42-第一第二换元法资料
42换元法2第二类换元法
(19) csc xdx ln(csc x cot x) C;
(20)
a2
1
x 2 dx
1 a
arctan
x a
C;
(21)
x2
1
a
2
dx
1 2a
ln
xa xa
C;
(22)
1 dx arcsin x C;
a2 x2
a
(23)
1 dx ln x x2 a2 C.
dx 2)
Байду номын сангаас
t
17
t
2
1 t2
dt
1
t6 2t
7
dt
1 ln | 1 2t 7 | C 1 ln | 2 x7 | 1 ln | x | C.
14
14
2
基 (16)
本 积 (17)
分 表
(18)
tan xdx ln cos x C; cot xdx ln sin x C; sec xdx ln(sec x tan x) C;
二、第二类换元法
第一类换元法基本思想
f [(x)](x)dx
做变量替换u (x)
易求
[ f (u)du]u ( x)
第二类换元法基本思想
f [ (t)] '(t)dt
做变量替换x (t) f (x)d x
难求
易求
求出积分后，用t 1(x)换回原始变量。
解: 原式
不定积分两类换元法的关系
不定积分两类换元法的关系
不定积分的两类换元法，即第一类换元法和第二类换元法，它们之间的关系主要体现在以下两个方面：
1. 核心思想：两类换元法的核心思想都是通过变量代换的方法来简化不定积分。
第一类换元法是通过将f(x)转化为复合函数导数的形式，从而方便计算；而第二类换元法则是在被积函数中出现根号或无理函数时，通过变量代换消去根式，使其转化为容易计算的积分。
2. 换元公式：在第一类换元法中，换元公式是u=φ(x)，通过这个公式可以
将f(x)转化为f[φ(x)]φ'(x)的形式。
而在第二类换元法中，换元公式是
x=ψ(t)，通过这个公式可以将原函数代换成关于t的函数，方便后续积分计算。
虽然两种换元法的形式不同，但它们的目的是相同的，都是为了简化计算。
总的来说，不定积分的两类换元法在核心思想和换元公式上都有一定的联系。
在实际应用中，可以根据不同的积分情况选择合适的换元法，以便更快速、准确地计算不定积分。
不定积分的第二类换元积分法
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例1 求 a2-x2dx (a0)
解 令 xasint dxaco tdtst - ,
2 2
a2 -x2dx a2-a2si2ntacotsdt
a2co2stdt
a2
1co2stdt 2
辅助三角形
a2 (t1sin2t)C
22
a2 (tsintcots)C
其中tj-1(x)是xj(t)的反函数.
这是因为, 由复合函数和反函数求导法则,
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一、第二类换元法基本类型
❖（1）三角代换去根式 ❖（2）根式代换(去根式) ❖（3）倒代换
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❖（1）三角代换去根式
•去根式 a2-x2 (a0) 作代换 xasint, t(- ,),
1 ex
1 2t
t
t2
dt -1
2
t
2
dt -1
ln t -1 C
t 1
2ln1 (ex-1)-xC
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(3)倒代换 一些情况下(如被积函数是分式, 分母的方幂
例6 求 1 dx
x(x7 2)
较高时), 可作倒代换 x 1 . t
解
令 x 1, t
dx
-
1 t2
(x -1)dx
2x - x2
dx 2x - x2
-1
d(2x-x2)
d(x -1)
2 2x-x2
1-(x -1)2
-2x-x2arcx s-i1n )(C
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新编文档-D42换元法54753-精品文档
xdxaxdxa
1 2a
d(x a) xa
d(xxaa)
1 lnxa lnxa C 1 lnxa C
2a
2a xa
常用的几种配元形式:
(1)f(axb)dx1a f(axb) d(axb)
(2) f(xn)xn 1dx1 f (xn) d x n n
若所求积分 f (u)du难求， f[(x) ](x)dx易求,
则得第二类换元积分法 .
定理2 . 设 x(t)是单调可导函数 , 且 (t)0,
f[(t) ](t)具有原函数 , 则有换元公式
f(x )d x f[( t)] ( t)d tt 1 (x )
1 4(1 2 c2 o x s c2 o 2 x )s
1 4 (1 2 c2 o x 1 s c 24 o x )s
1 4 (2 3 2 c2 o x s 1 2 c4 o x )s
co4xsdx1 4(2 3 2 c2 o x 1 2 s c4 o x )d x s
例16. 求 a2x2dx(a0).
解: 令 x a sti,t n ( 2 , 2 ),则
a 2 x 2a 2 a 2 s2 itn aco t s
dxaco tdts
ax
∴ 原式 acostacotdsta2 co2tsdt
a2t sin 2t C
a2
3
)2
1 2
(x(x22aa22))32a2dx2
12(x2a2)12d(x2 a2)
a2 (x2a2)32 d(x2 a2) 2
x2a2
a2 C
第二换元法-教案
解：原式 令
还原变量：最后要用 不能用 ：运用“直角三角形法”将含有 的式子转化为 ：
“对比邻”
观察右图，可见 “对比斜”
原式
练习 方法同上述
以上三种是三类题，虽然都是去根号，但方法途径不同，请大家冷静下来回味一下。
四．割换“ ”
例8 令
解：原式
还原变量：最后要用 不能用 ：运用“直角三角形法”将含有 的式子转化为 ：
实际上，该题的应该先凑微分。
解： ，然后令 ，转化为例1
练习1
解：令变量 ，即作变量代换 从而微分
2求不定积分
解：令 则
二．弦换含有“ ”
例3 让我们联想到 ，如果令 就可以消去根号。
解：令 此时在实数集 上有： ，即
原式
遇到正负号问题：索性定一个主值区间： 则 ，
为正，这就避免了符号的纠缠。
回代
可见：“弦换”目标也是去根号，但去根号的方法、手段是弦的变换；
原式 此时 得“微出去”明显检验出：
“回代： ”
可见，凑微分是将微分号外面的式子凑到里面，即“凑进来”，而“二换”是将微分号里面的式子“微出去”。
其方向相反
若： 我们从例一得到经验！本题障碍在于含有 ，索性将 设为 。
例2
积分的障碍也是“ ”，但根号里含有2次。如果“ ”设成 ， 求出有含有新的“ ”。这样，去掉一个根号，又来了一个根号，达不到降低难度、化简为易的目的。
4.3.2第二换元法
教学内容：
前面介绍了直接积分法、第一换元法，对不同的题型用不同的求积分方法，注意方法应得当。第一换元法是先凑微分，再用新变量 替换 ．但是有些积分是不容易凑微分的，需要新的积分法，即第二换元法．
一．根换即将整个根号设为
D42换元法
解: 原式
(P203 公式 (20) )
例20. 求
例21. 求
解:
(P203 公式 (23) )
例22. 求
解: 原式 =
(P203 公式 (22) )
例23. 求
解: 原式
(P203 公式 (22) )
例24. 求
解: 令
得
原式
例25. 求
解: 原式
令
例16
思考与练习
1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?
备用题 1. 求下列积分:
2.
求不定积分
解：
利用凑微分法 ,
原式 =
令
得
分子分母同除以
3.
求不定积分
解:
令
原式
( 参考书上 P201-P202 )
或
或
三角代换外, 还可利用公式
原式
例19. 求
解: 令
则
原式
当 x < 0 时, 类似可得同样结果 .
小结:
1. 第二类换元法常见类型:
令
令
令
或
令
或
令
或
第四节讲
2. 常用基本积分公式的补充 (P203)
(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换
令
例6. 求
解: 原式 =
例7. 求
解: 原式 =
例8. 求
解: 原式 =
例9. 求
解法1
解法2
两法结果一样
例10. 求
解法1
解法 2
同样可证
或
(P196 例16 )
例11. 求
解: 原式 =
例12 . 求
解:
换元积分法第二类换元法
§4.2 换元积分法（第二类）Ⅰ 授课题目（章节）：§4.2 换元积分法 （第二类换元积分法） Ⅱ 教学目的与要求：1.了解第二类换元法的基本思想2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ 教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换 难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ 讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分()g x dx ⎰时, 如果函数g (x )可以化为[()]()f x x ϕϕ'的形式, 那么()()[()]()[()]()()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ϕϕϕϕϕ='==⎰⎰⎰⎰()F u C =+[()]F x C ϕ=+所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如[()]()f x x ϕϕ'函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如⎰-dx x a 22.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。
第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分()f x dx ⎰化为有理式[()]()f t t ψψ'的积分[()]()f t t dt ψψ'⎰。
即()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=⎰⎰若上面的等式右端的被积函数[()]()f t t ψψ'有原函数()t Φ，则[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+⎰,然后再把()t Φ中的t 还原成1()x ψ-，所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。
定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数，且0)(≠ψ't ，又设)()]([t t f ψ'ψ有原函数()t Φ，则⎰⎰+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1分析 要证明1()[()]f x dx x C ψ-=Φ+⎰，只要证明1[()]x ψ-Φ的导数为()f x ，1[()]d d dt x dx dt dx ψ-ΦΦ=⋅ ， ?dt dx=证明 )(t x ψ=Θ单调、可导，∴()x t ψ=存在反函数)(1x t -=ψ，且)(11t dtdx dx dt ψ'== 11[()][()]()()()d d dt x f t t f x dx dt dx t ψψψψ-Φ'Φ=⋅=='Q)]([1x -ψΦ∴是)(x f 是一个原函数⎰+ψΦ=-C x dx x f )]([)(1.第二换元法，常用于如下基本类型 类型1：被积函数中含有22x a -（0>a ）,可令t a x sin =（并约定(,)22t ππ∈-）则t a x a cos 22=-，tdx a dx cos =，可将原积分化作三角有理函数的积分.例1 求⎰-dx x a 22)0(>a解 令t a x sin = ，(,)22t ππ∈-，则t a x a cos 22=- tdt a dx cos = 22cos cos a x dx a ta tdt ∴-=⎰⎰22211(cos 2)sin 22224a a a t dt t t C =+=++⎰22222sin cos arcsin 2222a a a x x t t t C a x C a =++=+-+. 借助下面的辅助三角形把sin t ，cos t 用x 表示.例2 求⎰-dx xx 224解 令t x sin 2=，(,)22t ππ∈-，则t x cos 242=-，tdt dx cos 2=2224sin 1cos22cos =42cos 24t t tdt dt t x-∴=⋅-⎰⎰ =(22cos2)2sin 2t dt t t C -=-+⎰ 222sin cos 2arcsin422x xt t t C x C =-+=--+类型2：被积函数中含有)0(22>+a x a 可令 t axtan = 并约定(,)22t ππ∈-，则t a x a sec 22=+；tdt a dx 2sec = ；可将原积分化为三角有理函数的积分.例3 求⎰+22ax dx )0(>a解 令t a x tan =，)2,2(ππ-∈t ，则22sec x a a t +=，2sec dx a tdt = 22sec tdt x a∴=+⎰⎰ln sec tan t t C =++22221lnln x a xC x x a C a a+=++=+++.例4 求⎰+224xxdx解 令t x tan 2=，)2,2(ππ-∈t 242sec x t +=，tdt dx 2sec 2=22222sec 4tan 2sec 4t dt t t xx ∴=⋅+⎰1cos 22sin 2cos 1sec 14tan 4t t tt dt dt t ==⎰⎰2221cos 111114sin 4sin 4sin 4sin 4t x dt d t C C t t t x+===-⋅+=-⋅+⎰⎰ 例5求⎰+22)9(x dx（分母是二次质因式的平方）解 令t x tan 3=，则t x 22sec 99=+， tdt dx 2sec 3=222243sec 1cos (9)81sec 27dx t dt tdt x t ==+⎰⎰⎰111(1cos 2)cos 2cos 2254545454254t t t dt tdt td t =+=+=+⨯⎰⎰⎰ 11sin 2sin cos 542545454t t t t t C =+=++⨯ 2113arctan 543549x x C x =+⋅++练习： 求221(25)dx x x -+⎰（第二换元积分法分）解 22222])1(2[)52(-+=+-x x x ，令t x tan 21=-)2,2(ππ-∈t 则 222442sec 11(1cos 2)sin cos (25)2sec 161616dx t t dt t dt t t C x x t ==+=++-+⎰⎰⎰21111arctan 162825x x C x x --=+⋅+-+ 类型 3 被积分函数中含有22a x - )0(>a ，当a x ≥时，可令t a x sec =，并约定(0,)2t π∈，则t a a x tan 22=-，sec tan dx a t tdt =，当a x -≤时，可令x u -=，则a u ≥，可将原积分化为三角有理函数的积分。
D42换元法54952
ln
x2 a2
x a
C1
x2 a2 x t a
(C C1 ln a)
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例18. 求
解:
当x
a时,
令
x
a sect
,
t
(0,
2
)
,
则
x2 a2 a2 sec2 t a2 a tan t
dx a sect tan t d t
1
(
1
1
)
(x a)(x a) 2a x a x a
∴
原式
=
1 2a
dx xa
dx xa
1 2a
d(x a) xa
d(x a) xa
1 ln x a ln x a C 1 ln x a C
a
1 a
du 1 u
2
1 arctan a
uC
想到公式
1
d
u u
2
arctan u C
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例3. 求 解:
dx a 1 (ax)2
d
(
x a
)
1
(
x a
)
2
想到
d u arcsinu C 1u2
f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
第二类换元法
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一、第一类换元法 定理1. 设 f (u) 有原函数 , u (x)可导, 则有换元
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换元法
(第一换元法)
2
2
简写： cos 2 xdx 1 cos 2 x d (2 x) 1 sin 2 x C. (凑微分法)
高等数学--换元积分法
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2018/10/22
3
一、第一类换元法（凑微分法）
定理4-2 设 f (u) 具有原函数 F ( u) ， 且 u ( x ) 可导，
高等数学--换元积分法
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5
(5)
(6)
(7)
f (sin x)cos xdx
f (cos x) sin xdx
f (tan x)sec 2 xdx
dsin x dcos x
dtan x
(8)
(9)
(10)
f (arcsin x)
1 1 x2
求
1 1 ax dx ln C 即 2 2 a x 2a a x
这里注意
2018/10/22
dx d (a x )
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12
例6
求 csc xdx.
仿例5
解 原式 1 dx sin x dx sin x sin 2 x
2
x arcsin C a 1 x dx arcsin C 即 a a2 x2
2018/10/22
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23
例17
1 求 2 dx. x 8 x 25
1 dx 原式 2 ( x 4) 9 1 x4 arctan C. 3 3
e dx de
x
1 dx d (ax b) (a 0) a 1 x dx dx 1 ( 0) 1 1 dx d ln x x
x
sin xdx d cos x cos xdx d sin x 2 sec xdx d tan x 2 csc xdx d cot x
1 3 2 5 1 7 sin x sin x sin x C. 3 5 7
遇正弦余弦是奇次方，常拆开奇次项去凑微分 .
2018/10/22
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15
例9
解
1 cos 2 x dx 原式= 2
1 1 [ dx cos 2 xd (2 x)] 2 2
dx
darcsin x
1 f (arctan x) dx 2 1 x
darctan x
f [ g ( x)]g ( x)dx f [ g ( x)]dg ( x)
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2018/10/22
6
2.′常用凑微分公式：
（可视为逆用微分公式）
则有换元公式
f [ ( x )] ( x )dx
令 ( x ) u
f (u)du
F (u ) C F[ ( x)] C
说明 1.此法关键是按复合函数内层凑微分 ( x)dx du,
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1 2 1 这里 xdx dx d ( x 2 3) 2 2
2018/10/22
高等数学--换元积分法
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9
例3
求
2 xe
x2
dx.
解
原式 e dx 2
x2
e C
x2
这里
2 xdx dx
2
2018/10/22
高等数学--换元积分法
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21
1 dx. 例15 求 2 2 a x
解
1 原式 2 a 1 x 2 dx 1 2 a
(a＞0)
1 u2
想到公式 du
arctan u C
即
1 x arctan C. a a 1 1 x a 2 x 2 dx a arctan a C
11
例5
1 有理分式分拆 a 2 x 2 dx (a＞0) 成部分分式(P170) 解 原式 1 ( 1 1 )dx 2a a x a x 1 1 1 [ d (a x) d (a x)] 2a a x ax 1 ax ln C 2a a x
2 3 1 5 tan x tan x tan x C. 3 5
遇正切正割(余切余割)是偶次方，常用平方公式.
2018/10/22
高等数学--换元积分法
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17
例11 求 cos 2 x cos 5 xdx. 分析：用积化和差公式 解
1 原式= (cos 3x cos 7 x)dx 2 1 1 sin 3x sin 7 x C. 6 14
10
例4
求
tan xdx.
解
sin x 原式 dx cos x d cos x cos x
ln cos x C
即
tan xdx ln cos x C
同理可得 cot xdx ln sin x C
2018/10/22 高等数学--换元积分法
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即 同理可得
2018/10/22
csc xdx ln csc x cot x C
sec xdx ln sec x tan x C
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13
例7
解一
求
sin 2 xdx.
1 原式 sin 2 xd (2 x) 2 1 cos 2 x C. 2
u 2x 1
1 这里 dx d (2 x 1) 2
2018/10/22 高等数学--换元积分法
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8
例2
解
求
x
x 3dx.
2
1 2 2 原式 x 3d ( x 3) 2
3 1 2 ( x 3) 2 C. 3
u x2 3
复习
F ( x) f ( x) f ( x)dx F ( x) C F (u ) f (u ) f (u )du F (u ) C
因此，基本积分表中的x换成u时仍成立！
2018/10/22
高等数学--换元积分法
1
第二节
换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
高等数学--换元积分法
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1 1 x d( ) a 1 ( x )2 a a
2018/10/22
22
例16 求
1 a2 x2
dx.
(a＞0)
dx
x d 2 x a 1 a 1
解
1 原式 a
1 x 1 2 a
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14
例8 求 解
sin
2
x cos xdx.
5
2 4 原式= sin x cos xd (sin x )
sin 2 x (1 sin 2 x) 2 d (sin x)
(sin 2 x 2 sin 4 x sin 6 x)d (sin x)
解
（配方法） （用例15）
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24
x dx. 例18 求 3 (1 x) x 1 1 解 原式 （加一项，减一项） dx 3 (1 x) 1 1 [ ]d (1 x) 2 3 (1 x) (1 x)
2018/10/22
高等数学--换元积分法
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2
问题的引入：
cos 2 xdx sin 2 x C ×
不相同 解法：复合函数 解
成为基本 积分公式 的形式
化归简单函数 1 u 2 x , 设 则du 2dx,即dx du 2
1 1 1 sin u C sin 2 x C. 原式 cos u du 2 2 2
4
2.常用凑微分类型（见P156）： 1 d(a x b) (1) f (ax b)dx a 1 n n 1 n (2) f ( x )x dx dx n 1 (3) f (ln x) dx dln x x
(4)
f (e x ) e x d x
de
x
2018/10/22
1
2
1 x 1 dx d arctan x 2 1 x
dx d arcsin x
2018/10/22
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7
例1
解
1 dx . 求 2x 1
1 1 原式 d (2 x 1) 2 2x 1
1 ln 2 x 1 C. 2
1 1 C. 2 1 x 2(1 x)
2018/10/22
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25
1 dx. ＊例19 求 x 1 e 1 ex ex 解 dx 原式 x 1 e
（加一项减一项）