信息安全数学基础第03章

3.1 二次剩余的概念
二次剩余的定义 首先为了确定哪些整数是模10的二次剩余，只需要关注 整数1，2，3，…，9的平方。而 12≡92≡1 (mod 10) 22≡82≡4 (mod 10) 32≡72≡9 (mod 10) 42≡62≡6 (mod 10) 52≡5 (mod 10) 同时，由于在整数1，4，5，6，9中与10互素的整数只 有1和9，因而只有1和9是模10的二次剩余，而整数2，3， 7，8中与10互素的整数只有3和7，因而只有3和7是模10 的二次非剩余。
a b ( p 1)/2 ( p 1) /2 (mod p), b (mod p) a p p
且 因而
ab (ab)( p 1) /2 (mod p) p
a b ab ( p 1) /2 ( p 1) /2 ( p 1) /2 b (ab) (mod p) a p p p
•
a 任意给定正整数n的素分解式 n p1a1 p22 psas ，由定
n 理3.2.2可知要确定勒让德符号 p 的值，只需确定勒
1 2 q 让德符号 , 以及 （其中q是一奇素数）的值。 p p p
3.2 勒让德符号
第3章 二次剩余
第3章 二次剩余
我们来考虑这样一个问题：什么时候整数a可以表示为 某个整数x的平方对素数p取模之后的结果呢？ 数学家欧拉、勒让德和高斯对这个问题以及相关工作进 行了大量的研究。本章我们就来介绍这些研究成果。
第3章 二次剩余
二次剩余的概念 勒让德符号 高斯二次互反律 雅可比符号 二次同余式的解法和解数
由于勒让德符号的值只有±1，因而结论成立。
3.2 勒让德符号
欧拉判别法 (iii) 由于
a 1 p
由(ii)的结果得到
a 2 a a 1 p p p
3.2 勒让德符号
欧拉判别法 由定理3.2.2的(ii)知： • 一个素数的两个二次剩余或两个二次非剩余的乘积 是一个二次剩余，而一个素数的一个二次剩余与一 个二次非剩余的乘积是一个二次非剩余。
3.2 勒让德符号
欧拉判别法 而同余式x2≡a (mod p)无解，则线性同余式ij≡a (mod p) 中 i≠j，进而可以将1，2，…，p-1中的整数划分成(p1)/2对，使得每对的乘积为a，将所有这些整数对乘在一 起，得到 (p-1)!≡a(p-1)/2 (mod p) 由威尔逊定理，有 -1≡a(p-1)/2 (mod p)
3.1 二次剩余的概念
二次剩余的定义 例3.1.1：确定哪些整数是模10的二次剩余。
解：首先由于对任意的整数n，由带余数除法，存在唯 一的整数k与n1，使得 n=10k+n1，其中0≤n1<10 则 n2=100k2+20k·1+n12 n 于是 n2≡n12 (mod 10)，0≤n1<10 因而为了确定哪些整数是模10的二次剩余，只需要关注 整数1，2，3，…，9的平方。
欧拉判别法 因而若
a 1 p
则
a a( p 1)/2 (mod p) p
3.2 勒让德符号
欧拉判别法 其次，若
a 1 p
则a是模p的二次非剩余，即同余式 x2≡a (mod p) 无解。 又对每一个与p互素的整数i，线性同余式 ix≡a (mod p) 都存在一个整数解j，即 ij≡a (mod p)
3.2 勒让德符号
欧拉判别法 利用这个判别法可以证明勒让德符号的许多重要性质。
3.2 勒让德符号
欧拉判别法 定理3.2.2：设p是奇素数，a，b是整数，p∤a且p∤b，则
a b (i) 若a≡b (mod p)，则 p p
a b ab (ii) p p p
3.1 二次剩余的概念
二次剩余的性质 定理3.1.1：若p是奇素数，则在整数1，2，…，p-1中恰 有(p-1)/2个模p的二次剩余，(p-1)/2个模p的二次非剩余。
证明：为在整数1，2，…，p-1中找出p的所有二次剩余， 我们计算这些整数平方的模p的最小剩余。 因为要考虑p-1个平方，且同余方程x2≡a (mod p)或者没 有解，或者有两个解，所以在1，2，…，p-1中，p的二 次剩余恰有(p-1)/2个，剩下的p-1-(p-1)/2=(p-1)/2个小于 p-1的整数是模p的二次非剩余。
3.2 勒让德符号
本节我们首先给出一个用于确定给定的整数是否为模奇 数p的二次剩余的记号——勒让德（Legendre）符号。 随后将描述并证明两个重要的判别法：欧拉判别法与高 斯引理，其中欧拉判别法可以用于确定给定的整数a是 否为模奇素数p的二次剩余，而高斯引理则可以用于确 定-1和2是否为模p的二次剩余。
3.1 二次剩余的概念
设p是一个奇素数，整数a与p相对互素。本节我们将主 要解决这样一个问题：整数a在什么条件下可以表示为 某整数x的平方对素数p取模之后的结果。
3.1 二次剩余的概念
二次剩余的定义 定义3.1.1：设整数a与正整数m互素， 若同余式x2a (mod m)有解，则称a为模m的二次剩余； 若同余式x2a (mod m)无解，则称a为模m的二次非剩余。
3.2 勒让德符号
欧拉判别法 首先，若
a 1 p
则a是模p的二次剩余，即同余式 x2≡a (mod p) 有解，设其解为x=x0，即 x02≡a (mod p) 由费马小定理，有
2 a( p1)/2 ( x0 )( p1)/2 x0p1 1(mod p)
3.2 勒让德符号
3.1 二次剩余的概念
二次剩余的定义 由例3.1.2和例3.1.3我们看到，模奇素数11与13的二次剩 余与二次非剩余的个数相同。
一般地，我们有如下定理：
3.1 二次剩余的概念
二次剩余的性质 引理3.1.1：设p是奇素数，a是整数，且p∤a，则同余式 x2≡a (mod p) 或者没有解或者恰有两个模p不同余的解。 证明：若同余式
3.1 二次剩余的概念
二次剩余的性质 接下来证明同余式x2≡a (mod p)模p不同余的解不多于两 个。假设x=x0与x=x1都是同余式x2≡a (mod p)的解，则 x02≡x12≡a (mod p) 即 x02-x12=(x0+x1)(x0-x1)≡0 (mod p) 因为p是素数，因而 p|(x0+x1)或者p|(x0-x1) 即 x0≡x1 (mod p)或x0≡-x1 (mod p) 综上，若同余式x2≡a (mod p)有解，则恰有两个模p不同 余的解。结论得证。
a2 (iii) p 1
3.2 勒让德符号
欧拉判别法 证明： (i) 若
a≡b (mod p) 则同余式 x2≡a (mod p) 有解当且仅当同余式 x2≡b (mod p)
Hale Waihona Puke 有解，因而a b p p
3.2 勒让德符号
欧拉判别法 (ii) 由欧拉判别法
3.1 二次剩余的概念
二次剩余的定义 例3.1.3：确定哪些整数是模13的二次剩余。
解：类似于例3.1.1的讨论，这里我们只需要关注整数1， 2，3，…，12的平方。而 12≡122≡1 (mod 13) 22≡112≡4 (mod 13) 32≡102≡9 (mod 13) 42≡92≡3 (mod 13) 52≡82≡12 (mod 13) 62≡72≡10 (mod 13) 同时由于整数1，2，3，…，12均与13互素，因而整数1， 3，4，9，10，12是模13的二次剩余，而整数2，5，6， 7，8，11是模13的二次非剩余。
3.2 勒让德符号
高斯引理 下面我们不加证明地给出用于确定与奇素数p互素的整 数n是否为模p的二次剩余的另外一个判别标准：高斯引 理。
3.2 勒让德符号
欧拉判别法 因而若
a 1 p
同样有
a a( p 1)/2 (mod p) p
综上，结论成立。
3.2 勒让德符号
欧拉判别法 例3.2.2：设p=13，a=132，由于 132(13-1)/2=1326 (mod 13) ≡ 26≡-1 (mod 13) 由欧拉判别法有 132 1 13 因而132是模13的二次非剩余。
3.1 二次剩余的概念
二次剩余的定义 例3.1.2：确定哪些整数是模11的二次剩余。
解：只需要关注整数1，2，3，…，10的平方。而 12≡102≡1 (mod 11) 22≡92≡4 (mod 11) 32≡82≡9 (mod 11) 42≡72≡5 (mod 11) 52≡62≡3 (mod 11) 同时由于整数1，2，3，…，10均与11互素，因而整数1， 3，4，5，9是模11的二次剩余，而整数2，6，7，8，10 是模11的二次非剩余。
3.2 勒让德符号
欧拉判别法 接下来我们给出用于判断一个整数是否为模素数p的二 次剩余的判别法：欧拉判别法。
3.2 勒让德符号
欧拉判别法 定理3.2.1（欧拉判别法）：设p是奇素数，a是整数，且 p∤a，则
a a( p 1)/2 (mod p) p
证明：由于勒让德符号的取值只有±1，因而下面我们 可以分两种情形来讨论。
欧拉判别法 利用欧拉判别法我们首先可以立即得到如下结论：
3.2 勒让德符号
欧拉判别法 定理3.2.3：设p是奇素数，则
1 1 p 1 若p 1 (mod 4) 若p 1 (mod 4)
证明：由欧拉判别法， p 1 1 (1) 2 (mod p) p 由于p是奇素数，故对模数4而言，p只能取p=4k+1与 p=4k+3，其中k为整数。
勒让德符号的定义 例3.2.1：由例3.1.3知道，勒让德符号