探索三角形全等的条件(1)的专家点评
6 探索全等三角形的条件(1)-边角边(SAS)(拓展提高)(解析版)
专题1.6 探索全等三角形的条件（1）-边角边（SAS ）（拓展提高）一、单选题1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 平分∠ACB ，在BC 边上取点E ，使EC ＝AC ，连接DE ，若∠A ＝50°，则∠BDE 的度数是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°【答案】A 【分析】先由直角三角形的性质得∠B ＝90°﹣∠A ＝40°，再证△CDE ≌△CDA （S A S ），得∠CED ＝∠A ＝50°，然后由三角形的外角性质即可得出答案．【详解】∵∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，∴∠B ＝90°﹣∠A ＝40°，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ECD ＝∠ACD ，在△CDE 和△CDA 中，EC AC ECD ACD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDE ≌△CDA （S A S ），∴∠CED ＝∠A ＝50°，又∵∠CED ＝∠B +∠BDE ，∴∠BDE ＝∠CED ﹣∠B ＝50°﹣40°＝10°，故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．2．如图所示，AD 是ABC ∆的边BC 上的中线，5AB =cm ，4=AD cm ，则边AC 的长度可能是（ ）A ．3cmB ．5cmC ．14cmD ．13cm【答案】B 【分析】延长AD 至M 使DM =AD ，连接CM ，根据SAS 得出≅ADB MDC ，得出AB =CM =4cm ，再根据三角形的三边关系得出AC 的范围，从而得出结论；【详解】解：延长AD 至M 使DM =AD ，连接CM ，∵AD 是ABC ∆的边BC 上的中线，∴BD =CD ，∵∠ADB =∠CDM ,∴≅ADB MDC ，∴MC =AB =5cm ，AD =DM =4cm ，在AMC 中，3＜AC ＜13，故选：B【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，根据三角形的三边关系找出AC 长度的取值范围是解题的关键．3．如图，已知AB AD =，BC DE =，且10CAD ∠=︒，25B D ∠=∠=︒，120EAB ∠=︒，则EGF ∠的度数为（ ）A ．120︒B ．135︒C ．115︒D ．125︒【答案】C 【分析】由已知可得△ABC ≌△ADE ，故有∠BAC =∠DAE ，由∠EAB =120°及∠CAD =10°可求得∠AFB 的度数，进而得∠GFD 的度数，在△FGD 中，由三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求得∠EGF 的度数．【详解】在△ABC 和△ADE 中AB AD B D BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABC ≌△ADE （SAS ）∴∠BAC =∠DAE∵∠EAB =∠BAC +∠DAE +∠CAD =120°∴∠BAC =∠DAE ()112010552=⨯︒-︒=︒ ∴∠BAF =∠BAC +∠CAD =65°∴在△AFB 中，∠AFB =180°-∠B -∠BAF =90°∴∠GFD =90°在△FGD 中，∠EGF =∠D +∠GFD =115°故选：C【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理，关键求得∠BAC 的度数．4．如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连接BF ，CE ，下列说法：①ABD △和ACD △面积相等； ②BAD CAD ∠=∠； ③BDF ≌CDE △；④//BF CE ；⑤CE AE =．其中正确的是（ ）A．①②B．①③C．①③④D．①④⑤【答案】C【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明△BDF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BF，全等三角形对应角相等可得∠F=∠CED，再根据内错角相等，两直线平行可得BF∥CE．【详解】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴△ABD和△ACD面积相等，故①正确；∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；在△BDF和△CDE中，BD CDBDF CDE DF DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；∴∠F=∠DEC，∴BF∥CE，故④正确；∵△BDF≌△CDE，∴CE=BF，故⑤错误，正确的结论为：①③④，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．5．如图已知ABC ∆中，12AB AC cm ==，B C ∠=∠，8BC cm =，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以2/cm s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．若点Q 的运动速度为v ，则当BPD ∆与CQP ∆全等时，v 的值为（ ）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或3【答案】D 【分析】设运动时间为t 秒，由题目条件求出BD=12AB=6，由题意得BP=2t ，则CP=8-2t ，CQ=vt ，然后结合全等三角形的判定方法，分两种情况列方程求解．【详解】解：设运动时间为t 秒，∵12AB AC cm ==，点D 为AB 的中点．∴BD=12AB=6， 由题意得BP=2t ，则CP=8-2t ，CQ=vt ，又∵∠B=∠C∴①当BP=CQ ，BD=CP 时，BPD ∆≌CQP ∆∴2t=vt ，解得：v=2②当BP=CP ，BD=CQ 时，BPD ∆≌CPQ ∆∴8-2t=2t ，解得：t=2将t=2代入vt=6，解得：v=3综上，当v=2或3时，BPD ∆与CQP ∆全等故选：D【点睛】本题主要考查了全等三角形全等的判定、熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．6．如图1，已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上面一点，连接BD ，CD ；如图2，已知AB AC =，D 、E 为BAC ∠的角平分线上面两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图3，已知AB AC =，D 、E 、F 为BAC ∠的角平分线上面三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依次规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是（ ）．A ．nB ．21n -C ．(1)2n n +D ．3(1)n +【答案】C 【分析】根据条件可得图1中△ABD ≌△ACD 有1对三角形全等；图2中可证出△ABD ≌△ACD ，△BDE ≌△CDE ，△ABE ≌△ACE 有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n 个图形中全等三角形的对数．【详解】解：∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD=∠CAD ．在△ABD 与△ACD 中，AB=AC ，∠BAD=∠CAD ，∴△ABD≌△ACD．∴图1中有1对三角形全等；同理图2中，△ABE≌△ACE，∴BE=EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD=CD，又DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴图2中有3对三角形全等；同理：图3中有6对三角形全等；由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是()12n n+．故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．二、填空题7．如图所示，点O为AC的中点，也是BD的中点，那么AB与CD的关系是________．【答案】平行且相等【分析】只需要证明△AOB≌△COD，根据全等三角形的性质和平行线的判定定理即可得出结论．【详解】解：∵点O为AC的中点，也是BD的中点，∴AO=OC，BO=OD，又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△COD（SAS）∴AB=CD，∠A=∠C，即AB 与CD 的关系是平行且相等，故答案为：平行且相等．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，平行线的判定定理．掌握全等三角形的判定定理是解题关键．8．在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，若7,5AB AC ==，则AD 长的取值范围是_________．【答案】16AD <<【分析】利用中线的性质，作辅助线AD=DE ，构造全等三角形()ADB EDC SAS ≅，再有全等三角形对应边相等的性质，解得7CE AB ==，最后由三角形三边关系解题即可．【详解】如图，AD 为BC 边上的中线,延长AD 至点E ，使得AD=DE在△ADB 和△EDC 中BD DC ADB CDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADB EDC SAS ∴≅7CE AB ∴==CE AC AE AC CE -<<+75275AD ∴-<<+16AD ∴<<故答案为：16AD <<．【点睛】本题考查三角形三边的关系，其中涉及全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识、正确作出辅助线是解题的关键．9．如图，在ABC 中，,90AC BC ACB =∠=︒，点D 是BC 上的一点，过点B 作//BE AC ，使BE CD =，连接CE 与AD 相交于点G ，则AD 与CE 的关系是_______________．【答案】AD ⊥CE ，AD =CE【分析】证明△ACD ≌△CBE ，得到∠CAD =∠BCE ，AD =CE ，结合∠ACB =90°，可得∠CGD =90°，从而可得结果．【详解】解：由题意可知：∵∠ACB =90°，BE ∥AC ，∴∠ACB =∠EBC =90°，在Rt △ACD 和Rt △CBE 中，AC CB ACD CBE CD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （SAS ），∴∠CAD =∠BCE ，AD =CE ，∵∠CAD +∠CDA =90°，∴∠CDA +∠BCE =90°，∴∠CGD =180°-（∠CDA +∠BCE ）=90°，∴AD ⊥CE ，综上：AD ⊥CE ，AD =CE ，故答案为：AD ⊥CE ，AD =CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明△ACD ≌△CBE ，得到角和线段之间的相等关系．10．如图，在ABC 中，90B ∠>︒，CD 为ACB ∠的角平分线，在AC 边上取点E ，使DE DB =，且90AED ∠>︒，若A x ∠=︒，ACB y ∠=︒，则AED =∠_______．（用x 、y 的代数式表示）【答案】180°-x°-y° 【分析】在AC 上截取CF =BC ，根据全等三角形的性质可得BD =DF =DE ，可得∠AED =∠ABC ，根据三角形的内角和可求解．【详解】解：如图，在AC 上截取CF =BC ，∵CD 为∠ACB 的角平分线，∴∠ACD =∠BCD ，∵CF =BC ，∠ACD =∠BCD ，CD =CD ，∴△BDC ≌△FDC （SAS ），∴∠ABC =∠CFD ，DF =BD ，∵BD =DE ，∴DE =DF ，∴∠DEF =∠DFE ，∴∠AED =∠CFD ，∵∠A =x°，∠ACB =y°，∴∠ABC =180°-∠A -∠ACB =180°-x°-y°，∴∠AED =∠DBC =180°-x°-y°，故答案为：180°-x°-y°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．11．如图，在ABC 中，90,,,ACB AC BC CE BE CE ∠=︒=⊥与AB 相交于点F ，且CD BE =，则ACD CBA DAF ∠∠∠、、之间的数量关系是_____________．【答案】=ACD CBA DAF ∠∠∠+【分析】先利用同角的余角相等得到ACD ∠=CBE ∠，再通过证ACD CBE ≌，得到==90ADC CEB ∠︒∠即==90ADF CEB ∠︒∠，再 利用三角形内角和得=AFD ADF EFB FEB ︒--︒-∠-180∠∠180∠可得=DAF EBF ∠∠，最后利用角的和差即可得到答案，ACD ∠==++CBE CBA EFB CBA DAF ∠∠∠=∠∠．【详解】证明：∵90ACB ∠=︒，CE BE ⊥∴+90ACD ECB ∠=︒∠，+90CBE ECB ∠=︒∠∴ACD ∠=CBE ∠又∵AC BC =，CD BE =∴ACD CBE ≌∴==90ADC CEB ∠︒∠即==90ADF CEB ∠︒∠∵=AFD EFB ∠∠∴=AFD ADF EFB FEB ︒--︒-∠-180∠∠180∠即=DAF EBF ∠∠∴ACD ∠==++CBE CBA EFB CBA DAF ∠∠∠=∠∠故答案为：=ACD CBA DAF ∠∠∠+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、内角和定理以及全等三角形的判定和性质，能通过性质找到角与角之间的关系是解答此题的关键．12．如图所示的是一张直角ABC 纸片（90C ∠=︒），其中30BAC ∠=︒，如果用两张完全相同的这种纸片恰好能拼成如图2所示的ABD △，若2BC =，则ABD △的周长为______．【答案】12【分析】根据题意证明三角形全等即可得解；【详解】如图所示，由题可知ABC ADC ≅△△，∴30BAC DAC ∠=∠=︒，90ACB ACD ∠=∠=︒，2BC BD ==，∴60BAD ∠=︒，180BCD ∠=︒，∴B ，C ，D 在一条直线上，∵60B D ∠=∠=︒，∴△ABD 是等边三角形，∴△ABD 的周长()3312BD BC CD==+=；故答案是12．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合等边三角形的性质计算是解题的关键． 13．已知：如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6．延长BC 到点E ，使CE ＝2，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC ﹣CD ﹣DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为__秒时，△ABP 和△DCE 全等．【答案】1或7【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2或AP=16-2t=2即可求得结果．【详解】因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP＝2t＝2，所以t＝1，因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP＝16﹣2t＝2，解得t＝7．所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．故答案为：1或7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，要注意分类讨论．14．如图，△P AB与△PCD均为等腰直角三角形，点C在PB上，若△ABC与△BCD的面积之和为10，则△P AB与△PCD的面积之差为_____．【答案】10【分析】由“SAS”可证△APC≌△BPD，可得S△APC＝S△BPD，由面积和差关系可求解．【详解】解：∵△P AB与△PCD均为等腰直角三角形，∴PC＝PD，∠APB＝∠CPD＝90°，AP＝BP，∴△APC≌△BPD（SAS），∴S△APC＝S△BPD，∵S△APB﹣S△PCD＝S△APC+S△ABC﹣（S△BPD﹣S△BCD），∴S△APB﹣S△PCD＝S△BCD+S△ABC＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明△APC≌△BPD是本题的关键．三、解答题15．如图所示，AC BC ⊥，DC EC ⊥，垂足均为点C ，且AC BC =，EC DC =．求证：AE BD =．【答案】见解析【分析】根据SAS 证明ACE BCD △≌△即可．【详解】证明：∵AC BC ⊥，DC EC ⊥，∴90ACB ECD ∠=∠=︒∴ACB BCE ECD BCE ∠+∠=∠+∠即ACE BCD ∠=∠在ACE 和BCD △中AC BC ACE BCD EC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ACE BCD ≌△△ ∴AE BD =【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明ACE BCD ∠=∠是解答此题的关键． 16．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，//,,AB DE AB DE BE CF ==．求证：A D ∠=∠．【答案】证明见解析【分析】根据平行得出B DEF ∠=∠，然后用“边角边”证明ABC DEF △≌△即可．【详解】证明：∵//AB DE ，∴B DEF ∠=∠．∵BE CF =，∴BE EC CF EC +=+．∴BC EF =．在ABC 和DEF 中，,,,AB DE B DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC DEF △≌△．∴A D ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用已知条件，推导证明出全等三角形判定所需条件，运用全等三角形判定定理证明．17．如图，四边形ABCD 的对角线交于点O ，点E 、F 在AC 上，//DF BE ，且DF BE =，AE CF =．求证：AB CD =，且//AB CD ．【答案】见解析【分析】根据已知条件可证得ABE CDF △≌△，从而由全等三角形的性质可得要证的结论．【详解】//DF BEBEO DFO ∴∠=∠AEB CFD ∴∠=∠又DF BE =∵，AE CF =ABE CDF ∴△≌△AB CD ∴=，BAE DCF ∠=∠//AB CD ∴【点睛】本题考查了三角形全等的的判定的性质，关键是得出AEB CFD ∠=∠．18．如图，BD ，CE 分别是ABC 的边AC 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线上，点Q 在CE 上，BP AC =，CQ AB =，请说明AQ 与AP 的关系．【答案】AP =AQ 且AP ⊥AQ【分析】由于BD AC ⊥，CE AB ⊥，可得ABD ACE ∠=∠，又由对应边的关系，进而得出ABP QCA ∆≅∆，即可得出AQ=AP ．在此基础上，可证明90PAQ ∠=︒．【详解】解：证明：BD AC ⊥，CE AB ⊥（已知），90BEC BDC ∴∠=∠=︒，90ABD BAC ∴∠+∠=︒，90ACE BAC ∠+∠=︒（直角三角形两个锐角互余），ABD ACE ∴∠=∠（等角的余角相等），在ABP ∆和QCA ∆中，BP AC ABD ACE CQ AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABP QCA SAS ∴∆≅∆，∴=AP AQ ．ABP QCA ∆≅∆，CAQ P ∴∠=∠，BD AC ⊥，即90P CAP ∠+∠=︒，90CAQ CAP ∴∠+∠=︒，即90QAP ∠=︒，AP AQ ∴⊥．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握并运用．19．平面上有ACD △与,BCE AD 与BE 相交于点,P AC 与BE 相交于点,M AD 与CE 相交于点N ，若,,AC BC CD CE ECD ACB ==∠=∠．（1）求证：≌ACD BCE ；（2）55,145ACE BCD ∠=︒∠=︒，求BPD ∠的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）∠BPD =140°．【分析】（1）利用SAS 证明△ACD ≌△BCE 即可；（2）由全等三角形的性质可知：∠A =∠B ，再根据已知条件和四边形的内角和为360°，即可求出∠BPD 的度数．【详解】解：（1）证明：∵∠ACB =∠ECD ，∠ACE =∠ACE ，∴∠BCE =∠ACD ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC BCE ACD CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）；（2）∵△ACD ≌△BCE ，∴∠A =∠B ，∠BCE =∠ACD ，∴∠BCA =∠ECD ，∵∠ACE =55°，∠BCD =155°，∴∠BCA +∠ECD =100°，∴∠BCA =∠ECD =50°，∵∠ACE =55°，∴∠ACD =105°∴∠A +∠D =75°，∴∠B +∠D =75°，∵∠BCD =145°，∴∠BPD =360°-75°-145°=140°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理，解题的关键是利用整体的数学思想求出∠B+∠D=75°．20．（1）如图1，一扇窗户打开后，用窗钩AB将其固定，这里所运用的几何原理是：；（2）如图2，小河的旁边有一个甲村庄所示，现计划在河岸AB上建一个泵站，向甲村供水，使得所铺设的供水管道最短，请在上图中画出铺设的管道，这里所运用的几何原理是：（3）如图3，在新修的小区中，有一条“Z”字形长廊ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段长廊上各修一小凉亭E，M，F，且BE=CF，点M是BC的中点，在凉亭M与F之间有一池塘，不能直接到达，要想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度（用两个字母表示线段）．这样做合适吗?请说出理由．【答案】（1）三角形具有稳定性；（2）见解析，垂线段最短；（3）合理，见解析【分析】（1）根据三角形的稳定性解答；（2）根据垂线段最短解答；（3）首先证明△MEB≌△MFC，根据全等三角形的性质可得ME＝MF．【详解】解：（1）一扇窗户打开后，用窗钩AB要将其固定，这里所运用的几何原理是三角形具有稳定性；故答案为：三角形具有稳定性；（2）过甲向AB作垂线，如图2所示；运用的原理是：垂线段最短；故答案为：垂线段最短；（3）合理，∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C ，∵点M 是BC 的中点，∴MB ＝MC ，在△MCF 和△MBE 中BE CF B C BM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MEB ≌△MFC （SAS ），∴ME ＝MF ，∴想知道M 与F 之间的距离，只需要测出线段ME 的长度．【点睛】此题主要考查了垂线段的性质，三角形的稳定性，以及全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形判定定理，会用它证明对应边相等．。
探索三角形全等的条件(一)案例与评析
受 我 的 采 访 吗 ？ 小 红 车 的 主 人 打 电 话 来是 在 你 意 料 之 中
吗 ？ 当时 你 认 为 他 打 电话 的 目的 是 什 么？ 最 后 的 结 果 在 你 的 意 料 之 中吗 ？
的 三次说话 ，学生知道 了小红车的主 人是 来表 示感谢 的 。
“ ”在 无 人 知 晓 的情 况 下 主 动 给 他 留 下 字 条 这 件 事 情 让 我 他 很 感 动 。教 师 通过 与 学 生 对话 ， 引 导 学 生理 解 小 红 丰 的 主 人 不但 感谢 “ ” 的诚 实 ，更 感 谢 “ ” 对 他 的信 任 。 我 我 ） 师 ：我 觉得 你们 真的 很 懂 小红 车 主 人 的 心 ．那 么 ．你
部 分 学 生 ：这 些 图 片 都 是 由三 角 形 组 成 的 。 生１ ：这 些三 角形 大 小 那 么一 致 ，都 是 全 等 的 吧 ？ 师 ：对 ！这 些 美 丽 的 图 片 都 是 由 全 等 三 角 形 组 成 的 ，
大 家想 不 想 自 己用 全 等 三 角形 设 计 几 幅 美丽 的 图 片呢 ？
教 海 揉 察 ． 例 俸 翼 案
探索三角形全等韵条件 （ 案傍与Байду номын сангаас新 一＞
湖北 老河 口市袁冲 中学 陈 敏
一
教 学 目标
２课 前 准 备 ：教 师 准 备 一 张 画 有 两 个 全 等三 角 形 的 白 ．
１ ． 学生在教师 引导下 ，在积极主动地经 历探索三 角形 全等条件 的过程 中，体会 利用操作归纳而获得数 学知识的
（Ｏ 师 ： 同 学 们 ，通 话 的 另 一 方 ， “ ” 是 闽 了 祸 １） 我
的人 ，又是 用 怎样 的心 情接 了这个 电话 呢？请 再读 一读
课例《探索三角形全等的条件(第一课时)》大家评 对四个课例的综合点评——好马配好鞍 快马又加鞭
可促 进教 师 的教 学 设 计 能 力 的 提 高． 了好 的教 材 ， 有 再 加上好 的教 学 方 法 ， 马配 好 鞍 ， 好 我们 的 素质 教 育 就 必定会 取得 成 功 ． 因此 ， 者也 积极 地参 与 了 这 项 笔 有 益 的活动．
２ 重视学生动 手能力培养
４个 课例 都非 常 重视 学 生 动 手能 力 的培 养 ． 等 全
的教师 ， 由于观 点 、 重 面 、 师 个 性 、 学 素 质 和 能 侧 教 教 力 的不 同 ，找 出的最佳 方 案 也 不 同 ） 在这 个 过程 中 ， ．
教 学情境 的设 计 中要 注意 ， 要符 合 学 生生 理 心 ① 理 特征 ， 同 的 内容 在不 同 的 年级 进 行 教学 时 ， 境 相 情 的设计 应该不 一 样 ； ②情境 的设 计 应 紧扣 本 堂课 的 内 容 ； 不要 喧宾夺 主 ， 多时 间用 在情 境 创设 上 ； 情 ③ 较 ④ 境 的设计 应 与其他 教 学手段 有 机地 结 合 在一 起 ， 整 使 堂课 融 为一 体．
１ 重视教学情境 的创设
教 学情境 的创 设 ， 在课 堂教 学 中的地 位 和作 用越 来 越重 要 ， 特别 是在 实施 课 程 标 准 以后 ． 仅 可 促 进 不
教师对 纯知识 传授 型 课堂 教学 模式 实 现 彻底 的改革 ． 还 关 系到学 生学 习兴 趣 的高低 、 习 积极 性 调动 的程 学 度 ， 接影 响到 课 堂 教 学 效果 的好 坏． 且 它 还 影 响 直 而 到学 生是 否能够 主动 、 动 学 习 的 学 习 态 度 ， 习 习 生 学 惯． 重要 意义 ， 教育 教学 工作者 所公 认 的． 其 是 教 学 情境 创 设 的 内容 ， 一般 是 学 生 所 喜 闻乐 见 ， 符 合学 生生理 心 理 特 征 的． 者 把 它 归 纳 为 “ 题 性 笔 问 情境 型” “ 事性 情境 型 ” “ 活性 情 境 型” “ 、故 、生 、 童话 谜 语性情 境 型” “ 赛 性 情 境 型” “ 、竞 、 电视 专 题 栏 目性 情
1.3探索三角形全等的条件(一~三)(解析版)
1.3探索三角形全等的条件（一~三）【推本溯源】1.由上一节课我们已经知道了全等三角形的性质，它们的对应边相等、对应角相等；那当两个三角形的角和边具备什么样的条件时，两个三角形就相等呢？想一想：（1）当两个三角形的1对边或角相等时，它们全等吗？（2）当两个三角形的2对边或角分别相等时，它们全等吗？（3）当两个三角形的3对边或角分别相等时，它们全等吗？动手做一做：按下列作法，用直尺和圆规作△ABC ，使∠A ＝∠α，AB ＝a ，AC＝b ．作法：1．作∠MAN ＝∠α．2．在射线AM 、AN 上分别作线段AB ＝a ，AC ＝b ．3．连接BC ，△ABC 就是所求作的三角形．通过自己实践后发现：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS ”）几何语言：∵在△ABC 和△DEF 中，AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，∴△ABC ≌△DEF（SAS）．2.用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就画出了一个与原来完全一样的三角形，他的原理是什么？ba D E FC B A动手做一做：按下列作法，用圆规和直尺作△ABC ，使AB ＝a ，∠A ＝∠α，∠B ＝∠β．（1）作AB ＝a ．（2）在AB 的同一侧分别作∠MAB ＝∠α，∠NBA ＝∠β，AM 、BN 相交于点C ．△ABC 就是所求作的三角形．通过自己实践后发现：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA ”）几何语言：∵在△ABC 和△DEF 中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E，∴△ABC ≌△DEF（ASA）．【解惑】例1：如图，为测量池塘两侧A ，B 两点间距离，在地面上找一点C ，连接AC ，BC ，使90ACB ∠=︒，然后在AC 的延长线上确定点D ，使CD AC =，得到ABC DBC ≌△△，通过测量BD 的长，就能得出AB 的长．那么ABC DBC ≌△△的理由是（）D E FC B AA ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS【答案】A 【分析】根据已知条件可找到两边对应相等且夹角相等，利用SAS 即可证明ABC DBC ≌△△，由此即可解决问题．【详解】解：∵90ACB ∠=︒，∴90DCB ACB ∠=∠=︒，则在ABC 和DBC △中90DC AC DCB ACB BC BC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()SAS ABC DBC ≌ ．故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．例2：如图，C ，A ，D 三点在同一直线上，AB CE ∥，AB CD =，AC CE =．求证：ABC ≌CDE ．【答案】见解析【分析】由平行线的性质得到BAC DCE ∠=∠，由SAS 即可证明ABC ≌()SAS CDE ．【详解】解：AB CE ∥ ，BAC DCE ∴∠=∠，在ABC 和CDE 中，AB CD BAC DCE AC CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABC ∴ ≌()SAS CDE ．【点睛】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．例3：如图，要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD BC =，再定出BF 的垂线DE ，可以证明EDC ABC ≌，得ED AB =，因此，测得ED 的长就是AB 的长．判定EDC ABC ≌的理由是（）A ．SSSB ．ASAC ．AASD ．SAS【答案】B 【分析】由已知可以得到ABC BDE ∠=∠，又CD BC =，ACB DCE ∠=∠，由此根据角边角即可判定EDC ABC ≌．【详解】解：BF AB ⊥ ，DE BD ⊥,ABC BDE ∴∠=∠,又CD BC = ，ACB DCE ∠=∠,EDC ABC ∴ ≌（ASA ）故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．例4：如图，C E ∠=∠，点D 在BC 边上，BC DE =，12∠=∠，AC 和DE 相交于点O ．求证：ABC ADE △≌△．【答案】见解析【分析】先利用三角形外角性质证明ADE B ∠=∠，然后根据“ASA ”判断ABC ADE △≌△．【详解】证明：1ADC B ∠=∠+∠ ，即21ADE B ∠+∠=∠+∠，而12∠=∠，ADE B ∴∠=∠，在ABC 和ADE V 中，C E BC DE B ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(ASA)ABC ADE ∴ ≌．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．例5：在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，D 是射线BA 上一动点，连接CD ，以CD 为边作45DCE ∠=︒，CE 在CD 右侧，CE 与过点A 且垂直于AB 的直线交于点E ，连接DE ．(1)当CD CE ，都在AC 的左侧时，如图①，线段BD AE DE ，，之间的数量关系是_________；(2)当CD CE ，在AC 的两侧时，如图②，线段BD AE DE ，，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；(3)当CD CE ，都在AC 的右侧时，如图③，线段BD AE DE ，，之间有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不必证明．【答案】(1)BD AE DE+=(2)BD AE DE -=，详见解析(3)BD AE DE-=【分析】（1）过点C 作CF CE ⊥，交AB 延长线于点F ，如图，先证明CBF CAE ≌，得到BF AE =，CF CE =，然后证明DCE DCF ≌解题即可；（2）过点C 作CF CE ⊥，交AB 于点F ，如图，先证明CBF CAE ≌，得到BF AE =，CF CE =，然后证明DCE DCF ≌解题即可；（3）过点C 作CF CE ⊥，交AB 于点F ，如图，先证明CBF CAE ≌，得到BF AE =，CF CE =，然后证明DCE DCF ≌解题即可；【详解】（1）过点C 作CF CE ⊥，交AB 延长线于点F ，如图．∴90ECF ACB ∠=∠=︒．∴FCB ECA ∠=∠．∵AE AB ⊥，∴90EAB ∠=︒．∵45CBA CAB ∠=∠=︒，∴135CBF CAE ∠=∠=︒．∵BC AC =，∴(ASA)CBF CAE ≌．∴BF AE =，CF CE =．∵45DCE ∠=︒，90ECF ∠=︒，∴45DCE DCF ∠=∠=︒．∵CD CD =，∴()SAS DCE DCF ≌．∴DE DF =．∵BD BF DF +=，∴BD AE DE +=．故答案为：BD AE DE +=．（2）图②的猜想：BD AE DE -=．证明：过点C 作CF CE ⊥，交AB 于点F ，如图②．∴90ECF ACB ∠=∠=︒．∴CBF CAE ∠=∠．∵AE AB ⊥，∴90EAB ∠=︒．∵45CBA CAB ∠=∠=︒，∴45CBF CAE ∠=∠=︒．∵BC AC =，∴(ASA)CBF CAE ≌．∴BF AE =，CF CE =．∵45DCE ∠=︒，90ECF ∠=︒，∴45DCE DCF ∠=∠=︒．∵CD CD =，∴()SAS DCE DCF ≌．∴DE DF =．∵BD BF DF -=，∴BD AE DE -=．（3）过点C 作CF CE ⊥，交AB 于点F ，如图∴90ECF ACB ∠=∠=︒．∴FCB ECA ∠=∠．∵AE AB ⊥，∴90EAB ∠=︒．∵45CBA CAB ∠=∠=︒，∴45CBF CAE ∠=∠=︒．∵BC AC =，∴(ASA)CBF CAE ≌．∴BF AE =，CF CE =．∵45DCE ∠=︒，90ECF ∠=︒，∴45DCE DCF ∠=∠=︒．∵CD CD =，∴()SAS DCE DCF ≌．∴DE DF =．∵BD BF DF -=，∴BD AE DE -=．故答案为：BD AE DE -=．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【摩拳擦掌】1．（2023春·上海徐汇·七年级上海市第二初级中学校考阶段练习）如图，已知12∠=∠，AC AB =，则ABD ACD △≌△的依据是（）A ．ASAB ．AASC ．SSSD ．SAS【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理可进行求解．【详解】解：在ABD △和ACD 中，12AC AB AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABD ACD ≌△△；故选D ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．2．（2023·四川成都·统考二模）如图，AB 与CD 相交于点O ，且O 是AB CD ，的中点，则AOC 与BOD 全等的理由是（）A ．SASB ．ASAC ．SSSD ．HL【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．【详解】解：∵O 是AB CD ，的中点，∴,,OA OB OC OD ==在AOC 和DOB 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS AOC DOB ≅ ，故选：A ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．3．（2022秋·七年级单元测试）如图，为了测量B 点到河对面的目标A 之间的距离，在B 点同侧选择一点C ，测得75ABC ∠=︒，35ACB ∠=︒，然后在M 处立了标杆，使75MBC ∠=︒，35MCB ∠=︒，得到MBC ABC ≌△△，测得MB 的长就是A ，B 两点间的距离，这里判定MBC ABC ≌△△的理由是（）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAA【答案】C 【分析】利用全等三角形的判定方法进行分析即可．【详解】解：在MBC 和ABC 中，MBC ABC BC BC MCB ACB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA MBC ABC ≌，∴判定MBC ABC ≌△△的理由是ASA ，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形判定的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．4．（2022秋·云南楚雄·八年级校考阶段练习）如图，小亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA【答案】D 【分析】观察图形可知，有两角以及两角的夹边是已知，由此即可得到答案．【详解】解：由题意得，有两角以及两角的夹边是已知，因此可以利用ASA 画出一个全等的三角形，故答案为：ASA故选D【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．5．（2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，ABC 中，AB AC =，AD 平分BAC ∠，则_____≌_____．【答案】BAD CAD【分析】直接利用全等三角形的判定方法()SAS ，进而得出答案．【详解】解：∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠，在BAD 和CAD 中,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BAD CAD ≌．故答案为：BAD ，CAD ．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．6.（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽的工具（卡钳）．在图中，若测量得20cm A B ''=，则工件内槽宽AB =_________cm ．【答案】20【分析】根据三角形全等的判定可知()SAS ≌AOB A OB ''△△，从而得到20cm AB A B ''==．【详解】解：由题意可知，()SAS ≌AOB A OB ''△△，∴20cm AB A B ''==，故答案为：20．【点睛】本题考查全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．7．（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，在ABC 中，AD 是BC 上的中线，点F 、E 分別在AD 和AD 的延长线上，且DE DF =，连接BE 、CF ．试说明：BE CF ∥．【答案】见解析【分析】证明BDE CDF ≌得到EBD FCD Ð=Ð得证BE CF ∥．【详解】解：∵AD 是BC 上的中线，∴BD DC =，∵在BDE 和CDF 中DE DF BDE CDF BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BDE CDF △≌△，∴EBD FCD Ð=Ð，∴BE CF ∥．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定定理，熟练掌握全等的判定，8．（2023·广东广州·统考二模）为了制作燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图所示，AB AE =，AC AD =，BAD EAC ∠=∠，证明：A ABC ED ≌△△．【答案】见解析【分析】根据SAS 证明A ABC ED ≌△△即可．【详解】证明：∵BAD EAC ∠=∠，∴BAD CAD EAC CAD ∠+∠=∠+∠，∴BAC EAD ∠=∠，∴在ABC 和AED △中，AB AE BAC EAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ABC AED ≌【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．9．（2023春·陕西西安·七年级西安市远东第二中学校考阶段练习）如图，小刚站在河边的A 点处，在河对岸的B 处有一电线塔（小刚的正北方向），他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C 处，接着再向前走了20步到达D 处，然后再左转90︒直行，当小刚看到电线塔B 、树C 与自己现处的位置E 在一条直线时，他共走了120步.(1)根据题意，画出示意图；(2)若小刚一步约0.5米，请求出A 、B 两点间的距离（写出推理过程）.【答案】(1)见解析(2)40米，见解析【分析】（1）根据上北下南，左西右东，直角的意义，共线的条件画图即可．（2）根据三角形全等，得到120202080AB DE ==--=步，结合一步约0.5米，代入计算即可．【详解】（1）根据上北下南，左西右东，直角的意义，共线的条件画图如下：则画图即为所求．（2）∵ACB DCE AC CD BAC EDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ACB DCE ≌，∴120202080AB DE ==--=步，∵一步约0.5米，∴800.540AB =⨯=（米），答：A 、B 两点间的距离约为40米．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定的应用是解题的关键．10．（2023·云南楚雄·统考三模）如图，AE 和BD 相交于点C ，AB DE ∥，AB ED =．求证：AC EC =．【答案】见解析【分析】由平行线的性质可得B D ∠=∠，A E ∠=∠．根据ASA 证明ABC EDC △△≌，即可推出AC EC =．【详解】证明：∵AB DE ∥，∴B D ∠=∠，A E ∠=∠．在ABC 和EDC △中，B D AB ED A E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ABC EDC ≌△△．∴AC EC =．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．【知不足】1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，12m AB =，CA AB ⊥于点A ，DB AB ⊥于点B ，且4m AC =，点P 从B 向A 运动．每分钟走1m ，点Q 从B 向D 运动，每分钟走2m ，P 、Q 两点同时出发，运动（）分钟后，CAP 与PQB △全等．A ．2或4B ．3C ．4D ．4或6【答案】C 【分析】设运动x 分钟后CAP 与PQB △全等，则m BP x =，2m BQ x =，(12)m AP x =-，分两种情况：①若BP AC =，则4x =，此时AP BQ =，CAP PBQ ≌△△；②若BP AP =，则12x x -=，得出6x =，12BQ AC =≠，此情况舍去，则得出结果．【详解】解：∵CA AB ⊥于A ，DB AB ⊥于B ，∴90A B ∠=∠=︒．设运动x 分钟后CAP 与PQB △全等，则m BP x =，2m BQ x =，(12)m AP x =-，分类讨论：①若BP AC =，则4x =，∴12488AP BQ AP BQ =-===，，，∴(SAS)CAP PBQ ≌；②若BP AP =，则12x x -=，解得：6x =，∴12BQ AC =≠，此时CAP 与PQB △不全等；综上所述：运动4分钟后CAP 与PQB △全等；故选C ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，利用分类讨论的思想是解题关键．2．（2023秋·八年级单元测试）如图，一块三角形的玻璃破成三片，一位同学很快拿着其中一片玻璃说：根据所学知识就能配出一个与原三角形完全一样的图形．他这样做的依据是（）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA【答案】D 【分析】结合三角形全等的判定条件，依次对三片玻璃进行分析即可．【详解】解：第一片玻璃只有一个角与原三角形相等，无法判断与原三角形全等；第二片玻璃既没有边与原三角形相等，也有没有角与原三角形相等，无法判断与原三角形全等；第三片玻璃有两角及其夹边与原三角形相等，可以通过ASA 判定新三角形与原三角形全等；故选：D ．【点睛】本题考查三角形全等的判定条件，解题的关键是熟练掌握三角形全等的相关知识．3．（2023春·全国·七年级专题练习）小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现要到玻璃店取配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．带①和②去【答案】C 【分析】根据三角形全等的条件进行判断即可．【详解】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA 来配一块一样的玻璃，应带③去．故选：C ．【点睛】本题主要考查全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．4．（2023春·全国·七年级专题练习）ABC 中，8AC =，BC 边上的中线6AD =，则边AB 的取值范围是__．【答案】420AB <<【分析】延长AD 至E 使DE AD =，连接CE ，然后证明ADB EDC ≅ ，接着利用三角形的三边关系即可得到AB 的取值范围．【详解】延长AD 至E 使DE AD =，连接CE在ADB 和EDC 中，AD ED ADB CDE BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADB EDC∴≅ AB CE∴=8AC = ，212AE AD ==420AE AC CE AC AE ∴-=<<+=420AB ∴<<．故答案为：420AB <<．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键．5．（2021春·广东河源·七年级统考期末）如图，在ABC 和DEF 中，AB DE ∥，AB DE =，点A ，F ，C ，D 在同一条直线上且AF DC =．请说明ABC DEF ≌△△．【答案】见解析【分析】由平行线的性质可得A D ∠=∠，由AF DC =，可得AC DF =，进而根据SAS 即可证明ABC DEF ≌△△．【详解】证明： AB DE ∥，∴A D ∠=∠，AF DC =，∴AFFC DC FC +=+，即AC DF =，在ABC 和DEF 中，AC DF A D AB DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABC DEF △△≌．【点睛】本题考查全等三角形的判定、平行线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．6．（2023·云南昆明·统考一模）如图，点A 、B 、C 、D 在同一直线上，AF DE =，A D ∠=∠，AC DB =．求证：ABF DCE △△≌．【答案】见解析【分析】利用线段的加减证得AB DC =，即可用“SAS ”证明三角形全等．【详解】证明：∵AC DB =，∴AC BC DB BC -=-，即AB DC =，在ABF △和DCE △中，∵AF DE A D AB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)ABF DCE ≌△△．【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形的各个判定定理是关键．7．（2023·云南昭通·统考二模）如图，点A ，F ，C ，D 在同一直线上，BC EF ∥，AF DC =，BC EF =．求证：ABC DEF ≌△△．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质可得ACB DFE ∠=∠，再由AF CD =，可得AC DF =，再根据全等三角形的判定即可得出结论．【详解】证明：BC EF ∥，ACB DFE ∴∠=∠，AF CD = ，AC DF =∴，在ABC 和DEF 中，AC DF ACB DFE BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ABC DEF ∴△≌△．【点睛】本题考查平行线的性质和全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．8．（2023·云南昆明·统考二模）“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：如图，AD 是ABC的中线，延长AD 到E ，使DE AD =，连接BE ，构造出BED 和CAD ．求证：BED CAD △≌△．【答案】见解析【分析】由AD 是ABC 的中线，可得DE AD =，再由EDB ADC ∠=∠，DB DC =，即可证明BED CAD △≌△．【详解】证明：如图所示：，AD 是ABC 的中线，DB DC ∴=，在BED 和CAD 中，ED ADEDB ADC DB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BED CAD ∴ ≌．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，倍长中线，熟练掌握三角形全等的判定，添加适当的辅助线是解题的关键．【一览众山小】1．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，在用尺规作图得到DBC ABC ≌过程中，运用的三角形全等的判定方法是（）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS【答案】B 【分析】根据作法可得,ABC DBC ACB DCB ∠=∠∠=∠，可利用ASA 证明DBC ABC ≌，即可求解．【详解】解：根据作法得：,ABC DBC ACB DCB ∠=∠∠=∠，∵BC BC =，∴()ASA DBC ABC ≌．故选：B【点睛】本题主要考查了尺规作图——作一个角等于已知角，全等三角形的判定，熟练掌握作一个角等于已知角的作法，全等三角形的判定定理是解题的关键．2．（2023·山东菏泽·统考一模）如图，18m AB =，CA AB ⊥于A ，DB AB ⊥于B ，且6m AC =，点P 从B 向A 运动，每秒钟走1m ，Q 点从B 向D 运动，每秒钟走2m ，点P ，Q 同时出发，运动______秒后，CAP 与PQB △全等．【答案】6【分析】设运动x 秒钟后CAP 与PQB △全等；则m 2m BP x BQ x ＝，＝，则()18m AP x =-，分两种情况：①若BP AC =，则6x =，此时AP BQ =，()SAS CAP PBQ ≌；②若BP AP =，则18x x -=，得出9x =，218BQ x AC ==≠，即可得出结果．【详解】解：∵CA AB ⊥于A ，DB AB ⊥于B ，∴90A B ∠=∠=︒，设运动x 分钟后CAP 与PQB △全等；则m 2m BP x BQ x ＝，＝，则()18m AP x =-，分两种情况：①若BP AC =，则6x =，∴18612AP =-=，12BQ =，AP BQ =，∴()SAS CAP PBQ ≌；②若BP AP =，则18x x -=，解得：9x =，218BQ x AC ==≠，此时CAP 与PQB △不全等；综上所述：运动6秒钟后CAP 与PQB △全等；故答案为：6．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，需要进行分类讨论．3．（2022秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）如图，要测量池塘两端A ，B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A ，B 两点的点C ，连接AC 并延长AC 到点D ，使CD CA =，连接BC 并延长BC 到点E ，使CE CB =，连接DE ，那么量出DE 的长就等于AB 的长，这是因为ABC DEC ≅ ，而这个判定全等的依据是______（填字母）．【答案】SAS【分析】先根据对顶角相等可得ACB DCE ∠=∠，再根据三角形全等的判定即可得．【详解】解：由对顶角相等得：ACB DCE ∠=∠，在ABC 和DEC 中，CA CD ACB DCE CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABC DEC ∴≅ ，故答案为：SAS ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定是解题关键．4．（2023·云南昆明·昆明八中校考三模）如图，点B ，C ，E ，F 在同一条直线上，AB DE =，A D ∠=∠，AC DF =．求证：BF CE =．【答案】见解析【分析】先证明()SAS ABC DEF ≌△△，可得BC EF =，根据BC CF EF FC -=-即可证明．【详解】证明：在ABC 和DEF 中，∵AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABC DEF ≌△△，∴BC EF =，∵BC CF EF FC -=-，∴BF CE =．【点睛】本题考查了几何证明，涉及到全等三角形的判定与性质，找出BC CF EF FC -=-是关键．5．（2023秋·八年级课时练习）如图，在ABC 中，点D 是AC 上一点，AD AB =，过点D 作DE AB ∥，且DE AC =，连接AE ，CE ．(1)求证：ABC DAE △≌△；(2)若D 是AC 的中点，ABC 的面积是20，求AEC △的面积．【答案】(1)见解析(2)40【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得BAC ADE ∠=∠，再利用“边角边”证明即可；（2）根据全等三角形面积相等，即三角形中线的性质即可求解．【详解】（1）证明：DE AB ∥，BAC ADE ∴∠=∠，在ABC 和DAE 中，AB DA BAC ADE AC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABC DAE ∴△≌△；（2）解：ABC DAE ≌，20ABC DAE S S ∴==△△．D 是AC 的中点，222040AEC DAE S S ∴==⨯=△△．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的中线将三角形面积平分为两等份，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．6．（2023·浙江·模拟预测）如图，在ABC 中，AC AB >，射线AD 平分BAC ∠，交BC 于点E ，点F 在边AB 的延长线上，AF AC =，连接EF ．(1)求证：AEC AEF ≌．(2)若50AEB ∠=︒，求BEF ∠的度数．【答案】(1)证明见解析(2)80︒【分析】（1）由射线AD 平分BAC ∠，可得CAE FAE ∠=∠，进而可证()SAS AEC AEF ≌；（2）由()SAS AEC AEF ≌，可得C F ∠=∠，由三角形外角的性质可得50AEB CAE C ∠=∠+∠=︒，则50FAE F ∠+∠=︒，根据180FAE F AEB BEF ∠+∠+∠+∠=︒，计算求解即可．【详解】（1）证明：射线AD 平分BAC ∠，∴CAE FAE ∠=∠，在AEC △和AEF △中，∵AC AF CAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS AEC AEF ≌；（2）解：∵()SAS AEC AEF ≌，∴C F ∠=∠，∵50AEB CAE C ∠=∠+∠=︒，∴50FAE F ∠+∠=︒，∵180FAE F AEB BEF ∠+∠+∠+∠=︒，∴80BEF ∠=︒，∴BEF ∠为80︒．【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．7．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图，在43⨯的正方形网格中，ABC 的顶点都在正方形网格的格点上请你在图①和图②中分别画出一个三角形，同时满足以下两个条件：(1)以点A 为一个顶点，另外两个顶点也在正方形网格点上；(2)与ABC 全等，且不与ABC 重合．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）直接利用网格结合全等三角形的判定方法分析得出答案；（2）直接利用网格结合全等三角形的判定方法分析得出答案．【详解】（1）如图所示：ABD △即为所求；在ABC 和ABD △中453AB AB ABC ABD BC BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪==⎩∴()SAS ABC ABD ≌．（2）如图所示：BAE 即为所求．∵AE BC ∥，∴ABC BAE ∠=∠．在ABC 和BAE 中3AB BA ABC BAE BC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪==⎩∴()SAS ABC BAE ≌．【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．8．（2023·云南昆明·校考三模）如图，在ABC 和ADE V 中，C E ∠=∠，AC AE =，CAD EAB ∠=∠．求证：ABC ADE △≌△．【答案】证明见解析；【分析】根据角的和差得到DAE CAB ∠=∠，再根据全等三角形的判定即可解答．【详解】解：∵CAD EAB ∠=∠，∴CAD BAD EAB BAD ∠+∠=∠+∠，∴DAE CAB ∠=∠，∴在ABC 和ADE 中，C E AC AE CAB DAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ABC ADE ASA ≌；【点睛】本题考查了角的和差关系，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是解题的关键．9．（2022春·七年级单元测试）如图，A ∠＝B ∠，AE ＝BE ，点D 在AC 边上，1∠＝2∠，AE 和BD 相交于点O ．求证：AEC BED ≌△△．【答案】见解析【分析】利用三角形内角和得到2BEO ∠=∠，结合12∠=∠推出AEC BED ∠=∠，再利用ASA 证明AEC BED △△≌即可．【详解】解：证明：AE 和BD 相交于点O ，AOD BOE ∴∠=∠．在AOD △和BOE △中，A B ∠=∠，2BEO ∴∠=∠．又12∠=∠ ，1BEO ∴∠=∠，AEC BED ∴∠=∠．在AEC △和BED 中，A B AE BE AEC BED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(ASA)AEC BED ∴△≌△．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定．10．（2022秋·七年级单元测试）如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，AE CE =，AD 与CE 相交于点F ．求证：AEF CEB ≌．【答案】见解析【分析】由ASA 证明AEF CEB ≌即可．【详解】证明：AD BC ⊥ ，90B BAD ∴∠+∠=︒，CE AB ⊥ ，90B BCE ∴∠+∠=︒，EAF ECB ∴∠=∠，在AEF △和CEB 中，AEF BEC AE CE EAF BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(ASA)AEF CEB ∴ ≌．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．11．（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，在ABC 中，AB AC =，CD AB ∥，连接AD ，E 为AC 边上一点，ABE CAD ∠=∠，求证：ABE CAD ≌．【答案】证明见解析【分析】根据CD AB ∥，得到BAE ACD ∠=∠，利用ASA 即可得证．【详解】证朋：CD AB ∥，BAE ACD ∴∠=∠，AB AC = ，ABE CAD ∠=∠，()ASA ABE CAD ∴ ≌．【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．12．（2023秋·湖南常德·八年级统考期末）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，AE 是BC 边上的中线，过点C 作CF AE ⊥于点F ，过点B 作BD BC ⊥交CF 的延长线于点D ，连接DE ．(1)求证：DBC ECA △≌△；(2)若6AC =，求CDE 的面积．【答案】(1)见解析中，（2）如图2，在ABC∠=∠在线段AD上，12【答案】（1）见解析；【分析】（1）由1∠又由AB AC =即可得到（2）ABC 的面积为的面积＝CAF V 的面积，则可得到结论．【详解】（1）证明：BAC BAE ∠=∠+∴ABE CAF ∠=∠在ABE 和CAF V ABE CAF AB AC BAE ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ABE CAF ≌△△（2）解：∵ABC ∴ACD 的面积是：由（2）可得ABE △即ABE 的面积＝∴ABE 与CDF 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，键．求证：ABE CAF V V ≌；若ABC 的面积为18，BD BC 【答案】(1)证明见解析．(2)12．【分析】（1）利用ASA 证明三角形全等即可；判定方法，证明三角形全等是解题的关键．。
《三角形全等的判定SSS》课堂教学实录及评析
《三角形全等的判定SSS＞课堂教学实录及评析【设计理念】学习是一个探究与发现的过程，是一个认识、实践、提高的过程。
在教学中通过组织引导学生探索三角形全等的条件，让学生们在交往中学，在观察中学，在比较中学，努力实行知与行、学与用、识与能的高度统一，培养学生善于“做数学”的能力。
教学目标1. 知识目标：（1）掌握“边边边”公理；（2）能应用“边边边”公理判定两个三角形全等。
2. 能力目标：（1）培养学生动手操作、观察、分析、归纳获得数学结论的能力；（2）培养学生推理论证能力。
3. 情感态度价值观目标：通过多种手段的活动过程，让学生动手操作，激发学生学习的兴趣，并能通过合作交流解决问题，体会数学在现实生活中的应用，增强学生的自信心。
教学重点：寻找判定三角形全等的条件。
教学难点：三角形全等条件的探索和推理论证方法。
教学方法：“悟学式”教学法。
教学准备：多媒体课件、三角板、圆规、木棒、硬纸、剪刀等。
教学过程一、课堂启发（感动。
感动是学习的动力）师：大家知道数学来源于生活，用数学知识又可以解决许多生活中的问题，下面让我们先来看一个与生活有关的数学问题。
（幻灯片演示）皮皮公司接到一批三角形支架的加工任务，客户的要求是所有的三角形支架必须与样本完全一样。
质检部门为了使产品顺利过关，提出了明确的要求：要逐一比对所有的三角形支架与样本是否完全一样。
技术科的毛毛提出了质疑：为了提高效率，是不是可以找到一个更优化的方法呢？师：问题中的“完全一样”在数学中是指什么？生：全等。
师：“逐一比对”是怎样比呢？生：用重合法，分别比较三角形的三条边和三个角是否重合。
师：也就是验证几个条件?生：6 个。
师：是不是一定要满足这6 个条件才能判定两个三角形全等呢？在这里毛毛提出的更优化的方法，实质上是给我们提出了一个什么样的数学问题呢？生：也就是说，如何判定两个三角形全等需要的条件最少。
师：很好！这节课就让我们一起来研究三角形全等的判定方法。
初中数学教学课例《探索三角形全等的条件(一)》教学设计及总结反思
（学生分小组画图，学生们可以进行分工合作，可 以让部分学生画两边相等，部分学生画两角相等，另一 部分画一角相等，一边相等。然后在一起互相交流，看 每种情况是否全等，画完之后，教师找每组学生代表回 答。）
生 14：在△ABC 和△AB′C′中，其中∠B＝∠B′， ∠C＝∠C′，但这两个三角形不全等。（如图 3）
师：我们画三角形需要确定它的两个顶点，我们如 何才能确定△A′B′C′的顶点呢？
生 20：我们先画一条边 B′C′，使 B′C′＝BC， 就可以确定两个顶点。
师：点 A′和 B′的距离为多少？，点 A′和 C′的 距离为多少？
生 21：A′B′＝AB 师：我们怎样做能使 A′B′＝AB。 生 22：以 B′为圆心，以 AB 的长为半径画弧。 师：对同样的道理，我们以 C′为圆心，AC 的长为 半径画弧，两弧交点就 A′，教师演示作图过程，并要 求学生说出三个主要的步骤。 （投影出示）任意画一个△ABC，然后画 △A′B′C′，使 A′B′＝AB，B′C′＝BC，A′C′＝ AC。 学生画完图后，将其中一个三角形剪下来，放在另 一个上面，看两个三角形是否全等，并与小组中其他同 学交流意见，教师收集学生作品，并展示学生代表的作 品。 生 23：在△ABC 和△A′B′C′，且 A′B′＝AB， B′C′＝BC，A′C′＝AC，如下图：我将其中一个剪下 来，放在另一个上面，发现它们是完全重合的，所以这
教学过程
生 3：画全等三角形需要满足什么条件？
师：问得好！三角形全等需要什么条件呢？这就是
我们这节课需要研究的问题。
（出示课题）
点评 1：通过投影出示欣赏几幅美丽的图案，让学
生感受美的同时激发学创造美的意识，培养学生学习和
探索的兴趣，调动了学生学习的积极性。
让激情与智慧共生——“探索直角三角形全等的条件”课例及其点评
激 与 智 慧 ｌ
执教 ： 湖北 省 宜都 市红 花 中学 江 春
生
“ 索 直 角 三 角 形 全 等 的 条 件 ＂ 课 例 及 其 点 评 探
点 评 ： 北 省 宜 都 市 教 育 局 孙 大 勇 湖
１ 教 学 目标
１ ２ 过 程 与 方 法 ．
在 探索 直角 三角 形 全等 条件 及 其 运 用 的过 程 中 ， 能进 行 有条 理 的思考 和 简单 的推 理 ．
１ ３ 情 感 与态 度 ．
置 ． 同学 们 想 一 想 ， 时 钩 挂 在 它 两 头 的绳 索 ＡＢ 请 这 和 ＡＣ（ 图 １ ２ ） 如 （ ） 的长 度相 等 吗 ？ 学生（ 齐答 ） 相 等 ． ： 点 评 ： 生 活 中有 意 义 的事 情 移 植 到 数 学课 堂 ， 把 既是 丰 富学 生情 感 的有 效手 段 ， 能 引导 学 生用 数 学 也 的 眼光 关注 生 活 ， 同时 也 激 发 了他 们 学 习 、 究 的 欲 探 望． 鲜活 的生 活 实 例 展 现 于 学 生 面 前 ， 数 学 课 堂 旧 让 貌换 新颜 ． 教师： 大家有 过 类似 的体 验 吗 ？ 学生 １ 有 ． 肩膀 背 书 包 时 ， 膀 总是 很 自然 地 ： 用 肩 处在 书包 带 的最 中 间？ 学生 ２ 读 小 学 时 我 提 着 算 盘 上 学 ， 算 盘 的 带 ： 系 子在 手 中 的位 置好 像 是 在最 中 间． 学生 ３ 用 水 桶 提 水 时 ， 必 须 提 在 最 中 间 才 感 ： 手
教师： 回答得 很 好 ， 是一 个 聪 明 的孩 子． 你 能告诉 我 为 什 么吗 ？ 学 生 ４ 因为 它 们 一 个 处 于 水 平 的位 置 ， 一 个 ： 另
探索三角形全等的条件(1)的教学设计
4.3 探索三角形全等的条件（1）大庆市第44中学刘畅一、教学目标1．知识与技能：掌握三角形全等的“SSS”条件，了解三角形的稳定性。
2．过程与方法：经历观察、猜想、操作，归纳的探究过程。
体会特殊到一般的分析问题方法，和分类的数学思想方法。
3．情感态度与价值观：会有条理的思考，感受逻辑推理的严谨性和数学的美。
二、教学重点、难点1．经历探索过程，从实践中得到三角形全等的“SSS“条件。
并能运用其解决简单问题。
2．对三角形全等条件的分析以及探索思路的选择三、教具、学具多媒体演示、直尺、圆规、量角器、剪刀、卡纸．四、教学过程（一）导入新课1．旧知回顾．教师：（1）上节课学习了图形的全等，回忆一下什么是全等三角形？（2）（参看幻灯片）如图，如果△ABC≌△DEF,那么它们的（）相等，（）相等。
即满足：AB=（），（）=EF,( )=( ), ∠A=( ),( )= ∠E，( )=( )。
2．情境创设教师：要画一个三角形与小明画的三角形全等，需要几个与边或角有关的条件呢？同学们猜想一下，一定要六个条件都满足时，才会使得两个三角形全等吗？这就是本节课所要研究的问题．（回忆三角形全等的有关知识，以及全等三角形的性质。
以此为出发点启发学生大胆猜想：要判定三角形全等，是否需要三组边、三组角都分别相等，即从条件的数量着手来研究，自然进入本节课的探究活动。
）3．引出课题．（板书：4.3探索三角形全等的条件）（二）合作探究探究点一、探索两个三角形全等需要的条件（课前布置：依据下列要求画出并剪下三角形，标清题号。
在本节课的操作比较中，剪下的三角形可以灵活的移动、叠合，对比结果更加直观，便于观察。
）问题1：只给一个条件作三角形，大家画的三角形一定全等吗？问题2：给出两个条件作三角形，有几种可能的情况？每种情况下大家得到的三角形一定全等吗？（1）三角形一个内角30°，一条边长15CM.（2）三角形两个内角分别为30°和50°。
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《1.3 探索三角形全等的条件（1）》评课1．本节课的教学目标明晰，层层递进，过渡自然．
本节课是在学生学习了全等图形，对于全等三角形的概念及性质有了一定的了解后，探索三角形全等条件的第1课时.本节课的教学目标明确，重点突出，引导学生经历了从特殊到一般的研究过程，在实践中得到“SAS”的基本事实，帮助学生积累分析问题的方法和数学活动的经验.本节课的各环节的设计层次分明，环环相扣，使学生从知识到能力逐步得到发展．学生活动充分、有效.
2．重视知识的生成过程及应用过程，有效诠释了新教材的设计意图．
（1）教师从一个简单的动画演示——“图形的旋转”入手，唤起学生对全等的定义及性质的回忆，承上启下的引导学生从“形”的重合到“量”的思考，提出本节课所要探究的问题．教师将新知的探究在3个活动中循序渐进地铺开，活动一：通过任意剪——剪得的直角三角形不全等；再动手——组内寻找统一的参考量，在对比与思考中，确定直角三角形全等的条件．活动二：在活动一的基础上，将三角形的形状一般化，既而得出猜想，从而引发出本节课的第3个活动：由学生利用尺规作图的方法，亲历实验操作过程，验证“两边及其夹角相等的两个三角形全等”这个猜想的正确性．知识的生成过程看似花去了很多时间，但无论是隐形思维还是显性活动，学生始终处于活跃积极的氛围中，消除了课堂上学生被动接受的静止状态．
（2）锻炼学生几何说理的同时，培养学生几何直观的能力．本节课的重点与难点便是利用“SAS”进行几何说理，对于刚刚步入八年级的学生而言，演绎推理的能力还很薄弱，教师在教学过程中，反复强调并规范说理的书写过程，将书写过程归纳为“指明图形，列出条件，得出结论”，特别强调写出每一步的说理依据，并将对应字母写在对应位置上，努力培养学生良好的几何素养和严谨的逻辑表达．教师能深刻领悟教材，除几何说理外，还引导学生用“运动变换”的观点看待问题，直观地理解数学．这也正是新教材的“出新”之处，平面几何教材经历了重演绎推理、重直观感悟到现在的“并举”——用“运动变换”来研究、揭示图形的性质，发展学生几何直观能力，用几何说理发展逻辑思维推理能力．教师在今后的图形与几何的教学中，要研究教材设计意图，充分体现出“几何直观”与“推理能力”密不可分的关系．
3．注重引导学生自主探究，发挥小组合作的优势．
（1）《新课程标准》将培养学生自主探究能力作为一项重要的教学策略，本节课教师在
新知的生成环节上尽量的放手，让学生亲历探究过程．在整个探究过程中，教师充分扮演了组织者与引导者的角色，从提出问题到指导探索，凸显学生的主体地位，外国语学校的小组合作的学习模式使本节课的探究得以顺利进行，学生的活动平等而自由，知识的“再生成”毫无造作生硬和预设，完全是学生思维的真实流露和智慧碰撞．
（2）本节课教师的站位不是在学生之间，而是站在教学设计的制高点：将待解决的问题设置成一个个任务，通过“课堂活动单”布置学习任务，既有学生的独立思维，又有组内的交流讨论，整节课教师对学生活动的节奏调控较好．
4．发展学生提出问题的意识与解决问题的能力．
本节课的“开放思维”环节，设计大胆，对学生而言具有一定的挑战性．要求借助适当的图形运动，利用组内的全等三角形进行拼图，对拼图合理设计问题，并且能够利用本节课所学知识解决问题．这样的设计十分符合当下“发展学生自己发现和提出问题的能力”的教学理念．本节课上学生呈现出的拼图各式各样，设计的问题多元灵活，反映出学生对本节课的知识有了很好的理解并能灵活运用，由于课堂时间有限，不能一一解决各个小组设计的问题，所以教师将没有完成的问题布置学生课后继续完成，这其中还有几个设计的问题不能用本节课的知识加以解决，本节课的“不能解决”就成为了后续知识的生长点，不失为延伸课堂的一种好做法．
5．本节课中还有一些值得探讨的地方．
（1）在第一次动手剪直角三角形后，回答问题的学生没有指出隐含的直角相等的条件，教师是否一定要及时追问？待到一般形状的三角形研究过后，再通过对比，将隐含的条件挖掘出来，使得条件在层层深入中不断得以完善，更为符合学生的认知规律，体会从特殊到一般的必要性与合理性．
（2）最后一个拼图环节，学生展示后，可由小组派出代表，指明拼图所含有的图形运动，再次体会“几何直观”与“推理能力”的关系．。