1.2 二次函数的图像与性质(课时2)
第2课时二次函数y=ax2(a<0)的图象与性质
【知识与技能】
1.会用描点法画函数y=ax2(a<0)的图象,并根据图象认识、理解和掌握其性质.
2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a<0)的图象与性质解决简单的实际问题.
【过程与方法】
经历探索二次函数y=ax2(a<0)图象的作法和性质的过程,获得利用图象研究函数的经验,培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.
【情感态度】
通过动手画图,同学之间交流讨论,达到对二次函数y=ax2(a≠0)图象和性质的真正理解,从而产生对数学的兴趣,调动学习的积极性.
【教学重点】
①会画y=ax2(a<0)的图象;②理解、掌握图象的性质.
【教学难点】
二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会.
一、情境导入,初步认识
1.在坐标系中画出y=1
2
x2的图象,结合y=
1
2
x2的图象,谈谈二次函数
y=ax2(a>0)的图象具有哪些性质?
2.你能画出y=-1
2
x2的图象吗?
二、思考探究,获取新知
探究1 画y=ax2(a<0)的图象请同学们在上述坐标系中用“列表、描点、连
线”的方法画出y=-1
2
x2的图象.
【教学说明】教师要求学生独立完成,强调画图过程中应注意的问题,同学们完成后相互交流,表扬图象画得“美观”的同学.
问:从所画出的图象进行观察,y=1
2
x2与y=-
1
2
x2有何关系?
归纳:y=1
2
x2与y=-
1
2
x2二者图象形状完全相同,只是开口方向不同,两
图象关于y轴对称.(教师引导学生从理论上进行证明这一结论)
探究2 二次函数y=ax2(a<0)性质问:你能结合y=-1
2
x2的图象,归纳出
y=ax2(a<0)图象的性质吗?
【教学说明】教师提示应从开口方向,对称轴,顶点位置,y随x的增大时的变化情况几个方面归纳,教师整理,强调y=ax2(a<0)图象的性质.
1.开口向下.
2.对称轴是y轴,顶点是坐标原点,函数有最高点.
3.当x>0时,y随x的增大而减小,简称右降,当x<0时,y随x的增大而增大,简称左升.
探究3 二次函数y=ax2(a≠0)的图象及性质
学生回答:
【教学点评】一般地,抛物线y=ax2的对称轴是,顶点是,当a>0时抛物线的开口向,顶点是抛物线的最点,a 越大,抛物线开口越;当a<0时,抛物线的开口向,顶点是抛物线的最点,a越大,抛物线开口越,总之,|a|越大,抛物线开口越 .
答案:y轴,(0,0),上,低,小,下,高,大,小
三、典例精析,掌握新知
例1 填空:①函数
x)2的图象是,顶点坐标是,
对称轴是,开口方向是 .
②函数y=x2,y=1
2
x2和y=-2x2的图象如图所示,
请指出三条抛物线的解析式.
解:①抛物线,(0,0),y轴,向上;
②根据抛物线y=ax2中,a的值的作用来判断,上面最外面的抛物线为y=1 2
x2,中间为y=x2,在x轴下方的为y=-2x2.
【教学说明】解析式需化为一般式,再根据图象特征解答,避免发生错误.抛物线y=ax2中,当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下,|a|越大,开口越小.
例2 已知抛物线y=ax2经过点(1,-1),求y=-4时x的值.
【分析】把点(1,-1)的坐标代入y=ax2,求得a的值,得到二次函数的表达式,再把y=-4代入已求得的表达式中,即可求得x的值.
解:∵点(1,-1)在抛物线y=ax2上,-1=a·12,∴a=-1,∴抛物线为y=-x2.当y=-4时,有-4=-x2,∴x=±2.
【教学说明】在求y=ax2的解析式时,往往只须一个条件代入即可求出a 值.
四、运用新知,深化理解
1.下列关于抛物线y=x2和y=-x2的说法,错误的是()
A.抛物线y=x2和y=-x2有共同的顶点和对称轴
B.抛物线y=x2和y=-x2关于x轴对称
C.抛物线y=x2和y=-x2的开口方向相反
D.点(-2,4)在抛物线y=x2上,也在抛物线y=-x2上
2.二次函数y=ax2与一次函数y=-ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是()
3.二次函数226
(1)m m
y m x+-
=-,当x<0时,y随x的增大而减小,则m= .
4.已知点A(-1,y
1),B(1,y
2
),C(a,y
3
)都在函数y=x2的图象上,且a>1,则
y
1,y
2
,y
3
中最大的是 .
5.已知函数y=ax2经过点(1,2).①求a的值;②当x<0时,y的值随x值的
增大而变化的情况.
【教学说明】学生自主完成,加深对新知的理解和掌握,当学生疑惑时,教师及时指导.
【答案】1.D 2.B 3.2 4.y
3
5.①a=2 ②当x<0时,y随x的增大而减小
五、师生互动,课堂小结
这节课你学到了什么,还有哪些疑惑?在学生回答的基础上,教师点评:(1)y=ax2(a<0)图象的性质;(2)y=ax2(a≠0)关系式的确定方法.
1.教材P
10
第1~2题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
本节课仍然是从学生画图象,结合上节课y=ax2(a>0)的图象和性质,从而得出y=ax2(a<0)的图象和性质,进而得出y=ax2(a≠0)的图象和性质,培养学生动手、动脑、合作探究的学习习惯.
二次函数的图像及性质
《二次函数的图像及性质》教学案例及反思 教师:同学们,我们上一节课一起研究了二次函数的表达式,那么我们一起来回忆一下表达式是什么? 学生齐答:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a不为0) 教师:好,那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. (学生表现很踊跃,一下写出了十多个) 教师:黑板上这些二次函数大致有几个类型? 学生:(讨论了3分钟)四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师:太棒了!同学们归纳的很好,今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质! 教师在学生板书的函数中选了四个,并把复杂的系数换成简单的常数,找到如下函数:y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材!) 教师启发学生利用函数中的“列表,描点,连线”的方法,把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组,一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”,兴趣很大,合作交流充分,课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导,在确认画图全部正确的情况下,提出了要求,开始了探究之旅. 教师:请同学们小组之间比较一下,你们画的图象位置一样吗? 学生;不一样. 教师:有什么不一样?(开始聚焦矛盾) 学生:开口不一样. 学生A:走向不一样. 学生B:经过的象限不一样. 学生C:我们的图象在原点的上方,他们的图象在原点的下方. 教师:看来是有些不一样,那么它们位置的不一样是由什么要素决定的?(教师指明了探究方向,但未指明具体的探究之路,这是明智的) 学生:是由二次项系数的取值确定的. 教师:好了,根据同学们的回答,能得到图象或函数的那些结论?(顺水推舟,放手让学生一搏) 热烈讨论后,学生D回答并板书,当a>0时,图象在原点的上方,当a<0时,图象在原点的下方。 学生E:当a>0时,图象开口向上;当a<0时,图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! (这个过程约用了十多分时间,学生体会非常充分,从学生的神情看,绝大多数学生已接受了这几个学生的板书,但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢?短暂停顿后,教师确定了思路) 教师:刚才你们是研究图象的性质,你们能否由图象性质得出相应的函数的性质? 看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师:请看同学们的板书,能揣摩图象“走向”的意思吗? 学生:(七嘴八舌)当a>0时,图象从左上向下走到原点后在向右上爬;当a<0时,图象从左下向上爬到原点后在向右下走(未出现教师所预期的结论) 教师:好,你们从图象的直观形象来理解的图象性质,很贴切,你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗?
二次函数图像与性质总结
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式:2 =的性质: y ax 2.2 =+的性质: y ax c 上加下减。 =-的性质: y a x h 左加右减。
4.()2 y a x h k =-+的性质: 1.平移步骤: 方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标 ()h k ,; ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者 通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对 称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值244ac b a -. 2.当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,.当2b x a <- 时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值2 44ac b a -. 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 2.顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);
二次函数的图像和性质总结
二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质: 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ;开口向上;在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小,在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移;当0>k 时向下平移。 (2)抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移;当0 3.二次函数的最值公式: 形如 c bx ax y ++=2 的二次函数。时当0>a ,图像有最低点,函数有最小值 a b ac y 442-= 最小值 ;时当0?时抛物线与x 轴有两个交点;当0=?抛物线与x 轴有一个交点;当 0二次函数图像与性质