投影面平行线
2-2 点、线、面的投影特性
2-2 点、线、面的投影特性一、点的投影1、点的三面投影点是组成物体最基本的几何元素。
如图2-9所示，在三投影面体系中，由空间点A（x，y，z）分别向三投影面作正投影，得其三面投影a（x，y）、a′(x，z）、a″（y，z），即过点A分别作三投影面的垂线，其垂足即为点A的三面投影；展开H面和W面，得到点A的三视图：a 、a′长对正，a′、a″高平齐，a 、a″宽相等，如图2-10所示。
图2-9 点的三面投影图2-10 点的三视图例1 ：已知空间点B的两面投影b ，b′，如图2-11所示，求其第三面投影b″。
分析：空间点B的三面投影b 、b′、b″符合“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律。
作图： b′与b″高平齐，b与b″宽相等，则其交点即为b″。
图2-11 求点的第三面投影图2-12 求点的三面投影例2 ：已知空间点D(5,4,3)，如图2-12所示,求其三面投影。
分析：空间点D的三面投影分别为d（x，y）、d′（x，z）、d″（y，z），且符合“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律。
作图：分别在三投影轴上取x1=5，y1=4，z1=3，按“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律分别作直线段，交点即为空间点D的三面投影（d 、d′、d″）。
2、两点的相对位置空间两点的相对位置是指空间两点间前后、左右、上下的位置关系。
两点在空间的相对位置可以根据两点的坐标值来判定，如图2-13所示。
X坐标确定两点的左右位置关系。
X坐标值大的点在左；Y坐标确定两点的前后位置关系。
Y坐标值大的点在前；Z坐标确定两点的上下位置关系。
Z坐标值大的点在上。
图2-13 两点的相对位置故A点在B点的右，后，上方，即B点在A点的左，前，下方。
3、重影点及其可见性判断若空间两点在某一投影面上的投影重合，则称这两点为该投影面的重影点。
此时，这两点位于同一投射线上，且有两个坐标的值分别相等，不等值的坐标之大小可以确定重影点的可见性，即X、Y、Z坐标值大的点分别位于左方、前方、上方，为可见点，如图2-14所示。
第二章 直线的投影
2．已知直线 AB 平行直线 CD，试完成直线
例：已知直线AB平行直线CD，试完成直线AB
AB 和 CD 的三面投影。 和CD的三面投影。
题解： c′〝
c
NEW
c
c
b
点Ｃ的投影在直线的同面投影上，并 符合点的投影规律。
二、Ｄ点不在 直线ＡＢ上。
a A d b a b
NEW
a b
D
d
B
d
例：判断点Ｍ是否在直线ＣＤ 上 解法１：
NEW
点Ｍ的投影不符合点在直线上的投影规律， 故Ｍ点不在直线ＣＤ上。
例：判断点Ｍ是否在直线ＣＤ 上
直线 水 平 线
直观图
投影图
投影特征 1、水平投影ab 反映实长 及直线的倾角β 和γ 。 2、正面投影a b //o x轴, 侧面投影a"b "//oy w 轴，且 均短于实长。 1、正面投影e f 反映实长 及直线的倾角α 和γ 。 2、水平投影ef //o x轴,侧 面投影e"f "//oz 轴，且均 短于实长。 1、侧面投影e"f" 反映实 长及直线的倾角α 和β 。 2、水平投影e f//oy H 轴,正 面投影e f //oz 轴，且均 短于实长。
• 1． 直线上的点，其投影必在该直线的同面投影上。 • 2． 直线上的点，分割线段之比，在投影后保持不变。
三．直线上的点 (一) 直线上点的投影特性
点Ｃ在直线上 ＡＢ上
1.直线上的点，
其投影必在该 直线的同面投 影上。
2.直线上的点，
投影的基本知识
X
Yw
b a
（2）投影面垂直线的投影
投影面垂直线在空间与一个投影面垂直，与另 两个投影面平行。 投影面垂直线分为：铅垂线、正垂线、侧垂线 三种。 投影面垂直线的投影特点为：一个投影积聚为 点，另两个投影垂直于相应的投影轴，且反应 实长。
投影面垂直线的投影图
（3）投影面平行线的投影
影子与投影区别
投影的分类
根据投射中心与投影面位置的不同，投影可分 为两大类：中心投影和平行投影。 中心投影：投射线都是由投射中心发出的，这 种投影方法称为中心投影法。由此得到的投影 图称为中心投影图。 平行投影：投射中心距投影面为无限远时，所 有投射线成为平行线，这种投影方法称为平行 投影法，由此得到的投影图称为平行投影图。
（1）两直线平行
投影特点：两直线在空中平行，则其各同面投 影平行。
（2）两直线相交
投影特点：两直线在空间相交，则其各同面投 影必相交，且交点符合点的投影规律
求相交两直线
（3）两直线交叉
投影特点：两直线在空间既不平行也不相交。
两直线交叉
平面的投影
用几何元素表示平面
各种位置平面的投影
如图
正投影特性
类似性：当直线或平面与投影面倾斜时，其 投影为缩短的线段或缩小的平面。
A B C b aA bA c A BA
a H
H`
正投影特性
全等性：当直线或平面与投影面平行时，其投影 反映实长或实形。
A B
C
a
b
a
b
H
H
c
正投影特性
积聚性：当直线或平面与投影面垂直时，其 投影积聚成一点或一直线。
第二章 投影的基本知识
第二篇投影制图第二章投影的基本知识【学习目的】掌握正投影的基本原理，掌握三视图的形成及其投影规律，掌握点、线、面的投影特性。
【学习要点】投影的基本特性；物体的三视图的绘制；点、线、面的投影特性。
第一节投影方法一、投影的概念（一）投影法的概念在日常生活中，我们看到在太阳光或灯光照射物体时，在地面或墙壁上出现物体的影子，这就是一种投影现象。
投影法与自然投影现象类似，就是投影线通过物体向选定的投影面投射，并在该面上得到图形的方法，用投影法得到的图形称作投影图或投影，如图2-1所示。
图2-1 投影的产生产生投影时必须具备的三个基本条件是投影线、被投影的物体和投影面。
需要注意的是，生活中的影子和工程制图中的投影是有区别的，投影必须将物体的各个组成部分的轮廓全部表示出来，而影子只能表达物体的整体轮廓，并且内部为一个整体如图2-2所示。
(a)影子 (b)投影图2-2 投影与影子的区别二、 投影法分类根据投影线与投影面的相对位置的不同，投影法分为两种。
（一） 中心投影法投影线从一点出发，经过空间物体，在投影面上得到投影的方法（投影中心位于有限远处），如图2-3所示。
图2-3 中心投影法缺点：中心投影不能真实地反映物体的大小和形状，不适合用于绘制水利工程图样。
优点：中心投影法绘制的直观图立体感较强，适用于绘制水利工程建筑物的透视图。
（二） 平行投影法投影线相互平行经过空间物体，在投影面上得到投影的方法（投影中心位于无限远处），称为平行投影法。
平行投影法根据投影线与投影面的角度不同,又分为正投影法和斜投影法，如图2-4所示。
（a ）为斜投影法，（b ）为正投影法。
(b)(a)图2-4 平行投影法优点：正投影法能够表达物体的真实形状和大小，作图方法也较简单，所以广泛用于绘制工程图样。
正投影法斜投影法在以后的章节中，我们所讲述的投影都是指的正投影。
三、投影的特性（一）真实性平行于投影面的直线段或平面图形，在该投影面上的投影反映了该直线段或者平面图形的实长或实形，这种投影特性称为真实性，如图2-5所示。
画法几何制图—平面投影及相对位置
② 若两投影面垂直面相互平行，
则它们具有积聚性的那组投影
必相互平行。
a
b c d
c d
b
b d
a c
e
d
b
ac
e
e f
f e
f h h
f
//
三峡大学
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2 . 判 例别 判下 断列 下平 列面 两与 平平 面 面是 是否 否平 平行 行。
a )
b ) 举例
平行
不平行
三峡大学
45
二、相交问题(重点与难点)
三峡大学
22
例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面 的距离为10mm。
a
10
m
n
c
b
b
c
n m
a
唯一解！
三峡大学
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⒉ 平面上取点
若点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。 即：点在线上，则点在面上。
三峡大学
24
面上取点的方法：
首先面上取线
先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助 线，然后再在该直线上确定点的位置。
铅垂面(⊥H) 正垂面(⊥V) 侧垂面(⊥W)
水平面(//H) 正平面(//V) 侧平面(//W)
与三个投影面都倾斜 一般位置平面
三峡大学
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1） 投影面垂直面的投影
铅垂面
V PB
c
a
a
W
b
A
a b
H
C PH c
a c
b 投影特性：
1. abc积聚为一条线， 与OX、 OYH的夹角反映、角； 2 .abc、 abc为ABC的类似形；
1’ b’
投影面平行线设计教学课件
直线投影-投影面平行线
直线投影-投影面平行线
本节关键词： 一平行 二倾斜 三条线 四实长
直线投影-投影面平行线
本节关键词：
一平行（平行一个投影面） 二倾斜（倾斜另外两个面） 三条线（水平线、正平线、侧平线） 四实长（在所平行的投影面反映实长）
直线投影-投影面平行线
随堂练习： 投影面平行线有什么投影特点?
教材：《水利工程制图》
课题:投影面平行线
直线投影-投影面平行线
概念解读： 平行于一个投影面，同时倾斜于其他
两个投影面的直线称投影面平行线
直线投-投影面平行线
投影面平行线：平行于一个投影面，同时倾斜于其他两个投影面的直 线称投影面平行线。图3-12中AB∥V面，倾斜于（∠）H面及面，它 的正面投影a″b″反映实长及其于H、W面的倾角α 、γ （直线与其相应 投影的夹角即直线对相应投影面的倾角，它于H、V、W面的倾角分 别用α βγ 表示）。因Ya=Yb，所以ab∥OX，a″b″∥OZ。
直线投影-投影面平行线
本节重点部分 投影面平行线共有三种投影面平行线： 平行于水平投影面（H面）的直线：水平线 平行于正立投影面（V面）的直线：正平线 平行于侧立投影面（W面）的直线：侧平线
直线投影-投影面平行线
水平线：H（俯视）
直线投影-投影面平行线
正平线：V（主视）
直线投影-投影面平行线
知识点拓宽： （ ）一个投影面的平面称为投影面平行面. A.平行于 B.垂直于 C.倾斜于 D.相交于
谢谢各位！ 敬请批评指正！
各种位置直线的投影特性
各种位置直线的投影特性按照直线对三个投影面的相对位置，可以把直线分为三类：一般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线。
后两类直线又称为特殊位置直线。
1.一般位置直线—与三个投影面都倾斜的直线一般位置直线的投影特性如下（图3-10）：1）三面投影都倾斜于投影轴。
2）投影长度均比实长短，且不能反映直线与投影面倾角的真实大小。
直线对H、V、W的倾角分别用α、β、γ表示。
投影面平行线——平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线(1）投影面平行线又可分为三种：平行于V面的直线叫正平线；平行于H面的直线叫水平线；平行于W面的直线叫侧平线。
图3-11 正平线的投影特性(2）正平线的投影特性(图3-11)：1)直线平行于V面，则V面投影与直线本身平行且等长，a＇b＇=AB；2)正平线上各点到V面的距离即Y坐标都相等，则a b∥OX, a"b"∥OZ。
3)AB与H面的倾角为α，由于AB平行V面，所以AB与V面的倾角为0。
又因为AB ∥a＇b＇，a b∥OX轴，所以，a＇b＇与OX轴的夹角为α，同理a＇b＇与OZ轴的夹角即为AB与W面的倾角γ。
表3-1为投影面平行线的投影特性。
表3-1 投影面平行线的投影特性名称轴测图投影图投影特性正平线(1)a＇b＇=AB, 反映α、γ角(2)a b//OX轴, a"b"//OZ轴水平线(1) cd=CD ,反映β、γ角(2)c＇d＇//OX轴, c"d"//O YW轴侧平线(1) e"f"=EF, 反映α、β角(2)e＇f＇//OZ轴，ef//O YH轴投影面平行线的投影特性:1.直线在与其平行的投影面上的投影,反映该线段的实长和与其他两个投影面的倾角2.直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴,且比线段的实长短投影面垂直线——垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面的直线1）投影面垂直线又可分为三种：垂直于V面的直线叫正垂线；垂直于H面的直线叫铅垂线；垂直于W面的直线叫侧垂线。
第三讲平面和直线投影特性
平行于侧面的直线称为侧平线
二、直线的投影分析
3.投影面垂直线 投影特性： （1）在所垂直的 投影面上投影积 聚为一点。 （2）其他两个投 影面上的投影反 映实长，且分别 垂直于相应的投 影轴。
垂直于水平面的直线称为铅垂线
二、直线的投影分析
3.投影面垂直线 投影特性： （1）在所垂直的 投影面上投影积 聚为一点。 （2）其他两个投 影面上的投影反 映实长，且分别 垂直于相应的投 影轴。
一、正投影的特性
二、点、线、面的投影特性
一、正投影法的基本特性
1.真实性：当直线、曲线或平面平行于投影面时， 直线或曲线反映实长，平面反映真实形状。
2.积聚性: 当直线、曲面或平面垂直于投影面时， 直线积聚成一点，曲面或平面积聚成曲线或直线。
3.类似性：当直线、曲线或平面倾斜于投影面时， 直线或曲线投影仍为直线或曲线，但小于实长。平面应 小于真实投影大小，与原平面外形类似。
垂直于正面的平面称为正垂面
三、平面的投影分析
3.投影面垂直面 投影特性： (1)在所垂直的投 影面内投影积聚 为一段斜线。 (2)其他两个投影 面上的投影均为 缩小的类似形。
垂直于侧面的平面称为侧垂面
投影举例： 根据物体的 立体图，画出其 三视图。
平行于水平面的平面称为水平面
三、平面的投影分析
2.投影面平行面 投影特性： （1）在所平行 的投影面上投 影反映实形。 （2）其他两个 投影面上的投 影积聚为直线， 且分别平行于 相应的投影轴。
平行于正面的平面称为正平面
三、平面的投影分析
2.投影面平行面 投影特性： （1）在所平行 的投影面上投 影反映实形。 （2）其他两个 投影面上的投 影积聚为直线， 且分别平行于 相应的投影轴。
4-5投影原理-线的投影
1．投影面垂直线的投影
在三投影面体系中，当直线垂直于某一个 A
投影面时，则必同时平行于另两个投影面，
这样的直线称为投影面垂直线。 共有三种投影面垂直线： 直线⊥投影面 H：铅垂线 B
P
a（ b ）
直线⊥投影面 V：正垂线
直线⊥投影面 W：侧垂线
（1）铅垂线— 垂直于水平投影面的直线
z a
a
A
b
a
b
b
a
X
O
YW
B
b
a
a b 投影特性：1．ab OX ; ab OYW 2． ab=AB 3．反映、 角的真实大小
b
YH
（2）正平线—只平行于正面投影面的直线
Z b a B b
b
a
a
b a
O
A
X
YW
a
b
a
b YH
2.4 线的投影
一、直线在单一投影面上的投影
A C D B P
a（ b ）
E F
P c
P
e
f
d
• 直线垂直于投影面：直线在该投影面上的投影积聚为点 • 直线平行于投影面：直线在该投影面上的投影反映实长 • 直线倾斜于投影面：直线在该投影面上的投影缩短
二、直线在三投影面体系中的投影
直线与投影面夹角的规定名称
（1）． 求直线的实长及对 水平投影面的倾角角
AB
|zA-zB|
|zA-zB|
ab
|zA-zB |
AB
AB |zA-zB| ab
直线的投影
2.投影面垂直线
正垂线
立 体 及 其 三 视 图
投 影 轴 测 图
直 线 投 影 图
直线的投影
铅垂线
侧垂线
投影特性： 在所垂直的
投影面上的投影 积聚为一点；
另外两个投 影反映实长，且 垂直于相应的轴。
直线的投影 二、直线对投影面的各种相对位置及投影特性
3.一般位置直线 对三个投影面都是倾斜的直线称为一般位置直线。
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位 置直线则不能。
用直角三角形法求一般位置直线的真长和倾角。
ΔABD为直角三角形，
其中AB为实长，AD=ab，α
为AB对H面的倾角，BD=Bb-
Db=b＇bX- a＇aX=ΔZ（直 线段AB两端点的Z坐标差）。
D
因此，已知ＡＢ投影，可以
通过ab和ΔZ作辅助直角三
角形求出AB及α角。
直线的投影 三、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位 置直线则不能。
用直角三角形法求一般位置直线的真长和倾角。
D
直线的投影 三、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位 置直线则不能。
在两直线交叉垂直时，也同样具有上述特性。
直线的投影 六、一边平行于投影面的直角的投影
例5: 如图a所示，求点A到直线BC的距离AK。
分析：由图可知BC∥V面，而AK⊥BC，故根据直 角投影定理可得：a′k′⊥b′c′。
图a
用直角三角形法求AK的实长
投影。投影用粗实线绘制。
直线的投影
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3．水平投影平行Y轴。
投影面平行线
名称
铅垂线(⊥H面)
正垂线(⊥V面)
侧垂线(⊥W面)
直
观
图
投
影
图
投
影
特
点
1．水平投影积聚为一点。
2．正面投影和侧面投影都平行于Z轴，并反映实长。
1．正面投影积聚为一点。
2．水平投影和侧面投影都平行于Y轴，并反映实长。
1．侧面投影积聚为一点。2．正面投影和平投影都平行于X轴，并反映实长。
名称
水平线(∥H面)
正平线(∥V面)
侧平线(∥W面)
直
观
图
投
影
图
投
影
特
点
1．水平投影反映实长，与X轴夹角为β，与Y轴夹角为α。
2．正面投影平行X轴。
3．侧面投影平行Y轴。
1．正面投影反映实长，与X轴夹角为α，与Z轴夹角为γ。
2．水平投影平行X轴。
3．侧面投影平行Z轴。
1．侧面投影反映实长，与Y轴夹角为α，与Z轴夹角为β。
投影面垂直线