浅埋黄土隧道围岩压力计算方法
浅埋双地层隧道围岩压力计算方法
浅埋双地层隧道围岩压力计算方法摘要：隧道塌方灾害一直是困扰我国浅埋隧道设计与施工的重要难题。
准确确定围岩压力成为浅埋隧道结构设计和防止围岩塌方的重要依据。
通过对采用双侧壁导坑法施工时隧道变形特性的研究，提出了一种针对浅埋双地层隧道围岩压力的计算方法。
利用结构力学理论，建立了围岩压力与初期支护收敛变形之间的关系，由变形监测数据计算出水平围岩压力并反算围岩力学参数，进而计算得到垂直围岩压力。
以厦门市祥岭隧道为例，对该计算方法进行实例验证，结果表明，利用该计算方法得出的顶部围岩压力为47.35kPa，底部围岩压力为17.22kPa，垂直围岩压力为199.41 kPa，均在传统计算方法结果的范围之内，验证了该计算方法的合理性，为浅埋双地层隧道的设计和施工提供理论参考。
关键词：浅埋隧道；塌方灾害；双地层；围岩压力；力学模型A Calculating Method of the Surrounding Rock Pressureof Shallow Tunnel in Double LayerLI Chao1(1. Sichuan Road & Bridge (group) Co., Ltd Chengdu, Sichuan, 610066)Abstract：Tunnel collapse disaster has been an important problem that puzzles the design and construction of shallow tunnel in our country. Accurate determination of surrounding rock pressure is an important basis for the design of shallow tunnel structures and the prevention of tunnel collapse. Surrounding rock pressure is an important basis for tunnel design and stability study on the base of tunnel deformation characteristics taken by the double side drift method construction. Structural mechanics theory is used to establish the relationship between the lining and the surrounding rock pressure of early convergence deformation. The deformation monitoring data is used to calculate the level of surrounding rock pressure and back-calculate rock mechanics parameters, calculate the vertical pressure of surrounding rock. Take Xiang Ling tunnel in Xiamen as an example , the calculation results show that the pressure at the top of rock using this method to get the 47.35kPa, pressure of surrounding rock bottom 17.22kPa, vertical surrounding rock pressure is 199.41kPa, are within the scope of the traditional calculation results, to prove the feasibility of the method. This study provides some reference for the design and construction of shallow tunnel in double layer.Key words：Shallow tunnel; collapse disaster; double formation; surrounding rock pressure; mechanical model1引言围岩压力作用模式和计算方法是隧道工程支护结构设计中的关键问题。
浅埋黄土隧道围岩压力计算值与实测值的对比分析
【 文献标识码 】 Ａ
０１ ４ ０ ９ ０１
压力是非常必要的。狭义 的围岩压 力 即为开挖后 洞室周 围
岩层作用于衬砌结构 上的荷 载。随着人 们对岩体认 识 的提 高 ， 为岩体与支护结构是一个共 同作 用的体系 ； 认 因此 ， 围岩
压力应为洞室开挖后 围岩二次应力的全部作用 ， 即广义 的围
类 浅埋段 ， 相距 １． 。该段测试断面为双层模筑复合式衬 ０ ７ｉ ｎ 砌试验段 ， 隧道除试验段外均采用曲墙 有仰拱模筑衬砌 。 全
１ ２ 测 试 方 案 ．
现场测试 内容包括 ： 围岩与第一层模 筑混凝土衬砌 之间 接触应力 ； 两层 模筑 混凝 土衬 砌之 间接 触应 力。测试 采 用
究生 。
四川建 筑
第３ ０卷 １期
２ １ ．２ ０００
８ ５
簿鞠骋 王 ： 荤 ＿ Ｉ
２ ２ 与 基 本公 式计 算 方 法的 比较 ．
表 ２ 不 同方法计算 出的隧道围岩垂直土压力（ Ｐ ） ｋ ａ
１ 断面埋深为 ２ ２ 断面埋深为 ３ 按 照不 同方 法 ７ｍ， ３ｍ， 计算的深浅埋分界标准 ， 均可判定为浅埋隧道 。根据现场 接 触应力 的量测 ， 即嗣岩与第一层模 筑混 凝土衬砌之间接触应 力及两பைடு நூலகம்模筑混凝土衬 砌之 间接触应力 ， 可近似计算 出隧道
否适用 于 如 黄 土地 区等 特 殊 地 质 条件 ， 个 值 得 研 究 的 是
问题 。
０１
本文结合某浅埋黄土实际隧道工程 ， 围岩压力 现场实 对
测结果和基本公式计算结果进行分析 比较 ， 并对 相关 问题进
行论述 ， 以提高浅埋黄土隧道的计算设计 理论水平 。
黄土隧道深、浅埋分界标准及荷载计算方法
黄土隧道深、浅埋分界标准及荷载计算方法黄土隧道浅埋和深埋的界定问题黄土隧道深埋和浅埋的分界标准对于判断隧道衬砌所受围岩压力的性质至关重要，目前工程界和学术界主要存在两种观点：一种观点认为，在施工中不能保证形成承载拱的深度就可定为深埋和浅埋的分界，这是从松弛荷载的角度进行确定的方法；另一种观点认为，隧道开挖所造成的围岩松弛影响范围不能达到地表的深度，可定义为深、浅埋的分界深度，这是从连续介质力学角度出发的分界标准。
举例分析说明：巉口至兰州高速公路新庄岭隧道穿越黄土地层，在设计、施工过程中进行了洞内围岩压力监控量测及计算分析，测试断面埋深82m，大于按上述两种观点所计算的分界标准（按公路隧道设计规范计算分界厚度：65.2m，铁路隧道设计规范计算分界厚度：40.0m，太沙基公式：59.5m）。
理应当属深埋隧道。
但在施工期间，开挖通过测试断面时，地表出现了两条沿隧道走向的纵向裂缝，无疑按照上述深浅埋分界标准的两种观点都不能划分为深埋隧道。
采用不同方法计算出的隧道垂直土压力(kPa)隧道计算方法太沙基公式谢家烋公式公路隧道设计规范实测计算结果新庄岭隧道346.5 803.5 733.5 424.1 新庄岭隧道按谢氏公式和《公路隧道设计规范》的计算结果远远超出了按实测值的推算结果，《公路隧道设计规范》只是在谢氏公式的基础上对某些参数进一步作了规定，本质上是一样的。
太沙基公式的计算结果要小于实测值的推算结果，从量测地表出现的两纵向裂缝间距看，隧道上方滑动楔体的宽度要大于按太沙基公式的计算值，致使确定的滑动土体的范围较小，主要由于太沙基公式假设土层侧压力系数为1，微土条单元的竖向力为均匀分布，才导致结果要偏离实际的压力值。
《公路隧道设计规范》的计算公式是借鉴铁路部门对铁路隧道的施工坍方统计推算出来的，认为坍方区域内岩土体的重量即为隧道衬砌所受的垂直压力，其理论本质和普氏理论是一致的。
如果黄土隧道的施工方法采用侧壁导坑先墙后拱法，并严格按照“管超前、少扰动、短进尺、强支护、留核心、勤量测、早封闭”的施工原则进行施工，则黄土隧道施工中坍落体和承载拱是不会出现的，隧道衬砌承受的是由于周围土体对衬砌的挤压而产生的形变压力。
围岩压力计算
1围岩压力计算深埋和浅埋情况下围岩压力的计算方式不同，深埋和浅埋的分界按荷载等效高度值，并结合地质条件、施工方法等因素综合判断。
按等效荷载高度计算公式如下：HP =（~）qh式中: Hp——隧道深浅埋的分界高度；hq ——等效荷载高度，qh=qγ；q——垂直均布压力(kN/m2)；γ——围岩垂直重度（kN/m3)。
二次衬砌承受围岩压力的百分比按下表取值：表复合式衬砌初期支护与二次衬砌的支护承载比例浅埋隧道围岩压力的计算方法隧道的埋深H大于hq而小于Hp时，垂直压力QB Bt tqH==γH(1-λθ)浅浅tan。
表各级围岩的θ值及φ值2(tan 1)tan tan tan c cc ϕ+ϕβϕ+ϕ-θc tan =tan侧压力系数()tan tan tan tan tan tan tan tan cc c β-ϕλ=β1+βϕ-θ+ϕθ⎡⎤⎣⎦作用在支护结构两侧的水平侧压力为：e 1=γh λ ； e 2=γ(h+Ht)λ 侧压力视为均布压力时：Ⅴ级围岩的等效荷载高度hq=×24×[1+×(10-5)]= Hp==27m,H<Hq,故为浅埋。
取φ0=45°，θ=φ0=27°，h=20m ，tan β=,λ=,tan θ=, 计算简图：()212+1e =e e垂直压力q=19×20×20×10)=mPg=πdγ=π××25=m地基反力P=me1=γhλ=19×20×=e2=γ(h+Ht)λ=19×(20+×=水平均布松动压力e=(e1+e2)/2=mⅤ级围岩二衬按承受50%围岩压力进行计算，则垂直压力为q×50%=m地基反力为P×50%=m水平压力为e×50%=m2衬砌结构内力计算表等效节点荷载表轴力、剪力、弯矩详细数据50+0557********51+05409972930652+05240502556953+052115954+0517015内力图分析（1）轴力：由ANSYS建模分析围岩衬砌内力得出轴力图如图，最大轴力出现在仰拱段，其值为。
深浅埋划分
s-1
q = 0.45 ×2 ×γω (kN/m2)
围岩级别， --6 式中 ：S—围岩级别，S＝4--6； 围岩容重， γ— 围岩容重， (kN/m3)； ω＝1+ i(B-5) — 宽度影响系数； 宽度影响系数； i(BB — 隧道宽度,(m）； 隧道宽度,(m ,(m）； i —以B＝5m为基准，B每增减1m时的围岩压力 为基准， 每增减1m 1m时的围岩压力 增减率。 增减率。 当B<5m，取i ＝0.2；当B > 5m,取i ＝0.1。
●
●
深埋隧道围岩松散压力值是以施工坍方平均 深埋隧道围岩松散压力值是以施工坍方平均
高度(等效荷载高度值)为根据， 高度(等效荷载高度值)为根据，为了形成此高 度值，隧道上覆岩体就有一定的厚度。根据经 度值，隧道上覆岩体就有一定的厚度。 验，这个深度通常为2～2.5倍的坍方平均高度 这个深度通常为2 2.5倍的坍方平均高度 通常为 值
在矿山法施工的条件下
I～Ⅲ级围岩取 Hp＝2hq Ⅳ～Ⅵ级围岩取 Hp＝2.5hq
当隧道覆盖层厚度H≥Hp时为深埋， 时为深埋，
H＜Hp时为浅埋
深埋隧道围岩压力的确定(工程类比法) ⑴ 深埋隧道围岩压力的确定(工程类比法)
q = 0.45 ×2
● 适用条件
s-1
×γω (kN/m2)
① H/B < 1.7， 式中H为隧道高度； 1.7， 式中H为隧道高度； 深埋隧道,IV—VI级围岩 级围岩； ② 深埋隧道,IV—VI级围岩； 不产生显著偏压力及膨胀力的一般隧道； ③ 不产生显著偏压力及膨胀力的一般隧道； 采用钻爆法施工的隧道。 ④ 采用钻爆法施工的隧道。
论浅埋隧道围岩压力的确定
式 中： 均布垂直压力 ； ： ： 坑道上覆 围岩天然密度； 日： 隧道深埋 、 指坑顶至地面的距离 。 侧 向压力 ｅ 按均布考虑 ， ， 其值为 ：
斜直线 Ａ Ｃ或 Ｂ Ｄ是假定的破裂面 ， 分析时考虑 内聚力 Ｃ并
采用了计算摩擦角 。另一滑面 Ｆ Ｈ或 Ｅ Ｇ则并非破裂面， 因此 ， 滑
（） １
式 中：： 向均布压力 ； ｅ侧 ： 围岩天然密度 ； 日： 隧道深埋 ； ：坑道 高度 ； ：威严计算摩擦 角其值见表 １ 。
表 １ 各类围岩计算摩擦角 ％
围岩类别
ｇ
Ⅵ
＞７ 。 ８
Ｖ
Ⅳ
Ⅲ
Ⅱ
Ｉ
≤３ Ｏ。
６ 。 ７８ ５ 。 ６ 。 ４ 。 ４ ３ｌ ～ ２ ７一 。 ５ ～ ６ ３ ～５ 。 。４ 。
１ 概 论
浅埋隧道这里是指暗挖法施工 、 埋深较浅的坑道 。在坑道埋 深不大时 ， 往往会 使整个覆盖层产 生扰动 ， 较易发生洞 顶坍塌 ， 有时会使地表开裂下陷 ， 因此会产生较大的 围岩压力 。 对道路 隧道来说 ， 浅埋隧道多出现在洞 口段。深埋和浅埋 隧 道的分 界 ， 有不少判定标准 ， 一般是以坑道 上方能否形成稳定 的 深埋隧道压力值来 区分 的， 并且 结合具体 的地质 、 施工条件等 因 素综合确定 。 要形成稳定 的深埋 围岩压力值 ，显然前述 的松动范围之外 还需有 足够厚度 的岩 （ ） ， 土 体 否则松 动范围会一直扩展到地表 。 也就是说 ， 、 深 浅埋隧道 的分 界深度要 比荷 载等效高度 大 ， 所谓 荷载等效高度（ ） 即为用式计算而得 的压力 ｑ除以 。
Ｈｐ（～ ．） ＝２ ２ ｈ ５
（） ２
地下工程
其中 ：q—围岩竖向均布压力。
● 适用条件： ①高跨比小于1.7； ②深埋隧道； ③不产生显著偏压力及膨胀力的一般隧道； ④采用钻爆法施工的隧道。
2）铁路单线隧道围岩压力按松散压力考虑：
e1 h * tan 2 (45 / 2)
洞底的围岩侧向压力：
e2 (h * ht ) tan 2 (45 / 2)
习 题：
1 、某公路隧道进口 30 米处围岩是 IV 级，容重 25kN/m3 ， 开挖断面宽度12米，隧道上覆岩体厚度 8米，试计算并判 断该处隧道属深埋还是浅埋？ 2 、某双线铁路隧道，宽度 B=12m ，高度 Ht=8.8m ，埋深 Z=20m。围岩等级为 Ⅳ级，岩体容重 γ=21.5KN/m3 ，围岩 计算摩擦角 φc=53°。求隧道顶板及侧墙的松动围岩压力。
竖向围岩压力q为：
q＝γ h= γ×0.41×1.79S
水平均布压力e为：
围岩级别 水平均布压力 I、II 0 III <0.15q IV (0.15～0.3)q V (0.3～0.5)q VI (0.5～1.0)q
其中 ：q—围岩竖向均布压力。 上述公式是根据全国铁路隧道1046个隧道塌方样本统计 得出的经验公式，其中S —规范确定的围岩分级。
s-1
S—围岩级别，如属II级，则S＝2； ω＝1+ i(B-5) — 宽度影响系数； B — 隧道宽度，（m）； i —以B＝5m为基准，B每增减1m时的围岩压力增减率；当 B<5m，取i ＝0.2；当B > 5m,取i ＝0.1。
荷载计算公式
3.2.1 荷载计算公式（一） 深浅埋隧道判定原则深、浅埋隧道分界深度至少应大于坍方的平均高度且有一定余量。
根据经验，这个深度通常为2~2.5倍的坍方平均高度值，即：()q p h H 5.2~2=式中，p H —深浅埋隧道分界的深度； q h —等效荷载高度值系数2~2.5在松软的围岩中取高限，在较坚硬围岩中取低限。
当隧道覆盖层厚度q h h ≤时为超浅埋，p q H h h <<时为浅埋，p H h ≥时为深埋。
（二） 围岩压力计算方法(1) 当隧道埋深h 小于或等于等效荷载高度h q （即q h h ≤）时，为超浅埋隧道，围岩压力按全土柱计算。
围岩垂直均布压力为：rh q =式中，r —围岩容重，见表3-1； h —隧道埋置深度。
围岩水平均布压力e 按朗金公式计算⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=245tan 21002φt rH q e(2) 当隧道埋深h 大于等效荷载高度h q 且小于深浅埋分界深度（p q H h h <<）时，为一般浅埋隧道，围岩压力按谢家休公式计算： 围岩垂直均布压力为：⎪⎭⎫ ⎝⎛-==B h rh B Q q θλtan 1 ()[]θφθφββφβλtan tan tan tan tan 1tan tan tan 000+-+-=()θφφφφβtan tan tan 1tantan tan 00020-++=式中，B —坑道跨度； r —围岩的容度； h —洞顶覆土厚度；θ—岩体两侧摩擦角，见表3-1； λ—侧压力系数；0φ—围岩计算摩擦角，见表3-1；β—产生最大推力时的破裂角；围岩水平压力按下式计算： 隧道顶部水平压力： λrh e =1隧道底部水平压力： λrH e =2=λ）（t H h r +(3) 当隧道埋深h 大于或等于深浅埋分界深度H p （即p H h ≥）时，为深埋隧道，围岩压力按自然拱内岩体重量计算：单线铁路隧道按概率极限状态设计时的垂直压力为：r rh q s q ⨯⨯==79.141.0单线、双线及多线铁路隧道按破坏阶段设计时垂直压力为：rw rh q s q ⨯⨯==-1245.0式中，h q —等效荷载高度值； s —围岩级别，如级围岩s =3； r —围岩的容重w —宽度影响系数，其值为：()51-+=B i w其中，B —坑道宽度；i —B 每增加1m 时，围岩压力的增减率（以B =5m 为基准），当B <5m 时，取i =0.2，B >5m 时，取i =0.1。
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浅埋黄土隧道围岩压力计算方法于丽; 吕城; 段儒禹; 王明年【期刊名称】《《中国铁道科学》》【年(卷),期】2019(040)004【总页数】8页(P69-76)【关键词】隧道破坏模式; 黄土地区; 浅埋隧道; 围岩压力; 破裂角【作者】于丽; 吕城; 段儒禹; 王明年【作者单位】西南交通大学土木工程学院四川成都610031; 西南交通大学交通隧道工程教育部重点实验室四川成都610031【正文语种】中文【中图分类】U451.2浅埋隧道围岩压力的计算是确定隧道支护设计荷载的前提，国内外学者已通过数值计算[1-5]、理论分析[6-9]及模型试验[10]等手段对浅埋隧道的破坏模式及围岩压力计算进行了研究，其中应用最为广泛的主要为太沙基、谢家烋[6]、比尔鲍曼等理论计算公式或方法。
太沙基理论假定土体为具有一定黏聚力的松散土体，从土压力传递的角度出发研究了围岩压力，考虑了土体黏聚力、内摩擦角、埋深及隧道尺寸对围岩压力的作用；谢家烋[6]考虑浅埋隧道的破坏特征，基于极限平衡理论推导了围岩压力的计算方法，被铁路和公路隧道规范采用；比尔鲍曼法是比较早的围岩压力计算方法，现在在实际中应用并不是很多。
对于浅埋黄土隧道，根据现场调研情况[11-14]，黄土垂直节理普遍发育导致其破坏模式及围岩压力大小、分布不同于其他隧道，既有的围岩压力计算方法不能完全满足工程实际情况，因此研究浅埋黄土隧道围岩压力的计算方法是十分重要的。
结合浅埋黄土隧道实际的破坏形式，构建浅埋黄土隧道的破坏模式，基于极限平衡理论，推导围岩压力的计算公式,并根据围岩滑裂面上的应力状态推导出围岩破裂角的计算公式。
并将本文方法计算的破裂角及围岩压力分别与现场实测值、既有方法的计算值进行对比，验证本文破裂角及围岩压力计算方法的正确性和有效性，并分析不同参数对围岩破裂角、围岩压力的影响。
1 围岩压力计算方法的建立1.1 浅埋黄土隧道破坏模式从隧道施工现场实际破坏情况来看，浅埋黄土隧道的坍塌面大多数为近乎直立的破裂面[14]，这是因为黄土垂直节理发育，在节理面上形成抗剪强度较小的软弱面，当土体下方隧道施工形成临空面时，受重力的作用，土体沿着垂直节理的软弱面塌落。
浅埋隧道施工后，上方地层形成滑动趋势面，因黄土直立性好，在地表附近形成可见的裂缝[13]，据此建立浅埋黄土隧道的破坏模式如图1所示。
图中：AA′和BB′均为垂直破裂面；A′C′和B′J′均为斜向破裂面，其与水平方向的夹角为β，β即为浅埋黄土隧道的破裂角；b为隧道半宽，m，b1为拱顶松动范围的半宽，m；H为隧道高度；h为隧道上覆土体高度。
图1 浅埋黄土隧道破坏模式1.2 围岩压力理论推导考虑隧道的对称性，取隧道右边一半进行受力分析，如图2所示。
图中： W1为隧道拱部EBB′I的重力，kN；W2为肩部三角形土体JJ′B′的重力，kN；Pq为作用于隧道顶部的竖向围岩压力，kPa；Pe为水平围岩压力，kPa；λ为侧压力系数；T为直立破裂面A A′所受的切向摩擦阻力，kN； N为直立破裂面BB′所受的法向压力，kN；T1为斜向破裂面A′C′所受的切向摩擦阻力，kN； N1为斜向破裂面B′J′所受的法向压力，kN；F和F′为拱部土体EBB′I与三角形土体JJ′B′之间的作用力与反作用力，kN；X为中轴线上的静止土压力；c为土体的黏聚力，kPa；φ为内摩擦角，(°)；γ为土体的重度，kN·m-3。
图2 隧道受力分析图对于图2所示的受力图，根据受力平衡原理，建立如下土体的竖向和水平静力平衡方程。
拱部土体EBB′F：W1=Pqb1+T+F(1)X=N(2)三角形土体JJ′B′：W2+F′=T1cosβ+N1sinβ(3)λPqH+T1sinβ=N1cosβ(4)土体EBB′J′GI：Pqb1+T+T1sinβ+N1cosβ=W1+W2(5)N+N1sinβ-T1cosβ=X+λPqH(6)然后，在破裂面BB′和B′J′上分别应用Mohr-Coulomb强度破坏准，则有T=ch+Ntanφ(7)(8)由式(1)—式(6)可得到竖向围岩压力的计算公式为Pq=(9)又因为，拱部土体EBB′I的重力W1为W1=γhb1(10)隧道拱部松动范围的半宽b1为(11)隧道断面矢跨比(扁平率)为(12)将式(10)—式(12)代入式(9)，并整理可得竖向围岩压力解析式为Pq=(13)水平围岩压力的计算公式为Pe=λPq(14)对于黄土隧道深埋与浅埋的界定，即分界深度的取值，参照王明年[11]的研究成果，新黄土(Q3，Q4)的取上限55～60 m，老黄土(Q1，Q2)的取上限40～50 m。
2 围岩破裂角理论计算公式2.1 破裂角理论计算公式推导由式(13)可知，对于具体的隧道，物理力学参数是确定的，仅需确定破裂角β。
根据太沙基、朗肯土压力的理论计算，松散体中的破裂角均为β=π/2+φ，对于这一计算式，易小明[15]给出了理论推导过程。
但是，浅埋黄土隧道实际的破裂角明显大于该公式的计算值，因此，根据围岩滑裂面上的应力状态推导其计算公式。
浅埋黄土隧道破裂角计算模型如图3所示。
图中：和为折算后原岩的竖向应力、水平应力，kPa；σn和τn为破裂面上的正应力、剪应力，kPa。
在实际工程中，当土体开挖后，形成临空面，BB′IE土体(见图2)的重力由土体间的接触力(黏聚力c、内摩擦角φ等)，以附加应力的形式转移到右侧土体JJ′B′上。
首先作如下假设：(1)按照上方土柱EBB′I面积与下方三角土条JJ′B′面积的比值将上方土柱的重度等效到下方三角土条JJ′B′上，等效系数为(2)黄土隧道常见的坍塌面为直立型，因此忽略阴影土体转动对σ1的影响；(3)隧道断面的不规则形状均简化为矩形。
图3 浅埋黄土隧道破裂角推导模型将BB′IE土体的重力平均化，基于上述假设，等效得到附加应力作用下的右下侧土体JJ′B′三角土体应力场为(15)(16)且有，(17)式中：σ1和σ3为等效之前原岩的竖向应力、水平应力，kPa。
在滑裂面上任意一点原岩应力的关系为(18)而滑裂面上极限抗剪强度的极限为τmax=σntanφ+c(19)令函数O(β)为滑裂面上极限抗剪强度函数与剪应力之差[6]，即O(β)=τmax-τn(20)将式(17)—式(19)代入式(20)，并整理可得O(β)=(21)当O(β)对β的一阶导数为0时，隧道是最危险的。
由此，对式(21)求导，并考虑K=H/2b，则得到隧道最危险时破裂角的计算公式为(22)2.2 破裂角计算方法对比选取郑西客专的贺家庄、吕家岩等6座黄土隧道，其物理力学参数及埋深均见表1。
6座隧道的开挖高度和跨度相同，均为H=13.38 m，D=15.4 m(D=2b)。
侧压力系数λ根据《铁路隧道设计规范》计算，结果也见表1。
土柱摩擦角θ取值根据《铁路隧道设计规范》[16]选取平均值，Ⅳ级围岩条件下取θ=0.9φc，Ⅴ级围岩条件下取θ=0.7φc，结果也见表1。
分别采用本文方法、谢家烋法、太沙基法(普氏理论与太沙基法相同)及易小明法，对6座隧道分别计算破裂角β，结果见表2；同时实测这6座隧道现场实际的破裂角β，并计算理论值与实测值的差值，结果均见表2。
表1 计算参数隧道名称围岩性质围岩级别埋深/m密度/(g·cm-3)黏聚力/kPa内摩擦角/(°)计算摩擦角/(°)土柱摩擦角/(°)侧压力系数贺家庄Q2黏质Ⅳ251.73131.7823.9331.3230.540.52吕家岩Q2砂质Ⅳ211.7239.2525.0027.2731.500.58潼洛川Q2黏质Ⅳ311.8821.0321.0022.3027.900.67台村 Q3砂质Ⅴ161.5718.2026.5027.5325.550.49阌乡 Q3砂质Ⅴ201.5633.0028.5030.2926.950.44函谷关Q3砂质Ⅴ401.5720.8627.6028.7626.320.47表2 破裂角β的计算结果验证(°)隧道名称现场实测值谢家烋法太沙基理论易小明方法本文方法数值差值数值差值数值差值数值差值贺家庄75.576.3-0.857.018.560.914.672.03.5吕家岩70.076.5-6.557.512.562.47.671.8-1.8潼洛川70.575.9-5.455.515.058.512.072.3-1.8台村 68.570.5-2.058.310.365.03.571.8-3.3阌乡 71.771.10.659.312.464.57.271.10.6函谷关70.070.9-0.958.811.260.99.170.9-0.9从表2可知：谢家烋法计算的破裂角与实测值的差值为-6.5°～0.6°，本文方法与实测值的差值为-3.3°～3.5°，可见谢家烋法和本文方法与现场实测值均较接近，且本文方法的差值更小；同时，谢家烋法中土柱摩擦角θ取值对结果影响较大[17]，Ⅳ级围岩条件下取θ=0.7φc～0.9φc，Ⅴ级围岩条件下取θ=0.5φc～0.7φc，计算得到的破裂角相差分别达到7.7°和3.1°，并且这种取值方法完全凭借经验，并无理论加以验证，因此谢家烋法的结果受人为主观因素较大。
易小明方法得到破裂角的差值为3.5°～14.6°，太沙基理论的为10.3°～18.5°，两者均远大于本文方法的差值。
2.3 单一参数变化对破裂角的影响规律以贺家庄隧道为例，单一参数变化时其值分别取：侧压力系数λ=0.4，0.5，…，1.5；内摩擦角φ=5°，10°，…，45°；断面矢跨比(扁平率)K=0.5，0.6，…，1.5；隧道埋深h=10，15，…，50 m。
分别采用本文方法、太沙基理论、易小明法及谢家烋法，分析这4个单一参数变化对破裂角β的影响，如图4所示。
图4 单一参数变化对破裂角的影响规律从图4可以得出如下结论。
(1)本文方法和谢家烋法计算的破裂角随着侧压力系数的增大而缓慢的减小，即影响不是很明显。
太沙基法破裂角计算值与侧压力系数无关。
易小明法的破裂角计算值在侧压力系数小于0.9时，破裂角随着侧压力系数的增大而增大，增大的速率不断增大；而在侧压力系数为1.0时破裂角突然减小；在侧压力系数大于1.0时破裂角计算值又随着侧压力系数的增大而增大，增大的速率不断减小。
(2)本文方法计算的破裂角随着内摩擦角的增大而减小，而太沙基法、易小明法及谢家烋法计算的破裂角随着内摩擦角增大而增大。
现场调研的实际破裂角随着内摩擦角的增大有减小的趋势[11,13]。