，应选B.【答案】 B3．直线AB 、CD 是异面直线，AC⊥CD，BD⊥CD，且AB ＝2，CD ＝1，那么异面直线AB 与CD 所成角的大小为( )A ．30° B．45°C ．60° D．75°【解析】∵AB →·CD →|A B →|·|C D →|＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →2×1 ＝CD 2→2＝12.∴AB →与CD →所成角为60°. 【答案】 C4．以下命题：①假设A 、B 、C 、D 是空间任意四点，那么有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0；②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件；③假设a 、b 共线，那么a 与b 所在直线平行；④对空间任意一点O 与不共线的三点A 、B 、C ，假设OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x 、y 、z∈R )，那么P 、A 、B 、C 四点共面．其中不正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ①中四点恰好围成一封闭图形，正确；②中当a 、b 同向时，应有|a |＋|b |＝|a ＋b |；③中a 、b 所在直线可能重合；④中需要满足x ＋y ＋z ＝1，才有P 、A 、B 、C 四点共面．【答案】 C5．空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a ，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、DC 的中点，那么四个数量积：①2BA →·AC →；②2AD →·BD →；③2FG →·AC →；④2EF →·CB →中，结果为a 2的共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 2BA →·AC →＝－a 2,2AD →·BD →＝a 2，2FG →·AC →＝a 2,2EF →·CB →＝－12a 2. 【答案】 B6．A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，那么△BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．以上都不对【解析】 ∵BC →·BD →＝(AC →－AB →)·(AD →－AB →)＝AC →·AD →－AB →·AD →－AC →·AB →＋AB →·AB →＝|AB →|2>0，同理CB →·CD →>0，DB →·DC →>0，故△BCD 为锐角三角形，因此选B.【答案】 B二、填空题(每题6分，共18分)7．向量a ＝(－1,2,3)，b ＝(1,1,1)，那么向量a 在向量b 方向上的射影为________．【解析】1|b |b ·a ＝13(1,1,1)·(－1,2,3)＝433， 那么a 在向量b 上的射影为433. 【答案】4338.如下图，空间四边形ABCD ，F 为BC 的中点，E 为AD 的中点，假设EF →＝λ(AB →＋DC →)，那么λ＝________.【解析】 取AC 的中点G ，连接EG 、GF ，那么EF →＝EG →＋GF →＝12(AB →＋DC →) ∴λ＝12. 【答案】 129．在以下条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是________．①OM →＝2OA →－OB →－OC →； ②OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC ； ③MA →＋MB →＋MC →＝0；④OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0.【解析】 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴MA →＝－MB →－MC →那么MA →、MB →、MC → 为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面．【答案】 ③三、解答题(共46分)10．(15分)向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．(1)求：|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点)【解析】(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2.(2)OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t)，假设OE →⊥b ，那么OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t ＝95，因此存在点E ，使得OE →⊥b ，此时E 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－145，25. 11．(15分)如图，在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE=BF=x ，其中0≤x ≤a ，以O 为原点建立空间直角坐标系O-xyz.(1)写出点E 、F 的坐标；12. (16分)右图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD ，AB ＝3，BC ＝1，PA ＝2，E 为PD 的中点．(1)求直线AC 与PB 所成角的余弦值；(2)在侧面PAB 内找一点N ，使NE⊥面PAC ，并求出N 点到AB 和AP 的距离．【解析】 (1)如右图，建立直角坐标系A-xyz ，那么P(0,0,2)，B(3,0,0)， C(3,1,0)。
《金版新学案》高三数学一轮复习 平行关系随堂检测 文 北师大版
2011《金版新学案》高三数学一轮复习平行关系随堂检测文北师大版(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．已知α∥β，aα，B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线【解析】B点与a确定一平面γ与β相交，设交线为b，则a∥b.【答案】 D2．若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8、12，过AB的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的周长为( )A．10 B．20C．8 D．4【解析】设截面四边形为EFGH，F、G、H分别是BC、CD、DA的中点，∴EF＝GH ＝4，FG＝HE＝6，∴周长为2×(4＋6)＝20.【答案】 B3．下列说法正确的是( )A．直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∩b＝∅，直线bα，则a∥αD．若直线a∥b，bα，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线【解析】∵直线l虽与平面α内的无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，从而排除A.∵直线a在平面α外，包括两种情况：a∥α，或a与α相交，∴a和α不一定平行，从而排除B.∵直线a∩b＝∅，bα，则只能说a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a 不一定平行于α，从而排除C.∵a∥b，bα，那么aα，或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行．【答案】 D4．下列命题中正确的个数是( )①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑥平行于同一平面的两直线可以相交．A．1 B．2C．3 D．4【解析】a∩α=A时，a不在α内，∴①错；直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；l∥α时，α内的直线与l平行或异面，故③错；a∥b，b∥α时a∥α或aα，故④错；l∥α，则l与α无公共点，∴l与α内任何一条直线都无公共点，∴⑤正确；如图长方体中，A1C1与B1D1都与平面ABCD平行，∴⑥正确．故选B.【答案】 B5．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，lα，mβ，则α∥β；②若α∥β，lα，mβ，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为( )A．3 B．2C．1 D．0【解析】 ①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l 、m. ②中l 与m 也可能异面．③中l⎭⎪⎬⎪⎫l∥γββ∩γ＝m ⇒l∥m， 同理l∥n，则m∥n，正确． 【答案】 C6．已知平面α∥平面β，P 是α 、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D 且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245C ．14D ．20【解析】 根据题意可出现以下如图两种情况可求出BD 的长分别为245或24.【答案】 B二、填空题(每小题6分，共18分)7．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l ，m 为不同的直线，α、β为不重合的平面)，则此条件为________．①⎭⎪⎬⎪⎫mαl∥m ⇒l∥α ②⎭⎪⎬⎪⎫l∥mm∥α ⇒l∥α ③⎭⎪⎬⎪⎫l⊥βα⊥β ⇒l∥α 【解析】 ①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l 为平面α外的直线”，即“l ⊄α”．它同样适合②③，故填l ⊄α.【答案】 l ⊄α8．如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.【解析】 如图，连结AC ，易知MN∥平面ABCD ， ∴MN∥PQ.又∵MN∥AC，∴PQ∥AC.9．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下列命题： ①若m∥α，则m 平行于平面α内的无数条直线 ②若α∥β，mα，nβ，则m∥n③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β ④若α∥β，mα，则m∥β上面命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．【解析】①正确，注意体会无数与任意的区别；②错，两平行平面内的两直线可以平行也可以异面；③正确，易知此时两平面垂直于同一直线，故两平面互相平行；④正确，两平行平面内的任一平面内的一直线与平行于另一平面，简记为面面平行则线面平行．【答案】①③④三、解答题(共46分)10．(15分)已知如图：E、F、G、H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点．(1)求证：EG∥平面BB1D1D；(2)求证：平面BDF∥平面B1D1H.【证明】(1)取B1D1的中点O，连结GO，OB，易证四边形BEGO为平行四边形，故OB∥GE，由线面平行的判定定理即可证EG∥平面BB1D1D.(2)由正方体得BD∥B1D1.如图，连结HB、D1F，易证四边形HBFD1是平行四边形，故HD1∥BF.又B1D1∩HD1=D1，BD∩BF=B，所以平面BDF∥平面B1D1H.11．(15分)在空间四边形ABCD中，如右下图所示．(1)若E、F分别为AB、AD上的点且能推出EF ∥平面BCD吗？为什么？(2)若E、F分别是AB、AD上的任一点，在何条件下能使EF∥平面BCD呢？【解析】(1)能．12．(16分)如图平面内两正方形ABCD与ABEF，点M、N分别在对角线AC、FB上，且AM∶MC=FN∶NB，沿AB折成直二面角．(1)证明：折叠后MN∥平面CBE；(2)若AM∶MC=2∶3，在线段AB上是否存在一点G，使平面MGN∥平面CBE？若存在试确定点G的位置．【解析】(1)证明：如图，设直线AN 与BE 交于点H ， 连接CH ， ∵△ANF ∽△HNB ， ∴AN NH ＝AM MC ， ∴MN∥CH.又MN平面CBE ，CH平面CBE ，∴MN∥平面CBE.(2)存在，过M 作MG⊥AB，垂足为G ， 则MG∥BC，∴MG∥平面CBE ， 又MN∥平面CBE ，MG∩MN＝M ， ∴平面MGN∥平面CBE. 即：G 在AB 线上， 且AG∶GB＝AM∶MC＝2∶3.。
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2011《金版新学案》高三数学一轮复习
空间图形的基本关系与公理随堂检测理北师大版
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．已知α、β是两个不同的平面，直线aα，直线bβ，命题p∶a与b没有公共点，命题q∶α∥β，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 当a，b都平行于α与β的交线时，a与b无公共点，
但α与β相交．当α∥β时，a与b一定无公共点，
∴q⇒p，但p q
【答案】 B
2.
如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是( )
A．直线AC B．直线AB
C．直线CD D．直线BC
【解析】 由题意知，D∈l，lβ，∴D∈β.
又D∈AB，∴D∈平面ABC，
即D在平面ABC与平面β的交线上．
又C∈平面ABC，C∈β，
∴点C在平面β与平面ABC的交线上．
从而有平面ABC∩平面β＝CD.
【答案】 C
3．正方体AC1中，E、F分别是线段C1D、BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系
是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
【解析】
直线AB与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交，选A.
【答案】 A
4．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )
A．若AC与BD共面，则AD与BC共面
B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线
C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC
D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC
【解析】
注意审题是选不正确的选项，分别判断易知D选项中当四点构成空间四面体时，只能推出AD⊥BC，二者不一定相等，如图易证得直线BC⊥平面ADE，从而AD⊥BC.
【答案】 D
5. 如图，在正四棱柱ABCD-
A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是( )
A．EF与BB1垂直
B．EF与BD垂直
C．EF与CD异面
D．EF与A1C1异面
【解析】 连接A1B，∵E是AB1中点，∴E∈A1B，
∴EF是△A1BC1的中位线，∴EF∥A1C1，故D不成立．
【答案】 D
6．以下四个命题中，正确命题的个数
是( )
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】
①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A 、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．
【答案】 B
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．三条直线可以确定三个平面，这三条直线的公共点个数是________．
【解析】
因三条直线可以确定三个平面，所以这三条直线有两种情况：一是两两相交，有1个交点；二是互相平行，没有交点．
【答案】 0或1
8．在空间中，
①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；
②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．
以上两个命题中，逆命题为真命题的是________(把符合要求的命题序号都填上)．
【解析】
对于①可举反例，如AB∥CD，A、B、C、D没有三点共线，但ABCD共面，对于②由异面直线定义知正确，故填②.
【答案】 ②
9.
如图所示，正方体ABCD-
A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为 (注：把你认为正确的结论的序号都填上)．
【解析】 AM与CC1是异面直线，
AM与BN是异面直线，所以①②错误．③④正确．
【答案】 ③④
三、解答题(共46分)
10．(15分)
如图，立体图形A-
BCD的四个面分别为△ABC、△ACD、△ADB和△BCD，E、F、G分别是线段AB、AC、AD上的点，且满足AE∶AB=AF∶AC=AG∶AD.
求证：△EFG∽△BCD.
【证明】 在△ABD中，
∵AE∶AB=AG∶AD，
∴EG∥BD.同理，GF∥DC，EF∥BC.
又∠GEF与∠DBC方向相同，
∴∠GEF=∠DBC.
同理，∠EGF=∠BDC.
∴△EFG∽△BCD.
11．(15分)
如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-
A1B1C1D1中，M，N分别为AA1，C1D1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.
(1)画出直线l；
(2)设l∩A1B1=P，求线段PB1的长．
【解析】
(1)延长DM 交D 1A 1的延长线于点E ，连接NE 交A 1B 1于点P ，
直线NE 即为所求的直线l.
(2)∵点M 为AA 1的中点，且AD∥ED 1，∴AD ＝A 1E ＝A 1D 1＝a ，
又∵A 1P∥D 1N ，且D 1N ＝a ，
12∴A 1P ＝D 1N ＝a ，
1214∴PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝a －a ＝ a.
1434
12．(16分)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为A 1A 的中点，
求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面；
(2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．
【证明】 (1)分别连接EF 、A 1B 、D 1C.∵E 、F 分别是AB 和AA 1的中点，
∴EF A 1B.又A 1D 1 B 1C 1 BC ，12∴四边形A 1D 1CB 为平行四边形．∴A 1B∥CD 1，从而EF∥CD 1.
∴EF 与CD 1确定一个平面．∴E 、F 、D 1、C 四点共面．(2)∵EF CD 1，
12∴直线D 1F 和CE 必相交，设D 1F∩CE ＝P.∵P∈D 1F 且D 1F 平面AA 1D 1D ，∴P∈平面AA 1D 1D.又P∈EC 且CE 平面ABCD ，∴P∈平面ABCD ，
即P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点，而平面ABCD∩平面AA 1D 1D ＝AD ，∴P∈AD.
∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．。