运用米勒定理简解最大角问题 (2)
米勒定理求最大张角
米勒定理求最大张角摘要：一、引言1.介绍米勒定理2.说明最大张角的概念3.阐述求解最大张角的意义二、米勒定理求解最大张角的方法1.详细讲解米勒定理的公式2.解释如何利用米勒定理求解最大张角3.说明米勒定理在求解最大张角问题中的应用三、求解最大张角的实际案例分析1.案例背景介绍2.利用米勒定理求解最大张角的步骤3.结果分析及应用四、总结1.回顾米勒定理求解最大张角的过程2.强调米勒定理在解决相关问题中的重要性3.对未来研究方向的展望正文：一、引言在数学领域，尤其是几何学中，最大张角问题一直是一个重要的研究课题。
张角是指两条射线之间的角度，最大张角则是所有可能张角中最大的那个。
米勒定理，作为数学中一种求解角度的方法，为我们解决最大张角问题提供了有力的工具。
本文将详细介绍米勒定理求解最大张角的方法及其在实际问题中的应用。
二、米勒定理求解最大张角的方法米勒定理，又称切线定理，是指在一个三角形中，任意一条切线的长度等于另外两条切线长度之和。
这个定理可以用来求解最大张角。
假设三角形ABC 的三个顶点分别为A、B、C，我们需要求解角A的最大张角。
根据米勒定理，我们可以得到如下的公式：a = c*sin(B) + b*sin(C)其中，a表示角A的最大张角，b和c分别表示角B和角C的度数。
通过这个公式，我们可以求解出角A的最大张角。
三、求解最大张角的实际案例分析为了更好地理解米勒定理在求解最大张角问题中的应用，我们来看一个具体的案例。
假设有一个四边形ABCD，其中AB 平行于CD，我们需要求解角A的最大张角。
根据米勒定理，我们可以得到如下的公式：a = (BC*sin(D) + AD*sin(B)) / 2其中，a表示角A的最大张角，BC表示边BC的长度，D表示角D的度数，AD表示边AD的长度，B表示角B的度数。
通过这个公式，我们可以求解出角A的最大张角。
四、总结总的来说，米勒定理为我们求解最大张角问题提供了一种有效的方法。
米勒圆最大张角定理
米勒圆最大张角定理
米勒圆最大张角定理，又称米勒外切定理，是一种引人注目的几何定理。
它说明如果一个点在一个圆的外切线上，那么它和另一个圆心之间的角度是最大的，而不管它在外切线上的具体位置。
这种定理最早由德国几何家和历史学家威廉·米勒提出。
米勒圆最大张角定理解释如下：若在一个圆内有一个点，与它的切点相连接形成一条射线，从另一个圆的圆心穿过该射线，那么该点到另一个圆心之间的夹角是最大的。
可以用一个直观的例子来证明米勒圆最大张角定理。
假设我们有三个圆，分别是A,B和C的圆。
我们有一个点P，它位于圆A 的外切线上。
根据米勒圆最大张角定理，我们能够确定点P和圆B 的圆心士P B之间的夹角最大。
同样，当点P位于圆A外切线上时，它和圆C的圆心之间夹角也是最大的，因此，米勒圆最大张角定理有证。
米勒圆最大张角定理具有重要的实际应用，有助于改善产品工艺中所用到的圆滑曲线。
例如，在航空航天工程中，米勒圆最
大张角定理可以帮助设计出更好的飞行空域，以充分利用飞行器的机动性。
此外，米勒圆最大张角定理还可以用来帮助改进飞行器的性能和高度，使其更安全。
米勒圆最大张角定理是一个非常有趣的几何定理，从它可以看到，一个点在一个圆的外切线上时，它和另一个圆心之间的夹角最大。
它不仅有着重要的实际应用，而且也在代数几何学中有着深远的意义。
九年级培优专题：最大视角-米勒定理
（APD最大？若存在，请说明理由，并求出BP的长度；若不存在，也请说明理由．
例4.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．
（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，则称点P为线段AB的"等角点"．显然，线段AB的"等角点"有无数个，且A、B、P三点共圆．
①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，直接写出点C的坐标和⊙C的半径；
②y轴正半轴上是否有线段AB的"等角点"？如果有，求出"等角点"的坐标；如果没有，请说明理由；
（2）当点P在y轴正半轴上运动时，∠APB是否有最大值？如果有，求出点P的坐标.没有就算了。
最大视角———米勒定理
最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题。
答案：当以AB为弦的圆与该线相切时，切点为顶点的角最大，如左图。要不然∠APB变成圆外角，圆外角<圆周角<圆内角，如右图。
快速求法：画出示意图，然后切割线定理秒杀：OP2=OA•OB
跟踪练习：
例3.问题发现：如图①，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝90°，点P和点Q均在射线AM上，若∠APB＝45°，则点P与⊙O的位置关系是______；若∠AQB＜45°，则点Q与⊙O的位置关系是_______．
运用米勒定理简解最大角问题
运用米勒定理简解最大角问题湖北省阳新县高级中学邹生书1.米勒问题和米勒定理1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”，更一般的米勒问题如下：米勒问题：已知点是角MON的边上的两个定点，点是边上的动点，则当在何处时，角ACB最大？对米勒问题有如下重要结论我们不妨称之为米勒定理。
米勒定理：已知点是角MON的边上的两个定点，点是边上的一动点，则当且仅当三角形ABC 的外圆与边相切于点时，角ACB最大。
证明：如图1，设是边上不同于点的任意一点，连结，因为角AC／B是圆外角，角ACB是圆周角，易证角AC／B小于角ACB，故角ACB最大。
图１根据切割线定理得，，即，于是我们有：角ACB最大等价于三角形ABC。
的外圆与边相切于点等价于等价于2.米勒定理在解题中的应用最大视角问题在数学竞赛、历届高考和模拟考试中频频亮相，常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。
若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。
否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。
下面举例说明米勒定理在解决最大角问题中的应用。
2.1用米勒定理确定最大视角的点的位置例1（1986年全国高考数学试题理科第五大题）如图2，在平面直角坐标系中，在轴的正半轴上给定两定点，试在轴的正半轴上求一点，使取得最大值。
图２分析：这是一道较早的“米勒问题”的高考题，该题背景简单解题思路入口宽解法多样，是一道难得的好题。
若用米勒定理求解则可一步到位，轻而易举地拿下此题。
简解：设，由米勒定理知，当且仅当时，最大，故点的坐标为。
米勒定理求最大角
米勒定理求最大角
米勒定理又称拉格朗日-米勒条件，是求解多元函数极值的基本理论。
米勒定理也被称为逆拉格朗日定理，是17世纪著名的法国数学家皮尔·米勒以及拉格朗日找到的一个重要结论，作用相当于哈密顿方法的完善。
多元函数A（X1，X2,...,Xn）的极值问题，其中X1,X2,...,Xn属于自变量，A（X1，X2,...,Xn）属于函数，这时米勒定理给出了一个确定极值的条件公式，即满足条件：
∂A / ∂X1= 0 、∂A / ∂X2= 0 、 ... 、∂A / ∂Xn = 0
即极值点P （X1，X2，...，Xn），是各自变量的偏导数均为零时得到的。
米勒定理可以用来求解多变量函数的最大角和最小角。
设函数y=f(x1,x2)，要求函数的最大角。
由于求函数的最大角和最小角，均为函数取极值的问题，故可以利用米勒定理的条件进行求解。
由以下函数y=f(x1,x2)，得到
∂f / ∂x1=2x1 + 4x2
∂f / ∂x2=8x1 + 4x2
米勒定理的条件：
∂f/∂x1=0
∂f/∂x2=0
得：
2x1+4x2=0
8x1+4x2=0
由以上两个等式可以得出函数f（x1，x2）取极值点为(-4/6 , 4/6)，即x1,x2关于直线y=2x原点处的舍点处取得最大值，即最大角 f(-4/6 , 4/6)=(-2/3,2/3)。
米勒定理求最大张角
米勒定理求最大张角摘要：米勒定理求最大张角一、米勒定理简介1.定义及意义2.相关性质二、求最大张角的方法1.最大张角的计算公式2.求解步骤三、应用实例1.实际问题背景2.运用米勒定理求解四、注意事项1.适用范围2.与其他求解方法的比较正文：一、米勒定理简介米勒定理（Miller"s Theorem）是一种求解最大张角的方法，应用于几何学、物理学等领域。
最大张角是指两个相交直线所形成的角度的最大值。
米勒定理为我们提供了一种简洁的求解方法。
1.定义及意义米勒定理是指：在平面几何中，如果一条直线与另一条直线相交，并且与这两条直线相交的第三条直线的张角小于180度，那么这两条直线的张角的最大值等于90度。
2.相关性质米勒定理具有以下几个性质：（1）如果一条直线与两条相交直线形成的张角小于180度，那么这条直线与这两条相交直线的张角的最大值为90度。
（2）如果一条直线与两条相交直线形成的张角大于180度，那么这条直线与这两条相交直线的张角的最大值仍为90度。
（3）米勒定理适用于任意数量的相交直线，不仅限于两条。
二、求最大张角的方法1.最大张角的计算公式根据米勒定理，我们可以得到最大张角的计算公式：最大张角= 180度- （直线1与直线2的夹角+ 直线1与第三条直线的夹角+ 直线2与第三条直线的夹角）2.求解步骤（1）确定相交直线及第三条直线。
（2）计算直线1与直线2的夹角、直线1与第三条直线的夹角、直线2与第三条直线的夹角。
（3）根据米勒定理，判断最大张角是否为90度。
（4）如果最大张角小于90度，继续寻找第三条直线，重复步骤2-3，直至最大张角为90度。
三、应用实例1.实际问题背景在建筑领域，我们常常需要求解两条相交直线所形成的角度的最大值。
例如，在搭建桥梁时，需要确定两座桥墩之间的最大张角，以确保桥梁的稳定性。
2.运用米勒定理求解假设我们要搭建一座桥梁，桥墩1和桥墩2之间的夹角为α，桥墩1与桥墩3之间的夹角为β，桥墩2与桥墩3之间的夹角为γ。
最大张角定理,米勒定理
最大张角定理,米勒定理最大张角定理：最大张角定理是指，在任何一个凸多边形中，最大的内角所对的边是凸多边形的一条对角线。
证明：假设在凸多边形中，最大的内角所对的边不是凸多边形的一条对角线，而是凸多边形的一条边AB。
则将凸多边形沿着边AB分成两个凸多边形，设它们分别为P1和P2。
由于AB是凸多边形P1的一条边，所以P1的所有内角都小于凸多边形的最大内角。
同理，由于AB是凸多边形P2的一条边，所以P2的所有内角也都小于凸多边形的最大内角。
但是，由于P1和P2的内角之和等于凸多边形的内角之和，所以P1和P2的最大内角之一必须大于凸多边形的最大内角，这与假设矛盾。
因此，最大的内角所对的边一定是凸多边形的一条对角线。
米勒定理：米勒定理是指，在一个互质的正整数a和n中，存在一个正整数k，使得a^φ(n)+k ×n是a模n的一个原根。
证明：设g是模n的一个原根，则g^φ(n)≡1(mod n)。
因为a和n互质，所以a^φ(n)也与n互质。
设a^φ(n)≡g^k(mod n)，则a^φ(n)+k×n≡g^k(mod n)。
因为g是模n的一个原根，所以g^k模n的值为1~n-1中的每一个数，即g^k 是模n的一个原根。
因此，a^φ(n)+k×n是a模n的一个原根。
另一方面，因为a和n互质，所以φ(n)是n的欧拉函数，即φ(n)表示小于n且与n互质的正整数的个数。
因此，a^φ(n)表示小于n且与n互质的正整数a的φ(n)次方的乘积。
根据欧拉定理，a^φ(n)≡1(mod n)。
因此，a^φ(n)+k×n≡k(mod φ(n))。
因为a和n互质，所以φ(n)与n互质。
因此，k模φ(n)的值为1~φ(n)-1中的每一个数，即k是模φ(n)的一个原根。
米勒定理求最大张角
米勒定理求最大张角
摘要：
1.米勒定理简介
2.张角的概念及求最大张角的意义
3.应用米勒定理求最大张角的方法
4.结论
正文：
1.米勒定理简介
米勒定理，又称为米勒引理，是数论中的一个重要定理。
它由美国数学家乔治·米勒（George ler）于1901 年提出。
该定理主要描述了整数n 和m 的最大公约数以及它们的乘积与最小公倍数之间的关系。
具体来说，米勒定理表明：对于任意整数n 和m，它们的最大公约数d 与最小公倍数l 的比值等于两数的乘积，即d/l = n*m。
2.张角的概念及求最大张角的意义
张角，又称张开角，是指两条射线共同围成的角度，它的大小可以用度数或弧度表示。
在几何学中，求最大张角通常意味着寻找两条射线之间能够形成的最大角度。
在许多实际问题中，求最大张角具有重要意义，例如在光学、力学等领域。
3.应用米勒定理求最大张角的方法
在求解最大张角的问题时，我们可以将问题转化为求解两个整数的最大公约数和最小公倍数的问题。
具体操作步骤如下：
（1）将两条射线分别表示为整数a 和b，其中a 和b 的取值范围可以
是任意整数；
（2）根据米勒定理，求解a 和b 的最大公约数d；
（3）根据米勒定理，求解a 和b 的最小公倍数l；
（4）最大张角θ可表示为θ= arccos(d/l)，其中arccos 表示反余弦函数。
4.结论
通过应用米勒定理，我们可以方便地求解最大张角问题。
这种方法将复杂的角度计算问题转化为简单的数论问题，为解决实际问题提供了一种有效途径。
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运用米勒定理简解最大角问题
1.米勒问题和米勒定理
1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”，更一般的米勒问题如下：
米勒问题：已知点是角MON的边上的两个定点，点是边上的动点，则当在何处时，角ACB最大？
对米勒问题有如下重要结论我们不妨称之为米勒定理。
米勒定理：已知点是角MON的边上的两个定点，点是边上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边相切于点时，角ACB最大。
证明：如图1，设是边上不同于点的任意一点，连结，因为角AC／B是圆外角，角ACB是圆周角，易证角AC／B小于角ACB，故角ACB最大。
图１
根据切割线定理得，，即，于是我们有：角ACB最大等价于三角形ABC的外圆与边相切于点等价于等价于。
2.米勒定理在解题中的应用
最大视角问题在数学竞赛、历届高考和模拟考试中频频亮相，常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。
若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用
米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。
否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。
下面举例说明米勒定理在解决最大角问题中的应用。
2.1用米勒定理确定最大视角的点的位置
例1（1986年全国高考数学试题理科第五大题）如图2，在平面直角坐标系中，在轴的正半轴上给定两定点，试在轴的正半轴上求一点，使取得最大值。
图２
分析：这是一道较早的“米勒问题”的高考题，该题背景简单解题思路入口宽解法多样，是一道难得的好题。
若用米勒定理求解则可一步到位，轻而易举地拿下此题
简解：设，由米勒定理知，当且仅当时，
最大，故点的坐标为
例2 如图3，足球场长100米，宽60米，球门长7.2米,有一位左边锋欲射门,应在边的何处才使射门角度最大?
解：依题意，由米勒定理知当
（米）时，最大。
故边锋应在边距
约米处射门才能使射门角度最大。
图3 图4
图5
例3（2004年全国数学竞赛试题）在直角坐标系中，给定两点，在
轴的正半轴上求一点，使最大，则点的坐标为＿＿＿＿。
解：如图4，设直线与轴相交于点，则，
因为，所以，所以，所以，由两点间的距离公
式得，由米勒定理知，当且仅当
时，最大，此时点的坐标为。
2.2用米勒定理探索最大视角的条件
例4（2010年高考江苏理科第17题）某兴趣小组要测量电视塔的高度（单位：），如示意图5，垂直放置的标杆的高度，仰角。
（1）该小组已测得一组的值，算出了，请据此算出的值；（2）若该小组分析若干测得的数据后，认为适当调查整标杆到电视塔的中距离（单位：
），使之差较大，可以提高测量精度。
若电视塔的实际高度为，试问为多少时，最大？
解：（2）设，由米勒定理知，当且仅当即①
时，最大。
又由得，②，①②得，
，将其代入①得，，所以，故
当为时，最大。
点评：第（2）问以实际应用和平面几何为背景考查最大角问题，本解法以米勒定理和相似三角形等知识为突破口，结合方程思想求解，综合性强能力立意高有一定难度。
2.3用米勒定理求最大视角或其三角函数值
例5（2001年希望杯数学竞赛培训题）是椭圆的左右焦点，是椭圆的准线，点，，求的最大值。
解：如图6，易求得，不妨设为左准线交轴于点，则其方
程为，，由米勒定理知，当且仅当
时，最大。
当最大值时，
，因为，由
差角的正切公式得，，所以最大值为。
图6
更一般地我们有如下结论：
例6设是椭圆的左右焦点，是椭圆准线上的动点，
，椭圆的离心率是，则为锐角且（当且仅当点到椭圆的长轴的距离为时取等号）。
证明：设准线交轴于点，则。
由米勒定理知，当且
仅当时，为锐角且最大。
当最
大值时，，又，由差角的正切公式得，
，
所以。
故为锐角且（当且仅当点到椭圆的长轴的距离为时取等号）。
点评：由例6结论知，当取最大值时有或，易求得最大值为。
2.4用米勒定理求视角最大时有关线段之比
例7（2006年全国高中数学竞赛题）已知椭圆的左右焦点是，点在直线上，当最大时，求：。
解：如图7，设直线与轴相交于点，
图7
易求得，则，由米勒定理知，当且仅当
时，最大，此时的外拉圆
与直线相切于点，由弦切角定理得，又，所以
，所以。
点评：本解法不仅用到米勒定理的结论，而且还要熟悉定理证明的几何背景及图形间的内在联系，用相似三角形对应边成比例求线段比，运算量小解法简单快捷。
2.5用米勒定理求视角最大时的综合问题
例8 设是椭圆的短轴顶点，是椭圆焦点相应的长轴顶点。
证明当且仅当椭圆为黄金椭圆（离心率的椭圆）时，最大，且最大角的正弦值为。
解：如图8，由米勒定理知，当且仅当时，最大。
故，所以，所以，即，
图8
∠最大。
即①，解得，故当且仅当椭圆为黄金椭圆时，ABF ∠=q，，
设ABF
则，
所以。
另外我们求最大角的正弦值还可用正弦定理切入，在中，由正弦定理得，
，下面解法同上，略。
点评：本题以椭圆为载体，重点考查椭圆的离心率等有关知识，考查三角公式、恒等变形和推理论证能力。
本解法在求最大角的正弦值时需要很强的化归意识，即要有明确的化简目标，先把用表示正弦值转化为用离心率来表示，最终化成关于的一次式。
这里充分利用①式的各种变式，进行恰到好处的恒等变形是本解法的巧妙之所在。