长郡2016年澄池杯初赛数学试卷

数学试卷A

满分：100分 时量：70分钟

一、选择题（ 每题5分，共30分）

1、现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，在2014年的“双11”网上促销活动中天猫和淘宝的支付交易额突破57000 000 000元，将数字57000 000

六月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）

A 、182)1(502=+

x B ．182)1

(50)1(50502=+

+++x x

C 、182)21(50=+x

D ．182)21(50)1(5050=++++x x

3、如图，点A ，B 是棱长为1的正方体的两个顶点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中A ，B 两点间的距离为（ ）

A ．2 B

C ．

D 4、如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（ ） A ．15 B ．25 C ．35 D

．

45 5、如图，直径为10的⊙A 经过点C(0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ．12 B C ．35 D ．4

5 6、如图，在矩形ABCD 中，垂直于对角线BD 的直线l ，从点B 开始沿着线段BD 匀速平移到D.设直线l 被矩形所截线段EF 的长度为y ，运动时间为t ，则y 关于t 的函数的大致图象是( ) 二、填空题（ 每题5分，共30分） 7、计算：()82230sin 62102-+-+︒-⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=_____________。 8、函数y =中自变量x 的取值范围是_____________。 （第4题图） （第

3题图）

（第5

题图）

9、化简（1+）÷的结果为_____________。

10、如图，AB 是⊙O 的直径，弦AC=2，∠ABC=30°，则图中

阴影部分的面积是_____________。 11、当x=1时，代数式ax 3﹣3bx+4的值是7，则当x=﹣1时，这个代数式的值是___________．

12、将正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是___________。

...

三、解答题（共40分）

13、（12分）如图，两个全等的△ABC 和△DEF 重叠在一起，固定△ABC ，将△DEF 进行如下变换：（1）如图1，△DEF 沿直线CB 向右平移（即点F 在线段CB 上移动），连接AF 、AD 、BD ，请直接写出ABC S ∆与AFBD S 四边形的关系；

（2）如图2，当点F 平移到线段BC 的中点时，若四边形AFBD 为正方形，那么△ABC 应满足什么条件？请给出证明；

（3）在（2）的条件下，将△DEF 沿DF 折叠，点E 落在FA 的延长线上的点G 处，连接CG ，请你在图3的位置画出图形，并求出sin CGF ∠的值．

C （第13题图1） （第13题图2） （第13题图3） C （第10题图）

14、（14分）如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：

（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；

（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？

（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

15、（14分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，

B 点的坐标为（3，0），OB=O

C ，tan∠ACO=3

1． （1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．

（4）如图2，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积。

图1 图2