初中数学证明题：米勒定理-2019年学习文档
初中数学证明题：米勒定理
数学家米勒简介：米勒(Johannes Miiller1436——1476)德国数学家，对三角做出了巨大贡献。
是欧洲最有影响的数学家之一。
米勒发表的《三角全书》，是使得三角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作。
米勒提出了一个有趣的问题：在地球表面什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长?即在什么部位，视角最大?最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题之一。
这一问题更一般的描述是：已知，点A、B是∠MON的ON边上的两个定点，C是OM边上的一个动点，当C在何处时，∠ACB最大?问题的答案是：当且仅当△ABC的外接圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。
人们称这一命题为米勒定理!
一、米勒定理
1.探索：点C在运动的过程中，∠ACB的大小在不断发生变化。
实验证明，当△ABC的外接圆与ON相切时，切点C使得∠ACB最大。
2.如何作出点C的位置?
3.定理的证明
二、应用练习
1/ 1。
初中数学证明题：米勒定理-精选教学文档
初中数学证明题：米勒定理
数学家米勒简介：米勒(Johannes Miiller 1436——1476)德国数学家，对三角做出了巨大贡献。
是欧洲最有影响的数学家之一。
米勒发表的《三角全书》，是使得三角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作。
米勒提出了一个有趣的问题：在地球表面什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长?即在什么部位，视角最大?最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题之一。
这一问题更一般的描述是：已知，点A、B是∠MON 的ON边上的两个定点，C是OM边上的一个动点，当C在何处时，∠ACB最大?问题的答案是：当且仅当△ABC的外接圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。
人们称这一命题为米勒定理!
一、米勒定理
1.探索：点C在运动的过程中，∠ACB的大小在不断发生变化。
实验证明，当△ABC的外接圆与ON相切时，切点C使得∠ACB最大。
2.如何作出点C的位置?
3.定理的证明
二、应用练习
第 1 页。
九年级培优专题：最大视角-米勒定理
（APD最大？若存在，请说明理由，并求出BP的长度；若不存在，也请说明理由．
例4.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．
（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，则称点P为线段AB的"等角点"．显然，线段AB的"等角点"有无数个，且A、B、P三点共圆．
①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，直接写出点C的坐标和⊙C的半径；
②y轴正半轴上是否有线段AB的"等角点"？如果有，求出"等角点"的坐标；如果没有，请说明理由；
（2）当点P在y轴正半轴上运动时，∠APB是否有最大值？如果有，求出点P的坐标.没有就算了。
最大视角———米勒定理
最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题。
答案：当以AB为弦的圆与该线相切时，切点为顶点的角最大，如左图。要不然∠APB变成圆外角，圆外角<圆周角<圆内角，如右图。
快速求法：画出示意图，然后切割线定理秒杀：OP2=OA•OB
跟踪练习：
例3.问题发现：如图①，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝90°，点P和点Q均在射线AM上，若∠APB＝45°，则点P与⊙O的位置关系是______；若∠AQB＜45°，则点Q与⊙O的位置关系是_______．
直线与圆 视角最大问题——米勒定理
6.4 视角最大问题——米勒定理ON ．点，连结ON ，据此我们也可以确定点过，个人还是建议利用“夹角公式＋均值不等式”的套路．例 (1986全国卷理)如图，在平面直角坐标系中，在y 轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A 、B ．试在x 轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C ，使∠ACB 取得最大值．法一 常规方法，利用夹角公式＋均值不等式设(0,)A a ，(0,)B b ，且0b a <<，设(,0)C x ，记BCA α∠=，OCB β∠=，则OCA αβ∠=+，显然02απ<<，故[]2tan()tan tan tan ()1tan()tan 1a b a b x x ab ab x x xαββααββαββ-+--=+-====++++，=，即x tanα取得最大值因此，当点C为0)时，∠ACB取得最大值法二利用米勒定理，显然，过点A、B的圆和x轴相切于点C时，∠ACB取得最大值，设OA a=，OB b=，此时2OC OA OB=，即点C的坐标为0)．例(2005天津文理)某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高80BC=(米)，塔所在的山高220OB=(米)，200OA=(米)，图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为a，1tan2a=．试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角BPC∠最大（不计此人的身高）．解如图所示，延长P A交CO的延长线于点D，过点P作PE⊥OA于点E．易得tan100OD OAα==，AD=BPC∠最大，则必有△PBC的外接圆与直线l相切于点P，根据切割线定理：2DP DB DC=，即DP=PA=因此，sin60PE PAα===，所以当此人距水平地面60米高时，观看塔的视角BPC∠最大．例(2005浙江理)如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12F F、在x轴上，长轴12AACBPOADElα的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，11121MA A F =：：． (1) 求椭圆的方程；(2) 若直线1(1)l x m m =>：，P 为1l 上的动点，使12F PF ∠最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)．略解 (1) 22143x y +=；(2)设直线1l 与x 轴的交点为H ，则点0(,)Q m y ，1m >，则212HQ HF HF =，即2(1)(1)Q y m m =---，即Q y =Q 的坐标为(,m ±，1m >．例 (2010江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H （单位：m ）.如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度4m h =，仰角ABE α∠=，ADE β∠=．(1) 该小组已测得一组αβ、的值，算出了tan 1.24α=，tan 1.20β=，请据此算出H 的值；(2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精度. 若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，αβ-最大？解 (1) 由tan tan H dh H H h BD AD d αβ⎧=⎪⎪⎨-⎪===⎪⎩得：tan tan H H h αβ=-，即tan 124m tan tan h H ααβ==-；(2)DQD2tan tan tan()()1tan tan ()1HH h hd hd d H H h H H h d H H h d d d d αβαβαβ----====≤--++-++，当且仅当d ===tan()αβ-取得最大值．又02βαπ<<<，则02αβπ<-<，因此，当d =时，αβ-最大． 背景 本题实际上也是米勒定理的应用，不过稍微有点特殊，如果选择线段BD 对应的视角∠BED 进行分析，会发现BD 是运动的，E 是固定的，无法利用米勒定理，需要另寻他径进行转化．由于视角的对边是定值，注意到BC 刚好为定值，因此，不妨选择BC 为对边，同时延长CP ，使得BP AE=，根据相对运动可知：点E 刚好在直线PQ 上运动，此时，即可利用米勒定理，当且仅当过B 、C 的圆且与PQ 相切于点E 时，∠BEC 取得最大值，故121d PE ===．例 (1) 在△ABC 中，AB =2216CA CB -=，则角C 的最大值为 ．(2) 在△ABC 中，90C ∠=︒，点M 满足3BM MC =，则sin BAM ∠的最大值是． 解 (1)法一 设角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，则c =222162b a c -==，故2222222132cos 224b a a ba b c a b C ab ab b a -+-+-⎛⎫===+≥ ⎪⎝⎭所以6C π≤，即角C的最大值为6π． 法二 联想到“等差幂线”，易知点C 的轨迹在一条直线上．不妨设(0)A，0)B ，(,)C x y ，代入2216CACB -=，整理得：x =此，当过点A 、B的圆E 与x =C 时，角C 最大！设x =x 轴的交点为D ，则2DB DA DC =，即DC OE =AEB 为正三角形，角C 的最大值为6π． (2)35；如图所示，当过点B 、M 的圆O 与AC 相切于点A 时，BAM ∠最大，设4BC =，BM 的中点为P ，则2CA CM CB =，即2OP AC ==，故3sin sin 5PM BAM POM OM ∠=∠==．例 已知点F 、A 分别为椭圆()222210x y C a b a b +=>>：的右焦点和上顶点，点B 为椭圆右准线l 上的一动点，且△ABF 的外接圆面积的最小值是4π，则当椭圆的短轴最长时，椭圆的离心率为 ．解；设△ABF 的外接圆半径r ，则2sin sin AF a r ABF ABF==∠∠，根据米勒定理可知：当△ABF 的外接圆与右准线相切时，张角ABF ∠取得最大值，此时，r 取得最小值，亦即△ABF 的外接圆面积取得最小值．又22a r c ≥，亦即2222a r c ⎛⎫π≥π ⎪⎝⎭，当且仅当直线AB 与准线l 垂直时取得等号，故2242a c ⎛⎫π=π ⎪⎝⎭，即24a c =，进而2224(2)4b c c c =-=--+，因此，当2c =时，椭圆的短轴取得最大值为4．。
专题1.7 最值问题-隐圆模型之米勒问题-2021年中考数学第二轮总复习课件(全国通用)
常见的“隐圆”模型思维导图
O
动点 动点
6.“瓜豆”问题
隐圆 模型
O
动 点
定点
动点
2.直角对直径
动点
模型解读---“米勒”问题
米勒(1436-1476)德国数学家,对三角做出了巨大贡献,是欧洲 最有影响的数学家之一.米勒发表的《三角全书》,是使得三角学 在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作.
中考数学第二轮总复习题型概述典型例题考点聚焦精准训练综合提升专题17隐圆模型之米勒问题第一部分最值问题纵观近几年中考数学有一些高频考题如线段最值问题动点路程问题除了填空选择关于圆的计算以及解答题关于圆的证明以外常常会以压轴题的形式考察圆的重要性质
中考数学第二轮总复习
第一部分 最值问题
专题1.7 “隐圆模型”之米勒问题
MD上存在唯一的点Q,使得∠PQE=45º,求点P的坐标. y
【简答】②Q在MD上且不与D重合; 作△PEQ的外接圆⊙R,当⊙R与直线MD
M B
相切,且∠PQE=45º时,点Q为唯一的点,此 时RQ⊥MD,∠PRE=90º,△PRE为等腰直角三 角形,作RG⊥ME于点E,与直线MD交点为H.
设P(1,2m),则PG=GE=GR=m,GH=2m,RQ = 2m.
【简答】
M B
①先考虑特殊情况：当Q与D重合时, P点坐标为(1,3)或(1,-3)刚好满足条件.
PQ
A
D(Q)
OE
x
P
典型例题---“米勒问题”之最大张角
【例2】如图,抛物线 y = - 1 x2 + 2 x+ 8与x轴交点为A、D,其顶点为M,
数学米勒定理的证明
数学米勒定理的证明米勒定理是数论中一个非常重要的定理，它可以用来解决求解同余方程的问题。
米勒定理的公式如下：若 a 和 n 互质，那么 a 的欧拉函数φ(n) 满足a^{φ(n)} ≡ 1 (mod n)其中，a 和 n 为正整数，且φ(n) 表示小于等于 n 的正整数中与 n 互质的数的个数。
现在我们来证明一下米勒定理。
证明：我们将 n 分解质因数，得到n = p_1^{α_1} × p_2^{α_2} × …… × p_k^{α_k}其中，p_1、p_2 …… p_k 均为质数。
因为 a 与 n 互质，所以 a 也与每个质因子 p_i 互质。
由欧拉定理，我们知道：对于所有的 p_i 和α_i，都可以用以上公式证明出来。
我们要证明的是：根据中国剩余定理，我们只需要证明以下两个同余式成立：其中，i 和 j 互不相同。
我们来看第一个式子 (2)。
根据欧拉函数的定义，我们可以将φ(n) 表示为φ(n) = n × (1 - 1/p_1) × (1 - 1/p_2) × …… × (1 - 1/p_k)由于 a 和 p_i 互质，又由费马小定理，所以，a^{φ(n)} ≡ a^{n×(1-1/p_i)} ≡ a^{n} × a^{-n/p_i} ≡ (a^{p_i})^{(n/p_i-1)} ≡ 1^{(n/p_i-1)} ≡ 1 (mod p_i^{α_i})。
这样，我们证明了第一个同余式。
同理，我们可以证明第二个式子 (3)。
综上所述，证明完成。
通过上述证明，我们可以得出一个结论：当 a 和 n 互质时，a^{φ(n)} ≡ 1 (mod n) 成立。
这就是米勒定理。
米勒定理可以用于密码学中的 RSA 加密算法，以及许多其他的数学问题的求解。
米勒最大角定理证明
米勒最大角定理证明引言米勒最大角定理是一个重要的几何定理，它可以帮助我们推导出关于三角形的一些性质。
本文将详细介绍米勒最大角定理的证明过程。
什么是米勒最大角定理米勒最大角定理是指在一个三角形中，最大的内角对应的边长是所有边长中最长的。
米勒最大角定理证明过程证明过程如下：步骤一：引理一如果在一个三角形中，存在两个角相等，则这两个角的对边也相等。
步骤二：引理二如果在一个三角形中，存在两个边相等，则这两边所对应角相等。
步骤三：证明最大内角对应的边是最长边假设在一个三角形ABC中，A角最大，我们需要证明a边是最长边。
步骤 3.1 推导根据引理二，可以得出a = BC（b边）或 a = AC（c边）。
步骤 3.2 反证法假设a不是最长边，即存在一条边b或边c比a长。
不失一般性，假设b > a。
步骤 3.3 推导根据引理一，由于A角最大，所以 b > BC（c边）。
步骤 3.4 反证法证明根据步骤 3.3，可以得出 b > BC（c边）。
但这与假设 a不是最长边的前提矛盾，因为c边是BC（b边）与AC（c边）之间最大的边。
所以假设不成立，可以得出结论：最大内角对应的边是最长边。
深入理解米勒最大角定理米勒最大角定理给我们提供了一种判断三角形边长的方法。
通过直接观察三角形的内角，我们可以快速判断出最长的边，而不需要计算每条边的长度。
这一定理在解决三角形相关问题时非常方便。
结论米勒最大角定理指出，在一个三角形中，最大的内角对应的边长是所有边长中最长的。
通过推导和证明，我们可以深入理解这一定理的原理和应用。
希望本文的介绍和证明能够帮助读者更加了解米勒最大角定理，并能够在解决相关几何问题时运用自如。
圆中的重要模型-阿基米德折弦定理与米勒最大角问题(学生版)--初中数学专题训练
圆中的重要模型-阿基米德折弦定理与米勒最大角问题圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型(阿基米德折弦模型、米勒最大张角(视角)模型、弧中点模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.阿基米德折弦模型【模型解读】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。
如下图所示，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC的中点，则从M 向BC 所作垂线之垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD 。
折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。
【模型证明】方法1.:补短法如图，延长DB 至F ，使BF =BA∵M 是ABC 的中点∴∠MCA =∠MAC =∠MB C ∵M 、B 、A 、C 四点共圆∴∠MCA +∠MB A =180°∵∠MB C +∠MB F =180°∴∠MB A =∠MB F ∵MB =MB ,BF =BA∴△MB F ≌△MB A ∴∠F =∠MAB =∠MCB∴MF =MC ∵MD ⊥CF∴CD =DF =DB +BF =AB +BD 方法2.截长法如图，在CD 上截取DG =DB∵MD ⊥BG∴MB =MG ，∠M GB =∠MB C =∠MAC ∵M 是ABC 的中点∴∠MAC =∠MCA =∠MGB 即∠M GB =∠MCB +∠BCA =∠MCB +∠BMA又∠M GB =∠MCB +∠GMC∴∠BMA =∠GMC ∵MA =MC∴△MB A ≌△MGC (SAS )∴AB =GC ∴CD =CG +GD =AB +BD方法3.垂线法如图，作MH ⊥射线AB ，垂足为H 。
∵M 是ABC 的中点∴MA =MC ∵MD ⊥BC∴∠MDC =90°=∠H∵∠MAB =∠MCB ∴△MHA ≌△MDC (AAS )∴AH =CD ，MH =MD又∵MB =MB∴Rt △MHB ≌Rt △MDB (HL )∴HB =BD ∴CD =AH =AB +BH =AB +BD例1.(2022秋·山西临汾·九年级统考阶段练习)阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务．在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问题，其中有这样一个问题：如图1，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC的中点，则从点M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =DB +BA ．其部分证明过程如下：证明：如图2，在CD 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ．∵M 是ABC的中点，∴MA =MC ，∵∠A =∠C ，∴△MAB ≌△MCG (SAS )，∴MB =MG ，⋯⋯任务：(1)补全证明过程，(2)如图3，在⊙O 中，BD =CD，DE ⊥AC ，若AB =4，AC =10，DE =7，则O 到DE 的距离是____________，O 到AC 的距离是____________，⊙O 的半径是____________．变式1.(2022秋·江苏盐城·九年级统考期中)【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段MQ 、QN 组成折线段MQN ．若点P 在折线段MQN 上，MP =PQ +QN ，则称点P 是折线段MQN 的中点．【理解应用】(1)如图2，⊙O 的半径为2，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，点B 是折线段POA 的中点．若∠APO =30°，则PB =______；【定理证明】(2)阿基米德折弦定理：如图3，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线段ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，点M 是ABC的中点，从M 向BC 作垂线，垂足为D ，求证：D 是折弦ABC 的中点；【变式探究】(3)如图4，若点M 是AC 的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则CD 、DB 、BA 之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．【灵活应用】(4)如图5，BC 是⊙O 的直径，点A 为⊙O 上一定点，点D 为⊙O 上一动点，且满足∠DAB =45°，若AB =8，BC =10，则AD =______________．变式2.(2022秋·江苏泰州·九年级统考期中)早在公元前古希腊数学家欧几里得就发现了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦．阿基米德从中看出了玄机并提出：如果条件中的弦变成折线段，仍然有类似的结论．某数学兴趣小组对此进行了探究，如图1，AC 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线段ACB 是圆的一条折弦)，BC >AC ，M 是ACB的中点，过点M 作MD ⊥BC ，垂足为D ，小明通过度量AC 、CD 、DB 的长度，发现点D 平分折弦ACB ，即BD =AC +CD ．小丽和小军改变折弦的位置发现BD =AC +CD 仍然成立，于是三位同学都尝试进行了证明：小军采用了“截长法”(如图2)，在BD 上㵶取BE ，使得BE =AC ，⋯⋯小丽则采用了“补短法”(如图3)，延长BC 至F ，使CF =AC ，⋯⋯小明采用了“平行线法”(如图4)，过M 点作ME ∥BC ，交圆于点E ，过点E 作EF ⊥BC ，⋯⋯(1)请你任选一位同学的方法，并完成证明；(2)如图5，在网格图中，每个小正方形边长均为1，△ABC 内接于⊙O (A 、B 、C 均是格点)，点A 、D 关于BC 对称，连接BD 并延长交⊙O 于点E ，连接CE ．①请用无刻度的直尺作直线l ，使得直线l 平分△BCE 的周长；②求△BCE 的周长．变式3.(2022秋·浙江舟山·九年级校联考期中)请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德(公元前287年一公元前212年)，伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．阿拉伯Al -Binmi (973年一1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al -Binmi 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD ．小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD =AB +BD ，过程如下：证明：如图2所示，在CB 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ．∵M 是ABC 的中点，∴MA =MC ，⋯(1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图3，在⊙O 中，BD =CD ，DE ⊥AC ，若AB =4，AC =10，则AE 的长度为_________；(3)如图4，已知等边△ABC 内接于⊙O ，AB =8，D 为AC上一点，∠ABD =45°，AE ⊥BD 于点E ，求△BDC 的周长．模型2.米勒最大张角(视角)模型【模型解读】已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。
米勒最大角定理证明
米勒最大角定理证明米勒最大角定理是指若平面图G满足斯特恩链式，则它的最大角不超过π/2。
该定理成立的条件比较苛刻，但它对于构造高效的算法和优化问题解决方案有着重要的指导意义。
米勒最大角定理的证明可以分为两个方面：首先是定理的前置条件斯特恩链式，其次是如何证明最大角不超过π/2。
斯特恩链式是图论中的一种拓扑结构，它指的是一个有 n 个节点的图 G，假设我们要寻找一种节点顺序 a1, a2, ..., an，使得对于任意i ∈ [1, n-2]，节点 ai 和 aj（i<j<=n）之间只要有一条路径p，那么 p 的最后一个节点必须是 aj。
这个序列 a1, a2, ..., an 被称为 G 的斯特恩链。
具有斯特恩链式的图具备诸多特殊的性质，最大角定理是其中之一。
接着我们考虑，如果把 G 的点按斯特恩链排列，那么从起点 a1 出发，一路走到 a(n-1) 的路径是唯一确定的。
考虑任取点 v，从a(n-1) 走到 v，那么路径就唯一确定了。
我们接着假设从 v 出发，路径与之前的路径相交于 a(n-2)，那么一定有一个角 AVB（A 和 B 是分别在两条路径上的点），这个角是最大角。
我们发现这个角是 G 的最大角，如果它超过π/2，那么我们可以通过旋转 a(n-1) 到a(n-2) 这一条边来使得这个最大角变得更小，这与之前的结论矛盾。
综上所述，我们证明了当 G 满足斯特恩链式时，它的最大角不超过π/2。
由此我们可以得出一些有用的结论。
例如，如果我们在一个具有斯特恩链的平面图中求解最短路径，那么我们可以使用 Dijkstra 算法，因为该算法使用最小的角度来更新节点的距离，保证不会走回头路，从而得到正确的结果。
同样地，如果我们在一个平面图中求解 Steiner 树问题，那么我们可以优化 MST 算法，因为在斯特恩链的遍历过程中，总能够找到一个 3-Steiner 点（即一个有三个分支的 Steiner 点），从而能够快速完成子问题的求解，进而优化整个算法的时间复杂度。
中考数学专题复习常见模型方法隐圆模型之米勒定理
中考数学专题复习常见模型方法隐圆模型之米勒定理学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（）A．点C B．点D或点EC．线段DE(异于端点) 上一点D．线段CD(异于端点) 上一点2．在平面直角坐标系中，点A(0,2)、B(a,a+2)、C(b,0)（a>0,b>0），若AB=42且∠ACB最大时，b的值为（）A．226+B．226-+C．242+D．242评卷人得分二、填空题3．已知点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3），点C为x轴正半轴上一动点，当∠ACB最大时，点C的坐标是_____________．4．如图，∠MAN＝45°，B、C为AN上两点，AB＝1，BC＝3，D为AM上的一个动点，过B、C、D三点作∠O，当sin∠BDC的值最大时，∠O的半径为_________评卷人得分三、解答题5．如图，已知足球球门宽AB约为52米，一球员从距B点52米的C点（点A､B ､C均在球场底线上），沿着与AC成45°角的CD方向带球．试问，该球员能否在射线CD上找到一点P，使得点P为最佳射门点（即∠APB最大）？若能找到，求出此时点P到点C的距离；若找不到，请说明理由．6．问题探究：（1）如图∠，AB为∠O的弦，点C是∠O上的一点，在直线AB上方找一个点D，使得∠ADB=∠ACB，画出∠ADB；（2）如图∠，AB 是∠O的弦，点C是∠O上的一个点，在过点C的直线l上找一点P，使得∠APB<∠ACB，画出∠APB；（3）如图∠，已知足球门宽AB约为52米，一球员从距B点52米的C点（点A、B、C均在球场的底线上），沿与AC成45°的CD方向带球．试问，该球员能否在射线CD上找一点P，使得点P最佳射门点（即∠APB最大）？若能找到，求出这时点P与点C的距离；若找不到，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0）、B（5，0），点P是直线y＝x＋1上的一个动点，连接AP．BP．当∠APB最大时，求点P的坐标．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点”．显然，线段AB的“等角点”有无数个，且A、B、P三点共圆．∠设A、B、P三点所在圆的圆心为C，直接写出点C的坐标和∠C的半径；∠y轴正半轴上是否有线段AB的“等角点”？如果有，求出“等角点”的坐标；如果没有，请说明理由；（2）当点P在y轴正半轴上运动时，∠APB是否有最大值？如果有，说明此时∠APB 最大的理由，并求出点P的坐标；如果没有请说明理由．9．问题提出（1）如图∠，在矩形ABCD中，AB=2AD，E为CD的中点，则∠AEB∠ACB （填“＞”“＜”“=”）；问题探究（2）如图∠，在正方形ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点P位于何处时，∠APB最大？并说明理由；问题解决（3）如图∠，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距6米（即AB=6米），下边沿到地面的距离BD=11.6米．如果小刚的睛睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌走近时，在P处看广告效果最好（视角最大），请你在图∠中找到点P的位置，并计算此时小刚与大楼AD之间的距离．10．1471年，德国数学家米勒提出了雕塑问题：假定有一个雕塑高AB＝3米，立在一个底座上，底座的高BC＝2.2米，一个人注视着这个雕塑并朝它走去，这个人的水平视线离地1.7米，问此人应站在离雕塑底座多远处，才能使看雕塑的效果最好，所谓看雕塑的效果最好是指看雕塑的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点，如图：过A、B两点，作一圆与EF相切于点M，你能说明点M为所求的点吗？并求出此时这个人离雕塑底座的水平距离？11．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°（1）证明：∠ABF∠∠FCE；（2）当DE取何值时，∠AED最大．12．问题发现：（1）如图∠，点A和点B均在∠O上，且∠AOB＝90°，点P和点Q均在射线AM上，若∠APB＝45°，则点P与∠O的位置关系是；若∠AQB＜45°，则点Q与∠O的位置关系是．问题解决：如图∠、图∠所示，四边形ABCD中，AB∠BC，AD∠DC，∠DAB＝135°，且AB＝1，AD＝22，点P是BC边上任意一点．（2）当∠APD＝45°时，求BP的长度．（3）是否存在点P，使得∠APD最大？若存在，请说明理由，并求出BP的长度；若不存在，也请说明理由．13．如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1，0)，B两点，与y轴交于点C，过点C作CD∠y轴交抛物线于另一点D，作DE∠x轴，垂足为点E，双曲线y=6x(x＞0)经过点D，连接MD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t 秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？参考答案：1．C【解析】【详解】解：如图，记过测量可以发现当设点在DE 上时，张角最大．故选C ．2．B【解析】【分析】根据圆周角大于对应的圆外角可得当ABC ∆的外接圆与x 轴相切时，ACB ∠有最大值，此时圆心F 的横坐标与C 点的横坐标相同，并且在经过AB 中点且与直线AB 垂直的直线上，根据FB=FC 列出关于b 的方程求解即可.【详解】解：∠AB=42，A(0,2)、B(a ,a +2)∠22(22)42a a ++-=，解得a =4或a =-4（因为a >0，舍去）∠B(4,6)，设直线AB 的解析式为y=kx+2，将B(4,6)代入可得k =1，所以y=x+2，利用圆周角大于对应的圆外角得当ABC ∆的外接圆与x 轴相切时，ACB ∠有最大值. 如下图，G 为AB 中点，()2,4G ，设过点G 且垂直于AB 的直线:l y x m =-+，将()2,4G 代入可得6m =，所以6y x =-+.设圆心(),6F b b -+，由FC FB =，可知()()()2226466b b b -+=-+-+-，解得262b =-（已舍去负值）. 故选：B.【点睛】本题考查圆的综合题，一次函数的应用和已知两点坐标，用勾股定理求两点距离.能结合圆的切线和圆周角定理构建图形找到C 点的位置是解决此题的关键.3．()30， 【解析】【分析】根据题意，找到当∠P 与x 轴相切于点C 时，ACB ∠最大，作出相应辅助线，可得出1OA =，2AB =，再由等腰三角形三线合一性质可得2OH =，根据切线定理确定四边形PCOH 为矩形，最后根据勾股定理即可得出．【详解】过点A 、B 作∠P ，∠P 与x 轴相切于点C 时，ACB ∠最大，连接P A 、PB 、PC ，作PH ∠y 轴于H ，如图，∠点A 、B 的坐标分别是（0，1）、（0，3），∠1OA =，312AB =-=，∠PH ∠AB ，∠1AH BH ==，∠2OH =，∠点∠P 与x 轴相切于点C ，∠PC ∠x 轴，∠四边形PCOH 为矩形，∠2PC OH ==，∠2PA =，在Rt PAH 中，223PH PA AH =-=，∠C 点坐标为()3,0． 故答案为()3,0． 【点睛】题目主要考查隐圆模型，涉及知识点包括直线与圆的位置关系、等腰三角形性质、勾股定理、矩形的判定和性质等，理解题意，找准当∠P 与x 轴相切于点C 时，ACB ∠最大，作出相应辅助线是解题关键．4．5242- 【解析】【分析】由题意知，∠BDC 小于90o ，，当∠O 与AM 相切时，∠BDC 最大，此时AD 2=AB ·AC ，则AD =2，延长DO 交AN 于点E ，DE =AD =2，设半径为x ，OE =2-x ，过O 点作OH ∠BC ，垂足为H，则OH=2(2) 2x-，BH=32，在Rt∠OHB中，()2222x⎛⎫-⎪⎪⎝⎭+232⎛⎫⎪⎝⎭=2x，最后求得半径x=5242-．【详解】解：当∠O与AM相切时，∠BDC最大，此时sin∠BDC的值最大，∠∠O与AM相切于点D，AB＝1，BC＝3，∠AD2=AB·AC()4AB AB BC=+=，∠AD=2，延长DO交AN于点E，过O点作OH∠BC，垂足为H，连接BO，∠90ADE∠=︒，∠45A∠=︒，∠∠AED为等腰直角三角形，∠DE=AD=2，设∠O半径为x，则OE=2-x，∠45,90DEA OHE∠=︒∠=︒，∠2(2)sin452xOH OE-=︒=，1322BH BC==，在Rt∠BOH中，222BO BH OH=+，即()2222x⎛⎫-⎪⎪⎝⎭+232⎛⎫⎪⎝⎭=2x，解得：12524524,22x x---==，∠∠O半径大于0，∠25242x --=舍去， ∠x =5242-． 故答案为：5242-． 【点睛】本题考查了圆的综合题，熟练掌握切线的性质、圆周角定理和等腰直角三角形的性质、会利用勾股定理计算线段的长是解题关键．5．能在射线CD 上找到一点P ，使得点P 为最佳射门点，此时点P 与点C 的距离为10米．【解析】【分析】作经过点A 、B 且和直线CD 相切的O ，切点为点P ，此时APB ∠最大．由切线的性质结合题意可证明ACP △为等腰直角三角形．再由52AB BC ==，结合等腰三角形“三线合一”即得出PB AC ⊥，从而可证明APCPCB ，即得出2CP CB CA =⋅，最后根据CB 和CA 的长，求出CP 即可．【详解】 如图，作经过点A 、B 且和直线CD 相切的O ，切点为点P ，此时APB ∠最大． ∠PC 是切线，∠AP PC ⊥．∠45ACD ∠=︒，∠ACP △为等腰直角三角形．又∠52AB BC ==，即点B 为AC 中点∠PB AC ⊥，∠在APC △和PCB 中，4590ACP PCB APC PBC ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠=︒⎩， ∠APCPCB ， ∠CP CB CA CP=，即2CP CB CA =⋅ 52CB =，2102AC CB ==，252102100CP ∴=⨯=，10CP∴=．故能在射线CD上找到一点P，使得点P为最佳射门点，此时点P与点C的距离为10米．【点睛】本题考查切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．根据题意找出APB∠最大时的P点是解答本题的关键．6．（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）能找到点P，点P与点C的距离为10.【解析】【详解】解：(1)如图，∠ADB即为所求(2)如图，∠APB即为所求(3)能找到点P.如图，过AB两点的∠O与射线CD相切于点P.由(2)知，此时∠APB最大，点P为最佳射门点.（或画出正确的示意图）设∠O的半径为r，连接OA，OP.∠EF垂直平分AB，∠C＝45°，AB＝BC＝52∠EC＝1522∠∠CFE＝∠C＝45°，EC＝EF＝1522∠CF＝15∠∠O与CD相切于点P，∠OP∠CD.∠OP＝FP＝r，OF=2r.∠OE＝1522-2r.在Rt∠AOE中，AE2＋OE2＝OA2，∠(522)2＋(1522-2r)2＝r2∠r＝5或r＝25(舍).∠PF＝5.∠PC＝FC－PF＝10.7．（2，3）【解析】【分析】过点P作PE∠l交AB的垂直平分线于点E，根据题意得：以AB为弦的圆，圆心必过线段AB垂直平分线，可得3sin2AEFAE∠=，从而得到当AE=BE=PE最小时，sin AEF∠最大，根据圆周角定理可得到此时∠APB最大，再由PE+BE≥PB，可得PB为圆E的直径时，∠APB最大，然后设直线y＝x＋1交x轴于点D，交x轴于点C，可得到∠PBD=45°，从而得到∠APB =45°，即可求解．【详解】解：如图，过点P 作PE ∠l 交AB 的垂直平分线于点E ，根据题意得：以AB 为弦的圆，圆心必过线段AB 垂直平分线，∠点A （2， 0）、B （5，0），∠AB =3，∠EF ∠AB ，2AEB AEF ∠=∠ ，1133222AF AB ==⨯= ， ∠332sin 2AF AEF AE AE AE ∠=== ， ∠当AE =BE =PE 最小时，sin AEF ∠最大，即∠AEF 最大，∠此时∠AEB 最大，∠12APB AEB ∠=∠ ， ∠此时∠APB 最大，∠PE +BE ≥PB ，∠当PE +BE =PB 时，PE =BE 最小，此时点P 、B 、E 三点共线，∠PB 为圆E 的直径时，∠APB 最大，设直线y ＝ x ＋1交x 轴于点D ，交x 轴于点C ，当0x = 时，1y = ，当0y = 时，1x =- ，∠OC =OD =1，∠∠COD =90°，∠∠CDO =45°，∠PE ∠l ，∠∠BPD =90°，∠∠PBD =45°，∠PB 为圆E 的直径，∠∠BAP =90°，∠∠APB =45°，∠∠APB =∠ABP ，∠AP =AB =3，∠当 ∠APB 最大时，点P 的坐标为()2,3P ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，一次函数的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．8．（1）∠(4，3)或(4,−3)，半径为32；∠存在，(0，3+2) 或(0，3−2)，见解析；（2）有，见解析，(0，7)【解析】【分析】 （1）∠在x 轴的上方，作以AB 为斜边的等腰直角三角形∠ACB ，易知A ，B ，P 三点在∠C 上，圆心C 的坐标为(4,3)，半径为32，根据对称性可知点C (4，−3)也满足条件；∠当圆心为C （4，3）时，过点C 作CD ∠y 轴于D ，则D （0，3），CD =4，根据∠C 的半径得∠C 与y 轴相交，设交点为1P ，2P ，此时1P ，2P 在y 轴的正半轴上，连接1CP 、2CP 、CA ，则1CP =2CP =CA =r =32，得22DP =，即可得； （2）如果点P 在y 轴的正半轴上，设此时圆心为E ，则E 在第一象限，在y 轴的正半轴上任取一点M (不与点P 重合)，连接MA ，MB ，P A ，PB ，设MB 交于∠E 于点N ，连接NA ，则∠APB =∠ANB ，∠ANB 是∠MAN 的外角，∠ANB >∠AMB ，即∠APB >∠AMB ，过点E 作EF ∠x 轴于F ，连接EA ，EP ，则AF =12AB =3，OF =4，四边形OPEF 是矩形，OP =EF ，PE =OF =4，得7EF =，则7OP =，即可得．【详解】（1）∠如图1中，在x轴的上方，作以AB为斜边的等腰直角三角形∠ACB，易知A，B，P三点在∠C上，圆心C的坐标为(4,3)，半径为32，根据对称性可知点C(4,−3)也满足条件；∠y轴的正半轴上存在线段AB的“等角点“。
圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型(学生版)-2024年中考数学
圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型(米勒最大视角(张角)模型、定角定高(探照灯)模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。
实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。
而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。
模型1.米勒最大张角(视角)模型【模型解读】已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。
米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC 的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。
【模型证明】如图1，设C'是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC'B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC'B小于∠ACB，故∠ACB最大。
在三角形AC'D中，∠ADB=∠AC D+∠DAC ∴∠ADB>∠AC D又∵∠ACB=∠ADB∴∠ACB>∠AC D【解题关键】常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。
若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。
否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。
1(2023·广东珠海·九年级统考期末)如图，在足球训练中，小明带球奔向对方球门PQ，仅从射门角度大小考虑，小明将球传给哪位球员射门较好()A.甲B.乙C.丙D.丁2(2023·四川宜宾·校考二模)如图，已知点A 、B 的坐标分别是0,1 、0,3 ，点C 为x 轴正半轴上一动点，当∠ACB 最大时，点C 的坐标是()A.2,0B.3,0C.2,0D.1,03(2023·江苏南京·九年级统考期中)如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =8，M 是CD 的中点，点P 是BC 上一个动点，若∠DPM 的度数最大，则BP =．4(2023·陕西西安·校考模拟预测)足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB 的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，运动员带球在直线CD 上行进时，当存在一点Q ，使得∠CQA =∠ABQ (此时也有∠DQB =∠QAB )时，恰好能使球门AB 的张角∠AQB 达到最大值，故可以称点Q 为直线CD 上的最佳射门点．(1)如图2所示，AB为球门，当运动员带球沿CD行进时，Q1，Q2，Q3为其中的三个射门点，则在这三个射门点中，最佳射门点为点；(2)如图3所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门，CD⊥AB于点D，AB=3a，BD=a．某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q．①用含a的代数式表示a，若此时守DQ的长度并求出tan∠AQB的值；②已知对方守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为54门员站在张角∠AQB内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，求MN中点与AB的距离至少为多少时才能确保防守成功．(结果用含a的代数式表示)5(2023上·北京东城·九年级校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”．(1)如图，⊙O的半径为1，①已知点A(1,1)，直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为90°，直接写出一个符合条件的B点坐标；(2)⊙C的半径为1，①点C的坐标为(1,2)，直线l:y=kx+b(k>0)经过点D( -23+1,0)，若直线关于⊙C的“视角”为60°，求k的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y=3x+1关于⊙C的“视角"大于120°，直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．3模型2. 定角定高模型(探照灯模型)定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值(定高)，∠BAC为定角，则AD有最小值，即△ABC的面积有最小值。