立体几何证明平行的方法及专题训练

D

B A 1

立体几何证明平行的方法及专题训练

罗虎胜https://www.360docs.net/doc/229476227.html,

立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。

（2） 利用三角形中位线的性质。 （3） 利用平行四边形的性质。 （4） 利用对应线段成比例。 （5） 利用面面平行的性质，等等。 (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质

1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；

分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形

2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3， 过A 作AE⊥CD，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE⊥EC.

（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG∥面BCD ； 分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形

3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB

（第1题图）

M 为BE 的中点, AC⊥BE . 求证：

（Ⅰ）C 1D⊥BC； （Ⅱ）C 1D∥平面B 1FM.

分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA

4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面;

分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是

平行四边形

(2) 利用三角形中位线的性质

5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：

AM ∥平面EFG 。

分析：法一：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线 法二：证平面EGF ∥平面ABC ，从而AM ∥平面EFG

6、如图，直三棱柱///ABC A B C -，90BAC ∠=，

2,AB AC ==AA ′=1，点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中点。

A

B

C

D

E

F G M

A ACC;

证明：MN∥平面//

分析：连结AC1，，则MN是则△A1BC1的中位线，

7．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中， D为AC的中点.

求证：AB1//面BDC1；

分析：连B1C交BC1于点E，易证ED是

△B1AC的中位线

8、如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.

证明: BC1//平面A1CD;

分析：此题与上面的是一样的，连结AC1与A1C交F,连结DF，

则DF//BC1

9、如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.

分析：连结AC交BD于O点，连结OM，易证OM∥PA

从而PA∥平面DBM,再根据直线与平面平行的性质得AP∥GH.

（.3）利用平行四边形的性质

10．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，求证：D1O//平面A1BC1;

分析：连D1B1交A1C1于O1点，易证四边形OBB1O1

是平行四边形

P

E

D

C

B

A 11、在四棱锥P-ABCD 中，A

B ∥CD ，AB=

2

1

DC ，中点为PD E . 求证：AE ∥平面PBC ；

分析：取PC 的中点F ，连EF 则易证ABFE 是平行四边形

12、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90?，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ. （Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ; （Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．

（I ）证法一：

因为EF//AB ，FG//BC ，EG//AC ，90ACB ∠=?， 所以90,EGF ABC ∠=??∽.EFG ? 由于AB=2EF ，因此，BC=2FC ， 连接AF ，由于FG//BC ，BC FG 2

1

=

在ABCD 中，M 是线段AD 的中点，则AM//BC ，且BC AM 2

1

=

因此FG//AM 且FG=AM ，所以四边形AFGM 为平行四边形，因此GM//FA 。 又FA ?平面ABFE ，GM ?平面ABFE ，所以GM//平面ABFE 。

(4)利用对应线段成比例

13、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别 是SA 、BD 上的点，

（1）

SM AM =ND BN

， 求证：MN ∥平面SDC （2）AM DN

SM BN

=, 求证：MN ∥平面SBC 分析：法一：过M 作ME//AD ，过N 作NF//AD

利用相似比易证MNFE 是平行四边形

法二：连接AN 并且延长交CD 或CD 的延长线于E 点，连结SE ，则易证MN ∥SE,于是MN ∥

B 1

C 1

D 1

A 1

平面SDC ，同理连接AN 并且延长交BC 或BC 的延长线于F ，连结SF ，则易证MN ∥SF,于是MN ∥平面SBC

14、如图正方形ABCD 与ABEF 交于AB ，M ，N 分别为AC 和BF 上的点且AM=FN 求证：MN ∥平面BEC

分析：过M 作MG//AB ，过N 作NH/AB 利用相似比易证MNHG 是平行四边形

（6） 利用面面平行

15、如图，三棱锥ABC P -中， E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，

且2AF FP =. 求证：//CM 平面BEF ；

分析: 取AF 的中点N ，连CN 、MN ，

易证平面CMN//平面EFB

16、如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =,14AA =，点D 是

AB 的中点，

（1）求证：1AC BC ⊥；（2）求证：11CDB //平面AC ； （3）求三棱锥11C CDB -的体积。

分析:取A 1B 1的中点E ，连结C 1E 和AE ，易证 C 1E ∥CD,AE ∥DB 1，则平面AC 1E ∥DB 1C,于是

11CDB //平面AC

17在长方体1111ABCD A B C D -中, 11,2AB BC AA ===,

A

F

E

B

C D

M

N

P N

M

B 1

C 1

D 1

A 1

D

C

B

A

N

B 1

C 1

D 1

A 1

D

C

B

A

点M 是BC 的中点,点N 是1AA 的中点. (1) 求证: //MN 平面1A CD ;

(2) 过,,N C D 三点的平面把长方体1111ABCD A B C D -截成 两部分几何体, 求所截成的两部分几何体的体积的比值.

（1）证法1：设点P 为AD 的中点，连接,MP NP .

∵ 点M 是BC 的中点, ∴ //MP CD .

∵ CD ?平面1A CD ,MP ?平面1A CD , ∴ //MP 平面1A CD . …2分 ∵ 点N 是1AA 的中点, ∴ 1//NP A D .

∵ 1A D ?平面1A CD ,NP ?平面1A CD , ∴

//

NP 平面

1A CD . …4分

∵ MP

NP P =,MP ?平面MNP ,NP ?平面MNP ,

∴ 平面//MNP 平面1A CD . ∵ MN ?平面MNP , ∴//

MN 平面

1A CD . …6分

证法2: 连接AM 并延长AM 与DC 的延长线交于点P , 连接1A P , ∵ 点M 是BC 的中点, ∴ BM MC =.

∵ BMA CMP ∠=∠, 90MBA MCP ?

∠=∠=, ∴ Rt MBA ?Rt MCP . …2分