平面立体的截切
立体几何中的截面(解析版)
立体几何中的截面(解析版)在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等），得到的平面图形。
总共有三种截面方式，分别为横截、竖截、斜截。
我们需要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
正六面体的基本斜截面不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
圆柱体的基本截面也有其特殊性质。
我们可以运用线、面平行的判定定理与性质求截面问题，或者结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题。
此外，我们还可以灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等。
建立函数模型也是求最值问题的一种方法。
在一个透明的塑料制成的长方体内灌进一些水，固定底面一边于地面上，再将倾斜，有四个命题。
其中，水的部分始终呈棱柱状，棱AD始终与水面平行，当倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值。
水面的面积在转动过程中会改变，而BC//FG//A1D1，所以A1D1//面EFGH。
因此，正确的命题序号为①③④。
一个容积为1立方单位的正方体，在棱AB、BB1及对角线B1C的中点各有一小孔E、F、G。
若此可以任意放置，则该可装水的最大容积是多少？分析本题，不能用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形。
进一步地，截面也不能为正五边形。
这是因为正方体的每个面都是正方形，而五边形无法与正方形相切。
因此，无论如何调整平面的位置，都不能得到五边形的截面。
而且OE=OC是抛物线的直线准线，所以焦点F在OC上，且OF=OC=1.故选：D二、完形填空在数学课上，老师讲到一个有趣的问题：如何用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形。
这个问题引起了我的思考，我开始想象一个平面在正方体中穿过的情景。
我发现，如果截面是一个正五边形，那么这个五边形的五条边必须分属于正方体的五个不同的面。
但是，正方体的每两个相对的面是平行的，所以这五条边中必有两条边是平行的。
第3章-平面立体及曲面立体的截切
二、
圆锥体
S
圆锥的形成
直角三角形绕其 直角边旋转而成
锥顶 圆锥面
底面
轴线
过圆锥面上任一点可作一条直线通过锥顶该点 的运动轨迹为一圆周
Wang-chenggang
例1 例2 例3 例4
33
33/95
圆锥体的投影
s' S s"
s 对V面的 轮廓线 对W面的 轮廓线
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轮廓线投影 的对应关系 圆锥面投影 可见性判断
4/95
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基本概念 截交线的 概念
截交线的概念：平面与立体表面相交而产生的交线。 平面 基本体 截交线
截平面 共有线
平面体
截 交 线 形 状 取 决 于
回转体
截交线
结束 返回
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基本体的形状 截平面相对于立体的位置 5
截平面
截断面
5/95
截交线的 性质
检查 正面投影积聚成直线
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水平、侧面投影均为椭圆
43/95
一 组 平 面 与 圆 锥 相 交
中点
Wang-chenggang
44
44/95
例 求组合回转体的水平投影
双曲线
q'
p'
q"
p"
Q
P
加深 求与大圆柱的交线 求与小圆柱的交线 求与圆锥的交线
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截平面与立体的相交形式
基本形式
单体单面
单体多面
分别分析单面 与单体交线 截平面与截平面 之间的交线分析
截交线 小结 立体与立 体相交
14截平面截切平面立体和回转体时截交线的求法解析
表3-1
平面与圆柱的交线
3.3 切割体的投影
当截平面与圆柱轴线平行时，其截交线为矩形〔其中两对边为圆柱面的素 线〕;当截平面与圆柱轴线垂直相交时，其截交线为圆;当截平面与圆柱轴线倾斜 相交时，其截交线为椭圆。
【例3-3】 求一斜切圆柱的截交线的投影〔图3-19〕。 【解】 圆柱被正垂面P截断，由于截平面P与圆柱轴线倾斜，故所得的截交 线是一椭圆，它既位于截平面P上，又位于圆柱面上。因截平面P在V面上的投影 有积聚性，故截交线的V 面投影应与PV 重合。圆柱面的H面投影有积聚性，截交 线的H面投影与圆柱面的H面投影重合。所以，只需求出截交线的W面投影。其作 图过程〔图3-19〕如下:Βιβλιοθήκη 图3-23 平面与球面交线的根本作图
3.3 切割体的投影
【例3-7】 画出图3-24〔a〕所示立体的投影。 【解】 〔1〕空间分析 该立体是在半个球的上部开出一个方槽后形成的。 左右对称的两个侧平面P和水平面Q与球面的交线都是圆弧，P和Q彼此相交于直线 段。
图3-24 球上开槽的画法
3.3 切割体的投影
3.3 切割体的投影
教学目的： 1.生疏截交线的性质，娴熟把握平面与常见平面立
体和 回转体的截交线的画法。 2.把握常见平面立体和回转体切口的分析方法和画
法； 3.截切体的尺寸标注方法。 教学重点： 1.截平面截切平面立体和回转体时截交线的求法。 2.切割体的尺寸标注。 教学难点： 截交线的绘制方法。
3.3 切割体的投影
常见切割体的尺寸注法如图3-25所示。
图3-25 切割体的尺寸标注
3.3 切割体的投影
3.3 切割体的投影
图3-18 四棱锥被二平面截切
留意: 平面Q与平面P交线的水平投影3、4应为细虚线。在侧面投影上的细虚 线也不要遗漏。
第四章 截交线
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【例题十六】已知圆球被两个面所截，求截交线的水平投影和 侧面投影 。
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4-17 动画演示
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§4.2 同轴叠加回转体截交线的画法
求取：分解多体为基本体，分析各基本体截交线形状，画出交线的投影。 [例十七]已知圆锥被两个平面P、Q所截，求截交线的水平投影和侧
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4-1 动画演示 上一页
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（二）作图
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【例三】已知六棱柱被P、Q面所截切，求截交后交线的各投影。 （一）分析
截平面P是正垂面，Q是侧平面， 正面投影都有积聚性。 求截交线的H、W面的投影。
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二、求取：同平面立体 对圆锥、圆球等用素线法或纬圆法作图求交点。
三、 注意： ①同平面立体； ②连线：多点光滑相连；找点 ：特殊点（转向轮廓线上 点如最高、最底、最前、最后、最 左、最右）； 一般点。 ③同平面立体； ④曲面立体截交线要明确其特点：
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（二）作图
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【例四】已知四棱柱被五个面所截切，求截切后形体的俯视图
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4-2 动画演示
第四章平面体及回转体的截切讲解
截切：用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。
∙截平面——用以截切物体的平面。
∙截交线——截平面与物体表面的交线。
∙截断面——因截平面的截切，在物体上形成的平面。
讨论的问题：截交线的分析和作图。
一、平面截切的基本形式截交线的性质：∙截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切位置。
∙例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
棱线法！例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例3: 求八棱柱被平面P2例3: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
一、回转体截切的基本形式截交线的性质：∙截交线是截平面与回转体表面的共有线。
∙截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平面与回转体轴线的相对位置。
∙截交线都是封闭的平面图形。
二、求平面与回转体的截交线的一般步骤⒈空间及投影分析☆分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。
找出截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：☆先找特殊点，补充中间点。
☆将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。
例1：求左视图例1：求左视图解题步骤：★空间及投影分析截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置★求截交线★分析圆柱体轮廓素线的投影例2：求左视图例2：求左视图例3：求俯视图截交线截交线的空间的投影形状？特性？例:如何找椭圆另一根轴的端点？例: 圆锥被正垂面截切，求截交线，并完成三视图。
㈢球体的截切平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
㈣复合回转体的截切首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。
第七章 立体的截断
甘肃建筑职业技术学院
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《建筑制图与识图》
本章内容
7.1 平面体的截交线 7.2 曲面体的截交线 7.3 同坡屋面交线
《建筑制图与识图》 7.1 平面体的截交线
平面立体的截交线，是由 平面立体被平面切割后所 形成。如图7.1所示
图7.1 平面体的截断
《建筑制图与识图》
《建筑制图与识图》
7.3 同坡屋面交线
如果每个屋面对水平面的倾角相同， 而且房屋四周屋檐同高，那么，由这 种屋面所构成的屋顶称为同坡屋面。
图7.4 屋面交线
与檐口线平行的两坡屋面交线称为屋脊 线。
凸墙角处檐口线相交的两坡屋面交线称 为
斜脊线。
凹墙角处檐口线相交的两坡屋面交线称 为
天沟线。
《建筑制图与识图》
求平面体截交线的思路：
求平面体的截交线常采用交点法，利用辅助线法或积聚法 求出截平面与形体棱线或底面边线上的交点，依次连接即得截 交线。再由截交线求出截断体的投影，最后分析判断剩余 截 断体上线条的可见性。
立体被截断后，截去的部分应用双点长画线表示，剩余截 断体上可见的线用粗实线表示，不可见的线用中虚线表示。
《建筑制图与识图》 [例7.1]已知三棱锥被切割后的V投影，求截断体的H、W面投影图。
求截交线如图7.2所示.
图7.2 三棱锥被截断已知条件
《建筑制图与识图》
【解析】
1.投影分析： 截平面P为正垂面，它的V投影具有积聚性，截平面Q为水平
面，它的V、W投影均具有积聚性，截平面P同截平面Q一样与三 棱锥的三个棱面都相交并截断两条棱线但并未完全切断形体，同 时这两个截平面相交产生一条交线CD（如图7.7所示）。故从V面 着手，找出截交线的正投影，再由投影关系即可求出截交线的H、 W面投影。最后连线成面，即可求的截断体的三面投影图。
平面立体的截切
二、平面立体截交线的画图
⒈ 求截交线的两种方法：
棱线法:求各棱线与截平面的交点 棱面法:求各棱面与截平面的交线 6
⒉ 求截交线的步骤：
4 3
5 2
1
１）空间及投影分析
截平面与立体的相对位置 截平面与投影面的相对位置
２）画出截交线的投影
确定截交 线的形状
确定截交线 的投影特性
3´≡4´≡ 6´ ≡ 7´
5´ 2´≡8´ 1´≡9´
7″ 6″ 4″ 3″ 5″
8″ 9″
2″ 1″
87
9
6
5
1
4
23
用截交线的 类似性检查
4.2 回转体的截切
一、回转体截切的基本形式
截交线性质 截交线形状
共有性 封闭的平面图形
回转体表面的形状 截平面与回转体轴线的相对位置
二、求截交线的一般步骤
●●
●
●
● ● ●
● ● ●
1. 分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系. 2. 分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。
●
例5：求左视图
● ● ● ●
例6:补画出立体的左视图
1.作圆柱的左视图 2.作左切面上的投影 3.作下部通槽的投影 4.判别可见性
5.整理并擦除多余的线, 完成作图.
例7：求俯视图
求左视图
截交线的空间形状是怎样的? 截交线的已知投影呢？ 截交线的侧面投影 是什么形状？
椭圆的长、短轴随 截平面与圆柱轴线 夹角的变而改变。
3. 截交线的形状
怎样截确交定线截的交形线 的状投是影怎形样状的？？
（1）分析截平面与立体的相对位置以确 定截交线形状。 截交线多边形的边数=截平面截到的棱面数
平面立体的切割
5、作图步骤
（1）根据截平面的位置与曲面立体表面的 性质、判断截交线的形状和性质。 （2）根据截平面位置和曲面立体所处位置， 决定采用什么方法求共有点。 （3）求出截交线上的特殊点。 （4）根据需要求出若干个一般点。 （5）光滑且顺次地连接各点，作出截交线， 并且判断可见性。 （6）最后，补全可见性和不可见部分的轮 廓线或转向轮廓素线，并擦除被切掉的部 分。
截切： 用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。
截平面：用来截切立体的平面称为截平面。 截断面：立体被截切后的断面称为截断面。 截交线：截平面与立体表面的交线称为截交线。
讨论的问题：截交线的分析和作图 。
平面立体的截交线
1、平面立体截交线的性质 2、平面立体截交线的求法 （1） 棱柱上截交线的求法 （2） 棱锥上截交线的求法
4、特殊点
特殊点是指绘制曲线时有影响的各种点，具体有： （1）极限点 确定曲线范围的最高、最低、最前、最后、 最左和最右点。 （2）转向点 曲线上处于曲面投影转向线上的点，它们 是区别曲线可见于不可见部分的分界点。 （3）特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上 四个端点。 （4）结合点 截交线由几部分不同的线段（曲线、直线） 组成时结合处的那些点。 对于特殊点，根据现有知识凡是能够求出来的都应求出。
35
1
6
2 4
6
5
4
3 1 2
Ⅵ
Ⅴ Ⅳ
Ⅲ
ⅠⅡ
例7 求P、Q 两平面与三棱锥截交线的投影
解题步骤
1．分析:截平面的 正面投影积聚，截 交线的正面投影已 知，水平投影和侧 面投影待求；
2．求出截交线上 的折点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ ；
3．顺次地连接各 点，作出截交线， 并且判别可见性；
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【课堂小结】
★截交线的性质； ★求截交线的方法；
★平面立体截切的画图步骤。
作业
机械制图习题集：
P21-2 P22-1,3 P23-1
新授
截交线是封闭的平面图形；
截交线的形状取决于几何体的表面性质及截平面相 对几何体的位置。
三、截交线的求法
常用方法
新授
★ 棱线法：求各棱线 与截平面的交点，然 后依次连接各交点， 判别可见性； ★ 棱面法：求各棱面与 截平面的交线，并判别 可见性。
四、平面立体截切的画法
新授
例：
P
P
四、平面立体截切的画法
引入
常见的平面基本体
棱柱 棱锥
新授
一、几个基本概念
截断体：
当立体被平面截断成两部分时，其中 任何一部分均称为截断体 ；
新授
截断体
截平面：
用来截断立体的平面称为截平面；
截交线：
截平面与立体表面的交线称为截交线 ；
截断面：
由截交线围成的平面图形称为截断面 。
截断体
二、截交线的性质
截交线是截平面与立体表面的共有线；
画图步骤：
1、画出未被截切的平面立体三视图；
D
新授
2、判断截平面的类型以及截交线的形状； 3、求截交线各顶点的三面投影；
E
C
P
B
4、连接各顶点的同名投影，判别可见性；
A
5、擦去多余的线，描深全图，完成三视图。
补全如下图所示平面立体的三视图。
课堂 练习
习
题
集 P21-1
课堂小结
★截断体、截平面、截交线、截断面的概念；
平面立体的截切
三面投影如何形成？与三视图的关系是什么？
复习
主视图 从前往后投影→V面投影
从上往下投影→H面投影 俯视图
从左往右投影→W面投影
左视图
三面投影规律是什么？
复习
主俯视图：长对正
主左视图：高平齐
俯左视图：宽相等
判别下列平面各为什么类型的平面？
复习
正平面水平面Fra bibliotek侧平面
正垂面
铅垂面
侧垂面
已学过的平面基本体有哪些？