第7节 二项分布及正态分布(轻巧夺冠)
第7节 二项分布与正态分布
5 4 10
P A 2
答案:(1)C
︱高中总复习︱一轮·理数
(2)某种家用电器能使用三年的概率为0.8,能使用四年的概率为0.4,已知这
种家用
解析:(2)记事件 A 为这个家用电器使用了三年,事件 B 为这个家用电器使用到四年,
显然事件 B⊂ A,即事件 AB=B, 故 P(A)=0.8,P(AB)=0.4,
每次随机检测一件产品,检测后不放回,则在第一次取出次品的条件下,第二次
取出的也是次品的概率是( )
(A) 3 10
(B) 3 5
(C) 1 2
(D) 1 4
解析:(1)记“第一次取出次品”为事件 A,“第二次取出次品”为事件 B,
则 P(A)= 3 , 5
P(AB)= 3 2 = 3 ,所以 P(B|A)= P AB = 1 ,故选 C.
服从或近似服从正态分布.
答案:⑤⑥⑦
︱高中总复习︱一轮·理数
考点专项突破
在讲练中理解知识
考点一 条件概率 【例1】 (1)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天 的空气质量为优良的概率是( ) (A)0.8 (B)0.75 (C)0.6 (D)0.45
︱高中总复习︱一轮·理数
知识链条完善
把散落的知识连起来
知识梳理
1.条件概率 (1)条件概率的概念:一般地,设A,B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)= P AB
P A
为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.P(B|A)读作A发生的条件
下B发生的概率.
(2)条件概率的性质
性质1.任何事件的条件概率都在0和1之间,即0≤P(A|B)≤1,必然事件的条
高考数学一轮总复习二项分布超几何分布与正态分布教师用书
第七节 二项分布、超几何分布与正态分布考试要求：1．掌握二项分布和超几何分布的概念．2．了解正态分布的含义．一、教材概念·结论·性质重现1．n重伯努利试验与二项分布(1)n重伯努利试验把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．n重伯努利实验具有如下共同特征：(2)二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X 表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝C p k(1－p )n－k，k＝0,1,2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．2．超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r．其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，称随机变量X服从超几何分布．3．超几何分布的期望E(X)＝＝np (p为N件产品的次品率)．(2)已知各类对象的个数．(3)从中抽取若干个个体，考察某类个体数X的概率分布．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．4．正态分布(1)正态曲线函数f(x)＝e，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，我们称函数f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．②曲线是单峰的，它关于直线x＝ μ对称．③曲线在x＝ μ处达到峰值．④曲线与x轴围成的面积为1．⑤在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ 的变化而沿x轴平移，如图(1)所示．⑥当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图(2)所示．(3)正态分布的定义及表示若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝e，x∈R，则称随机变量X服从正态分布，记为X～ N(μ， σ2)．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值．①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7．②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5．③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．若X服从正态分布，即二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝C p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．( √ )(2)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布．( × )(3)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．( √ )(4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一个球．若是白球，则取出来，若是黑球，则放回盒中，直到把白球全部取出来．设取到黑球的次数为X，则X服从超几何分布．( × )(5)二项分布是一个概率分布，其公式相当于二项式(a＋b)n展开式的通项，其中a＝p，b＝1－p．( × )(6)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布密度函数，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．( √ )2．(2021·佛山期末)有一批谷类种子，如果每1粒种子发芽的概率为，那么插下3粒种子恰有2粒发芽的概率是( )A．B．C．D．A 解析：3粒种子中发芽的粒数服从二项分布X～B，所以恰有2粒发芽的概率为C××＝．3．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，则理论上在80分到90分的人数是( )A．32 B．16C．8 D．20B 解析：因为数学成绩近似地服从正态分布N(80,102)，所以P(|x－80|≤10)≈0.682 7．根据正态曲线的对称性可知，位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半，所以理论上在80分到90分的人数是×0.682 7×48≈16．4．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽取n件产品，抽到的次品数的数学期望是( )A．n B．(n－1)C．D．(n＋1)C 解：设抽到的次品数为X，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽取n件产品，抽到的次品数X服从超几何分布即X～H(n，M，N)，所以抽到的次品数的数学期望值E(X)＝．5．已知随机变量ξ～B，则P(ξ＝3)＝________(用数字作答)． 解析：随机变量ξ～B，则P(ξ＝3)＝C·3·＝．6．已知随机变量X～N(1,62)，若P(X>0)＝0.8，则P(X≥2)＝________．0.2 解析：随机变量X服从正态分布N(1,62)，所以正态曲线关于x＝1对称，所以P(x≥2)＝P(x≤0)＝1－P(x>0)＝0.2．考点1 二项分布——基础性某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为，复审能通过的概率为，各专家评审的结果相互独立．(1)求某应聘人员被录用的概率；(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列．解：设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C．(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A∪BC．因为P(A)＝×＝，P(B)＝2××＝，P(C)＝，所以P(D)＝P(A∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝．所以某应聘人员被录用的概率为．(2)根据题意，X＝0,1,2,3,4，且X～B，A i表示“应聘的4人中恰有i人被录用”(i＝0,1,2,3,4)．因为P(A0)＝C×＝，P(A1)＝C××＝，P(A2)＝C××＝，P(A3)＝C××＝，P(A4)＝C××＝．所以X的分布列为X01234P二项分布概率公式可以简化求概率的(2021·杭州二模)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取3次，记摸得白球个数为X．若E(X)＝，则m＝________，P(X＝2)＝________．2 解析：甲从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次，记摸得白球个数为X，则X～B，因为E(X)＝，所以E(X)＝3×＝，所以m＝2，所以P(X＝2)＝C××＝．考点2 超几何分布——应用性在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)＝＝．(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，因此X的分布列为X01234P(1)超几何分布1．(多选题)在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球、4个白球，现从中任取4个小球．设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是( )A．P(X＝1)＝B．随机变量X服从二项分布C．随机变量X服从超几何分布D．E(X)＝ACD 解析：由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确．X的取值分别为0,1,2,3,4，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，故A，D正确．2．某高中德育处为了调查学生对“国安法”的关注情况，在全校组织了“国家安全知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩(百分制)如下：52,63,67,68,72,76,76,76,82,88,93,94．(1)写出该样本的中位数，若该校共有3 000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；(2)从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人，记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的分布列和数学期望．解：(1)由已知数据可得中位数为76，样本中70分以上的所占比例为＝，故可估计该校测试成绩在70分以上的约为3 000×＝2 000(人)．(2)由题意可得ξ的可能取值为0,1,2,3,4．P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝＝，P(ξ＝4)＝＝．所以ξ的分布列为ξ01234PE(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2．考点3 正态分布——应用性(1)(多选题)若随机变量ξ～N(0,1)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0．下列等式成立的有( )A．φ(－x)＝1－φ(x)B．φ(2x)＝2φ(x)C．P(|ξ|<x)＝2φ(x)－1D．P(|ξ|>x)＝2－φ(x)AC 解析：因为随机变量ξ服从标准正态分布N(0，1)，所以正态曲线关于ξ＝0对称，如图．φ(－x)＝P(ξ≤－x)＝P(ξ≥x)＝1－φ(x)，所以A项正确．φ(2x)＝P(ξ≤2x)，2φ(x)＝2P(ξ≤x)，所以φ(2x)≠2φ(x)，B项错误．P(|ξ|<x)＝P(－x<ξ<x)＝1－2φ(－x)＝1－2[1－φ(x)]＝2φ(x)－1，所以C项正确．P(|ξ|≥x)＝P(ξ≥x或ξ≤－x)＝1－φ(x)＋φ(－x)＝1－φ(x)＋1－φ(x)＝2－2φ(x)，所以D项错误．故选AC．(2)(2021·重庆校级模拟)重庆合川桃片远近闻名，某个品种的合川桃片是小袋装的，其质量服从正态分布N(100，0.01)(单位：g)．现抽取500袋样本，X表示抽取的桃片质量在(100，100.2]的袋数，则X约为______．(结果四舍五入保留整数)附：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5．239 解析：因为质量服从正态分布N(100,0.01)，所以μ＝100，σ＝0.1．因为P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，且μ＝100，σ＝0.1，所以P(99.8≤X≤100.2)≈0.954 5，所以P(100＜X≤100.2)≈＝0.47725，则抽取的桃片质量在(100,100.2)的袋数X服从二项分布，即X～B(500,0.477 25)，则E(X)＝500×0.477 25≈239．(2021·湖南模拟)扶贫期间，扶贫工作组从A地到B地修建了公路，脱贫后，为了了解A地到B地公路的交通通行状况，工作组调查了从A地到B地行经该公路的各种类别的机动车共4 000辆，汇总行车速度后作出如图所示的频率分布直方图．(1)试根据频率分布直方图，求样本中的这4 000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)．(2)由频率分布直方图可大致认为，该公路上机动车的行车速度Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别取调查样本中4 000辆机动车的平均车速和车速的方差s2(s2＝204.75)．①请估计该公路上10 000辆机动车中车速高于84.8 km/h的车辆数(精确到个位)；②现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于84.8 km/h的车辆数为X，求X的数学期望．附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3，取＝14.3．解：(1)由题意可知，＝(45＋95)×0.1＋(55＋85)×0.15＋65×0.2＋75×0.3＝70.5．故样本中的这4 000辆机动车的平均车速为70.5 km/h．(2)由题意，Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝＝70.5，σ2＝s2＝204.75，则σ＝14.3．①因为P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)＝P(56.2≤Z≤84.8)≈0.682 7，所以P(Z>84.8)≈×(1－0.682 7)＝0.158 65，所以车速高于84.8 km/h的车辆数的估计值为0.158 65×10 000＝1 586.5≈1 587．②行车速度低于84.8 km/h的概率为1－0.158 65＝0.841 35，又X～B(10,0.841 35)，所以E(X)＝10×0.841 35＝8.413 5．。
第七章 二项分布与正态分布
第七章假设检验第一节二项分布二项分布的数学形式·二项分布的性质第二节统计检验的基本步骤建立假设·求抽样分布·选择显著性水平和否定域·计算检验统计量·判定第三节正态分布正态分布的数学形式·标准正态分布·正态分布下的面积·二项分布的正态近似法第四节中心极限定理抽样分布·总体参数与统计量·样本均值的抽样分布·中心极限定理第五节总体均值和成数的单样本检验σ已知，对总体均值的检验·学生t分布(小样本总体均值的检验)·关于总体成数的检验一、填空1．不论总体是否服从正态分布，只要样本容量n足够大，样本平均数的抽样分布就趋于（）分布。
2．统计检验时，被我们事先选定的可以犯第一类错误的概率，叫做检验的( )，它决定了否定域的大小。
3．假设检验中若其他条件不变，显著性水平的取值越小，接受原假设的可能性越（），原假设为真而被拒绝的概率越（）。
4．二项分布的正态近似法，即以将B(x；n，p)视为（)查表进行计算。
5．已知连续型随机变量X～N(0,1)，若概率P{X≥λ}=0.10，则常数λ=（）。
6．已知连续型随机变量X～N(2,9)，函数值9772.0)2(=Φ，则概率}8{<XP=（）。
二、单项选择1．关于学生t分布，下面哪种说法不正确（）。
A 要求随机样本B 适用于任何形式的总体分布C 可用于小样本D 可用样本标准差S代替总体标准差σ2．二项分布的数学期望为（）。
A n(1-n)pB np(1- p)C npD n(1- p)。
3．处于正态分布概率密度函数与横轴之间、并且大于均值部分的面积为（）。
A 大于0.5B －0.5C 1D 0.5。
4．假设检验的基本思想可用（ ）来解释。
A 中心极限定理B 置信区间C 小概率事件D 正态分布的性质5．成数与成数方差的关系是（ ）。
A 成数的数值越接近0，成数的方差越大B 成数的数值越接近0.3，成数的方差越大C 成数的数值越接近1，成数的方差越大D 成数的数值越接近0.5，成数的方差越大6．在统计检验中，那些不大可能的结果称为( )。
二项分布与正态分布
二项分布与正态分布二项分布与正态分布是概率统计学中两个重要的分布模型。
它们在实际应用中发挥着重要的作用，对于描述随机事件和现象的分布规律具有重要意义。
本文将分别介绍二项分布和正态分布的基本概念和性质，并对它们之间的关系进行探讨。
一、二项分布二项分布是概率统计学中最基本的离散型概率分布之一。
它描述了在n次独立重复试验中成功次数的概率分布。
其中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
试验次数n和成功次数X（取值范围为0到n）是二项分布的两个重要参数。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n, k)表示从n个物体中取出k个的组合数。
二项分布具有以下性质：1. 期望和方差：二项分布的期望为E(X) = np，方差为Var(X) = np(1-p)。
2. 归一性：二项分布的概率之和为1，即∑P(X=k) = 1，其中k的取值范围为0到n。
二、正态分布正态分布是概率统计学中最重要的连续型概率分布之一。
它以钟形曲线的形式描述了大量随机变量分布的特征。
正态分布由两个参数决定，即均值μ和标准差σ。
正态分布的概率密度函数可以表示为：f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，exp表示自然指数函数，sqrt表示开方。
正态分布具有以下性质：1. 对称性：正态分布呈现出关于均值对称的特点，即其左右两侧的曲线是镜像关系。
2. 均值和方差：正态分布的均值即为μ，方差即为σ^2。
3. 中心极限定理：当样本容量较大时，多个独立随机变量的均值近似服从正态分布。
三、二项分布与正态分布的关系在一些情况下，二项分布可以近似看作正态分布。
当试验次数n较大，成功概率p较接近0.5时，二项分布的概率分布形状逐渐接近于正态分布。
根据中心极限定理，当n足够大时，二项分布的均值和方差趋近于正态分布的均值和方差，因此可以用正态分布来近似描述二项分布的概率分布。
二项分布与正态分布了解二项分布与正态分布的性质与应用
二项分布与正态分布了解二项分布与正态分布的性质与应用二项分布与正态分布二项分布和正态分布是概率统计学中两个重要的分布形式。
二项分布适用于独立重复试验，每次试验只有两种可能的结果，成功或失败；而正态分布则是一种连续性的概率分布，常用于描述一组数据的分布情况。
本文将介绍二项分布和正态分布的性质与应用。
一、二项分布二项分布，又称为伯努利分布，是最基本的离散型概率分布之一。
它描述了在一系列相互独立的、同类的随机试验中，成功的次数的概率分布。
一次伯努利试验中，只有两个可能的结果，例如抛硬币的正反面。
二项分布的概率质量函数如下：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，X表示成功的次数，n表示试验的总次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示从n次试验中选取k次成功的组合数。
从公式中可以看出，二项分布的参数为n和p。
二项分布的性质：1.期望和方差：二项分布的期望为E(X) = np，方差为Var(X) = np(1-p)。
2.形状特点：二项分布的形状呈现对称性，随着试验次数n的增加，其形状逐渐接近正态分布。
二项分布的应用：1.质量控制：在质量控制中，可以使用二项分布来描述合格品和不合格品的比例，判断产品是否符合生产标准。
2.市场调查：通过市场调查统计来预测某个事件的发生概率，例如选举候选人的支持率。
3.投资决策：根据二项分布的特点，可以计算在不同投资情况下的预期收益和风险。
二、正态分布正态分布，也称为高斯分布，是一种连续型的概率分布。
在自然界和社会科学中，许多现象都可以被正态分布描述，例如身高、体重等。
正态分布的概率密度函数如下：f(x) = 1/(σ*sqrt(2π)) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中，x表示连续随机变量的取值，μ表示均值，σ表示标准差。
正态分布的参数为μ和σ。
正态分布的性质：1.对称性：正态分布是对称分布，其均值和中位数重合。
2.标准正态分布：当μ=0、σ=1时，得到标准正态分布。
二项分布与正态分布
二项分布与正态分布二项分布（Binomial Distribution）和正态分布（Normal Distribution）是统计学中常用的两种分布类型，它们在描述概率和随机变量的分布特征上有着重要的应用。
一、二项分布二项分布是一种离散概率分布，适用于两个互斥事件（成功和失败）发生的多次独立重复实验。
每个实验的结果只有两种可能性，并且各试验之间的概率不会发生变化。
该分布以两个参数来描述：n（实验次数）和p（事件成功的概率）。
二项分布的概率质量函数为P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中X为成功事件发生的次数，k为取值范围，C(n, k)表示组合数。
例如，某外卖平台的数据显示，在送达100份订单中，正好有20份遇到问题，成功率为0.2。
如果我们想要了解在送达下一个订单时会出现多少问题的概率分布，我们就可以使用二项分布来计算。
二、正态分布正态分布是一种连续概率分布，也被称为高斯分布。
在统计学中，正态分布常常用来描述一组数据中心性的表现，其图形呈钟形曲线。
正态分布由两个参数来描述：均值（μ）和标准差（σ^2）。
正态分布的概率密度函数为f(x) = 1 / (σ * √(2π)) * exp(-(x-μ)^2 /2σ^2)，其中x为取值范围。
例如，在考试成绩分析中，如果我们知道某门考试的平均分是80分，标准差是10分，我们就可以使用正态分布来计算不同分数段的比例和概率。
三、二项分布与正态分布的关系当二项分布的参数n（实验次数）足够大，同时p（事件成功的概率）也足够接近0.5时，二项分布可以近似地用正态分布来描述。
根据中心极限定理（Central Limit Theorem），当样本容量足够大时，无论数据服从什么分布，其样本均值的分布均近似服从正态分布。
由于二项分布和正态分布之间的关系，我们可以利用正态分布的性质对二项分布进行近似计算。
这种近似计算可简化复杂的二项分布计算，并提高效率。
二项分布与正态分布
二项分布与正态分布随机现象在统计学中起着重要的作用，而其中最常见的概率分布是二项分布和正态分布。
本文将对二项分布和正态分布进行详细的论述，以便更好地理解和运用它们。
一、二项分布二项分布是指在n次相互独立的伯努利试验中，成功的次数所服从的概率分布。
每一次试验只有两种可能的结果，记为"成功"和"失败"。
例如，扔一枚硬币正面朝上为成功，反面朝上为失败。
随机变量X表示成功的次数，则X满足二项分布B(n, p)，其中n表示试验的次数，p表示每次试验成功的概率。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n, k)表示组合数。
二项分布的特点是每次试验都是相互独立的，并且成功的概率为p。
二、正态分布正态分布是最常见的连续型概率分布之一，也被称为高斯分布。
正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1/√(2πσ^2)) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中，μ表示均值，σ表示标准差。
正态分布的特点是呈钟形曲线，均值μ决定了曲线的中心位置，标准差σ决定了曲线的形状。
正态分布在自然界和人类社会中广泛存在，例如人的身高、智力测验成绩等。
根据统计学的中心极限定理，当试验次数足够多时，二项分布的近似分布趋近于正态分布。
三、二项分布与正态分布的关系当试验次数n较大、成功的概率p接近于0.5时，二项分布可以近似地看作是正态分布。
这是因为中心极限定理的影响，当试验次数n趋近于无穷时，二项分布的形态越来越接近正态分布。
这使得我们可以利用正态分布对二项分布进行近似计算，简化问题的解决过程。
四、应用举例1. 计算二项分布的概率：假设某产品的质量合格率为0.8，每次抽检3个产品，问其中有2个合格的概率是多少？根据二项分布的公式，代入n=3，k=2，p=0.8，可以计算出概率为2.88%。
2. 近似计算二项分布：假设某超市每天卖出的某种商品数目服从二项分布，已知每个顾客买到该商品的概率为0.2，每天有100名顾客来购买。
A新高考数学 第七节 二项分布与正态分布
P(ξ＝0)＝C30×180×1－183＝354132， P(ξ＝1)＝C31×181×1－182＝154172， P(ξ＝2)＝C32×182×1－181＝52112， P(ξ＝3)＝C33×183×1－180＝5112． 所以 ξ 的分布列为
ξ0
1
2
3
P
343 512
147 512
21 512
故选 C．
答案：C
4．(选择性必修第三册 87 页练习 2 题改编)已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1)， 且 P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，则 c＝________．
解析：∵X～N(3,1)，∴正态曲线关于 x＝3 对称，且 P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)， ∴2c－1＋c＋3＝3×2，∴c＝43． 答案：43
02
考点 分类突破 课堂讲练
理解透 规律明 变化究其本
n 重伯努利试验与二项分布
考向 1 概率问题 某气象站天气预报的准确率为 80%，计算：(结果保留到小数点后 2 位)
(1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率； (2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率； (3)5 次预报中恰有 2 次准确，且其中第 3 次预报准确的概率． [解] 令 X 表示 5 次预报中预报准确的次数，则 X～B5，45，故其中分布列为 P(X＝k)＝C5k45k·1－455－k(k＝0,1,2,3,4,5)．
2．(选择性必修第三册 71 页习题 4 题改编)在一次招聘中，主考官要求应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，并独立完成所抽取的 3 道题．．记乙能答对的题数为 Y，则 Y 的数学期望为________． 解析：由题意知 Y 的可能取值为 0,1,2,3，且 Y～B3，23，则 E(Y)＝3×23＝2． 答案：2
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第7节 二项分布及正态分布课标要求 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些实际问题．3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的几何意义．【知识衍化体验】知识梳理1.条件概率（1）对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做________________，用符号来表示为________________，其公式为________________． （2）条件概率具有的性质：①______________________________；②如果B 和C 是两个互斥事件，则)|(A C B P =_______________．2.事件的相互独立性（1）对于事件A ，B ，若事件A 的发生与事件B 的发生互不影响，则称_______________． （2）若事件A 与B 相互独立，则)()|(A P A B P =___________．（3）若事件A 与B 相互独立，则______________，______________，______________也都相互独立．3.独立重复试验与二项分布（1）独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有____________种结果，即要么发生要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．（2）在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中A 发生的概率为p ，则)(k x P ==_______________，此时称随机变量X 服从_______________，记为_______________． 4.正态分布（1）正态曲线：函数),(,21)(222)(,+∞-∞∈=--x e x x σμσπϕσμ，其中实数μ和σ为参数（0,>∈σμR ）．我们称函数)(,x σμϕ的图象为_______________，简称正态曲线． （2）正态曲线的特点:①曲线位于x 轴 ,与x 轴不相交； ②曲线是单峰的,它关于直线 对称； ③曲线在 处达到峰值σπ21； ④曲线与x 轴之间的面积为 ；⑤当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“ ”,表示总体的分布越集中；σ越大,曲线越“ ”,表示总体的分布越 ．（3）正态分布的定义及表示一般地，如果对于任何实数)(,b a b a <，随机变量X 满足)(b X a P ≤<恰好是正态曲线下方与x 轴上方所围成的图形的面积，则称随机变量X 服从_____________，记作_____________．（4）正态分布的三个常用数据: ①P(μ-σ<X ≤μ+σ)= ； ②P(μ-2σ<X ≤μ+2σ)= ； ③P(μ-3σ<X ≤μ+3σ)= ． 【微点提醒】1.在条件概率中，)|(A B P 与)|(B A P 是一样吗？各代表什么含义？2.“事件相互独立”与“事件互斥”有何不同？基础自测错误辨析1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（1）条件概率与非条件概率一定不相等． （ ） （2）对于任意两个随机事件A ，B ，)()()(B P A P AB P =成立． （ ） （3）甲乙两人各掷一个均匀的骰子，观察向上的点数，事件A ：甲得到的点数是2，B ：乙得到的点数是奇数．A 与B 为相互独立事件． （ ） （4）二项分布其公式相当于nb a )(+的通项公式，其中p b p a -==1,． （ ） （5）正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差． ( )（6）一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布． ( ) 教材衍化2.已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同．现需1个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( ) A.103 B.31 C.83 D.92 3.天气预报，在元旦假期甲地降雨的概率是2.0，乙地降雨的概率是3.0．假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则两地中恰有一个地方降雨的概率为（ ） A.2.0 B.3.0 C.38.0 D.56.04.随机抛掷10次均匀的硬币，则正好出现5次正面的概率是_______________．5.已知随机变量X 服从正态分布)1,3(N ，且)3()12(+<=->c X P c X P ，则c=_______________． 考题体验6.将三颗骰子各掷一次，记事件A ＝“三个点数都不同”，B ＝“至少出现一个６点”，则条件概率(|)P A B ，(|)P B A 分别是（ ） A ．6091，12B ．12，6091C ．518，6091D ．91216，127．已知ξ服从正态分布()21,N σ，a∈R，则“P（ξ＞a ）=0.5”是“关于x 的二项式321()ax x+的展开式的常数项为3”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分又不必要条件D ．充要条件8.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．【考点聚焦突破】考点一 条件概率【例1】在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取1件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率是_______________．规律方法 解决条件概率题的关键首先是要搞清楚和何为事件A ，何为事件B ，才能正确利用相应公式解题．【训练1】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45考点二 独立事件同时发生的概率【例2】某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．规律方法这类问题常常是独立事件与互斥事件综合，解题的关键是合理分类，先分成若干互斥的类相加，每一类中再利用独立事件公式求概率．【训练2】在体育选修课排球模块基本功(发球)测试中，计分规则如下(满分为10分)：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加0.5分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加1.5分，以此类推， ，连续七次发球成功加3分．假设某同学每次发球成功的概率为23，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是 ( )A ．6523B ．5523C ．6623D ．5623考点三 独立重复试验与二项分布【例3】某地不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游景点.每年来抚州参观旅游的人数不胜数.其中，名人园与梦岛被称为抚州的两张名片，为合理配置旅游资源，现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查.若不去梦岛记1分，若继续去梦岛记2分.每位游客去梦岛的概率均为23，且游客之间的选择意愿相互独立. （1）从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X ，求X 的分布列；（2）若从游客中随机抽取m 人，记总分恰为m 分的概率为m A ，求数列{}m A 的前6项和； （3）在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ，探讨n B 与1n B -之间的关系，并求数列{}n B 的通项公式.规律方法 本题主要考查了n 次独立重复试验即二项分布的分布列，但与等比数列求和知识进行了综合，需要由递推关系式求通项公式，属于综合题．【训练3】2019年春节期间，某当红影视明星“不知道知网”学术不端事件在全国闹得沸沸扬扬，引发了网友对亚洲最大电影学府北京电影学院、乃至整个中国学术界高等教育乱象的反思．为进一步端正学风，打击学术造假行为，教育部公布的《教育部2019年部门预算》中透露，2019年教育部拟抽检博士学位论文约6000篇，预算为800万元．国务院学位委员会、教育部2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进行复评．2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”．设毎篇学位论文被毎位专家评议为“不合格”的槪率均为(01)p p <<，且各篇学位论文是否被评议为“不合格”相互独立．（1）记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为()f p ，求()f p ； （2）若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其它费用总计为100万元．现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算？并说明理由．考点四 正态分布【例4】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm ).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ.(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95，10.12，9.96，9.96，10.01，9.92，9.98，10.04，10.26，9.91，10.13，10.02，9.22，10.04，10.05，9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，s =0.212=，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =.用样本平均数x 作为μ的估计值μ，用样本标准差s 作为σ的估计值σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)P Z μσμσ-+0.9974=，160.99740.9592≈0.09≈．规律方法 正态分布反映的是，如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0．0026，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况．【训练4】从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本,分别统计出这些试卷总分,由总分得到如下的频率分布直方图.(1)求这100份数学试卷的样本平均分和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(2)由直方图可以认为,这批学生的数学总分Z 服从正态分布N(μ, σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s 2. ①利用该正态分布,求P(81<Z<119); ②记X 表示2 400名学生的数学总分位于区间(81,119)的人数,利用①的结果,求E(X)(用样本的分布估计总体的分布). 附:≈19,≈18,若Z ～N (μ,σ2),则P (μ-σ<Z <μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.9545.反思与感悟【思维升华】（1）求相互独立事件同时发生的概率的方法：①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；②正面计算较麻烦时，可尝试从其对立事件的概率入手计算．（2）独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略：①在求n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率时，首先要确定好k n 和的值，再准确利用公式求概率；②在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n 和概率p ，求得恰好发生k 次的概率；③二项分布问题常常与数列、函数乃至于导数和不等式综合，要综合思考． 【易错防范】（1）条件概率公式运用时，要弄清相应字母的意义．（2）一定要先研究事件的相互独立性，才能用概率乘法公式解题．不能把不是相互独立的事件的概率套用相互独立事件的概率公式解题，那会导致错解．【核心素养提升】数据分析—三局两胜制等的概率问题1.数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养．数据分析过程主要包括：收集数据、整理数据、提取信息、构建模型、进行推断、获取结论．2.有关“三局两胜制”的概率问题，指的是两人（队）比赛最多三局，若一方先胜两局则比赛结束称为2:0获胜；若前两局比成1:1，则需要进行第三局决胜局比赛，获胜的一方称为2:1获胜．当然现实中还有“五局三胜制”等设计．这里面就有概率因素的影响．【例题】甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为6.0，乙胜的概率为4.0，那么采用“三局两胜制”还是“五局三胜制”对甲有利？你对局制长短的设置有何认识？解 每局比赛只有两种结果：甲获胜或乙获胜．每局比赛可以看作是相互独立的，所以甲获胜的局数X 是随机变量，服从二项分布．（1）采用“三局两胜制”时，甲获胜可能2:0或2:1，甲获胜的概率为： 648.06.04.06.06.0122221=⋅⋅⋅+⋅=C C P ；（2）采用“五局三胜制”时，甲获胜可能3:0或3:1或3:2，甲获胜的概率为：683.06.04.06.06.04.06.06.022242233332≈⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅=C C C P ．可以看出，采用“五局三胜制”时对甲更有利，也就是说比赛局数越多则甲获胜的概率越大。