命题逻辑
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逻辑学：命题逻辑
2018年8月17日星期五 7
第二章 命题逻辑
第二节 复合命题及其推理
负命题
负命题由否定联结词(如“并非”)联结支命题而形成的复合命 题。例如： (1)并非选修逻辑的学生都是文科生。 (2)这个班的学生不都学英语。 (3)如果它是三角形，则内角和等于180°，这个观点不对。 注：负命题的支命题可以是简单命题，也可以是复合命题。
20语句
任何命题都是通过语句来表达的，但语句和命题并非一一对应：
首先，有的语句不能直接表达命题，如： •（1）西南大学在重庆吗? •（2）请把门关上！ 一般来讲：陈述句与反诘句可以直接表达命题。 其次，同一命题可以用不同的语句来表达，如： “所有的鸟都会飞”与“没有鸟不会飞”表达了相同的命题。 此外，同一命题可用不同的民族语言的语句来表达。 再次，同一语句，可以表达不同的命题，如： 小张将书还给小王，因为他要回家了。
真值表的作用
•p •T •F •¬p F T
根据这个真值表，也可以给f(p)=p这个一元真值函数作如下定义： p为真当且仅当p为假； p为假当且仅当p为真。
2018年8月17日星期五
10
负命题
根据负命题的逻辑性质，可对¬p再否定得到¬¬p，其真值与 p相同，真值表如下：
•p •T •F •¬p •F •T •¬¬p •T •F
2018年8月17日星期五 4
命题的分类
简单命题
非模态命题 命 题
模态命题 复合命题
2018年8月17日星期五
5
命题分析的层次
将联结词所联结的命题作为一个完整的单位来看待
•
•
——研究关于联结词的推理(命题逻辑)
——研究关于量项和联项的推理(传统词项逻辑)
第二章 命题逻辑
第二节 复合命题及其推理
负命题
负命题由否定联结词(如“并非”)联结支命题而形成的复合命 题。例如： (1)并非选修逻辑的学生都是文科生。 (2)这个班的学生不都学英语。 (3)如果它是三角形，则内角和等于180°，这个观点不对。 注：负命题的支命题可以是简单命题，也可以是复合命题。
20语句
任何命题都是通过语句来表达的，但语句和命题并非一一对应：
首先，有的语句不能直接表达命题，如： •（1）西南大学在重庆吗? •（2）请把门关上！ 一般来讲：陈述句与反诘句可以直接表达命题。 其次，同一命题可以用不同的语句来表达，如： “所有的鸟都会飞”与“没有鸟不会飞”表达了相同的命题。 此外，同一命题可用不同的民族语言的语句来表达。 再次，同一语句，可以表达不同的命题，如： 小张将书还给小王，因为他要回家了。
真值表的作用
•p •T •F •¬p F T
根据这个真值表，也可以给f(p)=p这个一元真值函数作如下定义： p为真当且仅当p为假； p为假当且仅当p为真。
2018年8月17日星期五
10
负命题
根据负命题的逻辑性质，可对¬p再否定得到¬¬p，其真值与 p相同，真值表如下：
•p •T •F •¬p •F •T •¬¬p •T •F
2018年8月17日星期五 4
命题的分类
简单命题
非模态命题 命 题
模态命题 复合命题
2018年8月17日星期五
5
命题分析的层次
将联结词所联结的命题作为一个完整的单位来看待
•
•
——研究关于联结词的推理(命题逻辑)
——研究关于量项和联项的推理(传统词项逻辑)
命题逻辑ppt课件
结合词的优先顺序为： , , , , ; 1:假设出现的结合词同级，又无括号时，那么
按从左到右的顺序运算; 2:假设遇有括号时，应该先进展括号中的运算.
留意: 本书中运用的 括号全为圆括号〔〕.
2.2 命题公式
命题变项与合式公式 公式的赋值 真值表 命题的分类
重言式 矛盾式 可满足式
命题变项与合式公式
随堂练习
1：写出命题、简单命题的定义。 2：用符号定义五个结合词及其各自取值情况。 3：写出蕴涵式的定义，分析前件与后件的关系，
列出对应的言语表达方式。 4：写出遇到析取结合词二义性时的判别方式及对应
符号表示。 5：列出下面公式的真值表，阐明各公式的层次
(p q) ((p q) (q p)) (p q) (p q) 6：写出命题公式的定义
pq r
pq
000
0
001
0
010
1
011
1
100
1
101
1
110
1
111
1
r (pq)r
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
公式的类型
定义2.9 设A为一个命题公式 (1) 假设A在它的各种赋值下取值均为真，那么称A为重言 式(也称永真式) (2) 假设A在它的各种赋值下取值均为假，那么称A为矛盾 式(也称永假式) (3) 假设A至少存在一组赋值是成真赋值，那么称A为可满 足式
3.析取式与析取结合词“∨〞
定义2.3 设 p,q为二命题，复合命题“p或q 〞称作p与q的析取式，记作p∨q，∨称作 析取结合词，并规定
p∨q为假当且仅当p与q同时为假. 例即将:p以∨下命q题为符真号化当且仅当p与q至少有一个为真。 此处(1)定2或义4是的素析数.取式p∨q表示的是一种相容性
按从左到右的顺序运算; 2:假设遇有括号时，应该先进展括号中的运算.
留意: 本书中运用的 括号全为圆括号〔〕.
2.2 命题公式
命题变项与合式公式 公式的赋值 真值表 命题的分类
重言式 矛盾式 可满足式
命题变项与合式公式
随堂练习
1：写出命题、简单命题的定义。 2：用符号定义五个结合词及其各自取值情况。 3：写出蕴涵式的定义，分析前件与后件的关系，
列出对应的言语表达方式。 4：写出遇到析取结合词二义性时的判别方式及对应
符号表示。 5：列出下面公式的真值表，阐明各公式的层次
(p q) ((p q) (q p)) (p q) (p q) 6：写出命题公式的定义
pq r
pq
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r (pq)r
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公式的类型
定义2.9 设A为一个命题公式 (1) 假设A在它的各种赋值下取值均为真，那么称A为重言 式(也称永真式) (2) 假设A在它的各种赋值下取值均为假，那么称A为矛盾 式(也称永假式) (3) 假设A至少存在一组赋值是成真赋值，那么称A为可满 足式
3.析取式与析取结合词“∨〞
定义2.3 设 p,q为二命题，复合命题“p或q 〞称作p与q的析取式，记作p∨q，∨称作 析取结合词，并规定
p∨q为假当且仅当p与q同时为假. 例即将:p以∨下命q题为符真号化当且仅当p与q至少有一个为真。 此处(1)定2或义4是的素析数.取式p∨q表示的是一种相容性
命题逻辑基本推理公式
命题逻辑基本推理公式(1) P∧Q⇒P .(2)¬( P→Q)⇒P .(3)¬(P→Q)⇒¬Q.(4) P⇒P ∨Q.(5)¬P⇒P →Q.(6) Q⇒P →Q.(7) ¬P∧(P∨Q) ⇒Q.选言推理否定式(8) P∧(P→Q) ⇒Q. 假言推理肯定前件式(9) ¬Q∧(P→Q) ⇒¬P .假言推理否定后件式(10) (P→Q)∧(Q→R) ⇒P→R. 三段论(11) (P↔ Q)∧(Q↔R) ⇒P↔R. 双条件三段论(12) (P→R)∧(Q→R)∧( P ∨Q) ⇒R. 二难推理(13) (P→Q)∧(R→S) ∧(P ∨R)⇒Q∨S. 二难推理(14) (P→Q)∧(R→S) ∧¬(Q∨¬S)⇒¬P ∨¬R. 破坏二难推理(15) (Q→R) ⇒(( P∨Q)→(P ∨R)) .(16) (Q→R) ⇒(( P→Q)→(P→R)) .使用真值表法证明这些推理公式是容易的。
若从语义上给予直观说明也是不难的. 如公式(2), ¬(P →Q) ⇒P . 公式( 3), ¬(P →Q)⇒Q. 意思是说, 若P →Q 不成立( 取假), 必有 P 为真, 还有 Q 为假. 这从P →Q 的定义可知, 因只有当 P = T 而 Q = F 时, P →Q = F. 又如公式( 7), ¬P ∧(P ∨Q)⇒Q. 意思是说, P 不对, 而P ∨Q 又对, 必然有 Q 对.公式( 8) , P ∧(P →Q) ⇒Q 常称作假言推理, 或称作分离规则, 是最常使用的推理公式。
公式(10) , (P →Q) ∧(Q→R)⇒P →R 常称作三段论。
日常语言运用：(1) 此人既呆又笨为真，则此人笨为真。
(2)(3)并非“犯错蕴涵失败“，即是说，”如果犯错，那么失败“为假命题,则必有犯错且不失败的例子。
第2章_1节-命题逻辑基本概念
定义2.4 设p，q为两个 命题“如果p，则q” 称作p与q的蕴涵式， 记作 pq，并称p是 蕴涵式的前件，q为蕴 涵式的后件，称蕴 涵联接词.其真值表为 ： p q pq 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1
pq也可表示为： （1）只要p，就q； （2）因为p，所以q （3）p仅当q； （4）只有q，才p； （5）除非q，才平； （6）除q，否则非p； （7）假如没有q，就没有p.
离散数学
主讲教师：易静
1
2.1 命题逻辑基本概念
关键知识点： • 命题与真值 •联结词(¬ , , , , , ) •命题公式(重言式,矛盾式,可满足式) •重要等值式 •重要推理规则 •个体,个体域与谓词 •全称量词与存在量词
2
命题与真值
命题:所表达的判断是真（正确）或假（错误）但不能可 真可假的陈述句。通常用p,q,r等表示（即命题符号化） 命题的真值:作为命题所表达的判断只有两个结果：正确 和错误，此结果称为命题的真值。 命题是正确的，称此命题的真值为真；命题是错误 的，称此命题的真值为假。 在数理逻辑中，命题的真值的真和假，有时分别用 1和0来表达，也有时分别用T(True)和F(False)来表 达。本书用1和0来表达。（即真值的符号化） 真命题:真值为真的命题 假命题:真值为假的命题 例如, p:2+2=4, q:3是偶数 它们都是命题, p是真命题, q是假命题.
定义2.2 设p，q为二 命题，复合命题“p并 且q”（或“p与q”） 称为p与q的合取式， 记作pq，称作合取 联接词. 其真值表为：
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 pq 0 0 0 1
也可表示联接词： “既......,又.......”， “不但......而 且......”, “虽然......但 是.......”, “一面......一 面.......”等
命题逻辑(联言、选言、负命题)
任何命题都是通过语句来表达的，但语句和命 题并非一一对应： 首先，有的语句不能直接表达命题。 其次，同一命题可以用不同的语句来表达，如： ‚所有的鸟。 此外，同一命题可用不同的民族语言的语句来 表达。
再次，同一语句，可以表达不同的命题。
命题和判断
• 判断：就是被断定者断定了的命题。 • 判断的主要特征：有所断定。
想想看
• 两个女学生走进一餐厅，翻开桌上的菜单，突 然眼前一亮，‚看，熊掌！每盘20元，来两盘 怎么样？‛‚人们都说熊掌名贵，价钱也不贵， ok!‛一会儿，她们吃完了，叫来招待员结帐， 招待员开出帐单：‚一共4025元‛‚什么？你 没搞错吧？‛学生几乎吓晕了。‚熊掌每盘 2000元，你看菜单。‛学生仔细一看，果然是 2000元，中间没有小数点。这下她们急得要哭 了。这时老板出来了，看了几眼付不起钱的学 生，‚没钱，就将证件留下。‛她们乖乖的将 证件交出。学生会出面交涉，老板斩钉截铁说： ‚一分也不能少，如果三天之内不把钱付清， 便立即向法院起诉。……学生只好自认倒霉， 一律师知道了，帮他们追回了所被敲诈的钱。 如何讨？
• 规则： 肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件 否定前件就要否定后件，肯定后件就要肯定前件 • 推理蕴涵式为： • （p↔q）∧p →q • （p↔q）∧q →p • （p↔q）∧ p → q • （p↔q）∧ q →p • 某甲犯了罪当且仅当某甲应受刑罚处罚； • 某甲是案犯当且仅当某乙是案犯；
• 负判断由支命题和联结词‚并非‛构成。负 命题的逻辑联结词‚并非‛可以用否定词 ‚‛来表示。 • 日常用语中，负命题的联结词还可以表达为 ‚没有‛、‚不‛、‚这是假的‛、‚这是 错误的‛等。被否定的命题称为支命题，它 可以是简单命题，也可以复合命题。 • 负命题的形式：并非p，也可表示为： p • 负命题的真假表：当支命题为真时，负命题 为假；当支命题为假时，负命题为真。
再次，同一语句，可以表达不同的命题。
命题和判断
• 判断：就是被断定者断定了的命题。 • 判断的主要特征：有所断定。
想想看
• 两个女学生走进一餐厅，翻开桌上的菜单，突 然眼前一亮，‚看，熊掌！每盘20元，来两盘 怎么样？‛‚人们都说熊掌名贵，价钱也不贵， ok!‛一会儿，她们吃完了，叫来招待员结帐， 招待员开出帐单：‚一共4025元‛‚什么？你 没搞错吧？‛学生几乎吓晕了。‚熊掌每盘 2000元，你看菜单。‛学生仔细一看，果然是 2000元，中间没有小数点。这下她们急得要哭 了。这时老板出来了，看了几眼付不起钱的学 生，‚没钱，就将证件留下。‛她们乖乖的将 证件交出。学生会出面交涉，老板斩钉截铁说： ‚一分也不能少，如果三天之内不把钱付清， 便立即向法院起诉。……学生只好自认倒霉， 一律师知道了，帮他们追回了所被敲诈的钱。 如何讨？
• 规则： 肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件 否定前件就要否定后件，肯定后件就要肯定前件 • 推理蕴涵式为： • （p↔q）∧p →q • （p↔q）∧q →p • （p↔q）∧ p → q • （p↔q）∧ q →p • 某甲犯了罪当且仅当某甲应受刑罚处罚； • 某甲是案犯当且仅当某乙是案犯；
• 负判断由支命题和联结词‚并非‛构成。负 命题的逻辑联结词‚并非‛可以用否定词 ‚‛来表示。 • 日常用语中，负命题的联结词还可以表达为 ‚没有‛、‚不‛、‚这是假的‛、‚这是 错误的‛等。被否定的命题称为支命题，它 可以是简单命题，也可以复合命题。 • 负命题的形式：并非p，也可表示为： p • 负命题的真假表：当支命题为真时，负命题 为假；当支命题为假时，负命题为真。
命题逻辑-
4.2有效推理得形式证明
• 自然演绎系统形式证明就是建立在 推理规则基础之上得。这些规则大 约可分为四部分:一就是基本推导 规则,二就是等值替换规则,三就是 条件证明规则,四就是间接证明规 则。
一、基本推导规则:
根据合取式得逻辑特征:
组合式 简记为∧+
根据析取式得逻辑特征:
选言三段论
简记∨-
根据蕴涵式得逻辑特征:
• 例2.判定命题公式“(p∧q) →r”与“p∨(q →r)”就是否逻辑等值。
2.1命题公式之间得逻辑等值
• 如果两个公式就是等值得,那么以这两个公 式为子公式构造一个等值式:
• (﹁p∨ ﹁ q )(﹁ (p∧q))。 • 这个等值式就是恒真得,由此可推知,一个等
值式就是重言式,那么她得两个子公式逻辑 等值。
• 证:① (A∨B)→C
P \A→C
• ② (A∨B) ∨ C
①Impl
• ③ ( A ∧ B) ∨ C
②DeM
• ④ ( A ∨C) ∧( B ∨ C ) ③Dist
• ⑤ A ∨C
④∧-
• ⑥A →C
⑤Impl
作业
• 一、运用真值表方法,判定下列命题就是不 就是等值命题。
• l、如果这匹马儿不吃饱草,那么这匹马儿不 能跑。
• 3.德摩根律 ¬(p∧q) ¬p∨¬q;
•
¬(p∨q) ¬p∧¬q。
• 4、分配律 p∧(q∨r) (p∧q)∨(p∧r)
•
p∨(q∧r) (p∨q) →(p∨r)
• 5、实质蕴涵(p→q) ( p ∨ q)
• 6.假言易位 (p→q) ( q → p )
• 7、移出律 (p∧q) →r p→(q →r)
命题逻辑
假命题 真命题 不是命题 不是命题 不是命题 不是命题 命题，但真值现在不知道 不是命题，悖论
6
命题符号： 用来表示命题符号。
通常用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i1)表示命题。 例如，令 p：2 是有理数，则 p 的真值为0， q：2 + 5 = 7，则 q 的真值为1 命题符号分类：
0 v(A ) 1
若v(B ) 1且v(C ) 0
else
7、若A为等价式(B C) ，则
1 v(A ) 0
若v(B ) v(C )
else
成真赋值：当v(A)=1时，称v满足A，记为v 成假赋值：当v(A)=0时，称v不满足A，记为v 例、A=pq v(p)=1,v(q)=0, v(A)=1 v(p)=0,v(q)=0, v(A)=0
36
判断下列各组公式是否等值: (1) p(qr) 与 (pq) r p q r 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 qr 1 1 0 1 1 1 0 1 p(qr) 1 1 1 1 1 1 0 1 pq (pq)r 1 1 1 1 1 1 0 1
这些联结词有明确的含义，注意与自然语言对应词的联系与区别 !
否定词符号
设p是一个命题， p称为p的否定式。 p是真的当且仅当p是假的。 p 1 p 0
0
例、 p： 上海是一个大城市。 p：上海不是一个大城市。
1
合取词符号
设p，q是两个命题，命题 “p并且q”称为p，q的合取， 记以pq，读作p且q。 pq是真的当且仅当p和q都是真的。 例、 p：22=5， q：雪是黑的 pq：22=5并且雪是黑的
《离散数学》命题逻辑
由原子命题组合而成的命题称为复合 命题（compound proposition）。
例如：
和 e 都是无理数。 6和8至少有一个是合数。 说刘老师讲课不好是不正确的。 不下雨我就去买书。
7
命题与命题联结词
将命题连接起来的方式叫做命题联结词
（ proposition connective ） 或 命 题 运 算 符
3
命题与命题联结词
逻辑
如何表示？ 如何“操作”？
非真即假的陈述句称为命题（proposition）。 一个命题如果是对的或正确的，则称为真命
题，其真值为“真”（true），常用T或1表示； 一个命题如果是错的或不正确的，则称为假
命题，其真值为“假”（false），常用F或0表示。
4
命题与命题联结词
32
命题公式及其分类
为简化公式的形式，作如下规定：
(1) 优先级 , (∧, ∨), (, ) (2) 公式 (~p) 的括号可以省略，写成 ~p (3) 整个公式最外层的括号可以省略
例1
(((p)∧q)(q∨p)) p∧q q∨p
例2
p∧q∨r 不是 命题公式 应写作 (p∧q)∨r 或 p∧(q∨r)
例 判断下列句子哪些是命题，哪些不是
这门课程题为“离散数学”。 这门“离散数学”讲得好吗？ X 这门“离散数学”讲得真好！ X 请学习“离散数学” 。 X 5是素数。 太阳从西方升起。 如果明天晴，而且我有空，我就去踢球。 天王星上没有生命。 x + 3 > 5。 X 5 本命题是假的。X
俞伯牙和钟子期是好朋友。 俞伯牙是好朋友 ∧ 钟子期是好朋友 俞伯牙 ∧ 钟子期是好朋友 Friend (俞伯牙,钟子期)
23
例如：
和 e 都是无理数。 6和8至少有一个是合数。 说刘老师讲课不好是不正确的。 不下雨我就去买书。
7
命题与命题联结词
将命题连接起来的方式叫做命题联结词
（ proposition connective ） 或 命 题 运 算 符
3
命题与命题联结词
逻辑
如何表示？ 如何“操作”？
非真即假的陈述句称为命题（proposition）。 一个命题如果是对的或正确的，则称为真命
题，其真值为“真”（true），常用T或1表示； 一个命题如果是错的或不正确的，则称为假
命题，其真值为“假”（false），常用F或0表示。
4
命题与命题联结词
32
命题公式及其分类
为简化公式的形式，作如下规定：
(1) 优先级 , (∧, ∨), (, ) (2) 公式 (~p) 的括号可以省略，写成 ~p (3) 整个公式最外层的括号可以省略
例1
(((p)∧q)(q∨p)) p∧q q∨p
例2
p∧q∨r 不是 命题公式 应写作 (p∧q)∨r 或 p∧(q∨r)
例 判断下列句子哪些是命题，哪些不是
这门课程题为“离散数学”。 这门“离散数学”讲得好吗？ X 这门“离散数学”讲得真好！ X 请学习“离散数学” 。 X 5是素数。 太阳从西方升起。 如果明天晴，而且我有空，我就去踢球。 天王星上没有生命。 x + 3 > 5。 X 5 本命题是假的。X
俞伯牙和钟子期是好朋友。 俞伯牙是好朋友 ∧ 钟子期是好朋友 俞伯牙 ∧ 钟子期是好朋友 Friend (俞伯牙,钟子期)
23
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1.2 命题公式及分类
定义1.6 按下列规则构成的符号串称为命题演算的 合式公式，也称为命题公式，简Байду номын сангаас公式。
⑴单个命题常项或变项p,q,r,…,pi,qi,ri,…，0，1是
合式公式；
⑵如果A是合式公式，那么(¬A)是合式公式； ⑶如果A和B是合式公式，那么(A∧B)、(A∨B)、 (A→B)和(A↔B)是合式公式；
• 例4：将下列各命题符号化
1. 只要不下雨，我就骑自行车上班. 2. 只有不下雨，我才骑自行车上班. 3. 若2+2=4，则太阳从东方升起. 4. 若2+2≠4，则太阳从东方升起. 5. 若2+2=4，则太阳从西方升起. 6. 若2+2≠4，则太阳从西方升起.
5. 等价联结词
定义1.5 设p和q均为命题， 其复合命题p↔q称为等价式， p↔q读作：“p当且仅当q”。 ↔为等价联结词。p↔q为真当 且仅当p和q的真值相同。
• 简单命题（原子命题）：不能分解为更简单的陈述句。 • 简单命题又称为命题常项或命题常元。对于真值可以变化的简单陈述句称
为命题变项或命题变元。 • 复合命题：由联结词把几个原子命题联结起来的命题。
表示法：
表示法
例子
有关概念
简单命题 p,q,r,…, p: 2是素数 pi,qi,ri,… q:雪是黑色的
B.
•命题联结词 常用的逻辑联结词有五种：否定联结词、合取
联结词、析取联结词、蕴涵联结词和等价联结词。
1. 否定联结词
定义1.1 设p为命题，则p的 否 定 是 一 个 复 合 命 题 ， 记 作 ： ¬p ， 读作“非p”或“p的否定”。 ¬ 为否定联结词。¬p为真当且仅当p
为假。 【例】否定下列命题。
3. 析取联结词
定义1.3 设p和q均为命 p
题，则p和q的析取是一个复 0 合命题，记作p∨q，读作“p 0 或q”或者“p析取q”。 ∨ 为析取联结词。p∨q为真当 1 且仅当p与q中至少一个为真。 1
表1.3
q p∨q
0
0
1
1
0
1
1
1
“∨”与汉语中的“或”相似，但又不相同。汉语中的或 有可兼或与不可兼或(排斥或)的区分。
命题符号化：将命题 的符号放在该命题的 前面
命题常项 同上 （常元）
命题变项 同上 （变元）
复合命题 p∧q
同上
真值确定的简单命题
p: x+y>5
真值可以变化的简单 陈述句
2是素数和偶数
注：一个符号表示的是命题常项还是命题变项由上下文决定。
例2：将下列各命题符号化 1. 3不是偶数. 2. 2是素数和偶数. 3. 林芳学过英语或日语. 4. 如果角A和角B是对顶角,则角A等于角
p：王强是一名大学生。 ¬p：王强不是一名大学生。
表1.1
p ¬p
0
1
1
0
2. 合取联结词
定义1.2 设p和q均为命题， p 则p和q的合取是一个复合命题， 记 作 p∧q ， 读 作 “ p 与 q” 或 0 “p合取q”。 ∧为合取联结词。 0 p∧q为真当且仅当p和q同时为 1
真。
1
表1.2
例1： 1. 2是素数。 2. 雪是黑色的。 3. 2+3=5 。 4. 明年十月一日是晴天。 5. 这朵花多好看呀！ 6. 3能被2整除. 7. 明天下午有会吗？ 8. 请关上门！ 9. x+y>5 。 10. 地球外的星球上也有人。
命题判断的关键： 1.是否是陈述句； 2.真值是否是唯一的。
表1.5
p q p↔q
001 010 100
111
【例】 p：张华是三好学生。 q：张华德、智、体全优秀。
p↔q：张华是三好学生当且仅当德、智、
体
全优秀。
• 例5 分析下列各命题的真值
1. 2+2=4当且仅当3是奇数. 2. 2+2=4当且仅当3不是奇数. 3. 2+2≠4当且仅当3是奇数. 4. 2+2≠4当且仅当3不是奇数.
q p∧q
00 10 00 11
【例】设 p：北京成功举办了第29届夏季奥运会。 q：今年10月1日是我国国庆60周年。
则p∧q：北京成功举办了第29届夏季奥运会并且今年10 月1日是我国国庆60周年。
• 例3：将下列各命题符号化 1. 李平既聪明又用功. 2. 李平虽然聪明，但不用功. 3. 李平不但聪明，而且用功. 4. 李平不是不聪明，而是不用功.
•联结词的比较表
p,q为两个命题
注：以上5种联结词也称真值联结词或逻辑联结词或逻辑运 算符。
• 例6：将下列命题符号化
• 小王是游泳冠军或百米赛跑冠军. • 小王现在在宿舍或图书馆里. • 选小王或小李中的一人当班长. • 如果我上街，我就去书店看看，除非我很累. • 王一乐是计算机系的学生，他生于1968或1969年，他是三好学生.
么q”或“若p，则q”。 →为
011
蕴涵联结词。p→q为假当且仅 当p为真且q为假。p称为条件命
1
0
0
题p→q的前件，q称为条件命题 1 1 1
p→q的后件。
【例】 p：小王努力学习。q：小王学习成绩优秀。 p→q：如果小王努力学习，那么他的学习成绩就优秀。
联结词“→”与汉语中的“如果…，那么…”或“若…， 则…”相似，但又是不相同的。
【例】下列两个命题中的“或”，哪个是可兼或？哪个 是不可兼或？
⑴在家里看奥运会或在现场看奥运会。(不可兼或) ⑵灯泡有故障或开关有故障。(可兼或)
注：“∨”是可兼 或。
4. 蕴涵联结词
定义1.4 设p和q均为命题， p与q的蕴涵式是个复合命题， 记为：p→q。读作“如果p，那
表1.4
p q p→ 0 0 q1
命题逻辑
• 数理逻辑是用数学方法来研究推理的形式结构和 推理规律的数学学科。
• 现代数理逻辑可分为逻辑演算、证明论、公理集 合论、递归论和模型论。
• 本课程介绍的是数理逻辑最基本的内容，也是与 计算机科学关系最为密切的：命题逻辑和谓词逻 辑（一阶逻辑）
主要内容
1.1 命题符号化及联结词 1.2 命题公式及分类 1.3 等值演算 1.4 联结词全功能集 1.5 对偶与范式 1.6 推理理论
1.1 命题符号化及联结词
• 命题：能判断真假的陈述句。 • 真值：一个命题表达的判断结果称为命题的真值。
命题的真值有“真”和“假”两种，分别用True、 T、1(真)和False、F、0(假)来表示。真值为真的 命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。 任何命题的真值是惟一的。
• 注: 一切没有判断内容的句子，无所谓是非的句子， 如感叹句、疑问句、祈使句等都不是命题。