九年级数学上册 21.1 二次根式第一课时教案 新人教版
九年级数学上册 21.1 二次根式教案 新人教版
（2）学生是否能分和这两种情况进行讨论．
在教师的引导下，学生很容易得到如下结论：
是一个非负数．
通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识；培养学生的分类讨论的思想和归纳概括的能力．
活动3
问题
根据算术平方根的意义填空：
21.1 二次根式
教学目标
知识技能
1．了解二次根式的概念．
2．了解二次根式的基本性质．
数学思考
经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程，发展学生的归纳概括能力．
解决问题
通过对二次根式的概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力．
情感态度
学生经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识．
通过这组题目的练习，加深对这一性质的理解和应用．对于复杂的题目，要学会分解，化难为易．
活动4
问题
（1）填空：
；；
；．
（2）思考：当时，？
（3）与相等吗？
例3化简：
（1）； （2）．
教师首先引导学生比较活动3与活动4中两组题目的不同之处，注意学生是否观察出：活动3中的题目是对非负数先进行开平方运算，再进行平方运算；而活动4中的题目正好相反，是先进行平方运算，再进行开平方运算．
注重新旧知识的连贯性，使学生有一个由浅入深的学习过程，并体会到学习的内容是融会贯通的．
为学生提供练习的时间和空间，调动学生的主观能动性，激发好奇心和求知欲．
通过题目的练习，使学生加深对所学知识的理解，避免一些常见错误．
活动2
问题
请比较与0的大小．
人教版九年级数学上册《二十一章 二次根式 21.1 二次根式》优质课教案_2
16.1 二次根式第1课时二次根式的概念课题第1课时二次根式的概念授课人目标知识技能使学生理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围.数学思考使学生理解二次根式被开方数的取值范围的重要性.问题解决培养学生解决问题的能力及分类讨论的数学思想.情感态度培养学生的辩证唯物主义观点.教学重点二次根式中被开方数的取值范围.教学难点二次根式的取值范围.授课类型新授课课时教具多媒体、PPT课件、电子白板教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾回顾与思考1．4的平方根是________，0的平方根是________，－16的平方根是________．2．5的平方根是________，5的算术平方根是________．3．正方形的面积为S，则它的边长为________.使学生回忆平方根和算术平方根的内容，为突破本节难点做准备.活动一：创设情境【课堂引入】上面的结果5，S，它们表示一些正数的算术平方根．二次根式的定义：一般地，我们把形如a(a≥0)利用开方开不尽的式子引出二次根式的定义.导入新课的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.活动二：实践探究交流新知【探究1】请同学们思考：为什么一定要加上a≥0这一条件？师生活动：前一章学过，符号“”叫做二次根号，二次根号下面的数叫被开方数．因为在实数范围内，负数无平方根，所以被开方数只能是非负数．【探究2】想一想下列各式是否为二次根式？(1)m2＋1；(2)a2；(3)－n2；(4)a－2；(5)x－y.解：(1)∵m2≥0，∴m2＋1>0，∴m2＋1是二次根式．(2)∵a2≥0，∴a2是二次根式．(3)∵n2≥0，∴－n2≤0，∴当n＝0时－n2才是二次根式．(4)当a－2≥0时是二次根式，当a－2<0时不是二次根式，即当a≥2时是二次根式，当a<2时不是二次根式.(5)当x－y≥0时是二次根式，当x－y<0时不是二次根式，即当x≥y时是二次根式，当x<y时不是二次根式．师生活动设计：(1)小题与学生一起分析；(2)小题请学生分析；(3)小题请学生认真思考后回答；(4)(5)两小题需要分情况讨论，请学生考虑清楚再回答．思考：当x是怎样的实数时，x2在实数范围内有意义？x3呢？【探究3】a的双重非负性．请同学们想一想a有没有可能小于零？为什么？由此可得a≥0(a≥0)，“a的双重非负性”即被开方数a≥0，a的算术平方根a≥0.1.引导学生说出只有正数和零才有平方根，负数没有平方根．进一步强调被开方数一定要大于或等于零这一条件．2．对于a(a≥0)请学生讨论应注意的问题，引导学生总结式子只有在条件a≥0时才叫二次根式.例已知|x＋3|＋y－5＝0，求xy的值．解：∵|x＋3|＋y－5＝0，∴|x＋3|≥0且y－5≥0，活动二：实践探究交流新知∴|x＋3|＝0且y－5＝0，即x＋3＝0且y－5＝0，解得x＝－3，y＝5∴xy＝－15.学生思考并解答，不完善的地方教师补充，并找学生来讲解做法．学生独自思考解题，然后全班同学集体进行交流．总结：二次根式有意义的条件是被开方数(式)是非负数.活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义？(1)23－4x；(2)－5x；(3)|x|＋1；(4)13－2x.解：(1)由23－4x≥0，得x≤16.当x≤16时，23－4x在实数范围内有意义．(2)由－5x≥0，得x≤0.当x≤0时，－5x在实数范围内有意义．(3)∵|x|≥0，∴|x|＋1>0.∴x为任意实数|x|＋1都有意义．(4)由题意知∴3－2x＞0，∴x＜32.∴当x＜32时，13－2x在实数范围内有意义．(1)小题学生自己能够解决；(2)小题注意符号问题；(3)(4)小题请学生思考后解答.1.应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力．2．通过学生相互讨论设置的问题，巩固对二次根式意义的理解，提高学生分析问题的能力．3．设计一些有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用能力，开阔学生的视野，训练学生的思维.【拓展提升】例2已知1－a＋b＋7＝0，求a－b的值．解：∵1－a≥0，b＋7≥0且1－a＋b＋7＝0，∴a＝1，b＝－7，∴a－b＝8.学生思考并解答，不完善的地方教师补充，并找学生来讲解做法.进一步巩固二次根式的非负性.活动四：课堂总结反思【当堂训练】1．一个矩形的面积是18 cm2，它的长与宽之比为3∶2，则它的长与宽分别为多少？2．下列各式是否为二次根式？x2＋3；a2；－a2；m－7.3．当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)3a；(2)2a＋3；(3)－a－1；(4)a－1；(5)6＋2a2.4．已知y＝x－3－3－x，求x＋y的值．小结与作业：小结：教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题．(1)本节课你学到了哪一类新的式子？(2)二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？(3)二次根式与算术平方根有什么关系？作业：教材第5页习题16.1第1，3，5，6，7，10题.1.当堂检测，及时反馈学习效果．2．在练习设计上，遵循由浅入深、循序渐进的原则，让学生带着问题走出课堂，使不同的人在数学上得到不同的发展，使学生发现问题、解决问题的能力得到进一步提升．3．学生共同总结，互相取长补短，再次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.【知识网络】回顾本节课的知识，使学生形成知识网络.【教学反思】①[授课流程反思]通过实例，由学生熟悉的知识出发，结合平方根的定义，引导学生写出结果，再由各结果的统一特征，共同讨论、分析、归纳，得出二次根式的概念．采用这种“由特殊到一般”的教学方法，培养了学生独立思考、合作交流、归纳总结的思维能力．②[讲授效果反思]本节课的难点是“二次根式的被开方数的非负性”，为了让学生熟练掌握，教师要注意精讲多练，练习题由浅入深，引导学生回顾平方根成立的条件，启发学生总结出二次根式有意义的条件，从而判断出字母或因式的取值范围．这种教学方法能让学生温故知新，更快掌握所学知识.回顾反思，找出差距与不足，形成知识及教学体系，更进一步提升教师教学的能力.。
人教版版九年级上册第二十一章 二次根式全章教案-1
A B C第一讲 二次根式一、教学目标:(1) 了解二次根式的概念,初步理解二次根式有意义的条件.(2) 通过具体问题探求并掌握二次根式的基本性质：当a ≥0时，()2a = a ；能运用这个性质进行一些简单的计算。
(3) 通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法。
二、教学重点：二次根式的概念以及二次根式的基本性质三、教学难点：经历知识产生的过程，探索新知识．四、教学过程：1、概念复习：什么叫平方根? 什么叫算术平方根?2、 引入：计算:的平方根是 .(2)如图,在R ∆t ABC 中,AB=50m,BC=a m,则AC= m. (3)圆的面积为S,则圆的半径是 .(4)正方形的面积为3-b ,则边长为 .（5）对上面（2）~（4）题的结果,你能发现它们有什么共同的特征吗? 3、归纳总结：1、二次根式的定义.______________________________________________________ 说说对二次根式 a 的认识,好吗?_________________________________________2、练习:说一说,下列各式是二次根式吗?(1)32 (2)6 (3)12- (4))0(≤-m m (5)x xy (、y 异号) (6)12+a (7)35 4、例1: 要使式子5-x 有意义，x 的取值范围是什么?5、二次根式性质的探索：22=4，即（4）2= 4；32=9，即（9）2= 9；……观察上述等式的两边，你得到什么启示？揭示：当a ≥0时，()2a = a 。
6、例2：计算：（1）2)3(； （2）2)32(； （3） 2)(b a + （a+b ≥0）7、练习. （1）=2)32(（2）2)32(- 练习：1、要使下列式子有意义，x 的取值范围是什么?（1）5+x （2）43-x （3）15+x （4）x 101- （5）12+x （6）2x - （7）11-+-x x （8）11+x （9）31x-2、当x=2时，下列各式中，在实数范围内没有意义的是（ ） A 、2-x B 、x -2 C 、22-x D 、22x -3、计算：（1）2)5( （2）2)73(（3）22)2()8(+ （4）222)(b a +4、已知0512=++++-y x y x ，求x+y 的值。
新人教版九年级上册第二十一章二次根式 21.1二次根式优质课教学设计完美版
通过例题分析和 练习加深对二次 根式“运算结果 和被开方数双非
1、若 x 2 m ，则 x 和 m 的取值范围是 x_____；m______. 且还要考 虑二次 根式的 负”的理解. 位置. 2、已知 x 3 y 5 0 ，求 x, y 的值各是多少？ (二)两个运算性质 活动 5、完成课本探究 1
学生独立完成后，教师订 正；并 引导 学生 观察得 出：四个式子表示的都是 非负数的算术平方根. 教师可指 出算术 平方根 即正的平方根.
算术平方根的意 义是得出二次根 式的性质的基 础，复习算术平 方根的意义便于 理解定义、归纳 性质. 让学生理解二次 根式是按形式定 义的，并理解二 次根式存在的条 件和运算结果的
65，简称根号 65(只有二 次可简称)，也可读作 65 ① 9 的运算结果是 3， 9 是不是二次根式？3 是不是？ 的算术平方根. ②定义中为什么要加 a ≥0？若 a<0， a 表示什么？有无意 可由学生 思考后 进行讨 义？ 论，然后教师订正，最后 ③当 a=0 时， a 表示什么？结果是什么？当 a>0 时， a 表 师生共同 归纳得 出性质 1： 示什么？可不可能为负数？ a ( a ≥0)是什么样的数呢？ a ( a ≥0) 是一个非负 例 1、当 x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列二 数 次根式有意义的情况下，其运算结果是怎样的实数？ 1 ， 师生共同 分析归 纳出使 x2， x2 3 x 1 二次根式有意义的条件： 练习：1、课本思考 2：当 x 是怎样的实数时， x2 ， x3 有 不是使字母为非负数，而 是使被开方数为非负数， 意义？
过 程 目 标 方 法 情 感 态 度 教学重点 教学难点
3 . 通过探究
a 和
九年级数学上册 21.1二次根式(1)教案 人教新课标版
第二十一章二次根式教材内容1．本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．2．本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标1．知识与技能（1）理解二次根式的概念．（2a≥0）是一个非负数，2=a（a≥0）（a≥0）．（3（a≥0，b≥0）；=a≥0，b>0）a≥0，b>0）．2．过程与方法（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．•再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，•并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维，•得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，•给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．3．情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点1a≥0（a≥0）是一个非负数；2＝a（a≥0）；（a≥0）•及其运用．2．二次根式乘除法的规定及其运用．3．最简二次根式的概念．4．二次根式的加减运算．教学难点1（a≥0）2＝a（a≥0（a≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制．3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．教学关键1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，•培养学生一丝不苟的科学精神．单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：21．1 二次根式 3课时21．2 二次根式的乘法 3课时21．3 二次根式的加减 3课时教学活动、习题课、小结 2课时21．1 二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键1a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．AC问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y ，所以x 2=3．因为点在第一象限，所以）．问题2：由勾股定理得问题3：由方差的概念得S 2=64， 即 二、探索新知a ≥0）•的式子叫做二次根式，（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0老师点评:（略）例11x x>0）、、、1x y+（x ≥0，y•≥0）．分析”；第二，被开方数是正数或0．x>0）、x ≥0，y ≥0）；不是二次1x 、1x y +．例2．当x分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13在实数范围内有意义． 三、巩固练习教材P 练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x +11x +在实数范围内有意义？分析+11x +中的≥0和11x +中的x+1≠0． 解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩ 由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-111x +在实数范围内有意义．例4(1)已知，求x y的值．(答案:2)(2)，求a 2004+b 2004的值．(答案:25) 五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1（a ≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业1．教材P 8复习巩固1、综合应用5．2．选用课时作业设计．第一课时作业设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（ ）A ．BCD ．x2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）A B ．．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）A ．5B ．15D ．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x2在实数范围内有意义？3．4.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b=b+4，求a、b的值．第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B二、1（a≥0） 23．没有三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：2．依题意得：230xx+≥⎧⎨≠⎩，32xx⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x≠0时，x＋x2在实数范围内没有意义．3.134．B 5．a=5，b=-4课后教学反思：_______________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________。
九年级数学上册21.1 二次根式的概念教案新人教版
三、总结提高、课内练习
课堂练习：第1页练习1，2和节前的问题。
四、归纳小结，充实结构
由学生总结，教师适当提问补充。
谈一谈：本节课你有什么收获或困惑？
（让学生通过自我评价的方法来检查自己的学习任务有没有完成，便于调节自己的学习进度，培养学生养成良好的学习习惯，发挥自我评价的作用，增强学生学数学的信念）。
引导学生做出本节课学习内容小结： 1．式子
叫做二次根式，实际上是一个非负的实数
a 的算术平方根的表达式．
2．式子中，被开方数(式)必须大于等于零． 3.给定一个特定的值，会求相应二次根式的值 五、能力拓展（游戏）
按下列程序运算，全班分成4个组，当x=1时，每人做一步，看哪一组完成得快.x 取其他数试一试.
六、布置作业：
2
12x x
-+是否有意
输入结果代入
100x
-，是否是
是
结果代入
221
x +，是否
是
结果代入
2
(91)x +，是否输出
否
否
否 否 是。
九年级数学上册 211 二次根式教案 新人教版 教案
活动 3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法.
二次可简称)，也可读 根式是按形式定
作 65 的算术平方根. 义的，并理解二
活动 4、思考下列问题：
可由学生思考后进行 次根式存在的条
① 9 的运算结果是 3， 9 是不是二次根式？3 是不是？ 讨论，然后教师订正， 件和运算结果的
②定义中为什么要加 a ≥0？若 a<0， a 表示什么？有无 最后师生共同归纳得 非负性.
培养学生观察、猜想、探究、归纳的习惯和能力，体验数学发现的乐趣.
1. a 有意义的条件. 2. a ≥0 时 a ≥0 的应用. 3. a 2 和 a2 的运算、化
简
教 学 难 点 a <0 时 a2 的化简.
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
点题，板书课题.
让学生了解本章 的学习内容和本 课的学习目标.
21.1 二次根式
教学时间 教学媒体
课题
多媒体
课 型 新授
知识 教 技能
学
1. 经历观察、比较、概括二次根式的定义.
过 程 2. 通过探究二次根式的条件和结果，达成知识目标 2.
目 方 法 3. 通过探究 a 2 和 a2 所含运算、运算顺序、运算结果分析，归纳并掌握性质.
标 情感 态度
教学重点
一、复习引入
学生独立完成后，教师
导语设计：在勾股定理和四边形两章中，已经用到过简单 订正；并引导学生观察 算术平方根的意
的二次根式运算，在本章中将系统地学习二次根式的运算。 得出：四个式子表示的
义是得出二次根
本课只学习二次根式的概念及其三个运算性质.
都是非负数的算术平 式 的 性 质 的 基
九年级数学上册 21.1 二次根式(第1课时)学案 新人教版
二次根式一、教学目标1.复习平方根的概念.2.经历从实际问题列二次根式的过程，知道什么是二次根式，会求二次根式有意义的条件.二、教学重点和难点1.重点：二次根式的概念.2.难点：理解式子a 的意思.三、教学过程（一）复习旧知，导入新课师：从本节课开始，我们要学习新的一章——第二十一章二次根式（板书：第二十一章二次根式）.师：什么是二次根式？这得从平方根说起.师：初二的时候我们学过平方根，那么什么是平方根？（稍停）师：（板书：x 2=5，并指准）x 2=5，5是x 的什么？（稍停）5是x 的平方；反过来，x 是5的什么？（稍停）x 是5的平方根.生：x=5±（边讲边板书：5±）师：（指准5±）也就是说，5的平方根有两个，一个是5，另一个是-5，其中5又叫做5的算术平方根.师：（指准板书）5的平方根是5±，那么12的平方根是什么？生：（齐答）12±. 师：其中12是12的什么？ 生：12是12的算术平方根.师：上面我们复习的是正数的平方根，下面我们来看0的平方根.师：（板书：x 2=0，并指准）x 2=0，x 等于什么？生：（齐答）x=0.（师板书：x=0）师：（指准板书）从x 2=0得出x=0，这说明什么？（稍停）这说明0的平方根为0（板书：0的平方根为0）.师：我们还规定0的算术平方根为0.师：下面我们再来看负数有没有平方根.师：（板书：x2=-5，并指准）一个数的平方等于-5，这样的数有没有？（稍停）任何一个数的平方，或者大于0，或者等于0，不可能小于0，所以这样的数没有（板书：不存在）.这说明什么？（稍停）这说明-5没有平方根（板书：-5没有平方根）.师：（指板书）从上面的讨论，我们可以得出一个结论，什么结论？正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.（二）尝试指导，讲授新课1.用带根号的式子填空（课本p2思考题）：(1)一个直角三角形的两条直角边的长分别是7cm和4cm，则斜边的长为；(2)面积为S的正方形的边长为；（3）要修建一个面积为6.28的圆形喷水池，它的半径为 m(3)一物体从高空自由落下，落地所用的时间t（单位：秒）与落下的高度h（单位：米）满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，则t= .（生报答案，师板书答案：65，S，2,h5）师：刚才我们所做题目的答案是65，S,65，h5，这三个带有根号的式子有什么共同的特点？生：……（问题的答案不是唯一的，鼓励学生发表自己的看法）师：这三个式子它们都是一个数的算术平方根，65是65的算术平方根，S是S的算术平方根，h5是h5的算术平方根.另一方面，从式子的样子来看，它们都是形如a的式子（板书：形如a的式子）.2.得出概念师：13，S，h5都是形如a的式子，我们就把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式。
21.1.1二次根式教案(人教版九年级上)
21．1.1 二次根式教案序号：1 时间： 教学内容二次根式的概念及其运用 教学目标a ≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键1（a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2（a ≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个课本P2的三个思考题： 二、探索新知a ≥0）•的式子叫做二次根式，（学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？3．当a<0有意义吗？ 老师点评:（略）例11xx>0）、、、1x y+（x ≥0，y •≥0）．分析”；第二，被开方数是正数或0．x>0）、x ≥0，y ≥0）；不是二次1x、1x y +．例2．当x分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13三、巩固练习教材P5练习1、2、3． 四、应用拓展例3．当x 11x +在实数范围内有意义？分析11x +0和11x +中的x+1≠0． 解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-1+11x +在实数范围内有意义．例4(1)已知，求xy的值．(答案:2)(2)=0，求a 2004+b 2004的值．(答案:25) 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：1a ≥0）的式子叫做二次根式，”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业1．教材P5 1，2，3，4 2．选用课时作业设计．第一课时作业设计 一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（ ）A ．BCD ．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）ABCD．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5 BC．15D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x2在实数范围内有意义？3．4.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b，求a、b的值．第一课时作业设计答案:一、1．A 2．D 3．B二、1a≥0）23．没有三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：．2．依题意得：230xx+≥⎧⎨≠⎩，32xx⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x≠0时，x＋x2在实数范围内没有意义．3.134．B5．a=5，b=-416.1.2 二次根式(2)教案序号：2 时间：教学内容1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）．教学目标（a≥0）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．a≥0）是一个非负数，用具体2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键1a≥0）是一个非负数；2=a（a≥0）及其运用．2a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导2=a（a≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当a≥0a<0老师点评（略）．二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）a≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：）2=_______；）2=_______；2=______；2=_______；2=______；2=_______；）2=_______．是4是一个平方等于4的）2=4．同理可得：）2=2，2=9，）2=3，2=13，）2=72，）2=0，所以例1 计算1．2 2．（2 3．2 4．）2分析2=a （a ≥0）的结论解题．解：2 =32，（2 =32·2=32·5=45，2=56，）274=． 三、巩固练习计算下列各式的值：2 ）2 2 ）2 （）222-四、应用拓展例2 计算1．2（x ≥0） 2．2 3．24． 2分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的42=a （a ≥0）的重要结论解题． 解：（1）因为x ≥0，所以x+1>02=x+1（2）∵a 2≥02=a 2 （3）∵a 2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a 2+2a+1≥0 2+2a+1 （4）∵4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2又∵（2x-3）2≥0∴4x 2-12x+9≥0）2=4x 2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握：1a ≥0）是一个非负数；2．2=a （a ≥0）;反之:a=）2（a ≥0）． 六、布置作业1．教材P5 5，6，7，82．选用课时作业设计． 第二课时作业设计 一、选择题1、的个数是（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．12．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）． A ．a>0 B ．a ≥0 C ．a<0 D ．a=0 二、填空题1．（2=________．2_______数． 三、综合提高题 1．计算（1）2 （2）-2 （3）（12）2 （4）（）2(5) 2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3）16（4）x （x ≥0）3=0，求x y 的值． 4．在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-2 （2）x 4-9 3x 2-5第二课时作业设计答案:一、1．B 2．C二、1．3 2．非负数三、1．（1）2=9 （2）-）2=-3 （3）（12）2=14×6=32（4）（2=9×23=6 (5)-62．（1）5=2 （2）3.4=2（3）16=2 （4）x=）2（x ≥0）3．103304x y x x y -+==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩x y =34=814.（1）x 2-2=（）（）（2）x 4-9=（x 2+3）（x 2-3）=（x 2+3）（（ (3)略21.1 二次根式(3)教案总序号：3 时间： 教学内容a （a ≥0）教学目标（a ≥0）并利用它进行计算和化简．（a ≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键1a （a ≥0）． 2．难点：探究结论．3．关键：讲清a ≥0a 才成立． 教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1a ≥0）的式子叫做二次根式；2a ≥0）是一个非负数；3．)2＝a （a ≥0）．那么，我们猜想当a ≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知（学生活动）填空：；=________=________=_______． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：110=23=0=37．例1 化简（1 （2 （3 （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a ≥0）•去化简．解：（1 （2==4（3 （4 三、巩固练习 教材P 7练习2． 四、应用拓展例2 填空：当a ≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a 可以是什么数？（2，则a 可以是什么数？（3，则a 可以是什么数？分析（a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a≥0；（2，所以a≤0；（3）因为当a≥0，，即使a>a所以a不存在；当a<0，，即使-a>a，a<0综上，a<0例3当x>2分析：(略)五、归纳小结（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．六、布置作业1．教材P5习题16．1 3、4、6、8．2．选作课时作业设计．第三课时作业设计一、选择题1的值是（）．A．0 B．23C．423D．以上都不对2．a≥0比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）．A BC D．二、填空题1．．2是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│答案:一、1．C 2．A二、1．-0．02 2．5三、1．甲甲没有先判定1-a是正数还是负数2．由已知得a-•2000•≥0，•a•≥2000所以，a-2000=19952，所以a-19952=2000．3. 10-x21．2 二次根式的乘除教案总序号：4 时间：教学内容（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．教学目标（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及它们的运用．a≥0，b≥0）．关键：要讲清（a<0,b<0）=b，如=或教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空（1；（2．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．×_____，×_____，×2．利用计算器计算填空（1，（2（3（4，（5老师点评（纠正学生练习中的错误）二、探索新知（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为反过来:例1．计算（1（2（3（4分析：a≥0，b≥0）计算即可．解：（1（2（3=（4例2 化简（1（2（3（4（5（a≥0，b≥0）直接化简即可．解：（1×4=12（2×9=36（3×10=90（4（5（1）计算（学生练习，老师点评）①②×(2) 化简:教材P11练习全部四、应用拓展例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1（2=4解：（1）不正确．×3=6（2）不正确．=＝五、归纳小结本节课应掌握：（1＝=（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．六、布置作业1．课本P111，4，5，6．（1）（2）．2．选用课时作业设计．第一课时作业设计一、选择题1．化简）．A B C．D．x-=）211A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-13．下列各等式成立的是（）．A．B．C．D．×1．2．自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．三、综合提高题1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：===（2）验证：==同理可得：==通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．答案:一、1．B 2．C 3.A 4.D二、1．2．12s三、1．设：底面正方形铁桶的底面边长为x，则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，．2．验证：===21．2 二次根式的乘除(2)教案总序号：5 时间：教学内容=a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．教学目标a≥0，b>0（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算1和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空=________；（1=________；（2=________；（3=________．（43．利用计算器计算填空:=_________，（2=_________，（3=______，（4=________．（1每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评）二、探索新知刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．例1．计算：（1（2（3（4a≥0，b>0）便可直接得出答案．分析：上面4=2解：（1（2==（3=（4例2．化简：（1（2（3（4a≥0，b>0）就可以达到化简之目的．解：（18=（28 3ba =（38y=（413y=三、巩固练习教材P14 练习1．四、应用拓展例3．=，且x为偶数，求（1+x分析：a≥0，b>0时才能成立．因此得到9-x≥0且x-6>0，即6<x≤9，又因为x为偶数，所以x=8．解：由题意得9060xx-≥⎧⎨->⎩，即96xx≤⎧⎨>⎩∴6<x≤9∵x为偶数∴x=8∴原式=（1+x=（1+x=（1+x∴当x=8时，原式的值=6． 五、归纳小结a ≥0，b>0（a ≥0，b>0）及其运用．六、布置作业1．习题16．2 2、7、8、9． 2．选用课时作业设计． 第二课时作业设计 一、选择题1的结果是（ ）．A ．27B ．27C D2．阅读下列运算过程：3==5== 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”（ ）．A ．2B ．6C ．13D二、填空题1．分母有理化:(1)=_________;(2)=________;(3)2．已知x=3，y=4，z=5_______．三、综合提高题1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为：1，•现用直径为的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？2．计算（1（（m>0，n>0）（2）（a>0）答案: 一、1．A 2．C二、1．(1)6;(2) 6;(3) 2== 2．3三、1．设：矩形房梁的宽为x （cm ）xcm ，依题意，得：）2+x 2=（2，4x 2=9×15，x=32cm ），·2=1354（cm 2）．2．（1）原式＝=-22n n m m =-（2）原式 a21.2 二次根式的乘除(3)教案总序号：6 时间： 教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算． 教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式． 通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求． 重难点关键1．重点：最简二次根式的运用．2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式． 教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）1．计算（1（2，（32．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，•那么它们的传播半径的比是_________．．二、探索新知观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．老师点评：不是．2==.例1．(1); (3)例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．BAC解：因为AB2=AC2+BC2所以132====6.5（cm）因此AB的长为6.5cm．三、巩固练习练习2、3四、应用拓展例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=--1，32=-，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算+）的值．分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．解：原式=……）=）） =2002-1=2001五、归纳小结本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用． 六、布置作业1．习题16．2 3、7、10．2．选用课时作业设计．第三课时作业设计 一、选择题1（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）．A （y>0）B y>0）C （y>0）D ．以上都不对2．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）．A B C ． D ． 3．在下列各式中，化简正确的是（ ）A B ±12C 2D ．4的结果是（）A．-3B．C．D．二、填空题1．（x≥0）2．_________．三、综合提高题1．已知a不正确，•请写出正确的解答过程：-a·1a（a-12．若x、y为实数，且y x y-的值．答案:一、1．C 2．D 3.C 4.C二、1．2．三、1．不正确，正确解答：因为301aa⎧->⎪⎨->⎪⎩，所以a<0，-a=(1-a) 2．∵224040xx⎧-≥⎪⎨-≥⎪⎩∴x-4=0，∴x=±2，但∵x+2≠0，∴x=2，y=14∴4===.21.3 二次根式的加减(1)教案总序号：7 时间：教学内容二次根式的加减教学目标理解和掌握二次根式加减的方法．先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．重难点关键1．重点：二次根式化简为最简根式．2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．教学过程一、复习引入学生活动：计算下列各式．（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．二、探索新知学生活动：计算下列各式．（1）（2）（3（4）老师点评：（1x，不就转化为上面的问题吗？（2+3（2y；（2-3+5（3z；（1+2+3（4x看为y．=（3-2因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的．（板书）所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．例1．计算（1（2分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．解：（1=（2+3（2（4+8例2．计算（1）（2）+）解：（1）=（12-3+6（2）+）三、巩固练习教材P19练习1、2．四、应用拓展例3．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y -（x分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=12，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值． 解：∵4x 2+y 2-4x-6y+10=0 ∵4x 2-4x+1+y 2-6y+9=0 ∴（2x-1）2+（y-3）2=0 ∴x=12，y=3原式=23+y当x=12，y=3时，原式=124五、归纳小结本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并． 六、布置作业1．习题16．3 1、2、3、5．2．选作课时作业设计．第一课时作业设计 一、选择题1中，与是同类二次根式的是（ ）．A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④2．下列各式：①②17=1；；，其中错误的有（ ）．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 二、填空题1、是同类二次根式的有________．2．计算二次根式的最后结果是________． 三、综合提高题1 2.236-）的值．（结果精确到0.01） 2．先化简，再求值．（-（，其中x=32，y=27．答案:一、1．C 2．A二、1 2．三、1．原式3545125=1515×2.236≈0.452．原式（=（6+3-4-6当x=32，y=27时，原式9221.3 二次根式的加减(2)教案总序号：8 时间： 教学内容利用二次根式化简的数学思想解应用题． 教学目标运用二次根式、化简解应用题．通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题． 重难点关键讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点． 教学过程一、复习引入上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固．二、探索新知例1．如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？（结果用最简二次根式表示）AC QP分析：设x 秒后△PBQ 的面积为35平方厘米，那么PB=x ，BQ=2x ，•根据三角形面积公式就可以求出x 的值．解：设x 后△PBQ 的面积为35平方厘米． 则有PB=x ，BQ=2x 依题意，得：12x ·2x=35 x 2=35PBQ 的面积为35平方厘米．PBQ 的面积为35平方厘米．例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m ）？分析：此框架是由AB 、BC 、BD 、AC 组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四段的长度．BC2m1m4mD解：由勾股定理，得===所需钢材长度为 AB+BC+AC+BD≈3×2.24+7≈13.7（m ） 答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m 的钢材．教材练习3四、应用拓展例3．若最简根式3a求a、b的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|，才由同类二次根式的定义得3a-•b=•2，2a-b+6=4a+3b．化为最简二次根式：由题意得4326 32a b a ba b+=-+⎧⎨-=⎩∴246 32 a ba b+=⎧⎨-=⎩∴a=1，b=1五、归纳小结本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．六、布置作业1．习题16．3 7．2．选用课时作业设计．作业设计一、选择题1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（）．（•结果用最简二次根式）A．B C．D．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米．（结果同最简二次根式表示）A．B C．D．二、填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，•鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为，•那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）1与n 是同类二次根式，求m 、n 的值．2．同学们，我们以前学过完全平方公式a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=2，5=2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：-1）2=2-2·1+12反之，+1=）2 ∴=）2-1求：（1；（2；（3（4，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由．答案:一、1．A 2．C 二、1．2．三、1．依题意，得2223241012m m n ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩ ，2283m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，m n ⎧=±⎪⎨=⎪⎩所以m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩或m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩2．（1+1（2+1（3=（4）m n amn b+=⎧⎨=⎩ 理由：两边平方得a ±=m+n ±所以a m nb mn=+⎧⎨=⎩21.3 二次根式的加减(3)教案总序号：9 时间：教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy2．计算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．二、探索新知如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．例1．计算:（1）（2）（）÷分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：（1）解：（÷-3 2例2．计算（1））（）（2）））分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：（1））（2（2）））=2-）2=10-7=3三、巩固练习课本练习1、2．四、应用拓展例3．已知x b a-=2-x a b -，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，，并求值．分析））=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可．解：原式22=2(1)x x +-+2(1)x x+-=（x+1）=4x+2∵x b a-=2-x a b - ∴b （x-b ）=2ab-a （x-a ）∴bx-b 2=2ab-ax+a 2∴（a+b ）x=a 2+2ab+b 2∴（a+b ）x=（a+b ）2∵a+b ≠0∴x=a+b∴原式=4x+2=4（a+b ）+2五、归纳小结本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．六、布置作业1．习题16．3 1、8、9．2．选用课时作业设计．作业设计一、选择题1．的值是（ ）．A ．203B ．23C ．23D ．2032）的值是（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．1二、填空题1．（-12+2）2的计算结果（用最简根式表示）是________．2．（（）-（）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若，则x 2+2x+1=________．4．已知，，则a 2b-ab 2=_________．三、综合提高题12．当的值．（结果用最简二次根式表示）课外知识1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．A BC D 2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-与也是互为有理化因式．练习________；_________．_______．3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．练习：把下列各式的分母有理化（1（2； （3； （4．4．其它材料：如果n==________=_______．答案:一、1．A 2．D二、1． 2． 3．2 4．三、1=-）222=222(1)()21x x x x +++⨯+=2(1)(1)1x x x x ++++= 2（2x+1）原式＝2（+3）∵。
人教版九年级上册21.1二次根式教学设计
人教版九年级上册21.1二次根式教学设计一、教学目标1.了解二次根式的基本概念和性质。
2.掌握二次根式乘法法则。
3.掌握二次根式的化简和简单应用。
二、教学准备1.计算器。
2.小黑板、彩色粉笔。
3.练习册、评价表。
4.课件、视频等多媒体设备。
三、教学流程3.1 导入（5分钟）教师出示几个简单的二次根式，并引导学生思考以下问题：•什么是二次根式？•二次根式有哪些基本性质？3.2 讲授（25分钟）3.2.1 二次根式的定义和概念（10分钟）搭建二次根式的定义和概念，包括：•二次根式的定义：形如$\\sqrt{a}$ ($a\geq 0 $)的式子。
•二次根式的基本形式：$\\sqrt{a}$。
•二次根式的倒数：$\\dfrac{1}{\\sqrt{a}} =\\dfrac{\\sqrt{a}}{a}$。
•二次根式的加减法：同底数$\\sqrt{a} \\pm \\sqrt{a} = 2\\sqrt{a}$。
•二次根式化简：比如$\\sqrt{4a^2b} = 2ab$。
3.2.2 二次根式乘法法则（10分钟）搭建二次根式乘法的基本法则，引导学生掌握二次根式的乘法，包括：•二次根式之积仍为二次根式，比如$\\sqrt{a}\\times \\sqrt{b} = \\sqrt{ab}$。
•化简二次根式的过程。
3.2.3 二次根式的简单应用（5分钟）引导学生了解二次根式的简单应用，如：•计算周长、面积、体积等问题。
3.3 练习（20分钟）让学生做一些简单的练习题，如：•$\\sqrt{5}\\times \\sqrt{20}$。
•$\\sqrt{a^2}\\times \\sqrt{b}$。
•$(\\sqrt{3} + \\sqrt{2})^2$。
3.4 总结（5分钟）让学生自行总结本课的重点和难点。
四、课后作业布置适当的作业，巩固学生对二次根式概念和乘法法则的掌握。
五、教学评价教师可以通过教学课件、小板书、作业评分等对学生的学习情况进行评价。
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第二十一章二次根式
教材内容
1．本单元教学的主要内容：
二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．
2．本单元在教材中的地位和作用：
二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标
1．知识与技能
（1）理解二次根式的概念．
（2a≥0）是一个非负数，2=a（a≥0）（a≥0）．
（3a≥0，b≥0）
a≥0，b>0）a≥0，b>0）．
2．过程与方法
（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．•再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，•并运用规定进行计算．
（3）利用逆向思维，•得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，•给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．
3．情感、态度与价值观
通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点
1a≥0a≥0）是一个非负数；2＝a（a≥0）；
（a≥0）•及其运用．
2．二次根式乘除法的规定及其运用．
3．最简二次根式的概念．
4．二次根式的加减运算．
教学难点
1a≥0）是一个非负数的理解；对等式（2＝a（a≥0（a ≥0）的理解及应用．
2．二次根式的乘法、除法的条件限制．
3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．
教学关键
1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．
2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，•培养学生一丝不苟的科学精神．
单元课时划分
本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：
21．1 二次根式 3课时
21．2 二次根式的乘法 3课时
21．3 二次根式的加减 3课时
教学活动、习题课、小结 2课时
21．1 二次根式
第一课时
教学内容
二次根式的概念及其运用
教学目标
a≥0）的意义解答具体题目．
提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．
教学重难点关键
1
a≥0）的式子叫做二次根式的概念；
2
a≥0）”解决具体问题．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：
问题1：已知反比例函数y=3
x
，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标
是___________．
问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．
A
C
问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．
老师点评：
问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以
．
问题2：由勾股定理得
问题3：由方差的概念得 二、探索新知
都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根
a ≥0）•的式子叫做二
次根式，
（学生活动）议一议：
1．-1有算术平方根吗？
2．0的算术平方根是多少？
3．当a<0
老师点评:（略）
例11x x>0）、
1x y
+x ≥0，y•≥0）．
分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“
；第二，被开方数是正数或0．
x>0）x ≥0，y ≥0）；不是二次
1x 1x y
+．
例2．当x 在实数范围内有意义？
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．
解：由3x-1≥0，得：x ≥
13
当x ≥13在实数范围内有意义． 三、巩固练习
教材P练习1、2、3．四、应用拓展
例3．当x是多少时，
1
1
x+
在实数范围内有意义？
1
1
x+
0和1
1
x+
中的x+1≠0．
解：依题意，得
230
10
x
x
+≥
⎧
⎨
+≠
⎩
由①得：x≥-
3
2
由②得：x≠-1
当x≥-
3
2
且x≠-1
1
1
x+
在实数范围内有意义．
例4(1)已知，求
x
y
的值．(答案:2)
(2)=0，求a2004+b2004的值．(答案:
2
5
)
五、归纳小结（学生活动，老师点评）
本节课要掌握：
1a≥0）的式子叫做二次根式，
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．
六、布置作业
1．教材P8复习巩固1、综合应用5．
2．选用课时作业设计．
3.课后作业:《同步训练》
第一课时作业设计
一、选择题
1．下列式子中，是二次根式的是（）
A．．x
2．下列式子中，不是二次根式的是（）
A．
1
x
3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）
A．5 B．
1
5
D．以上皆不对
二、填空题
1．形如________的式子叫做二次根式．
2．面积为a的正方形的边长为________．
3．负数________平方根．
三、综合提高题
1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？
2．当x
2在实数范围内有意义？
3
．
4.
x有（）个．
A．0 B．1 C．2 D．无数
5.已知a、b
=b+4，求a、b的值．
第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B
二、1
a≥0） 2
．没有
三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：
2．依题意得：
230
x
x
+≥
⎧
⎨
≠
⎩
，
3
2
x
x
⎧
≥-
⎪
⎨
⎪≠
⎩
∴当x>-3
2
且x≠0
＋x2在实数范围内没有意义．
3.1 3
4．B
5．a=5，b=-4。