电动力学作业-2010
电动力学章节练习题第一二三章
电动力学章节练习题第一二三章电动力学章节练习题第一、二、三章电动力学第一章练习一、填空题1.一个半径为a的带电球，其介电常数为ε，电荷在球内均匀分布，总电荷为q，则球内电场满足e?____________，球外电场满足用户??e?____________。
2.一个半径为a的带电导体球处于静电平衡状态，所带总电荷为q，其介电常数为ε0，则球内电场满足用户??e?____________，球外电场满足用户??e?____________。
3.一个半径为a的带电球，其介电常数为ε，电荷在球内均匀分布，总电荷为q，则球内电场满足e?____________，球外电场满足用户??e?____________。
4.电流i均匀分布于半径为a的无穷长直导线内，导线外为真空，则导线内磁场??b=__________，导线外磁场??b=_________。
5.电流i均匀分布于半径为a的无穷长直导线内，导线外为真空，则导线内磁场??b=__________，导线外磁场??b=_________。
6.位移电流的实质是。
介质中位移电流密度等于。
7.在两种导电介质分界面上，优点和原产?。
通常情况下，电流密度满足用户的边值关系就是。
8.坡印亭矢量叙述。
9.场强与电势梯度的关系式为.。
10.电量为q的点电荷处在介电常数为?的光滑介质中，则点电荷附近的极化电荷为.11.某均匀非铁磁介质中,稳恒自由电流密度为jf,磁化电流密度为jm,磁导率?,磁场强度为h，磁化强度为m，则??h?,??m?.12.介电常数为?的光滑各向同性介质中的电场为电场强度大小为。
e.如果在介质中沿电场方向挖一窄缝,则缝中二、挑选1.在带自由面电流的磁介质界面上，两边介质的介电常数不同，这时候边值关系为：a.磁感应强度法向不连续，磁场强度切向连续。
b.磁感应强度切向连续，磁场强度法向不连续。
c.磁感应强度法向连续，磁场强度切向不连续。
d.磁感应强度切向不连续，磁场强度法向连续。
电动力学试题
电动力学试题一、简答题（每题50分，共计100分）1. 请解释静电场标势的物理意义？2. 请解释静磁场矢势的物理意义？（P75）引入矢势A的根据是：磁场的无源性。
矢势A的物理意义是，它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。
只有A的环量才有物理意义，而每点上的A（x）值没有直接的物理意义。
3. 阿哈罗诺夫－玻姆（Aharonov-Bohm）效应的存在表明了什么？（P90）4. 请分别写出在洛仑兹规范和库仑规范下电磁场标势矢势所满足的波动方程，试比较它们的特点。
P156（1.8式和1.9式）5. 请写出能量守恒定律的积分式，并说明其物理意义？（P30的6.1式）6. 请写出电荷守恒定律的微分形式，并说明其物理意义？（P9的2.5式）7. 已知海水的µ=1，σ=1 s/m ，频率为105HZ 的电磁波在海水中的穿透深度。
（同计算题6）8. 请写出真空中光速C 与00εμ关系式，并计算出真空中的光速。
（P114的1.22式）9. 请写出边长为 L 1、L 2、L 3的矩形谐振腔的本征频率表达式，若L 1≥L 2≥L 3，则最低频率的谐振波模是什么？其谐振频率和相应的电磁波波长是多少？（P131）10. 请写出边长为a、b的矩形波导管的截止表达式，若a b，则TE10波的最低截止频率多少？若波导管中为真空，则此时最低截止频率和相应的截止波长是多少？（P134）11.写出电场和磁场的推迟势表达式，并说明他们的物理意义。
P160（2.12式和2.13式）二、计算题（每题50分，共计100分）1.（每题50分，共100分）已知电荷Q均匀分布于半径为a的球体内。
（P7例题）求：（1）球体内、外各点的电场强度；（2）根据上面求出的结果直接计算球体内、外电场的散度。
2.（50分）有一平面电磁波在空间传播，其电场强度表达式为：)]102102([100,62t Z i exP e t x E x ⨯-⨯=-πππ）（求： （1）频率、波长和波速； （2）若介质的磁导率米亨利7104-⨯=πμ，求磁场强度；（3）求在单位时间内从一个与x--y 平面平行的单位面积通过的电磁场能量。
电动力学答案完整
1.7. 有一内外半径分别为 r 1 和 r 2 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质内均匀带静止由电荷f ρ求 1 空间各点的电场；2 极化体电荷和极化面电荷分布。
解（1）fsD ds dV ρ→⋅=⎰⎰， （r 2>r> r 1）即：()2331443fD r r r ππρ⋅=-∴()33133f r r E r rρε→-=， （r 2>r> r 1）由()3321043ff sQ E d s r r πρεε⋅==-⎰， （r> r 2） ∴()3321303f r r E r r ρε→-=， （r> r 2）r> r 1时， 0E = （2）()00000e P E E E εεεχεεεε-===- ∴ ()()()3331010330033303p f f f fr r r P r r r r r εερεερρεεεεεερρεε⎡⎤-⎛⎫-⎢⎥=-∇⋅=--∇⋅=-∇⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦--=--=- （r 2>r>r 1）12p n n P P σ=-考虑外球壳时， r= r 2 ，n 从介质 1 指向介质 2 （介质指向真空），P 2n =0()()23333102110332133p n f f r r rr r r P rr r εσεερρεε=--⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭ 考虑内球壳时， r= r 1()()13310303p f r r rr rr σεερε=-=--=1.11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为 l 1 和l 2，电容率为ε1和ε，今在两板接上电动势为 Ε 的电池，求 （1） 电容器两板上的自由电荷密度ωf （2） 介质分界面上的自由电荷密度ωf若介质是漏电的，电导率分别为 σ 1 和σ 2 当电流达到恒定时，上述两问题的结果如何？解：在相同介质中电场是均匀的，并且都有相同指向则11221211220(0)n n f l E l E E D D E E εεσ-=⎧⎪⎨-=-==⎪⎩介质表面上 故：211221EE l l εεε=+，121221EE l l εεε=+又根据12n n f D D σ-=， （n 从介质1指向介质2） 在上极板的交面上，112f D D σ-= 2D 是金属板，故2D =0即：11211221f ED l l εεσεε==+而20f σ=3122f D D D σ'''=-=-，（1D '是下极板金属，故1D '=0）∴31121221f f El l εεσσεε=-=-+若是漏电，并有稳定电流时，由jE σ=可得111j E σ=， 222j E σ=又1212121212,()nn j j l l E j j j j σσ⎧+=⎪⎨⎪===⎩稳定流动得：121212E j j l l σσ==+ ，即1211122121221221j E E l l j E E l l σσσσσσσσ⎧==⎪+⎪⎨⎪==⎪+⎩1231221f E D l l εσσσσ==+上22212219f ED l l εσσσσ=-=-+下2112231221f D D E l l εσεσσσσ-=-=+中1.14、内外半径分别a 和b 的无限长圆柱形电容器，单位长度电荷为f λ，板间填充电导率为σ的非磁性物质。
2010年秋季学期电动力学试卷
2010年秋季学期电动力学试卷
一、填空题（每题5分，共四小题，合计20分）
1. 静电场的第一唯一性定理可表述如下：如果某体积边界面S上给定，则该体积内拉普拉斯方程的解是唯一的。
2. 均匀无穷长直圆柱形螺线管，管内充满磁导率为的均匀介质，螺线管截面半径为，每单位长度线圈匝数为，电流为I，则管内磁矢势为。
3. 无限长矩形波导管中不能传播的是（TE波、TM波、TEM波中请选填一种）。
4. 一飞船空间舱以相对于地面的速度运动，一物体由舱顶部落下，空间舱里的观察者所测的时间是地面观察者所测的时间的倍，则空间舱飞行速度为。
二、简答题（每题5分，共四小题，合计20分）
1. 在两种介质的分界面上，电磁场满足的边值关系是什么？
2. 在介质情况下，麦克斯韦方程组的微分形式是什么？
3. 什么是规范变换？什么是规范不变性？
4. 辐射电场与磁场、辐射能流密度在远处随距离的变化关系是什么？
三、计算题（每题15分，共三小题，合计45分）
1. 半径为，介电常数（电容率）为的线性均匀介质球中心置一点电荷，球外为真空。
在静电平衡情况下：
(1) 写出全部定解条件；
(2) 求出电势分布。
2. 试用表示一个沿方向的均匀恒定磁场，写出的两种不同表示式，证明二者之差是无旋场。
3. 平面电磁波以从真空入射到的非铁磁性线性均匀的介质，电场强度垂直于入射面。
求：
(1) 反射系数；
(2) 透射系数。
四、推导题（15分）
由和以及麦克斯韦方程组，推导标势与矢势满足的达朗贝尔方程，并写出方程的形式解。
电动力学.习题
设 B(r , r ) 是 r 和 r 的矢量函数，计算 ∇ ⋅ B(r , r ) 。
∇ ⋅ B(r,r ) = = + ∂Bx ( r , r ) ∂x ∂Bx ( r , rc ) ∂x ∂r + + ∂By ( r , r ) ∂y ∂y + ∂y + ∂Bz ( r , r ) ∂z ∂Bz ( r , rc ) ∂z ∂y + ∂Bz ( rc , r ) ∂r ∂z ∂z
(9)
例5
证明
4
= (B ⋅ ∇ )A + (A ⋅ ∇ )B + B × (∇ × A) + A × (∇ × B )
∇(A ⋅ B )
[证明] 由 ∇ 的求导作用有
∇(A ⋅ B ) = ∇(A ⋅ Bc ) + ∇(Ac ⋅ B )
根据矢量公式
b (a ⋅ c ) = c a ⋅ b + a × b × c
a × b × c = b (a ⋅ c ) − c a ⋅ b
作调整得到
(
)
(
)
= Ac (∇ ⋅ B ) − (Ac ⋅ ∇ )B = A(∇ ⋅ B ) − (A ⋅ ∇ )B
∇ × (Ac × B ) = Ac (∇ ⋅ B ) − B (∇ ⋅ Ac )
]
[
(7)
交换 A 、 B 的顺序，由(7)式可以推出
由行列式可以看出混合积对 A 、 B 和 C 具有轮换对称性，即有：
Ai
Aj Bj Cj
Ak Bk Ck
A ⋅ ( B × C ) = C ⋅ ( A × B ) = B ⋅ ( C × A)
双重矢量积公式的证明
电动力学习题答案
电动力学习题答案电动力学是物理学中研究电荷、电场、磁场和它们之间相互作用的分支。
以下是一些典型的电动力学习题及其答案。
# 习题一：库仑定律的应用问题：两个点电荷，一个带电为+3μC，另一个为 -5μC，它们之间的距离为 2m。
求它们之间的静电力大小。
解答：根据库仑定律，两个点电荷之间的静电力 \( F \) 由下式给出：\[ F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \]其中 \( k \) 是库仑常数，\( q_1 \) 和 \( q_2 \) 是电荷量，\( r \) 是它们之间的距离。
代入给定的数值：\[ F = 8.9875 \times 10^9 \frac{N \cdot m^2}{C^2} \times\frac{3 \times 10^{-6} C \times (-5 \times 10^{-6} C)}{(2 m)^2} \]\[ F = 37.5 N \]# 习题二：电场强度的计算问题：一个无限大均匀带电平面，电荷面密度为 \( \sigma \)。
求距离平面\( d \) 处的电场强度。
解答：对于无限大均匀带电平面，电场强度 \( E \) 垂直于平面，大小为：\[ E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \]其中 \( \epsilon_0 \) 是真空电容率。
# 习题三：电势能的计算问题：一个点电荷 \( q \) 位于另一个点电荷 \( Q \) 产生的电场中，两者之间的距离为 \( r \)。
求点电荷 \( q \) 在该电场中的电势能。
解答：点电荷 \( q \) 在由点电荷 \( Q \) 产生的电场中的电势能 \( U \) 为：\[ U = -k \frac{qQ}{r} \]# 习题四：洛伦兹力的计算问题：一个带电粒子，电荷量为 \( q \)，以速度 \( v \) 进入一个垂直于其运动方向的磁场 \( B \) 中。
电动力学作业第二章
第二章 习题1. 有导体存在时的唯一性定理是说: 若给出介质中自由电荷的分布,给定每个导体上的_______或每个导体上的______,以及（包围所有导体的）界面S 上sn s ∂∂ϕϕ或,则S 内静电场E被唯一确定. 2. 无导体存在时的静电学问题的唯一性定理为: 设空间区域V 可以分为若干小区域i V ,每个小区域i V 充满均匀介质i ε,若给出V 内自由电荷的分布,同时给出V 的界面S上的__ _ ___或_ __ ____,则V 内静电场E被唯一确定.3. 半径为0R 的接地导体球置于均匀外电场0E 中,导体球外为真空.试用分离变量法,求导体球外的电势、场强和导体球面上的自由电荷面密度σ.4. 半径为0R 的接地导体球置于均匀外电场0E中,球外真空, 试用分离变量法,求电势、导体面上的电荷面密度及场强.5. 半径为R 的空心带电球面，面电荷密度为θσσcos 0=f （0σ为常量）,球外充满介电常数为ε的均匀介质，求球内外的电势、场强.6. 在两个互相垂直的接地导体平面所围成的直角空间内有一点电荷Q ,它到两个平面的距离为a 和b ,其坐标为)0,,(b a ,那么当用镜像法求空间的电势时,其镜像电荷的数目为______,这时所围成的直角空间内任意点),,(z y x 的电势为______.7. 两个无穷大的接地导体平面分别组成一个450、600、900两面角，在两面角内与两导体平面等距离处置一点电荷Q ,则在这三种情形下，像电荷的个数分别为 ______，______，______.8. 一电量为q 的点电荷在两平行接地导体平面中间，离两板距离均为a ，则像电荷的个数为_______.9.有两个电量为q的点电荷A和B，相距2b，在它们的联线的中点放一半径为a的接地导体球（b>a）,则每一个点电荷受力大小为_______.10.电荷分布为ρ,体积为V的带电体系在外电场（电势为eϕ）中的能量为_______.11.两个同心带电球面（内、外半径分别为a、b）均匀地带有相同的电荷Q，则这两个带电球面之间的相互作用能为_________；系统的总静电能为_________.12.半径为R的接地导体球外有一点电荷q，它离球心的距离为a，则他们的相互作用能为_______.。
电动力学习题
Chapter1电磁现象的普遍规律 计算、证明题1. 真空中有一静电场，场中各点z e E E =，试证明(1)当0≠ρ时，)(z E E =，即E 仅是z 的函数；(2)当0=ρ时，E 是常矢量. 【证】（1）由于z e E E =，且电荷密度0≠ρ，故000=∂∂+∂∂=⨯∇≠=∂∂=⋅∇y x e e E E xE y E z E ερ所以，得0,0≠∂∂=∂∂=∂∂zE x E y E 即z e E E =（2）当0=ρ时，由（1）中的结果，有00=∂∂=∂∂=∂∂=⋅∇xE y E zEE所以，当0=ρ时，电场E 为一常矢量，即均匀电场2. 在一个半径为R 的介质球内，极化强度矢量p 沿径向向外，其大小正比于离开球心的距离)0(>=00r p p p ，试求介质内、外的电荷密度、电场强度和电位移矢量. 【解】：利用介质中极化电荷体密度与极化强度的关系R r <时，00013)(p p p P -=⋅∇-=⋅-∇=r r ρ R r >时，0,022==P p ρ在R r =的球面上，极化电荷体密度R p R r r P 0=⋅=⋅-==p e p -p n 12）（σp ⋅-∇=P ρ由于球内、球面上电荷分布具有球对称性，故电场也具有球对称性，做一半径为r 的同心球面.由高斯定理⎰⎰=⋅dv d Sρε01s E 得，R r <<0时，有,3341400110100013021=+-=+=-==⋅=⋅r p r p p E D r p rE r r E P P εεερρπεπR r >时，有,00)434(142202223022=+===+=⋅p E D E R R r E P P εσπρπεπ3. 证明在载有稳恒电流电流的线性介质中，磁化电流分布在介质的不均匀处以及存在自由电流的地方 【证】：由于磁化电流密度M J ⨯∇=M对于线性介质，H H M )1(-==μμm x ，代入上式，得 HH H J ⨯∇-+⨯-∇=-⨯∇=)1()]1([)1(00μμμμμμM又因为是稳恒电流，故J H =⨯∇，所以J H J )1()]1([00-+⨯-∇=μμμμM4. 在同一空间中存在静止电荷的电场和永久磁铁的磁场，此时可能存在H E S ⨯=矢量，但没有能流，证明对于任一闭合表面有0)(=⋅⨯⎰s H E d S【证】：利用积分变化关系dv d VS⎰⎰⨯⋅∇=⋅⨯)()(H E s H E由于)()()(H E E H H E ⨯∇⋅-⨯∇⋅=⨯⋅∇对于静止电荷、永久磁铁产生的电磁场，属于稳恒场，且传到电流0=J ，故0,0=⨯∇=⨯∇H E代入得0(=⨯∇）H E 所以0)(=⋅⨯⎰Sd s H E5. 电流稳恒地流过两个线性导电介质的交界面，已知两导电介质的电容率和电导率分别为1ε、1σ和2ε、2σ，交界面上的电流密度分别为1J 和2J ，试求交界面上自由电荷面密度σ. 【解】：在介质的交界面上，自由电荷面密度n n D D 1212-=⋅=）（D -D n σ由于E D ε=且E J c σ=，其中c σ为介质的电导率，所以，得到J D cσε=代入，得n n J J 111222σεσεσ-=式中n 2J 、n 1J 是电流密度在界面处的法向分量 由于电流稳恒，J 满足0=⋅∇J ，在界面上有0)(1=-⋅J J n 2，即n n 21J J = 所以界面上自由电荷面密度21J n J n ⋅-=⋅-=)()(11221122σεσεσεσεσ6. 已知一静电场y x x x e e E λλ22--=，其中λ是实数，设某一时刻，在),,(000z y x 点沿z 轴方向把带电粒子注入到此电场中，带点粒子的质量为m ，电荷电量为e ，注入的初速度为)(00c v v <<，求粒子的运动方程的解，并说明所得的解得物理意义.【解】带电粒子运动时满足y x y e x e e dtd me e E rλλ2222--== 沿z y x 、、方向的分量方程分别为022222222=-=-=dtzd y me dty d m xm e dtx d m λλ由已知条件，0=t 时，z z y x v z y x e v e e e r 000,=++=，利用这些初始条件，解得tv z z t y y tx x 0000cos cos +===ωω，式中me λω2=7. 用高斯公式证明【证】用非零的任意常矢量c 点乘上式左边得)1(][⎰⎰⨯∇⋅=⨯∇⋅VVf c f c dV dV根据矢量分析公式)()(B A B A B A ⨯∇⋅-⋅⨯∇=⨯⋅∇）（令其中的f A =，c B =，便得)()(f c c f c f ⨯∇⋅=⋅⨯∇=⨯⋅∇）（因此（1）式左边⎰⎰⨯⋅∇=⨯∇⋅VVc f f c ）（）dV dV ]([又由高斯公式有⎰⎰⎰⎰⎰⨯⋅=⨯⋅=⋅⨯=⋅⨯=⨯⋅∇SSSSd dS S d d dV f S c f n c n c f S c f c f V)()()(）（所以⎰⎰⨯⋅=⨯∇⋅Sd dV f S c f c V因为c 为非零的任意常矢量，故得⎰⎰⨯=⨯∇Sd dV f S f V8.用斯托克斯定理证明⎰⎰⋅=⋅⨯SLS a l r a d d 2）（，式中a 为常矢量. 【证】由矢量分析公式有a a a r a a r r a a r r a 23)()()()()(=+-=⋅∇-⋅∇+∇⋅-∇⋅=⨯⨯∇⎰⎰⨯=⨯∇V f f S dS dV令r a F ⨯=，则由斯托克斯公式⎰⎰⋅=⋅⨯∇LSl F S F d d 和上式得⎰⎰⎰⋅=⋅⨯⨯∇=⋅⨯SSLS a S r a l r a d d d 2）（）（9.设电磁场的能量密度为)(21D H DE ⋅+⋅=w ，能流密度为H E S ⨯=.试由麦克斯韦方程证明：对于各向同性的绝缘介质来说，0=∂∂+⋅∇twS 【证】对绝缘介质来说，电导率为0=σ，这时麦克斯韦方程为)2()1(t t ∂∂-=⨯∇∂∂-=⨯∇DH B E由矢量分析公式)()(g f g f g f ⨯∇⋅-⋅⨯∇=⨯⋅∇）（得)()(H E H E H E S ⨯∇⋅-⋅⨯∇=⨯⋅∇=⋅∇）（将（1）（2）两式代入上式得）（3)(H BD E D E H B S ⋅∂∂+∂∂⋅-=∂∂⋅-⋅∂∂-=⋅∇tt t t对于各向同性的介质来说，E D ε=，H B μ=电容率ε和磁导率μ都是常量，故有）（）（421D E E D E E E E D E ⋅∂∂=∂∂⋅=∂∂⋅=∂∂⋅=∂∂⋅t t t t t εε ）（）（521B H H B H H H H B H ⋅∂∂=∂∂⋅=∂∂⋅=∂∂⋅=∂∂⋅t t t t t μμ将（4）（5）两式代入（3）式便得twt ∂∂-=⋅+⋅∂∂=⋅∇）（H B D E S 21所以0=∂∂+⋅∇twS10.由麦克斯韦方程组出发，求电导率为σ、电容率为ε的均匀介质内部自由电荷量ρ与时间t 的关系【解】设在这介质内部，由于某种原因，在0=t 时刻，有自由电荷分布，电荷量的密度为0ρ；到t 时刻，电荷量的密度变为ρ，则由麦克斯韦方程组得ρεσεσσρ-=⋅∇-=⋅∇-=⋅-∇=-⨯∇⋅∇=∂∂⋅∇=⋅∇∂∂=∂∂D E j j H D D )(tt tεσρρ-=∂∂t 1 求解，并利用初始条件便得teεσρρ-=0当∞→t 时，0→ρ。
电动力学考试题和答案
电动力学考试题和答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 电场强度的定义式为：A. E = F/qB. E = FqC. E = qFD. E = F/Q答案：A2. 电场线的方向是：A. 从正电荷指向负电荷B. 从负电荷指向正电荷C. 从无穷远处指向电荷D. 从电荷指向无穷远处3. 电势差的定义式为：A. U = W/qB. U = WqC. U = qWD. U = W/Q答案：A4. 电容器的电容定义式为：A. C = Q/UB. C = U/QC. C = QVD. C = UV答案：A5. 电流强度的定义式为：B. I = qtC. I = qVD. I = Vq答案：A6. 欧姆定律的公式为：A. V = IRB. V = R/IC. V = I/RD. V = R*I答案：A7. 磁场强度的定义式为：A. B = F/IB. B = FID. B = Vq答案：A8. 洛伦兹力的公式为：A. F = qvBB. F = BqvC. F = qBvD. F = Bvq答案：C9. 磁通量的定义式为：A. Φ = B*AB. Φ = A*BC. Φ = B/AD. Φ = A/B答案：A10. 法拉第电磁感应定律的公式为：A. E = -dΦ/dtB. E = dΦ/dtC. E = Φ/tD. E = tΦ答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 电场强度的单位是______。
答案：伏特/米（V/m）2. 电势的单位是______。
答案：伏特（V）答案：法拉（F）4. 电流强度的单位是______。
答案：安培（A）5. 电阻的单位是______。
答案：欧姆（Ω）6. 磁场强度的单位是______。
答案：特斯拉（T）7. 磁通量的单位是______。
答案：韦伯（Wb）8. 电感的单位是______。
答案：亨利（H）答案：假想10. 磁场线是______的线。
答案：闭合三、计算题（每题10分，共60分）1. 一个点电荷Q = 2 × 10^-6 C，距离该点电荷r = 0.1 m处的电场强度是多少？答案：E = kQ/r^2 = (9 × 10^9 N·m^2/C^2) × (2 × 10^-6 C) / (0.1 m)^2 =1.8 × 10^4 N/C2. 一个电容器C = 4 μF，两端电压U = 12 V，求该电容器的电荷量Q。
电动力学作业及参考解答
习题与参考答案第1章 电动力学的数学基础与基本理论1.1 A 类练习题1.1.1 利用∇算符的双重性质，证明（1）()A A A ϕϕϕ∇×=∇×+∇×r r r（2）2()()A A A ∇×∇×=∇∇⋅−∇r r r1.1.2 证明以下几个常用等式，其中()x r x x e ′=−r r ()()y z y y e z z e ′′+−+−r r ,a r为常矢量，(,,)u u x y z =。
（1）3r r ′∇⋅=−∇⋅=r r ，（2）0r ∇×=r，（3）r r r r ′∇=−∇=r ，（4）31r r r ∇=−r ，（5）30r r∇×=r， （6）330r r r r ⋅⋅′∇=−∇=r r (0)r ≠，（7）()a r a ∇⋅=r r r，（8）()dA A u u du∇×=∇×r r 。
1.1.3 从真空麦克斯韦方程出发，导出电荷守恒定律的微分形式和真空中的波动方程。
1.1.4证明均匀介质中的极化电荷密度与自由电荷密度满足关系式0(1/)p f ρεερ=−−。
1.1.5 已知电偶极子电势304p R R ϕπε⋅=r r ，试证明电场强度53013()[4p R R p E R Rπε⋅=−r r r r r 。
1.1.6 假设存在孤立磁荷（即磁单极），试改写真空中的麦克斯韦方程组以包括磁荷密度m ρ和磁流密度m J r的贡献。
答案：D ρ∇⋅=ur ， m B ρ∇⋅=u r ， m B E J t ∂∇×=−−∂u r u r u r ， D H J t∂∇×=+∂ur uu r ur 。
1.1.7 从麦克斯韦方程出发导出洛伦茨规范下的达朗贝尔方程，并证明洛伦茨规范中的ψ满足齐次波动方程，即222210c tψψ∂∇−=∂。
1.1.8 证明：（1）在静电情况下，导体外侧的电场总是与表面垂直；（2）在稳恒电流的情况下，导体内侧的电场总是平行于导体表面。