2[1].1及2.2矩阵的概念和矩阵的运算
线性代数2.1矩阵的概念
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行列式与矩阵的区别
1. 行列式是一种算式，它最终表示的是一个 “值”；矩阵是一张“表”，排列起来它是一个矩形 “表2”. 。行列式要求行数与列数相同，而矩阵就没有 这个限制。
3. 行列式用 “ ” 表示，而矩阵用 “或 ”
表示。
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转化思想
复杂问题
转 化
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a11 a12 L
0
a22 L
M M
0
0L
a1n
a2n
M
ann
a11 0 L
a21
a22
L
M M
an1
an2
L
0
0
M
ann
方阵的主对角线
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三角矩阵
方阵的次对角线
二、几类特殊矩阵
4．行（列）矩阵
A a1, a2,L , an
行矩阵 （或n维行向量）
b1
1 1
二、几类特殊矩阵
2. 零矩阵
元素全为零的矩阵称为零矩阵。一般记为：
Om n 或者就直接记成 O
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
注意：不同型的零矩阵是不相等的。
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二、几类特殊矩阵
3. 方阵
对于 Amn 当 m n 时，这个矩阵称为n阶矩阵
或n阶方阵。一阶方阵可以看作一个数。
a21 M
am1
a12 L a22 L M am2 L
a1n
a2n
M
amn
m n 矩阵简记为： A aij m n
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矩阵的表示方法:
矩阵的基本概念和运算
矩阵的基本概念和运算矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍矩阵的基本概念以及常见的矩阵运算。
一、矩阵的基本概念1.1 定义矩阵是一个由m行n列元素组成的矩形数组，记作A=[a_ij]，其中i表示行数，j表示列数，a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
1.2 矩阵的类型根据矩阵元素的性质和特点，矩阵可以分为以下几种类型：- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，记作O。
- 方阵：行数等于列数的矩阵，记作A（m×m）。
- 行矩阵：只有一行的矩阵，记作A（1×n）。
- 列矩阵：只有一列的矩阵，记作A（m×1）。
- 对角矩阵：非主对角线上的元素都为0的方阵。
1.3 矩阵的运算矩阵的运算包括加法、减法、数乘以及矩阵乘法等。
二、矩阵的运算2.1 矩阵的加法和减法设有两个m×n的矩阵A=[a_ij]和B=[b_ij]，则它们的和记作C=A+B，差记作D=A-B。
矩阵的加法和减法满足以下性质：- 交换律：A+B=B+A，A-B≠B-A。
- 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)，(A-B)-C=A-(B-C)。
- 零元素：A+O=A，A-O=A。
- 负元素：A+(-A)=O。
2.2 矩阵的数乘设有一个m×n的矩阵A=[a_ij]，数k，则kA记作E=[ka_ij]，即矩阵A中的每个元素乘以k。
2.3 矩阵的乘法设有一个m×n的矩阵A=[a_ij]和一个n×p的矩阵B=[b_ij]，它们的乘积记作C=A•B，其中C的第i行第j列的元素为：c_ij = a_i1 * b_1j + a_i2 * b_2j + ... + a_in * b_nj矩阵的乘法需要满足以下条件：- 矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，才能进行乘法运算。
- 乘法不满足交换律，即A•B≠B•A。
- 结合律成立：(A•B)•C=A•(B•C)。
2.4 矩阵的转置设有一个m×n的矩阵A=[a_ij]，A的转置记作A^T，其中A^T 的第i行第j列的元素为a_ji。
矩阵的基本概念与运算
矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数中的重要概念之一，在数学和计算机科学中广泛运用。
它是由数个数按矩形排列而成的矩形阵列，可以表示向量、方程组以及线性变换等。
一、矩阵的基本概念矩阵由m行n列的数按一定顺序排列而成，通常用大写字母表示。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：A = [a11, a12;a21, a22;a31, a32]其中的aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵的行数m和列数n分别称为其维度，m×n为矩阵的规模。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法若矩阵A和B的维度相等（均为m行n列），则它们可以相加。
矩阵相加的结果为一个新的维度相同的矩阵C，其元素由对应位置的矩阵A和B的元素相加得到。
即：C = A + B = [a11 + b11, a12 + b12;a21 + b21, a22 + b22;a31 + b31, a32 + b32]2. 矩阵的减法矩阵的减法与加法类似，只需将相应位置上的元素相减即可。
例如：C = A - B = [a11 - b11, a12 - b12;a21 - b21, a22 - b22;a31 - b31, a32 - b32]3. 矩阵的数乘矩阵的数乘指的是将矩阵的每个元素乘以一个常数k。
结果仍为同一维度的矩阵。
记为：C = kA = [ka11, ka12;ka21, ka22;ka31, ka32]4. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个m行n列的矩阵A与一个n行p列的矩阵B相乘得到一个m行p列的矩阵C。
矩阵乘法的运算规则如下：C = AB = [c11, c12, ..., c1p;c21, c22, ..., c2p;...cm1, cm2, ..., cmp]其中，cij表示矩阵C中第i行第j列的元素，计算公式为：cij = a1i * b1j + a2i * b2j + ... + ani * bnj5. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列对调。
矩阵和行列式的基本概念
矩阵和行列式的基本概念矩阵和行列式是线性代数中的基本概念，它们在各个领域有着广泛的应用。
本文将介绍矩阵和行列式的基本定义、性质和应用。
1. 矩阵的基本定义矩阵是一个按照行和列排列的矩形数表。
具体而言，一个m行n列的矩阵A可以表示为：A = [a₁₁ a₁₂ a₁₃ …… a₁ₙ][a₂₁ a₂₂ a₂₃ …… a₂ₙ][…… …… …… …… ][aₙ₁ aₙ₂ aₙ₃ …… aₙₙ]其中，aᵢₙ表示矩阵A的第i行第j列的元素。
2. 矩阵的运算2.1 矩阵的加法和减法若A和B是两个相同大小的矩阵，即有相同的行数和列数，则它们的和与差定义为：A +B = [a₁₁ + b₁₁ a₁₂ + b₁₂ a₁₃ + b₁₃ …… a₁ₙ + b₁ₙ][a₂₁ + b₂₁ a₂₂ + b₂₂ a₂₃ + b₂₃ …… a₂ₙ + b₂ₙ] […… …… …… …… ][aₙ₁ + bₙ₁ aₙ₂ + bₙ₂ aₙ₃ + bₙ₃ …… aₙₙ + bₙₙ]A -B = [a₁₁ - b₁₁ a₁₂ - b₁₂ a₁₃ - b₁₃ …… a₁ₙ - b₁ₙ][a₂₁ - b₂₁ a₂₂ - b₂₂ a₂₃ - b₂₃ …… a₂ₙ - b₂ₙ] […… …… …… …… ][aₙ₁ - bₙ₁ aₙ₂ - bₙ₂ aₙ₃ - bₙ₃ …… aₙₙ - bₙₙ]2.2 矩阵的数乘若A是一个矩阵，k是一个数，则kA定义为：kA = [ka₁₁ ka₁₂ ka₁₃ …… ka₁ₙ][ka₂₁ ka₂₂ ka₂₃ …… ka₂ₙ][…… …… …… ][kaₙ₁ kaₙ₂ kaₙ₃ …… kaₙₙ]2.3 矩阵的乘法若A是一个m行n列的矩阵，B是一个n行p列的矩阵，则它们的乘积AB定义为：AB = [c₁₁ c₁₂ c₁₃ …… c₁ₙ][c₂₁ c₂₂ c₂₃ …… c₂ₙ][…… …… …… ][cₙ₁ cₙ₂ cₙ₃ …… cₙₙ]其中，cᵢₙ表示AB的第i行第j列的元素，其计算方式为cᵢₙ =aᵢ₁b₁ₙ + aᵢ₂b₂ₙ + … + aᵢₙbₙₙ。
线性代数 矩阵及其运算
A22 ...
... ...
An 2 ...
A1n A2n ... Ann
称矩阵A的伴随矩阵，记为A＊
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27
伴 随 矩 阵 有 如 下 重 要 性 质 ： AA*A*A(detA)E
矩阵运算举例
例 例 1 8 设 A123T， B11 21 3， CAB ，
求 Cn
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例4
如：A 11
11
B
1 1
11
AB O
BA
2 2
22
显然有：AB 0 AB BA
总结:矩阵乘法不满足交换律与消去律.
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18
例5 设
A1 1
2 1
1 1,
求AB与BA
1 2 B1 1
2 3
解
3 0 3
1 3 AB2 6
BA0 3 0 1 7 1
定理2.1 若矩阵A的第i行是零行，则乘积 AB的第i行
a..i.1
... ...
a..is.n......
... bnjs
... ...
cij
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14
例2 计算
2 1
1 8 10
1 3
4 01 3
2 4
051 9
2 5 22 15
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15
例3. 非齐次线性方程组的矩阵表示
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1
关于矩阵乘法的注意事项： （1）矩阵 A 与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列数与右
矩阵的行数相等； （2）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是
A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；
矩阵知识点总结大学
矩阵知识点总结大学一、基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是指一个按照矩形排列的数字元素集合。
一般地，矩阵用符号“A”、“B”、“C”等来表示，其中每个元素用小写字母加标记来表示其位置，如a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
矩阵A的元素一般用a_ij来表示，其中i表示元素所在的行数，j表示元素所在的列数。
如下所示：A = [a_11, a_12, ..., a_1n][a_21, a_22, ..., a_2n][..., ..., ..., ...][a_m1, a_m2, ..., a_mn]矩阵的大小一般用m×n来表示，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵的元素一般用小写字母a、b、c、d等来表示。
1.2 特殊矩阵⑴方阵：行数和列数相等的矩阵称为方阵。
n阶方阵指的是行数和列数均为n的方阵。
⑵零矩阵：所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，通常用0表示。
⑶单位矩阵：对角线上的元素全为1，其他元素均为0的方阵称为单位矩阵，通常用I表示。
⑷对角矩阵：除了对角线上的元素外，其他元素均为0的矩阵称为对角矩阵。
1.3 矩阵的运算规则矩阵的运算包括加法、乘法和数乘三种，具体规则如下：⑴矩阵的加法：若A、B是同型矩阵，则它们的和记为A+B，定义为A+B=[a_ij+b_ij]，其中a_ij和b_ij分别是A和B对应位置的元素。
⑵矩阵的数乘：若A是一个矩阵，k是一个数，则它们的数乘记为kA，定义为kA=[ka_ij]，其中a_ij是A的元素。
⑶矩阵的乘法：若A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积记为A·B，定义为A·B=C，其中C是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列的元素c_ij等于A的第i行和B的第j列对应元素的乘积的和。
1.4 矩阵的转置若A是一个m×n的矩阵，其转置记作A^T，定义为A^T=[a_ji]，其中a_ji表示A的第i 行第j列的元素。
矩阵典型习题解析
2 矩阵矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。
其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单!知识要点解析2.1.1 矩阵的概念1．矩阵的定义由m×n个数a ij （i 1,2, ,m;j 1,2, , n）组成的m行n列的矩形数表a11 a12 a1nA a21 a22 a2nAa m1 a m2 a mn称为m×n矩阵，记为 A （a ij ）m n2．特殊矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；（4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是 1 的对角阵，记为E；（6）零矩阵：元素全为零的矩阵。
3．矩阵的相等设 A （a ij ）mn; B （b ij ）mn若a ij b ij(i 1,2, ,m;j 1,2, ,n)，则称A与B相等，记为A=B。
2.1.2 矩阵的运算1．加法(1)定义：设 A (A ij )mn ,B (b ij )mn ，则 C A B (a ij b ij )mn (2) 运算规律① A+B=B+A ；②( A+B ) +C=A+( B+C )③ A+O=A ④ A+(-A ) =0， –A 是 A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 (1)定义：设 A (a ij )mn ,k 为常数，则 kA (ka ij )mn(2) 运算规律 ① K (A+B) =KA+KB, ② ( K+L) A=KA+LA,③ (KL) A= K (LA)3．矩阵的乘法(1)定义：设 A (a ij )mn ,B (b ij )np .则 nAB C (C ij )mp ,其中 C ij a ik b kjk1(2) 运算规律① (AB)C A (BC) ；② A(B C) AB AC③ (B C)ABA CA3)方阵的幂①定义：A(a ij )n，则 A k A KA ②运算规律：A m A n A mn(A m )n A(4)矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。
高数-矩阵的概念及运算
a21 a22
an1 an2
an1 an2 ann
a1n
a2n
ann
显然, n 阶方阵的转置仍然是n 阶方阵. (AT)T =A.
系数矩阵和增广矩阵
例2. 2. 1 三元线性方程组
x1 2x2 3x3 8, 1 2 3
5x2 2x3 4,
2 x1
3x3 2
0 2
10 6 5
2
3 1
求全年电视销售情况？ 7 10 3 6 5 5
1
2
2 3 0 1
定义
矩阵——矩形数表
a11
A
a21
M
a12 L a22 L M
a1n
a2n
M
用大写黑体拉丁字母A,B,C等表示
am1 am2 L amn
元素 aij 数学理论中，元素可以是数，也可以是其他对象; 方阵：m=n时, 称n阶方阵或n阶矩阵; 1阶矩阵就是一个数.
接着用中行“中禾不尽者遍乘左行而以直除……”， 即接着消去左右两行中的中禾每秉的实, 同现代的解 一次方程组的加减消元法十分一致.
最后: 左方下禾不尽者，上为法，下为实，实即下禾 之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。 余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾，亦以法 乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数 而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。”
法国的彪特在刘徽之后约一千三百年的《算术》一 书中开始用不甚完整 (没有认识负数) 的加减消元法 解联立一次方程组。
前面解题过程中的方框即可视为矩阵, 可见矩阵并 以矩阵解一次方程组是我国古代数学家首创.
2.2.2 矩阵的加减和倍数
1、矩阵的加法
１) 定义
设有两个m n矩阵 A aij , B bij , 那末矩阵
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10
例
设
1 2 3 A , 3 1 2
已知 A B, 求 x , y, z .
解
A B,
1 B y
x 3 , 1 z
x 2, y 3, z 2.
11
零矩阵
元素全为零的矩阵称为零矩阵，m n 零矩阵 记作 Omn 或 o .
显然有 A ( A) O .
定义矩阵的减法： A B A ( B)
19
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行 减法运算.
12 3 5 1 8 9 1 9 0 6 5 4 3 6 8 3 2 1
1 2 14 3 例如 5 6 与 8 4 为同型矩阵. 3 7 3 9 2.两个矩阵 A (aij )与B (bij )为同型矩阵,并且对应 元素相等, 即
aij bij (i 1,2,, m; j 1,2,, n),
5 10
6
例4
2
0 1 2 1 3 0 3 1 4 1 7 6 .
a1 s b11 b1 j b21 b2 j a is b b sj s1 a ms
b1n b2 n bsn
sn
c11 c1 j c1n c c c i1 ij in cm 1 cmj cmn
上三角
即形如
a11 a 21 类似地， a n1
0 a 22 an2
0 0 a nn 0
的方阵,称为下三角形矩阵
16
§2.2 矩阵的运算 一、矩阵的加法
设有两个 m n矩阵 A (aij )与B (bij ) ，那么矩阵 A 与 B 的和记作 A B，规定为
m n
26
4 16 32 2 4 2 例3 1 2 3 6 22 22 22
27
4 16 32 2 4 2 例3 1 2 3 6 8 16 22 22 22
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行 加法运算.
12 3 5 1 8 9 1 9 0 6 5 4 3 6 8 3 2 1
例如
12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4 . 3 3 6 2 8 1 6 8 9
3
3 2 1 5 2 1 4 1
4
把矩形数表用一括号括起来以表 示它的整体性，这样的矩形数表 在众多问题中经常出现，为此我 们抽象出矩阵的概念. 二、矩阵概念
5
定义2.1 由 m n 个数 aij i 1,2,, m; j 1,2,, n 排成的 m 行 n 列的数表
a11 a21
a12 a22
a1n a2 n
am 1 am 2 amn
称为 m n矩阵. 记作
6
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
一般情形下, 用大写黑体字母 A,B,C 等表示矩阵. 为了标明矩阵的行数m和列数n, 可用Amn表示,
23
例2
已知
7 5 2 4 3 1 2 0 A 1 5 7 9 , B 5 1 9 7 , 3 2 1 6 2 4 6 8
且A + 2X = B, 求X . 解
X
2 2 1 2
4 6 4 4 1 1 ( B A) 4 4 2 2 2 2 1 2 7 2 3 2 2 2 1 1 . 7 1 1 2
第 二 章
1
§2.1
2
一、引例
例 求解下列线性方程组
3 x1 2 x 2 5 (1) 2 x1 x 2 1 3 x1 2 x 2 x 3 5 (2) 2 x1 x 2 4 x 3 1 用克莱姆法则易求出1)的解，其解由方程组的 ( 未知量系数 和常数项构成的行列式 确定, 与未知量的记号无关 . (2)有无解及有解时如何求 解显然不能再利用克莱 姆法则， 此时我们也希望通过未 知量系数和常数项构成 的矩形数表 来进行研究
s
i 1,2,m; j 1,2,, n,
并把此乘积记作 C AB .
k 1
25
cij ai 1b1 j ai 2b2 j aisbsj aik bkj
k 1
s
ms
a11 a i1 am1
a12 ai 2 am 2
0 0 的方阵,称为对角矩阵， n
可记
A diag (1 , 2 ,, n ) .
13
数量矩阵
当对角矩阵的主对角线上的元素都相同时， 即形如
a 0 0 0 a 0 的方阵,称为数量矩阵， A 0 0 a
ka11 ka21 kA ka m1 ka12 ka22 kam 1 ka1n ka2 n . kamn
21
矩阵数乘的运算规律：
k, （设A、B 为 m n 矩阵， l 为数）
(1) k ( A B) kA kB ;
14
单位矩阵
1 0 0 0 0 1 0 0 1
称
为 n 阶单位矩阵，记作 E n 或 E.
15
三角形矩阵
方阵中， 如果在主对角线之下的所有元素都是零 (即当 i j 时，aij 0 )，
a11 0 0 a12 a1n 的方阵，称为 a 22 a 2 n 形矩阵 0 a nn
对于n阶方阵A, 对应一个行列式, 记作|A|或det A.
注意 矩阵与行列式有本质区别：行列式是一个算式, 一个数字行列式表示一个数值, 而矩阵是一个数表, 它 的行数和列数可以不同. 对于方阵A, 虽有行列式|A|, 但A和|A|是不同的概念, 不能混为一谈. 9
同型矩阵与矩阵相等的概念 1.两个矩阵的行数相等、列数相等时,称为同型矩阵.
例如
12 1 3 8 5 9 11 5 14 1 6 9 5 0 4 5 14 4 3 3 6 2 81 0 4 7
20
二、数与矩阵的乘法
数k与矩阵 的乘积记作 , 规定为 A kA
是一个 3 3 矩阵.
8
如果矩阵A=(aij)的行数与列数都等于n, 则称A为 n阶矩阵(或称n阶方阵). 主对角线 a11 a12 a1n a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n a 21 a 22 a 2 n A A a a n1 a nn a n1 a n1 a nn n1
3 4 2 1 1 1 2 1
29
4 16 32 2 4 2 例3 1 2 3 6 8 16 22 22 22
1 0 1 1 0 5
28
4 16 32 2 4 2 例3 1 2 3 6 8 16 22 22 22
1 0 1 1 0 5
5
6
例4
0 1 2 1 3 0 3 1 4 1 7 .
24
三、矩阵的乘法
设 A (aij ) 是一个m s 矩阵， (bij )是一个 s n B 矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个 m n 矩阵 C (cij ) ，其中
cij ai 1b1 j ai 2b2 j aisbsj aik bkj
注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.
例如
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0
12
对角矩阵
如果方阵中非主对角线上的所有元素都是零 (即当 i j 时，aij 0 )，
1 0 即形如 0 2 0 0
18
矩阵加法的运算规律：
(1) A B B A ;
(2) ( A B) C A ( B C ) ； (3) A O O A O .
a11 a 21 a m1
a12 a 22 am1
a1n A a 2 n 称为矩阵 的负矩阵, 记为 A . a mn
a11 b11 a 21 b21 A B a b m1 m1
a12 b12 a 22 b22 a m 2 bm 2
a1 n b1 n a 2 n b2 n a mn bmn
17
或记作 A (aij )mn .
7
例如
1 0 3 5 是一个 2 4 矩阵, 9 6 4 3
2 3 5 9 是一个 1 4 矩阵,
1 2 4
是一个 3 1 矩阵.
3 6 2 4 2 2 5 0 2