第9讲 函数针对性训练—初等函数
(2021年整理)高中数学经典解题技巧和方法--函数、基本初等函数的图象与性质(跟踪训练题)
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函数、基本初等函数的图象与性质——跟踪练习一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，总分36分)1．设函数f （x)=log 2x 的反函数为y=g （x ），若41)11(=-a g ，则a 等于（ ）A ．—2B ．21-C ．21D ．22。
已知一容器中有A 、B 两种菌，且在任何时刻A ，B 两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用)lg(A A n P =来记录A 菌个数的资料，其中A n 为A 菌的个数，则下列判断中正确的个数为（ ） ①1≥A P②若今天的P A 值比昨天的P A 值增加1，则今天的A 菌个数比昨天的A 菌个数多了10个 ③假设科学家将B 菌的个数控制为5万个，则此时5.55<<A PA ．0B ．1C ．2D ．3 3。
函数||y x =与21y x =+在同一坐标系的图象为（ )4。
类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，()2x xa a S x --=，()2x xa a C x -+=，其中0a >，且1a ≠，下面正确的运算公式是（ )①()()()()()S x y S x C y C x S y +=+； ②()()()()()S x y S x C y C x S y -=-; ③()()()()()C x y C x C y S x S y +=-; ④()()()()()C x y C x C y S x S y -=+． （A ）①③（B ）②④（C ）①④ （D ）①②③④5.下列函数()f x 中，满足“对任意1x ,2x ∈（0，+∞)，当1x 〈2x 时，都有1()f x 〉2()f x 的是( ）A ．()f x =1x B 。
第9讲 导数及其应用
第九讲 导数及其应用【学习目标】了解导数的概念；理解导数的几何意义；掌握基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则； 导数在研究函数中的应用。
【基础知识回顾】：1、函数)(x f y =在0x x =处的导数（1）定义：函数在0x 处的瞬时变化率称为)(x f y =在0x x =处的导数，即=)(0'x f 。
（2）几何意义：函数)(x f y =在0x x =处的导数)(0'x f 的几何意义是 。
相应地，切线方程为 。
2、 基本初等函数的导数公式3、导数运算法则（1）=±')]()([x g x f ；（2）')]()([x g x f ∙= ； （3）='])()([x g x f （)0)(≠x g4、求可导函数单调区间的一般步骤：5、求可导函数极值的步骤：_______ ____、 _______ _____、 _______________ 。
6、求可导函数在[a ，b]上最值的步骤：①______________________；②____________ _____________。
【基础知识自测】1、已知函数1)(2+=x x f 2在1.0,2=∆=x x 时，y ∆的值为（ ） A 、0.40 B 、0.41 C 、0.43 D 、0.442、若2)(0'=x f ，则kx f k x f k 2)()(000lim--→等于（ ）A 、-1B 、-2C 、1D 、213、下列运算中不正确的是 （ ) A 、xx 1)(ln '=B 、)0,1,0(ln 1)(log'>≠>=x a a ax x aC 、x x sin )(cos '=D 、为自然数）a ax x a a ()(1'-= 4、函数x x x y sin cos -=的导数为（ ）A 、x x sinB 、x x sin -C 、x x cosD 、x x cos -5、函数33)(2++=x x x f 在3=x 处的导数值为 。
基本初等函数提高训练(指数函数、对数函数、幂函数)
基本初等函数提高训练（指数函数、对数函数、幂函数）1．若0.52a =，22log 3,log sin 5b c ππ==，则（ ）A ．a b c >> B. b a c >> C. c a b >> D. b c a >>2．,则（ ）A ．B ．C ．D ． 3．设x ba==52,且a 1+b1=2，则x = ( ) A 、10 B 、 10 C 、 20 D 、 100 4．函数2221x x y -⎪⎭⎫ ⎝⎛=的值域为（ ） A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21, C. ⎥⎦⎤⎝⎛21,0 D. (]2,05．已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >= ，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221l o g l o g l o g n a a a -+++= Ａ．(21)n n - Ｂ．2(1)n + Ｃ．2n Ｄ．2(1)n - 6．若函数)(log )(3ax x x f a -=)1,0(≠>a a 在区间)0 ,21(-内单调递增，则a 的取值范围是 ( ) A ．49(，)+∞ B ．(1，49) C ． [43，1) D ．[41，1) 7．已知函数f(x)=x lg , 0a b <<,且()()f a f b >，则（ ） （A ）1ab > （B ）1ab < （C ）1ab = （D ）(1)(1)0a b --> 8．方程()x x -=+31lg 的解为1x ，方程x x -=+3101的解为2x ，则=+21x x （ ）A ．2 B ．3 C ．4D ．5 9．若132log <a ，则a 的取值范围是 ( ) A ．a >1 B ．320<<a C ．132<<aD ．320<<a 或a >110．为了得到函数103lg+=x y 的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点 （ ）. A 、向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B 、向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C 、向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D 、向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 11．函数2|lg |2|1|o x y x =--的图象大致是（ ）cb a Rc b a c ba22121log )21(,log 21,log 2,,,==⎪⎭⎫⎝⎛=∈+且设c b a <<a b c <<b a c <<c a b <<12．已知函数f(x)=log 3x+2 (x ∈[1,9])，则函数y=[f(x)]2+f(x 2)的最大值是（ ） A ．13 B ．16 C ．18 D ．2213．实数n m ,满足10<<<m n ，则对于①nm32=；②n m 32log log =；③22n m =中可能成立的有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个14．已知3)6(2=-=y x a a (51<<a )，则yx 12+的最大值为（ ）A ．2 B ． 3 C ．4D ．615．若函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤+⎪⎭⎫⎝⎛->=12241x x a x a x f x 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为（ ）A 、()∞+,1B 、()8,1C 、()8,4D 、[)8,416．若log 2log 20m n <<，则,m n 满足的条件是（ ）A 、1m n >> B 、1n m >> C 、01n m <<< D 、01m n <<<17．函数ln(cos )y x = ππ22x ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）18．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()(4)f x f x =+，且当[2,0]x ∈-时，1()()12x f x =-，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=(01)a a >≠且恰有3个不同的yxπ2-π2O yxπ2-π2O yxπ2-π2O yxπ2-π2O A ．B ．C ．D ．基本初等函数提高训练（指数函数、对数函数、幂函数）实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．（1，2）B ．（2，+∞）C ．3(1,4)D ．3(4,2)19．函数22x y x =-的图像大致是（ ）20．若⎩⎨⎧≥<+-=1,1,4)13()(x a x a x a x f x 是(,)-∞+∞上的减函数，则a 的取值范围是 A.(0,1)B ．1(0,)3 C.)31,61[ D. [)1,6121．设函数221()x f x x-⎧-=⎨⎩ 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是（ ）A ．(1,1)-B ．(1,)-+∞C ．(,2)(0,)-∞-+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞22．已知函数，若实数0x 是方程()0f x =的解，且100x x <<，则1()f x 的值（ ）A ．恒为负B ．等于零C ．恒为正D ．不大于零 23．已知函数，对于满足的任意，给出下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确结论的序号是（ ）A. (1)(2)B. (1)(3)C. (2)(4)D. (3)(4)24．已知是R 上的奇函数，又是周期为3的周期函数，当(0,2]x ∈时，，则0.5(log 24)f 的值为( ) A 、32B 、 4C 、12-D 、2-25．若函数在上有最小值－5，（，为常数），则函数在上（ ）31()()log 5xf x x=-()21x f x =-1202x x <<<12,x x []2121()()()0x x f x f x --<2112()()x f x x f x <2121()()f x f x x x ->-1212()()()22f x f x x xf ++>)(x f 12)(-=x x f 2)1(log )(223++++=x x b ax x f )0,(-∞a b )(x f ),0(+∞．有最大值5 B ．有最大值9 ．有最大值3 D ．有最小值526．已知y x y x 222log log )(log +=+，则xy 的取值范围是 。
2020版数学(理)精优大复习人教A讲义第9讲对数与对数函数
第9讲 对数与对数函数1。
对数概念 如果a x =N (a>0，且a ≠1），那么x 叫作以a 为底N的 ,记作x=log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数，log a N 叫作对数式 性质底数的限制：a 〉0，且a ≠1对数式与指数式的互化：a x=N⇔负数和零没有log a 1=log a a=1对数恒等式：a log a N= 运算法则 log a （M ·N ）=a>0，且a ≠1，M 〉0，N>0log a M N = log a M n= (n ∈R)换底公式 换底公式：log a b=log c blog ca（a 〉0,且a ≠1，c 〉0，且c ≠1,b 〉0)推论：lo g a mb n = ，log a b= 1log ba2.对数函数的概念、图像与性质概念 函数y=log a x (a 〉0，a ≠1）叫作 函数 底数a>1 0<a<1 图像定义域(续表）值域性质 过定点 ，即x=1时,y=0在区间(0,+∞)上 是 函数在区间（0,+∞)上是 函数3。
反函数 指数函数y=a x(a>0,且a ≠1)与对数函数 互为反函数,它们的图像关于直线 对称。
常用结论1.互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x 对称. 2。
只有在定义域上单调的函数才存在反函数.题组一 常识题1。
[教材改编］ 化简log a b log b c log c a 的结果是 . 2。
[教材改编］ 函数f （x ）=log 2(2—x )的定义域是 . 3。
［教材改编] 若函数y=f (x ）是函数y=2x 的反函数,则f (2)= .4.[教材改编] 函数y=lo g 1√2（x 2-4x+5）的单调递增区间是 。
题组二 常错题◆索引:对数的性质及其运算掌握不到位；忽略真数大于零致错;不能充分运用对数函数的性质；忽略对底数的讨论致误.5.有下列结论：①lg （lg 10）=0;②lg(ln e)=0;③若lg x=1,则x=10；④若log 22=x ，则x=1；⑤若log m n ·log 3m=2，则n=9.其中正确结论的序号是 .6。
题型09 必考的几类初等函数(对数函数、幂函数、对勾函数与双刀函数)(解析版)
秒杀结论： 确定对数值正负满足两个一致原理：即对数真数与底数范围一致为正，不一致为负，对应区间为： 。
1.(高考母题)已知 则 ( )
A. B. C. 或 D.
【解析】： 或 ， 或 ，选C。
2.(2010年新课标全国卷11)已知函数 ，若 、 、 互不相等，且
A. B. C. D.
【解析】： ，由秒杀结论一致性原理知 ， ，选C。
10.(高考题)如果 则 ( )
A. B. C. D.
【解析】：由秒杀结论一致性原理知 ，由底数越小则对数越大知 ，选A。
11.(高考题)若点 在 的图象上， ，则下列点也在此图象上的是 ( )
A. B. C. D.
【解析】： ，代入知选D。
秒杀高考数学题型之必考的几类初等函数（对数函数、幂函数、对勾函数与双刀函数）
【秒杀题型四】：对数及对数函数。
【题型1】：对数的性质。
『秒杀策略』：①两个同底的恒等式：ⅰ. ; ⅱ. ;
换底公式： ； 。
传递性质： 。
1.(高考题) 的值是_______。
【解析】：原式= 。
2.(高考题) 等于 ( )
，则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【解析】：可知 ， ， ，即 ，选C。
3.(高考题)已知 ，函数 ，若实数 、 满足 ,则 、 的大小关系为。
【解析】： ， 单调递减， 。(本题考查了黄金分割点。)
4.(高考题)设 ，函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 ，则 ( )
A. B.2 Leabharlann . D.4( )A. 或4 B. 或 C. 或8 D. 或16
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点一、函数的定义和性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素对应到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数有以下性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是所有可输入的自变量的集合，值域是所有对应的因变量的集合。
2. 奇偶性：一个函数可以是奇函数或偶函数，奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
3. 单调性：函数可以是单调递增或单调递减的。
单调递增函数满足当x1小于x2时，f(x1)小于f(x2)；单调递减函数则相反。
二、常见的基本初等函数1. 幂函数：指数函数是形如y=x^n的函数，其中n是一个实数。
根据n的不同取值，幂函数可以分为多种情况，如正幂函数、负幂函数、倒数函数等。
2. 指数函数：指数函数是以指数为自变量的函数，常见的指数函数有以e为底的自然指数函数（y=e^x）和以10为底的常用对数函数（y=log(x)）。
3. 对数函数：对数函数是指以某个正实数为底的函数，常见的对数函数有以e为底的自然对数函数（y=ln(x)）和以10为底的常用对数函数。
4. 三角函数：三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，常见的三角函数有正弦函数（y=sin(x)）、余弦函数（y=cos(x)）、正切函数（y=tan(x)）等。
5. 反三角函数：反三角函数是三角函数的逆函数，常见的反三角函数有反正弦函数（y=arcsin(x)）、反余弦函数（y=arccos(x)）、反正切函数（y=arctan(x)）等。
三、基本初等函数的图像和性质1. 幂函数的图像与性质：平方函数（y=x^2）的图像是一个开口上的抛物线，立方函数（y=x^3）的图像则是一个S形曲线。
幂函数的性质与指数n的奇偶性、正负有关。
2. 指数函数的图像与性质：自然指数函数（y=e^x）具有递增的特点，其图像是一条通过原点且向上增长的曲线。
常用对数函数（y=log(x)）的图像则是一条斜率逐渐减小的曲线。
第二章 函数概念与基本初等函数(文数) 第9讲
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1.给出下列函数模型：①一次函数模型；②幂函数模型；③指数函数模型；④对数函数模型.下表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，它最可能的函数模型是________(填序号).解析 根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型. 答案 ①2.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是________(填序号).解析 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有①，③图象符合要求，而后3年年产量保持不变，总产量增加，故①正确，③错误. 答案 ①3.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元.解析 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20， B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15， t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.答案 104.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析 设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x40＝40－y 40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400. 答案 205.(2015·长春模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y ＝a e －bt (cm 3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一.解析 当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e －8b ＝12a ， ∴e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ， 则t ＝24，所以再经过16 min. 答案 166.A ，B 两只船分别从在东西方向上相距145 km 的甲乙两地开出.A 从甲地自东向西行驶.B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是40 km h ，B 的速度是 16 km h ，经过________小时，AB 间的距离最短.解析 设经过x h ，A ，B 相距为y km ，则y ＝（145－40x ）2＋（16x ）2(0≤x ≤298)，求得函数的最小值时x 的值为258. 答案 2587.某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为________.解析设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，则x年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均费用为y＝100＋0.5x＋x（x＋1）x＝x＋100x＋1.5，由基本不等式得y＝x＋100x＋1.5≥2x·100x＋1.5＝21.5，当且仅当x＝100x，即x＝10时取等号.答案108.(2015·北京卷改编)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是________(填序号).①消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米；②以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多；③甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油；④某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油.解析根据图象所给数据，逐个验证选项.根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故①错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故②错；甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故③错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故④对.答案④二、解答题9.(2015·江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型. (1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度. 解 (1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5).将其分别代入y ＝ax 2＋b， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 25＋b ＝40，a 400＋b ＝2.5，解得⎩⎨⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x 2(5≤x ≤20)， 则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1 000t 2，设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，y ′＝－2 000x 3，则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t 3(x －t )，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2.故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t 4，t ∈[5，20].②设g (t )＝t 2＋4×106t 4，则g ′(t )＝2t －16×106t 5. 令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5，102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数； 当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数.从而，当t＝102时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝15 3.答：当t＝102时，公路l的长度最短，最短长度为153千米.10.(2015·南通模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨.(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解(1)每吨平均成本为yx(万元).则yx＝x5＋8 000x－48≥2x5·8 000x－48＝32，当且仅当x5＝8 000x，即x＝200时取等号.∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元.(2)设年获得总利润为R(x)万元.则R(x)＝40x－y＝40x－x25＋48x－8 000＝－x25＋88x－8 000＝－15(x－220)2＋1 680(0≤x≤210).∵R(x)在[0，210]上是增函数，∴x＝210时，R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利润，定价应为________元.解析 设在进价基础上增加x 元后，日均销售利润为y 元， 日均销售量为480－40(x －1)＝520－40x (桶)，则y ＝(520－40x )x －200＝－40x 2＋520x －200，0＜x ＜13.当x ＝6.5时，y 有最大值.所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润. 答案 11.512.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为________.解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20.得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15. 答案 x ＝15，y ＝1213.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件.当x ≤ 20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资).解析 当0＜x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎨⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *).当0＜x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x ＞20时，160－x ＜140，故x ＝16时取得最大年利润.答案 y ＝⎩⎨⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *) 1614.(2016·淮安调研) 在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元.(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？ 解 设该店月利润余额为L 元，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，① 由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50 （14≤P ≤20），－32P ＋40 （20＜P ≤26），代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧（－2P ＋50）（P －14）×100－5 600 （14≤P ≤20），⎝ ⎛⎭⎪⎫－32P ＋40（P －14）×100－5 600（20＜P ≤26）， (1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元； 当20＜P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元. 故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元. (2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20. 即最早可望在20年后脱贫.。
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点1.函数的定义与性质函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的运算关系。
函数可以通过一条或多条有序对来表示，其中每个有序对由自变量和对应的函数值组成。
常见的函数表示方法有显式函数、隐式函数和参数方程等。
函数的性质有定义域、值域、奇偶性、增减性等。
其中，定义域是自变量的取值范围，值域是函数值的取值范围。
奇偶性描述了函数图像的对称性，增减性描述了函数在定义域的变化趋势。
2.常见初等函数常见的初等函数包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和双曲函数等。
-多项式函数是形如f(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀的函数，其中aₙ,aₙ₋₁,...,a₁,a₀是常数，x是自变量，n是非负整数。
-指数函数是形如f(x)=aᵢx的函数，其中a是一个正常数，x是自变量。
- 对数函数是指数函数的逆运算，形如 f(x) = logₐx 的函数，其中a 是正常数，x 是自变量。
-三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
-双曲函数是以指数函数为基础构造的一类函数，包括双曲正弦函数、双曲余弦函数等。
3.函数的运算函数之间可以进行四则运算、函数的复合和逆函数的求解等运算。
-四则运算是指两个函数之间进行加减乘除的运算。
加法运算表示两个函数的对应值相加，减法运算表示两个函数的对应值相减，乘法运算表示两个函数的对应值相乘，除法运算表示两个函数的对应值相除。
-函数的复合是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
复合函数可以通过符号f(g(x))表示，其中f和g是两个函数。
-逆函数是指将一个函数的自变量和函数值交换后得到的新函数。
逆函数可以通过符号f^(-1)(x)表示，其中f是一个函数。
4.函数的图像与性质函数的图像是函数关系在一些坐标系中的几何表现。
函数的图像可以用来研究函数的性质和变化趋势。
-函数的图像可以用点集、曲线或面积等形式来表示。
-函数的对称性可以通过图像来判断，如关于原点对称、关于x轴对称、关于y轴对称等。
高中数学基本初等函数解题技巧
高中数学基本初等函数解题技巧高中数学中，初等函数是一个重要的概念，它包括了常见的函数类型，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
在解题过程中，熟练掌握初等函数的性质和解题技巧是非常重要的。
本文将以具体的题目为例，介绍一些高中数学基本初等函数解题技巧，帮助学生更好地应对考试。
一、线性函数线性函数是初中数学中就已经学过的内容，它的一般形式为y = kx + b，其中k 和b为常数。
在解题过程中，我们需要注意以下几点：1. 求解函数的解析式：对于已知函数的图像，我们可以根据图像上的两个点求解函数的解析式。
例如，已知线性函数的图像经过点A(2, 5)和点B(4, 9)，求解函数的解析式。
我们可以利用点斜式公式求解，即(y - y1) = k(x - x1)，代入已知点的坐标，得到两个方程组。
解方程组可以得到k和b的值，从而求得函数的解析式。
2. 求解函数的零点：对于线性函数y = kx + b，我们可以通过令y = 0，求解x的值，得到函数的零点。
例如，已知线性函数y = 2x - 3，求解函数的零点。
令y = 0，得到2x - 3 = 0，解方程可以得到x = 3/2，即函数的零点为(3/2, 0)。
二、二次函数二次函数是高中数学中的重点内容，它的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
在解题过程中，我们需要注意以下几点：1. 求解函数的顶点坐标：二次函数的顶点坐标可以通过求解x的值得到。
对于一般形式的二次函数，顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为y = f(-b/2a)。
例如，已知二次函数y = 2x^2 + 4x + 1，求解函数的顶点坐标。
根据公式，可以得到顶点的横坐标为x = -4/(2*2) = -1，纵坐标为y = f(-1) = 2*(-1)^2 + 4*(-1) + 1 = -1。
2. 求解函数的零点：对于二次函数y = ax^2 + bx + c，我们可以通过求解x的值得到函数的零点。
掌握初等函数的性质与应用
掌握初等函数的性质与应用初等函数是数学中常见且重要的一类函数，它们在各个领域的问题中都有着广泛的应用。
掌握初等函数的性质和应用对于解决实际问题以及深入学习更高级的数学知识是非常关键的。
本文将介绍初等函数的常见性质，并探讨其在不同领域中的应用。
一、初等函数的常见性质初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。
这些函数具有以下常见性质：1. 定义域和值域：每个初等函数都有其定义域和值域。
例如，幂函数的定义域是实数集，而对数函数的定义域是正实数集。
2. 奇偶性：初等函数可以分为奇函数和偶函数。
奇函数的函数图像关于坐标原点对称，即满足f(-x)=-f(x)；而偶函数的函数图像关于y轴对称，即满足f(-x)=f(x)。
3. 单调性：初等函数可以是递增函数或递减函数，也可以是常数函数。
通过求导可以确定初等函数的单调性。
4. 极值和拐点：初等函数的图像可能存在极值和拐点。
通过求导和求二阶导数可以确定初等函数的极值和拐点的位置。
5. 渐近线：初等函数的图像可能存在水平渐近线、垂直渐近线以及斜渐近线。
通过函数的定义和求极限可以确定初等函数的渐近线。
二、初等函数的应用1. 物理学中的应用初等函数在物理学中有着重要的应用。
以位移、速度、加速度为坐标的匀加速直线运动问题可以建立初等函数与时间的关系，通过求解方程可以确定物体在不同时间的状态。
2. 经济学中的应用经济学中的供求关系、边际效益等经济现象可以通过初等函数来描述和解决。
例如，利润函数、成本函数和收益函数都可以表示为初等函数，通过求导可以确定最大利润点。
3. 生物学中的应用生物学中的生长速度、衰变速率等也可以通过初等函数来描述。
例如，细胞的分裂速率可以用指数函数来表示，通过求导可以确定分裂速率的最大值。
4. 计算机科学中的应用在计算机科学中，初等函数的应用十分广泛。
例如，利用对数函数可以评估代码运行时间的增长率，通过三角函数可以计算图形的旋转和变形等。
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网络课程内部讲义
函数针对性训练—初等函数教师：苗金利
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函数针对性训练—初等函数
三、函数的奇偶性、单调性、周期性
知识要点：
1、奇偶性定义，利用奇偶性可以解决的问题
2、单调性定义，利用单调性可以解决的问题
3、周期性定义，利用周期性求值
4、奇偶性、单调性、周期性之间的关系
例题：
13、证明下列函数的奇偶性：
（1）21()33
x f x x −=+− （2）11()12x f x e =+−
（3）2()1)f x x x =++ （4）1(0)()1(0)1(0)
x x f x x x x +>⎧⎪⎪==⎨⎪⎪−+<⎩
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（5）cos ()lg
1sin x f x x
=− （6）()f x 不恒为0，且对a b R ∈、恒有()()()f a b f a f b +=+
14、函数1()log (
)(0,1)1a x f x a a x
+=>≠−，求定义域，证明奇偶性和定义域上的单调性.
15、已知定义在R 上的函数()lg(101)3x f x x =++
（1）设()()()f x g x h x =+，其中()g x 是R 上的奇函数，()h x 是R 上的偶函数；试求()()g x h x 、。
（2）证明0,a b a b R +>∈、是()()()()f a f b f a f b +>−+−的充要条件。
16、 求函数的单调区间：
（1）y = 163232(−−x x
（2）y =cos(3
2π-2x )
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（3）2
f(x)=-x 23x +− （4）212()log (87)f x x x =−+
（5）y ＝∣x ∣·（1－x ） （6）y ＝6＋12x －x 3
17（1）R 上的奇函数()f x 以2为周期，求(1)(2)(3)f f f ++；
（2）R 上的奇函数()f x 恒满足(2)()f x f x +=−，当[0,1]x ∈时，()f x x =，求(71.5)f ；
（3）()f x 是R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称，证明()f x 是周期函数。
18、
（1）(),0,()1,f x R x f x x >=+已知是定义在上的奇函数当时 则f (x )= ；
（2）f (x )=ax +b sin x +1,(ab ≠ 0)，若f (5)=7，则f (-5)= 。
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四、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数
知识要点：
1、二次函数的图象和性质
2、二次方程根的分布
3、指数运算与对数运算
4、指数函数与对数函数的图象与性质
5、幂函数的图象与性质
例题：
7、当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围：
（1）方程x 2-ax +a 2-7=0的两个根一个大于2，另一个小于2；
（2）方程ax 2+3x +4a =0的根都小于1；
（3）方程x 2-(a+4)x -2a 2+5a +3=0的两根都在区间[-1，3]上；
（4）方程7x 2-(a +13)x +a 2-a -2=0的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上；
（5）方程x 2+ax +2=0至少有一个实根小于-1。
8、已知二次函数2
()f x ax bx c =++的图象过点()1,0−，是否存在常数a b c 、、，使不等式21()(1)2
x f x x ≤≤+对一切实数x 都成立；若存在，求出a b c 、、；若不存在，说明理由.
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9、求函数f(x)=(4-3a)x 2-2x+a 在区间[0，1]的最大值.
10、若函数2()21(0,1)x x f x a
a a a =+−>≠在区间[-1，1]上的最大值是14，求a 的值；
11、若函数()421x x f x a =++在(,1]x ∈−∞上()0f x >恒成立，求a 的取值范围。
12、计算：（1）43333
1733246339
−−；
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（2）321lg 5(lg8lg1000)(lg 2lg
lg 0.066
++++
13、设2()f x x bx c =−+，(0)3f =，对x R ∈恒有(2)()f x f x −=，试比较()x f b 与()x
f c 大小关系。