广西大学附中2013年高考数学二轮课时检测：导数及其应用

广西大学附中2013年高考数学二轮课时检测：导数及其应用本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数3sin (3)4y x π=+的导数( )A ．23sin (3)cos(3)44x x ππ++B ．29sin (3)cos(3)44x x ππ++C. 29sin (3)4x π+D ．29sin (3)cos(3)44x x ππ-++ 【答案】B2．下列等于1的积分是( ) A ．1xdx⎰B ．1(1)x dx+⎰ C ．dx ⎰11D ．dx ⎰1021【答案】C3．设曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a =( ) A ．2 B ． 2- C ． 12- D ． 12【答案】B4．32()32f x ax x =++,若(1)4f '-=,则a 的值等于( ) A ．319B ．316 C ．313 D ．310 【答案】D5．＝2,则实数a 等于( )A ．－1B ． 1C ．－D 、【答案】B6．已知函数n xy x e =，则其导数'y =( )A ．1n xnxe - B ．n xx e C ．2n xx e D ．1()n xn x xe -+【答案】D7．设函数f(x)＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]【答案】D 8．32()32f x ax x =++,若4)1(=-'f ,则a =( )A ．319B ．316 C ．313 D ．310 【答案】D9．计算22(1cos )x dxππ-+⎰的值为( )A ．πB ．2C ．2π-D ．2π+【答案】D10．若函数f(x)＝13x 3＋12f ′(1)x 2－x ＋3，则f(x)在点(0，f(0))处切线的倾斜角为( )A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π4【答案】D11．设函数()f x 是定义在R 上周期为2的可导函数，若(2)2,f =且0(2)2lim22x f x x→+-=-，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程是( ) A ．22y x =-+ B ．42y x =-+C ．42y x =+D ．122y x =-+【答案】B 12．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则点P 的坐标为( )A ．（－1，2）B ．（1，－3）C ．（1，0）D ．（1，5）【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．直线是曲线的一条切线，则实数____________。

【答案】12ln - 14．设函数2()1f x ax =+，若1()2f x dx =⎰，则a =____________.【答案】315．20cos()4x dx ππ+=⎰ .【答案】016．抛物线所围成的图形的面积是 。

【答案】三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知函数)R (ln )(2∈+=a x ax x f(Ⅰ)当2=a 时，求)(x f 在区间],[2e e 上的最大值和最小值；(Ⅱ)如果函数)(),(),(21x f x f x g 在公共定义域D 上，满足)()()(21x f x g x f <<，那么就称)(x g 为)(),(21x f x f 的“伴随函数”.已知函数x a ax x a x f ln )1(2)21()(221-++-=，ax x x f 221)(22+=.若在区间),1(+∞上，函数)(x f 是)(),(21x f x f 的“伴随函数”，求a 的取值范围. 【答案】 (Ⅰ)当2=a 时，xx x x x f x x x f 1414)(ln 2)(22+=+='+=，；对于],[2e e x ∈，有0)(>'xf ，∴)(x f 在区间],[2e e 上为增函数，∴2min 42max 21)()(,22)()(e e f x f e e f x f +==+==.(Ⅱ)在区间),1(+∞上，函数)(x f 是)(),(21x f x f 的“伴随函数”，则)()()(21x f x f x f <<，令0ln 2)21()()()(22<+--=-=x ax x a x f x f x p 对),1(+∞∈x 恒成立，且0ln 221)()()(221<-+-=-=x a ax x x f x f x h 对),1(+∞∈x 恒成立，∵xx x a x a x a x p )1](1)12[(12)12()(---=+--='（*）①若21>a ，令0)(='x p ，得极值点121,121-==a x x ，当112=>x x ，即121<<a 时，在),(2+∞x 上有0)(>'x p ，此时)(x p 在区间),(2+∞x 上是增函数，并且在该区间上有)),(()(2+∞∈x p x p ，不合题意；)),1(()(+∞∈p x p ，也不合题意；②若21≤a ，则有012≤-a ，此时在区间),1(+∞上恒有0)(<'x p ， 从而)(x p 在区间),1(+∞上是减函数；要使0)(<x p 在此区间上恒成立，只需满足21021)1(-≥⇒≤--=a a p ，所以2121≤≤-a . 又因为)(,0)(22)(2222x h x a x x a ax x x a a x x h <--=-+-=-+-='在),1(+∞上是减函数. 0221)1()(≤+-=<a h x h ，所以41≤a . 综合可知a 的取值范围是]41,21[-.另解：（接在（*）号后）先考虑)(x h ， 0)(2)(22<--=-+-='xa x x a a x x h ， )(x h 在),1(+∞上递减，只要0)1(≤h ，即0221≤+-a ，解得41≤a .而x x a x x p ]1)12)[(1()(---='对),1(+∞∈x ，且41≤a 有0)(<'x p .只要0)1(≤p ，即0221≤--a a ，解得21-≥a ，所以4121≤≤-a ，即a 的取值范围是]41,21[-.18．已知2()ln ,() 3.f x x x g x x ax ==-+-(1) 求函数()[,2](0)f x t t t +在＞上的最小值；(2) 若对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立,求实数a 的取值范围； (3) 证明:对一切(0,)x ∈+∞,都有12ln x x e ex-＞成立. 【答案】（1）()ln 1f x x '=+，当1(0,),()0,()x f x f x e '∈<单调递减，当1(,),()0,()x f x f x e'∈+∞>单调递增①102t t e <<<+，即10t e <<时， min 11()()f x f e e ==-；②12t t e ≤<+，即1t e≥时，[](),2f x t t +在上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==；所以min11,0.()1ln ,t e e f x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩(2）22ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x≤++，[ http://wx.jtyjy/] 设3()2ln (0)h x x x x x =++>，则2(3)(1)()x x h x x +-'=，当(0,1),()0,()x h x h x '∈<单调递减，当(1,),()0,()x h x h x '∈+∞>单调递增， 所以min ()(1)4h x h == 所以min ()4a h x ≤=； (3）问题等价于证明2ln ((0,))x x x x x e e>-∈+∞， 由（1）可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e-，当且仅当1x e=时取到， 设2()((0,))x x m x x e e =-∈+∞，则1()xxm x e-'=，易知 max 1()(1)m x m e==-，当且仅当1x =时取到，从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex>-成立19．已知函数()22()1+ln (1)f x x x x =+-，()()11ln 1g x x x=-+． (Ⅰ）判定()f x 在(]0,1上的单调性；(Ⅱ）求()g x 在(]0,1上的最小值；(Ⅲ）若*n N ∀∈， 1()ln(1)1n a n++≤，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）()()2'()ln 12ln 12f x x x x =+++-设()h x =()()2ln 12ln 12x x x +++-，则()()/2ln 121x xh x x +-=+，∵01x <≤，设()ln(1),k x x x =+- 则/1()101k x x =-<+ ∴()ln(1),k x x x =+-在(]0,1上单调递减，则()(0)0k x k <=即()ln(1)0,k x x x =+-<∴ln(1),x x +<从而 ()()/2ln 121x xhx x +-=+0<，∴()h x 在(]0,1上单调递减∴()/f x 在(]0,1上单调递减，∴()()//00f x f <=∴()f x 在(]0,1上的单调递减．(Ⅱ）由（Ⅰ）知()()(1)00f f x f ≤<=，即()22()1+ln (1)f x x x x =+-0<∴()()()2//221ln (1)211[]ln 1(1)ln (1)x x x g x x x x x x ++-=-=+++0< ∴()gx 在(]0,1上的单调递减，则有()()(1)0g g x g ≤<∴()g x 在(]0,1上的最小值为()111ln 2g =- (Ⅲ）∵*n N ∀∈， 1()ln(1)1n a n++≤， ∴11ln(1)a n n≤-+对 *n N ∀∈恒成立，只需求右边1()1ln(1)n n nφ=-+的最小值∵对()()11ln 1g x x x=-+中， 取1(0,1]x n =∈，得1()1ln(1)n n nφ=-+，又由（Ⅱ）可知，()g x 在(]0,1上的最小值为11ln 2-，故 1()1ln(1)n n nφ=-+的最小值为11ln 2-， ∴a 的取值范围是1(,1].ln 2-∞- 20．已知函数()ln bf x x a x x=-+在1x =处取得极值，且3a >(1）求a 与b 满足的关系式；(2）求函数()f x 的单调区间；(3）设函数22()3g x ax =+，若存在121,,22m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12|()()|9f m g m -<成立，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）2()1a bf x x x'=--，由(1)0f '=得1b a =-． (Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0)+∞，，由（Ⅰ）可得22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a f x x x x x-------'=--==． 令()0f x '=，则11x =，21x a =-． 3a >时，11a ->，所以()f x 单调递增区间为(01)，，(1)a -+∞，；单调递减区间为(11)a -，． (Ⅲ）3a >时，由（Ⅱ）得()f x 在112⎫⎡⎪⎢⎣⎭，上为增函数，在(12]，上为减函数， 所以()f x 在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为(1)20f a =-<.因为函数()g x 在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调递增函数，所以()g x 的最小值为2113024g a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭.所以()()g x f x >在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立.若存在1m ，2122m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，要使得12()()9f m g m -<成立，只需要1(1)92g f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即213(2)94a a +--<，所以84a -<<.又因为3a >，所以a 的取值范围是(34)a ∈，．21．已知a 为实数，()()2()=4f x x x a --，()f x '为()f x 的导函数. (Ⅰ)若(-1)=0f '，求()f x 在[]2,2-上的最大值和最小值；(Ⅱ)若()f x 在(],2-∞-和[)2,+∞上均单调递增，求a 的取值范围．【答案】（1）. (2），.由，得，此时，，由，得或.又，，，在上的最大值为，最小值为.(3）解法一，依题意：对恒成立,即,所以对恒成立,即,所以综上: .解法二，的图像是开口向上且过点的抛物线，由条件得，，，.解得.的取值范围为．22．已知βα，是三次函数),(22131(23R b a bx ax x x f ∈++=）的两个极值点，且()1,0∈α,()2,1∈β,求动点()b a ,所在的区域面积S .【答案】由函数),(22131(23R b a bx ax x x f ∈++=）可得， b ax x x f 2)(2++=',由题意知，βα，是方程022=++b ax x 的两个根，且()1,0∈α,()2,1∈β,因此得到可 行域⎪⎩⎪⎨⎧>++='<++='>='0224)2(021)1(02)0(b a f b a f b f ,即⎪⎩⎪⎨⎧>++<++>020120b a b a b ,画出可行域如图.所以21=S .。