线性规划
第二章线性规划
线性规划要研究的两类问题中都包含有约束条件和目 标函数。用数学的方式描述，规划的目的就是在给定 的限制条件（或称约束条件）下，求目标函数的极值 问题（包括极小值和极大值）。
2
线性规划的数学模型
3
解： 设产品 的产量为：1 , 产品 的产量为：x2 x
4
5
6
7
配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。
15
2.2.3 线性规划求解的可能结局
1、有唯一的最优解
2、有无穷多个最优解 （将目标函数改为 z=4x1+3x2 ）
x2
max z 4 x1 3 x2 x1 2 x2 5 2 x x 4 1 2 s.t. 4 x1 3 x2 9 x1 , x2 0
3x1 2 x2 4 x3 3
3x1 2 x2 4 x3 xs 3
剩余变量
变量xs实际上是原式左端减去右端的差，即 ：
xs 3x1 2 x2 4 x3 3
当约束条件是“ ”型的不等式时，只要将该约 束条件左端减去一个非负的剩余变量即可化为等式。 无论是松弛变量还是剩余变量在决策中都不产生实际价 值，因此它们在目标函数中的系数都应该为零。有时也将松 29 弛变量和剩余变量统称为松弛变量。
2x1+x2=4 D C
x1+2x2=5 B 4x1+3x2=9 O A x1
16
3、无界解
指线性规划问题有可行解，但是 在可行域，目标函数值是无界的， 因而达不到有限最优值。因此线 性规划问题不存在最优解。
线性规划PPT课件
线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函 数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变 化，最优解也不会发生大的变化。
03
线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏 感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源 。
椭球法
01
总结词：几何方法
02
03
04
详细描述：椭球法是一种基 于几何方法的线性规划算法。 它将可行解的边界表示为椭 球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步 骤包括初始化、构建椭球和 迭代更新。在每次迭代中， 根据当前椭球的位置和方向 来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、 运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通 过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间 最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
03
单纯形法
单纯形法是线性规划的标 准算法，通过迭代和优化， 找到满足约束条件的最大 或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需 要先找到一个初始解，这 可以通过手动计算或使用 软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和 优化，逐步逼近最优解， 每次迭代都需要重新计算 目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义
第一章 线性规划
例 1.5 （汽油混合问题） 一种汽油的特性可用两个指标描述：其点火性用“辛烷数” 描述，其挥发性用“蒸汽压力”描述，某炼油厂有四种标准汽油，设其标号分别为 1，2， 3，4，其特性及库存量见表 1.5，将上述标准汽油适量混合，可得到两种飞机汽油，其标 号分别为 1，2，这两种飞机汽油的性能指标及产量需求见表 1.6，问应如何根据库存情况 适量混合各种标准汽油，使既满足飞机汽油的性能指标，而产量又为最高。
注：前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上述模型，共用了 12 个变量，10 个约束条件。
表 1.2 资源 住宅体系 砖混住宅 壁板住宅 大模住宅 资源限量 造价 (元/m2) 105 135 120 110000 (千元 钢材 (公斤/m2) 12 30 25 20000 (吨) 例 1.2 的数据表 水泥 (公斤/m2) 110 190 180 150000 (吨) 砖 (块/m2) 210 —— —— 147000 (千块) 人工 (工日/m2) 4.5 3.0 3.5 4000 (千工日)
3．线性规划模型的一般形式 以 MAX 型、≤约束为例 决策变量： x1 ,
(1-4)
, xn
目标函数： Maxz = c1 x1 +
+ cn x n
⎧a11 x1 + + a1n x n ≤ b1 ⎪ ⎪ 约束条件： s.t.⎨ ⎪a m1 x1 + + a mn x n ≤ bm ⎪ ⎩ x1 , , x n ≥ 0
2
Maxz = x1 + x 2 + x3 ⎧0.105 x1 + 0.135 x 2 + 0.120 x3 ≤ 110000 ⎪0.012 x1 + 0.030 x 2 + 0.025 x3 ≤ 20000 数学模型为: ⎪0.110 x1 + 0.190 x 2 + 0.180 x 3 ≤ 150000 (1-3) s.t ⎨ 0.210 x ≤ 147000 ⎪0.00451 x + 0.003x 2 + 0.0035 x 3 ≤ 4000 ⎪x , x , x 1 ≥ 0 ⎩ 1 2 3
线性规划
矿物质（g）
维生素(mg）
0.1
0.05
0.05
0.1
0.02
0.02
0.2
0.2
0.05
0.08
希望建立数学模型，既能满足动物需要，又使总成 本最低的饲料配方
模型
饲料 符号 A1 x1 A2 x2 A3 x3 A4 x4 A5 x5
约 l2 : 12x1 8x2 480 束 12x1 8x2 480 l4 条 3x1 100 l3 : 3x1 100 件 c l4 : x1 0, l5 : x2 0 x1 , x2 0 目标 函数
l1 : x1 x2 50
x2 A
l1 B l2 C Z=3600 l3
线性规划问题的数学模型的一般形式
（ 1）列出约束条件及目标函数 （2）画出约束条件所表示的可行域 （3）在可行域内求目标函数的最优解及最优值
线性规划问题的标准形式
{
max y=cTx s.t. Ax=b x≥0
求解方法： （1）单纯形法 （2）软件求解:Lindo， Lingo, matlab，sas
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 X2 ROW 72.000000 24.000000 8.000000
Max z 72x1 64x2
z=c (常数) ~等值线
0
l5
Z=0
x1 D Z=2400
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类特定的优化问题。
它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数取得最大或最小值的变量值。
线性规划广泛应用于经济、工程、运输、资源分配等领域。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中c1，c2，...，cn为系数，x1，x2，...，xn为变量。
2. 约束条件：线性规划的变量需要满足一系列约束条件，通常是一组线性等式或不等式。
例如，Ax ≤ b，其中A为系数矩阵，x为变量向量，b为常数向量。
3. 可行解：满足所有约束条件的变量值称为可行解。
4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大或最小值的变量值称为最优解。
三、标准形式线性规划问题可以通过将其转化为标准形式来求解。
标准形式具有以下特点：1. 目标函数为最小化形式：minimize Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn2. 约束条件为等式形式：Ax = b3. 变量的非负性约束：x ≥ 0四、求解方法线性规划问题可以使用多种方法求解，其中最常用的是单纯形法。
单纯形法的基本思想是通过迭代计算来逐步改进解的质量，直到找到最优解。
1. 初始化：选择一个初始可行解。
2. 进行迭代：根据当前解，确定一个非基变量进入基变量集合，并确定一个基变量离开基变量集合，以改进目标函数值。
3. 改进解：通过迭代计算，逐步改进解的质量，直到找到最优解。
4. 终止条件：当无法找到更优解时，算法终止。
五、应用案例线性规划在实际应用中有广泛的应用，以下是一些常见的应用案例：1. 生产计划：确定如何分配有限的资源以最大化产量。
2. 运输问题：确定如何分配货物以最小化运输成本。
3. 资源分配：确定如何分配有限的资源以最大化效益。
4. 投资组合：确定如何分配资金以最大化投资回报率。
5. 作业调度：确定如何安排作业以最小化总工时。
线性规划的定义及解题方法
线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。
它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。
线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。
本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。
一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。
它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。
通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。
在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。
这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。
例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。
这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。
二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。
决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。
3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。
例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。
4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。
它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。
第一章 线性规划
第1章线性规划Chapter 1 Linear Programming本章内容提要线性规划是运筹学的重要内容。
本章介绍线性规划数学模型、线性规划的基本概念以及求解线性规划数学模型的基本算法——单纯形法。
学习本章要求掌握以下内容：⏹线性规划模型的结构⏹线性规划的标准形式，非标准形式转化为标准形式⏹线性规划的图解以及相应的概念。
包括：约束直线，可行半空间，可行解，可行域，凸集，极点，目标函数等值线，最优解⏹线性规划的基本概念。
包括：基，基础解，基础可行解，基变量，非基变量，进基变量，离基变量，基变换⏹单纯形法原理。
包括：基变量和目标函数用非基变量表出，检验数，选择进基变量的原则，确定离基变量的方法，主元，旋转运算⏹单纯形表。
包括初始单纯形表的构成，单纯形表运算方法⏹初始基础可行解，两阶段法⏹退化的基础可行解§1.1 运筹学和线性规划1.1.1 运筹学运筹学（Operations Research）是二十世纪三十年代二次大战期间由于战争的需要发展起来的一门学科。
当时，英国组织了一批自然科学和工程科学的学者，和军队指挥员一起，研究大规模战争提出的一些问题。
如轰炸战术的评价和改进、反潜艇作战研究等，研究结果在战争实践中取得了明显得效果。
这些研究当时在英国称为Operational Research，直译为作战研究。
战争结束以后，这些研究方法不断发展完善，并逐步形成学科理论体系，其中一些主要的理论和方法包括：线性规划，网络流，整数规划，动态规划，非线性规划，排队论，决策分析，对策论，计算机模拟等。
这些理论和方法在经济管理领域也得到了广泛应用，Operations Research也转义成为“作业研究”。
我国将Operations Research译成“运筹学”，非常贴切地将Operations Research这一英文术语所包含的作战研究和作业研究两方面的涵义都体现了出来。
现在，运筹学已经成为管理科学重要的基础理论和应用方法，是管理科学专业基本的必修课程之一。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、物流管理等。
本文将对线性规划的基本概念、模型建立、求解方法和应用进行总结。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数的系数称为目标系数，代表了各个决策变量对目标的影响程度。
2. 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性约束条件，通常表示为等式或者不等式。
3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大（最小）值的解称为最优解。
三、模型建立1. 决策变量：线性规划中，需要确定一组决策变量，代表问题中的可调整参数。
决策变量通常用符号x1, x2, ..., xn表示。
2. 目标函数：根据问题的具体要求，建立目标函数。
例如，最大化利润、最小化成本等。
3. 约束条件：根据问题中的限制条件，建立线性约束条件。
约束条件通常表示为等式或者不等式。
4. 非负约束：决策变量通常需要满足非负约束条件，即x1, x2, ..., xn≥0。
四、求解方法1. 图解法：对于二维线性规划问题，可以使用图解法进行求解。
首先绘制约束条件的直线，然后确定可行解区域，最后在可行解区域中找到最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
通过不断迭代，找到使目标函数取得最大（最小）值的最优解。
3. 整数规划：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。
整数规划通常比线性规划更复杂，求解时间更长。
4. 网络流算法：对于某些特殊的线性规划问题，可以使用网络流算法进行求解。
网络流算法利用图论的方法，将问题转化为网络流问题进行求解。
五、应用领域1. 生产计划：线性规划可以用于确定最佳生产计划，使得生产成本最小化或者利润最大化。
2. 资源分配：线性规划可以用于确定资源的最佳分配方案，如人力资源、物资资源等。
线性规划
线性规划是一类最简单的优化问题，同时也是 具有普遍实际意义的一类优化问题。
线性规划模型的一般形式为：
max(min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
s.t.
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 , , xn 0
约束条件 每套钢架所需的三种长度的元钢数目是相 同的，而100套钢架需要三种长度的元钢都是 100根，因此有
长度为2.9m的元钢数： x1 2 x2 x4 x6 100 长度为2.1m的元钢数：2 x3 2 x4 x5 x6 3 x7 100 长度为1.5m的元钢数：3 x1 x2 2 x3 3 x5 x6 4 x8 100
车床B上的加工台时限制: x1 2 x2 8
车床C上的加工台时限制: 4 x1
车床D上的加工台时限制:
16
4 x2 12
非负条件：x1 , x2 0
第三步——明确目标函数 利润最大： max : z 2 x1 3 x2 该问题的数学模型为：
返回
结束
线性规划
目标函数：
max z 2 x2 3 x2
该问题所涉及的因素以及之间的数量关系可 以用表1-1表示
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线性规划
产品 单位产品所需资源 资源
A1 A2 An
可供应的资源量
B1 B2 Bm
单位产品所得利润
a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n a m 1 a m 2j 1
第二章 线性规划
第二章线性规划一.线性规划所研究的问题可以归结为两方面：1）在现有的资源条件下，如何充分利用资源，使目标完成的最好。
（求极大问题）.2)在给定的目标和任务下，以最少的资源消耗或代价，去实现目标。
（求极小化问题）。
二.线性规划的标准型：1.标准型： max z=c1x1+c2x2+…+c n x ns.t. a11x1+a12x2+…a1n x1n=b1a21x1+a22x2+…+a2n x2=b2…a m1x1+a m2x2+…a mn x n=b mx1,x2,…,x n≥02.线性规划变换方法：1）min转换为max 目标函数乘以(-1);2）对于≤引进松弛变量，将其变成取等号。
对于≥引进剩余变量，将其变成取等号。
3）将变量中的非正限制或无限制转化为非负限制。
3.二维线性规划的图解法：1）正法向量：由目标函数系数组成的与等值线垂直的向量，称正法向量。
2）等值线：使目标函数取相等值的所有点的集合，称等值线。
4.二维线性规划解的形式：1）唯一最优解 2)无穷多个最优解 3)有可行解但无最优解 4）无可行解5.线性规划解的概念：1）解：满足约束方程条件的点。
2）可行解：满足所有约束条件的点。
（非负性约束）3）最优解：使目标函数得到极值的可行解。
4）基：由最大的线性无关的列向量所构成的子矩阵。
（基向量/非基向量）5）基变量：与基向量对应的变量称为基变量。
同理（非基变量）6）基本解：X=（B-1b）（ 0 ）7）基本可行解：对于基本解，同时又满足非负性要求称基本可行解。
（可行解与基本解之间相交的部分）有图。
8）可行基：基本可行解对应的基。
9）基本最优解：满足目标函数要求的基本解。
10）退化基本可行解：基本可行解中存在取值为零的基变量。
6.线性规划的基本定理：1）如果一个线性规划问题存在可行解，则一定有基本可行解。
2）若线性规划问题存在最优解，则一定存在最优基本可行解。
三 线性规划的求解1.单纯形方法（消去发）：1）标准化处理。
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并在目标函数中分别赋予添加人工变量 x 6 ,x 7 ，并在目标函数中分别赋予-Ｍ
maxZ= -x1 +2x 2 -Mx 6 -Mx 7 + x6 =2 x1 + x 2 -x 3 -x + x -x 4 + x7 = 1 1 2 x2 + x5 =3 x j >= 0,j = 1,2,3,4,5,6,7
该约束方程组可作为第二阶段初始约束方程组， 该约束方程组可作为第二阶段初始约束方程组 ， 将目标函数 则还原成原问题的目标函数，可继续利用单纯形表求解。 则还原成原问题的目标函数，可继续利用单纯形表求解。
C CB -1 2 0 Z 0 2 0 Z 0 2 0 Z
∗
-1 b 1/2 3/2 3/2 5/2 1 2 1 4 2 3 1 6 x1 1 0 0 0 2 1 -1 -3 1 0 -1 -1
故引入人工变量
maxZ' = -3x1 -2x 2 -x 3 -Mx 7 -Mx 8 =6 x1 +x 2 +x 3 +x 4 x -x 3 -x 5 +x 7 =4 1 -x 6 +x 8 =3 x 2 -x 3 xj ≥ 0, j=1,2,L8.
0 x3 -1/2 1/2 1/2 -1 -1 1 2 0 0 1 0
0 x4 1/2 1/2 3/2 1 0 0 0 1 0 0 0
0 x5 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 -2
-M x6 1/2 -1/2 1 1 -1 -2-M 0 0 -1 -M
-M x7
θ
1/2/1/2 3/2 /1/2
由上表可知，通过若干次旋转变换， 由上表可知 ， 通过若干次旋转变换 ， 原问题的约束方程组已 变换成包含一个单位矩阵的约束方程组
=2 x1 + x 2 -x 3 -x + x =1 -x 4 1 2 x2 + x5 = 3 x j ≥ 0, j = 1,2,3,4,5
1 1 1 - x3 + x4 = x1 2 2 2 1 1 3 ⇒ x2 - x3 - x4 = 2 2 2 1 1 3 x3 + x4 + x5 = 2 2 2 x j ≥ 0 , j = 1 ,2 ,3 ,4 ,5
解：将问题化成标准形式 max S = 3x1 - x2 - x3 - M x6 - M x7 s.t. x1-2x2 + x3 + x4 = 11 x1-4x1+ x2 + 2x3 –x5 + x6 = 3 -2x1+ x3 + x7 = 1 x1,x2 , x3 , x4 , x5, x6 , x7 ≥ 0 (M是任意大的正数) (M是任意大的正数 是任意大的正数) 初始基本可行解： 初始基本可行解： X（0）=（0，0， 0，11，0，3，1） 11， 得到最优解为： 得到最优解为： X（3）=（4，1，9，0，0，0，0）最优值 S=2 Z = -2
姓名：xxxxxx 日期：2009-3-14
大M法 法
法首先将线性规划问题化为标准型。 大M法首先将线性规划问题化为标准型。如果约束方程组中包含 有一个单位矩阵I 那么已经得到了一个初始可行基。 有一个单位矩阵I，那么已经得到了一个初始可行基。否则在约束方 程组的左边加上若干个非负的人工变量， 程组的左边加上若干个非负的人工变量，使人工变量对应的系数列向 量与其它变量的系数列向量共同构成一个单位矩阵。 量与其它变量的系数列向量共同构成一个单位矩阵。以单位矩阵为初 始基，即可求得一个初始的基本可行解。 始基，即可求得一个初始的基本可行解。 为了求得原问题的初始基本可行解， 为了求得原问题的初始基本可行解，必须尽快通过迭代过程把人 工变量从基变量中替换出来成为非基变量。 工变量从基变量中替换出来成为非基变量。为此可以在目标函数中赋 予人工变量一个绝对值很大的负系数予人工变量一个绝对值很大的负系数-Ｍ。这样只要基变量中还存在 人工变量，目标函数就不可能实现极大化。 人工变量，目标函数就不可能实现极大化。 以后的计算与单纯形表解法相同， 以后的计算与单纯形表解法相同，Ｍ只需认定是一个很大的正数 即可。假如在单纯形最优表的基变量中还包含人工变量， 即可。假如在单纯形最优表的基变量中还包含人工变量，则说明原问 题无可行解。 题无可行解。否则最优解中剔除人工变量的剩余部分即为原问题的初 始基本可行解。 始基本可行解。
θ 2/1 1/1 3/1 1/2 2/1
0 -2-2M -
0 -1/2-M -3/2-M
C CB -1 2 0 Z 0 2 0 Z 0 2 0 Z
∗
-1 b 1/2 3/2 3/2 5/2 1 2 1 4 2 3 1 6 X1 1 0 0 0 2 1 -1 -3 1 0 -1 -1
T
2 x2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
XB X1 X2 X5 X4 X2 X5 X4 X2 X3
1/2 -1 -1/2
0 -1/2-M -3/2-M
最优解 X = ( 0,3,1,2,0)
最优值
Z∗ = 6
练一练： 练一练： 用大M 例1-16 用大M法求下列问题 min z = -3x1 + x2 + x3 s.t. x1-2x2 + x3 ≤ 11 x1-4x1+ x2 + 2x3 ≥ 3 -2x1+ x3 = 1 x1,x2 , x3 ≥ 0
0 x1 1 -1 0 0 2 -1 1 -2 1 0 0 0
0 x2 1 1 1 -2 0 1 0 0 0 1 0 0
0 x3 -1 0 0 1 -1 0 0 1 -1/2 1/2 0
0 x4 0 -1 0 1 1 -1 1 -1 1/2 1/2 0
0 x5 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
例6、求解下列线性规划问题 解： 首先将问题化为标准型 令
minZ=3x1 +2x 2 +x 3 x1 + x 2 + x 3 ≤ 6 x -x 3 ≥ 4 1 x 2 -x 3 ≥ 3 x1 ,x 2 ,x 3 ≥ 0
Z' = -Z ，则
maxZ' = -3x1 -2x 2 -x 3 =6 x1 +x 2 +x 3 +x 4 x -x 3 -x 5 =4 1 -x 6 =3 x 2 -x 3 xj ≥ 0, j=1,2,L 6.
用大M法求解下面的线性规划问题: 例4、用大M法求解下面的线性规划问题: 解： 首先将原问题化为标准型
maxZ=-x1 +2x 2 x1 + x 2 ≥ 2 -x + x ≥ 1 1 2 x2 ≤ 3 x1 ,x 2 >= 0
=2 x1 + x 2 -x 3 -x + x -x 4 =1 1 2 x2 + x5 = 3 x j >= 0,j = 1,2,3,4,5
C CB -M -M 0 Z -M 2 0 Z -1 2 0 Z X1 X2 X5 X6 X2 X5 XB X6 X7 X5 b 2 1 3 -3M 1 1 2 2-M 1/2 3/2 3/2 5/2
-1 X1 1 -1 0 -1 2 -1 1 1+2M 1 0 0 0
2 x2 1 1 1 2+2M 0 1 0 0 0 1 0 0
3/2/ 1/2
可得最优解X = ( 0, 3,1, 2, 0 ) ，目标函数值maxZ=6， 目标函数值maxZ=6， maxZ=6 与用大M法的结果完全相同。 与用大M法的结果完全相同。
练一练： 练一练： 例1-20 用两阶段法求下列数学模型的最优解 min S= 2x1+8x2 s.t. 5x1+10x2 = 150 x1≤ x1≤ 20 x2 ≥ 14 x1,x2 ≥ 0 得到最优解： 得到最优解： X*=（ X*=（2，14）t 最优值S’=-116 14） 最优值S S = 116
T
2 x2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 x3
0 x4
0 x5 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 -2
θ
1/2/ 1/2
XB X1 X2 X5 X4 X2 X5 X4 X2 X3
-1/2 1/2 -1/2 -1/2 1/2 1/2 1/2 3/2 -1 -1 1 2 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0
由于辅助线性规划的目标函数 是极小化， 是极小化，因此最优解的判别 准则应为： 准则应为：
σ N = C N -C B N ≥ 0
C CB 1 1 0 W 1 0 0 W 0 0 0 W X1 X2 X5 X6 X2 X5 XB X6 X7 X5 b 2 1 3 3 1 1 2 1 1/2 3/2 3/2 0
0 x3 -1 0 0 -M -1 0 0 -M -1/2 -1/2 1/2 1/2
0 x4 0 -1 0 -M 1 -1 1 2+M 1/2 -1/2 1/2 3/2
0 x5 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
-M x6 1 0 0 0 1 0 0 1/2 1/2 -1/2
-M x7 0 1 0 0 -1 1 -1 -1/2 1/2 -1/2
用两阶段法求解例4中的线性规划问题。 例5、用两阶段法求解例4中的线性规划问题。maxZ=-x +2x 1 2 解：首先将问题化为标准型
=2 x1 + x 2 -x 3 -x + x -x 4 =1 1 2 x2 + x5 = 3 x j ≥ 0, j = 1,2,3,4,5
单纯形表与线性规划问题的讨论
无可行解
通过大Ｍ法或两阶段法求初始的基本可行解。 通过大 Ｍ 法或两阶段法求初始的基本可行解 。 但是如果在大 法的最优单纯形表的基变量中仍含有人工变量， Ｍ法的最优单纯形表的基变量中仍含有人工变量，或者两阶段法的 辅助线性规划的目标函数的极小值大于零，那么该线性规划就不存 辅助线性规划的目标函数的极小值大于零， 在可行解。 在可行解。 人工变量的值不能取零， 人工变量的值不能取零，说明了原线性规划的数学模型的约束 条件出现了相互矛盾的约束方程。 条件出现了相互矛盾的约束方程。此时线性规划问题的可行域为空 集。