2017春人教版高中数学必修五课件：1.1.2 余弦定理2资料
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人教新课标版数学高二-必修5课件 余弦定理
同理可证(2)b＝ccos A＋acos C； (3)c＝acos B＋bcos A.
名师点评
证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关 系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦 借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系．
跟踪训练2 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，求证：
探究点2 证明三角形中的恒等式
问题： 前面我们用正弦定理化简过acos B＝bcos A，当时是把边化 成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角 化成边？
由余弦定理得
a2＋c2－b2 b2＋c2－a2 a 2ac ＝b 2bc ，去分母得
a2＋c2－
b2＝b2＋c2－a2，化简得 a＝b.
由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，即b2＋c2－a2＝bc， ∴cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2bbcc＝12. ∵0<A<π，∴A＝π3. 又sin A＝2sin Bcos C.
∴由正弦、余弦定理，
a2＋b2－c2 a2＋b2－c2 得 a＝2b· 2ab ＝ a ， ∴b2＝c2，b＝c，
证明三角恒等式的关键是借助正、余弦定理进行边角互化减小等式两 边的差异．
例2 在△ABC中，有 (1)a＝bcos C＋ccos B； (2)b＝ccos A＋acos C； (3)c＝acos B＋bcos A， 这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．
方法一 (1)由正弦定理，得 b＝2Rsin B，c＝2Rsin C， ∴bcos C＋ccos B＝2Rsin Bcos C＋2Rsin Ccos B ＝2R(sin Bcos C＋cos Bsin C) ＝2Rsin(B＋C) ＝2Rsin A＝a. 即a＝bcos C＋ccos B. 同理可证(2)b＝ccos A＋acos C； (3)c＝acos B＋bcos A.
2017春人教版高中数学必修五课件：1.1.2 余弦定理2
因为0°<A<90°， 所以A=30°，所以B=180°-A-C=180°-30°15°=135°.
方法二：cos15°=cos(45°-30°)= 6 2 ，
4
由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC
4 8 2 2 ( 6 2) 8 4 3，
所以c= 6 2.
所以A=60°.
a 2 c2 b 2 (2 3) 2 ( 6 2) 2 (2 2) 2 2 cosB= ， 2ac 2 2 2 3 ( 6 2)
所以B=45°，所以C=180°-A-B=75°.
【延伸探究】
1.(变换条件)若将典例1中“a=7”改为“cosA= 其他条件不变，那么如何求△ABC的最小角？
2 a 2 c，因为 b2 2ac
0<B<π ，所以B唯一，从而A也唯一.所以三角形其他元 素唯一确定.
2.在△ABC中，已知a=4，b=6，C=120°，则边c的值 是(
A.8
)
B.2 17 C.6 2 D.2 19
【解析】选D.由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC
1 =16+36-2×4×6×( )=76， 2
2 2 2 a b c ab 1 【解析】由余弦定理得：cosC= . 2ab 2ab 2 1 答案： 2
【知识探究】
知识点 余弦定理
观察图形，回答下列问题：
问题1：图(1)中，已知△ABC的两边a，c及夹角B，如 何求b？ 问题2：图(2)中，已知△ABC的三边长，能否确定三个 内角的大小？ 问题3：余弦定理的适用范围及结构特征是什么？
2 2 2 6 2 b c a 当c= 时，由余弦定理得 cosA 2 2bc 6 2 2 2( ) 3 1 所以A=120°，C=15°. 2 . 2 6 2 2 2 2
高二数学公开课课件：必修五 《1.1.2余弦定理》(共29张PPT)
思考：
已知两边及一边的对角时， 我们知道可用正弦定理来解三 角形，想一想能不能用余弦定 理来解这个三角形？
如：已知b=4,c= ,C=60° 求边a.
剖析 剖 析 定 理
（3）已知a、b、c（三边），可
以求什么？
a2 = b2 +c2 - 2bccosA b2 = a2 +c2 - 2accosB c2 = a2 + b2 - 2abcosC
练习: 求sin2 700 sin2 500 sin 700 sin 500的值.
解 :原式 sin2 700 sin2 500 2sin700 sin500 cos600
sin2 600 3 4
剖析 剖 析 定 理
问题3：余弦定理在解三角形中的作用
是什么？
（1）已知三边 求三个角 SSS
余弦定理
证明
解析法
y
证明：以CB所在的直线为x轴，过示的坐标系，则A、B、C三点的坐标
分别为：
x
C(0, 0) B(a, 0) A(bcosC,bsin C)
AB 2 (b cosC a)2 (b sin C 0)2
b2 cos2 C 2abcosC a2 b2 sin 2 C
情景问题
千岛湖
在△ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，
∠B=120o，求 AC
岛B 屿B
A岛屿A
120°
?
岛C 屿C
用正弦定理能否直接求出 AC？
看一看想一想
直角三角形中的边a、
b不变，角C进行变动
AAA AA AA
AA
ccccc cbc bbb bb c b c b
人教版高中数学必修五正弦定理和余弦定理课件
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 ㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。 ㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取。
练习1：在△ABC中，已知
解：
=31+18 =49
∴b=7
练习2：
在△ABC中， a 7,b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
解：
72 （4 13）2 （ 13）2 274 3
二、可以用正弦定理解决的两类三角问题： （1）知两角及一边，求其它的边和角； （2）知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它
的边和角（注意判断解的个数）
思考：你能用正弦定理来解释为什么在三角形中越大
的角所对的边就越大吗？
分析：设△ABC的三个角所对边长分别是a、b、c，
且∠A≥∠B≥∠C，
（1）若△ABC是锐角或直角三角形 ∵正弦函数y=sinx在 [0, ]上是增函数 2
2A 2k 2B 或 2A 2k 2B(k Z)
0 A,B ，∴k 0，则A B或A+B=
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2
针对性练习 1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且 b sinB=c sinC，则△ABC的形状是
人教版2017高中数学(必修五)第一章 §1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2(一)PPT课件
a2＋b2－c2 cos C ＝ 2ab .
知识点三
适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题
思考1
观察知识点二第1条中的公式结构，其中等号右边涉及几个 量？你认为可用来解哪类三角形？ 答案
每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角 . 故如果已知三
角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形.
思考2
观察知识点二第2条中的公式结构，其中等号右边涉及几个
跟踪训练1
例1涉及线段长度，，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系，
则A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A)，
∴BC2＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A，
即a2＝b2＋c2－2bccos A.
跟踪训练2 在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2， C＝15°，求A. 解答
由余弦定理，得 c ＝a ＋b －2abcos C＝8－4 3，
2 2 2
所以 c＝ 6－ 2.
asin C 1 由正弦定理，得 sin A＝ c ＝2，
因为b>a，所以B>A，所以A为锐角，所以A＝30°.
命题角度2 已知三边 例3 在△ABC中，已知a＝134.6 cm，b＝87.8 cm，c＝161.7 cm，解 三角形.(角度精确到1′) 解答
第一章 §1.1
正弦定理和余弦定理
1．1.2 余弦定理(一)
学习目标
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
内容索引
问题导学
题型探究
当堂训练
问题导学
知识点一
余弦定理的推导
思考1
根据勾股定理，若△ABC 中， ∠C ＝ 90°，则 c2 ＝ a2 ＋ b2 ＝ a2 ＋b2－2abcos C．① 试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？ 答案 当a＝b＝c时，∠C＝60°，
人教版数学必修五1.1.2 余弦定理 课件 (共17张PPT)
2tanα 1-tan2α
06:37:52
创设情境 兴趣导入
引例 2009年10月，内蒙古交通设计研究院有限责任公司在设
计丹锡高速赤峰二道井子段（K166+280～K166+570）时,为保护
夏家店文化文物，需要挖掘隧道，勘测人员将隧道口A和B定位在 山的两侧(如图）,在平地上选择适合测量的点C ，如果∠C=60°,
可以证明，上述结论对于任意三角形都成立．于是得到余弦 定理．
06:37:52
动脑思考 探索新知
余弦定理 三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和 减去这两边的长与它们的夹角的余弦乘积的2倍. 即 2 2 2 a b c 2bc cos A
b a c 2ac cos B
c a b 2ab cos C
第一章
三角公式及应用
1.2.1 余弦定理
授课班级：14普教 授课教师：郭清山 2016年11月6日
06:37:52
知识积累 复习巩固
1、正弦二倍角公式 sin2α= 2sinαcosα
2、余弦二倍角公式 cos2α-sin2α cos2α= 2cos2α-1 1-2sin2α 3、正切二倍角公式 tan2α=
约为12.12m.
D B
A
06:37:52
归纳总结 理论升华
余弦定理的内容是什么？
a 2 b2 c 2 2bc cos A b2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b2 2ab cos C
夜半偶句
余弦定理考夹角，两边平方和求好； 减去倍乘抠塞角，三边平方见分晓。
分析 这是已知三角形 ∠A=44°25′， 的三边，求其它元 素的问题，可以直 ∠B=101°32′， 接应用余弦定理变 ∠C=180°-∠A-∠B=34°3′. 形公式1.22． 查表或计算器可得
高中数学人教B版必修五课件1.1.2 余弦定理(二)ppt版本
a2＋b2－c2 b2＋c2－a2 a· 2ab ＝3( 2bc )c， 化简并整理得： 2(a2－c2)＝b2. 又由已知a2－c2＝2b，∴4b＝b2.解得b＝4或b＝0(舍).
1.1.2 余弦定理(二)
11
方法二 由余弦定理得：a2－c2＝b2－2bccos A.
又a22 余弦定理(二)
17
方法二 设△ABC外接圆半径为R，
∵右边＝2Rsin C－2Rsin B·cos A
2Rsin B－2Rsin C·cos A
sinA＋B－sin ＝
sinA＋C－sin
Bcos Ccos
AA＝ssiinn
Acos Acos
CB＝ccooss
CB＝左边.
∴等式成立.
12
要点二 利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式 例2 在△ABC中，有： (1)a＝bcos C＋ccos B； (2)b＝ccos A＋acos C； (3)c＝acos B＋bcos A； 这三个关系式也称为射影定理，请给出证明.
1.1.2 余弦定理(二)
13
证明 方法一 (1)设△ABC外接圆半径为R，
[知识链接] 1.以下问题不能用余弦定理求解的是 (2) . (1)已知两边和其中一边的对角，解三角形. (2)已知两角和一边，求其他角和边. (3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角. (4)已知一个三角形的三条边，解三角形.
2.利用余弦定理判断三角形的形状，正确的是 (1)(3) . (1)在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则△ABC为直角三角形. (2)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则△ABC为锐角三角形. (3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC为钝角三角形.
1.1.2 余弦定理(二)
11
方法二 由余弦定理得：a2－c2＝b2－2bccos A.
又a22 余弦定理(二)
17
方法二 设△ABC外接圆半径为R，
∵右边＝2Rsin C－2Rsin B·cos A
2Rsin B－2Rsin C·cos A
sinA＋B－sin ＝
sinA＋C－sin
Bcos Ccos
AA＝ssiinn
Acos Acos
CB＝ccooss
CB＝左边.
∴等式成立.
12
要点二 利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式 例2 在△ABC中，有： (1)a＝bcos C＋ccos B； (2)b＝ccos A＋acos C； (3)c＝acos B＋bcos A； 这三个关系式也称为射影定理，请给出证明.
1.1.2 余弦定理(二)
13
证明 方法一 (1)设△ABC外接圆半径为R，
[知识链接] 1.以下问题不能用余弦定理求解的是 (2) . (1)已知两边和其中一边的对角，解三角形. (2)已知两角和一边，求其他角和边. (3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角. (4)已知一个三角形的三条边，解三角形.
2.利用余弦定理判断三角形的形状，正确的是 (1)(3) . (1)在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则△ABC为直角三角形. (2)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则△ABC为锐角三角形. (3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC为钝角三角形.
人教版高中数学课件-高中数学必修五课件：1.1.2-2《余弦定理》(人教A版必修5)
[分析] 本题主要考查了余弦定理及大边对 大角等平面几何性质，要求出最大内角的 正弦值，须先确定哪条边最大(同时表达出 边a、b、c的长)，然后应用余弦定理先求 出余弦值，再求正弦值．
[解] 设 b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k，其中 k>0.易解得
a＝72k，b＝52k，c＝32k，
3．在△ABC中，已知b＝1，c＝3，A＝ 60°，则a＝________.
4．在△ABC中，若(a＋b)2＝c2＋ab，则角 C等于________．
解析：∵(a＋b)2＝c2＋ab，∴c2＝a2＋b2＋ ab.
又c2＝a2＋b2－2abcosC.∴a2＋b2＋ab＝a2 ＋b2－2abcosC.
由正弦定理sianA＝sincC得
sinC＝csianA＝5×7
3 2 ＝5143，
∴最大角 A 为 120°，sinC＝5143.
[例3] 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝ 2bccosBcosC，试判断三角形的形状．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
① 边 角 之 间 的 关 系 ： b2sin2C ＋ c2sin2B ＝ 2bccosBcosC；
利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角 形的问题： 各角
(1)已知三边，求
第；三边和其他两个角
(2)已知两边和它们的夹角，求 ．
1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8， 则△ABC的形状是
( )
A．锐角三角形 形
B．直角三角
C．钝角三角形
D．非钝角三角形
解 析 ： 因 为 AB2 ＋ BC2 － AC2 ＝ 52 ＋ 62 － 82<0，
[分析] 由条件知C为边a、b的夹角，故应 由余弦定理来求c的值．
[解] 设 b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k，其中 k>0.易解得
a＝72k，b＝52k，c＝32k，
3．在△ABC中，已知b＝1，c＝3，A＝ 60°，则a＝________.
4．在△ABC中，若(a＋b)2＝c2＋ab，则角 C等于________．
解析：∵(a＋b)2＝c2＋ab，∴c2＝a2＋b2＋ ab.
又c2＝a2＋b2－2abcosC.∴a2＋b2＋ab＝a2 ＋b2－2abcosC.
由正弦定理sianA＝sincC得
sinC＝csianA＝5×7
3 2 ＝5143，
∴最大角 A 为 120°，sinC＝5143.
[例3] 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝ 2bccosBcosC，试判断三角形的形状．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
① 边 角 之 间 的 关 系 ： b2sin2C ＋ c2sin2B ＝ 2bccosBcosC；
利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角 形的问题： 各角
(1)已知三边，求
第；三边和其他两个角
(2)已知两边和它们的夹角，求 ．
1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8， 则△ABC的形状是
( )
A．锐角三角形 形
B．直角三角
C．钝角三角形
D．非钝角三角形
解 析 ： 因 为 AB2 ＋ BC2 － AC2 ＝ 52 ＋ 62 － 82<0，
[分析] 由条件知C为边a、b的夹角，故应 由余弦定理来求c的值．
人教A版高中数学必修5《1.1.2余弦定理》课件 (共22张PPT)优秀课件资料
c
b 2 c2 2 b cco sA
A
D
B 同理有：b 2 a 2 c 2 2 a c c o sB
c 2 a 2 b 2 2 a b c o s C
同样，对于钝角三角形及直角三角形，上面三个
等式成立的，课后请同学们自己证明。
余弦定理
a 2 b 2 c 2 2 b c c o s A
Ac B
△ABC是钝角三角形 b2c2a20
△ABC是锐角三角形 b2c2a20 △ABC是直角三角形 b 2c2a 20
练习：一钝角三角形的边长为连续自然数， 则这三边长为（B ）
A、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6 分析： 要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项
中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。 A、C显然不满足
余弦定理
[复习回顾]
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对
角的正弦的比相等。 sin aAsin bBsincC
用正弦定理解三角形需要已知哪些条件？ ①两角和一边，②两边和其中一边的对角。
思考：如果在一个斜三角形中，已知两边及 这两边的夹角，能否用正弦定理解这个三角形， 为什么？
不能，在正弦定理 sin aAsin bBsin cC中，已
即 a 2 b 2 c 2 2 b c c o s A 同理，从 A C B C B A 出发， 证得b 2 a 2 c 2 2 a c c o s B
从 A B C B C A出发，证得 c 2 a 2 b 2 2 a b c o s C
[解析法]
y
证明：以CB所在的直
(bcosC,bsinC)
线为x轴，过C点垂直
于CB的直线为y轴，
1.1.2余弦定理-人教A版高中数学必修五课件
试一试
若三角形的三边为7，8，3，试判断此三角形的形
状.
钝角三角形
四.小结
四类解三角形问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和 角。 （3）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两 个角； （4）已知三边，求三个角。
五、题型探究
题型一 余弦定理的简单应用
解：由余弦定理知，有 cos B a 2 c 2 b2 , 2ac
代入c a cos B, 得c a a 2 c 2 b2 , b2 c 2 a 2 2ac
△ABC是以A为直角的直角三角形，sin C c a
又 b a sin C, b a c c. a
△ ABC也是等腰三角形
又 2cos Asin B sin C,且sin B 0 cos A sin C c . 2sin B 2b
由余弦定理，有 cos A b2 c 2 a 2 , 2bc
c b2 c 2 a 2 ,即c 2 b2 c 2 a 2 , a b
2b
2bc
又 (a b c)(a b c) 3ab，且a b
例3、在△ABC中，a2>b2+c2，那么A是( A )
A、钝角
B、直角
C、锐角
D、不能确定
结论：一般地,判断△ABC是锐角，直角还是钝角
三角形,可用如下方法.
设a是最长边,则由 cos
A
b2
c2
a2
可得
2bc
（1）A为直角⇔a²=b²+c²
（2）A为锐角⇔a²<b²+c²
（3）A为钝角⇔a²>b²+c²
又 2cos Asin B sin C,
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1 6 asin B 2 1. 当a=6时，由正弦定理sinA= b 3
所以A=90°，C=60°.
方法二：由b<c，B=30°，b>csin30°=3 3× 1 = 3 3
2
2
知本题有两解.
由正弦定理sinC= csin B
b
3 3
1 2 3， 3 2
所以C=60°或120°.
2+c2-2accosB 2 a b =_____________， 2+b2-2abcosC 2 a c =_____________.
3.变形
b2 c2 a 2 a 2 c2 b2 a 2 b2 c2 cosA=_________ ；cosB=_________ ；cosC=_________. 2bc 2ac 2ab
3.(变换条件、改变问法)典例1中若将“c= 13 ”改为 “C= ”，其他条件不变，则最大角的余弦值为多少？
6
【解析】由余弦定理得：
c2=a2+b2-2abcosC
=72+(4 3 )2-2×7×4 3 cos
6
=49+48-84
=13，
所以，c= 13 ，所以c<b<a. 所以最大角为A，由余弦定理
b 2 c 2 a 2 (4 3) 2 ( 13) 2 7 2 得：cosA= 2bc 2 4 3 13 48 13 49 39 . 26 8 39 故△ABC的最大角的余弦值为 39 . 26
【方法技巧】已知三边解三角形的方法及注意事项 (1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正， 角为锐角；值为负，角为钝角，思路清晰，结果唯一.
b 5， c 3.
【补偿训练】
1.在△ABC中，边a，b的长是方程x2-5x+2=0的两个 根，C=60°，则c=__________.
【解析】由题意：a+b=5，ab=2.
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab =(a+b)2-3ab=52-3×2=19.
当C=60°时，A=90°，
由勾股定理 a b 2 c2 32 (3 3)2 6，
当C=120°时，A=30°，△ABC为等腰三角形，
则a=3.
类型二
已知三边解三角形
【典例】1.在△ABC中，若a=7，b=4 3 ，c= 13 ，则 △ABC的最小角为________.
2.已知△ABC的三边长为a=2 3 ，b=2 2 ，c= 6 2,
2 2 2 a b c ab 1 【解析】由余弦定理得：cosC= . 2ab 2ab 2 1 答案： 2
【知识探究】
知识点 余弦定理பைடு நூலகம்
观察图形，回答下列问题：
问题1：图(1)中，已知△ABC的两边a，c及夹角B，如 何求b？ 问题2：图(2)中，已知△ABC的三边长，能否确定三个 内角的大小？ 问题3：余弦定理的适用范围及结构特征是什么？
1.1.2
余弦定理
【知识提炼】 余弦定理 1.文字表述 其他两边的平方的和 减 三角形中任何一边的平方等于___________________ 夹角的余弦的积 的两倍. 去这两边与它们的_______________
2.公式表达 b2+c2-2bccosA ， a2=_____________
(2)由余弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的 大小；由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边 对大角、大角对大边”法则确定角的大小，最后由三 角形内角和为180°确定第三个角的大小. (3)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质 引入k，从而转化为已知三边求解.
2 2 2 a b c 49 48 13 3 ，所以C= 所以cosC= . 6 2ab 2 2 7 4 3 答案： 6
2 2 2 b c a 2.由余弦定理得： cos A 2bc (2 2) 2 ( 6 2) 2 (2 3) 2 1 ， 2 2 2 2 ( 6 2)
【方法技巧】 1.已知两边及其中一边的对角解三角形的方法 (1)先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的
内角和定理求出第三角，再用正弦定理求出第三边.要
注意判断解的情况.
(2)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，
运用解方程的方法求出此边长.这样可免去取舍解的麻 烦.
2.已知两边及其夹角解三角形的方法 方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理 和三角形内角和定理求出其他两角. 方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理 和三角形内角和定理求出其他两角.
所以A=60°.
a 2 c2 b 2 (2 3) 2 ( 6 2) 2 (2 2) 2 2 cosB= ， 2ac 2 2 2 3 ( 6 2)
所以B=45°，所以C=180°-A-B=75°.
【延伸探究】
1.(变换条件)若将典例1中“a=7”改为“cosA= 其他条件不变，那么如何求△ABC的最小角？
2 a 2 c，因为 b2 2ac
0<B<π ，所以B唯一，从而A也唯一.所以三角形其他元 素唯一确定.
2.在△ABC中，已知a=4，b=6，C=120°，则边c的值 是(
A.8
)
B.2 17 C.6 2 D.2 19
【解析】选D.由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC
1 =16+36-2×4×6×( )=76， 2
【变式训练】在△ABC中，已知A=120°，a=7，b+c=8，
求b，c.
【解析】由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA =(b+c)2-2bc(1+cosA)，
所以49=64-2bc(1- 1 )，即bc=15，
2 b c 8， b 3，或 由 解得 bc 15 ， c 5
所以c= 19 .
答案：19
2.在△ABC中，已知b=3，c=3 3 ，B=30°，试解此三
角形.
【解析】方法一：由余弦定理b2=a2+c2-2accosB， 得32=a2+(3 3 )2-2a×3 3 ×cos30°， 所以a2-9a+18=0，得a=3或6. 当a=3时，A=30°，所以C=120°.
4.在△ABC中，AB=4，BC=3，B=60°，则AC等于 __________.
【解析】由条件已知三角形的两边及其夹角，故可以
直接利用余弦定理求得边AC，即AC2=AB2+BC22AB·BC·cosB=16+9-2×4×3× 1 =13.
2
所以AC= 13.
答案： 13
5.在△ABC中，若a2-c2+b2=ab，则cosC=__________.
2.(改变问法)若典例1条件不变，如何求最大角的余弦 值呢？
【解析】因为c<b<a，所以最大角为角A，所以由余弦
2 2 2 2 2 2 b c a (4 3) ( 13) 7 定理可得：cosA= 2bc 2 4 3 13 48 13 49 39 . 26 8 39 故△ABC的最大角的余弦值为 39 . 26
所以c= 2 19.
3.若三角形的三条边长分别为4，5，7，则这个三角形 是( ) B.直角三角形 D.钝角或锐角三角形
A.锐角三角形 C.钝角三角形
【解析】选C.边长为7的边所对的角为最大角，不妨设
42 52 72 1 为C，由余弦定理得cosC= ＜0 2 45 5
所以C为钝角，此三角形为钝角三角形.
39 ”， 26
【解析】由余弦定理，
a2=b2+c2-2bccosA =(4 3 )2+( 13 )2-2×4 3 13 39
26
=48+13-12
=49，
所以，a=7，所以c<b<a，所以最小角为角C.
a 2 b 2 c2 49 48 13 3 所以cosC= ， 2ab 2 27 4 3 所以C= . 6
提示：由余弦定理得到关于b的方程，解方程求解. 2.典例2中已知角C是已知边a，b的夹角，如何求边c？
提示：利用余弦定理直接求c.
【解析】1.选B.由余弦定理得： a2=b2+c2-2bccosA，所以 22=b2+(2 3 )2-2×b×2 3 × 3 ，
2
即b2-6b+8=0，解得：b=2或b=4，
b2 c2 a 2 3 所以cosA= . 2bc 2
又0°<A<180°，所以A=30°， 所以B=180°-A-C=180°-30°-15°=135°.
【延伸探究】若典例2中条件变为“a= 3 ，b= 2 ，
B=45°”，则如何解三角形？ 【解析】方法一：由余弦定理知
b2=a2+c2-2accosB，所以 2 3 c2 2 3 2 c，
【即时小测】 1.思考下列问题:
(1)在△ABC中，若a2<b2+c2，则△ABC是锐角三角形吗？
提示：不一定.因为△ABC中a不一定是最大边，所以 △ABC不一定是锐角三角形.
(2)已知三角形的两边及其夹角，三角形的其他元素是 否唯一确定？ 提示：由余弦定理可知：不妨设a，b边和其夹角C已知， 则c2=a2+b2-2abcosC，c唯一，cosB=
因为0°<A<90°， 所以A=30°，所以B=180°-A-C=180°-30°15°=135°.
方法二：cos15°=cos(45°-30°)= 6 2 ，
4
由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC
所以A=90°，C=60°.
方法二：由b<c，B=30°，b>csin30°=3 3× 1 = 3 3
2
2
知本题有两解.
由正弦定理sinC= csin B
b
3 3
1 2 3， 3 2
所以C=60°或120°.
2+c2-2accosB 2 a b =_____________， 2+b2-2abcosC 2 a c =_____________.
3.变形
b2 c2 a 2 a 2 c2 b2 a 2 b2 c2 cosA=_________ ；cosB=_________ ；cosC=_________. 2bc 2ac 2ab
3.(变换条件、改变问法)典例1中若将“c= 13 ”改为 “C= ”，其他条件不变，则最大角的余弦值为多少？
6
【解析】由余弦定理得：
c2=a2+b2-2abcosC
=72+(4 3 )2-2×7×4 3 cos
6
=49+48-84
=13，
所以，c= 13 ，所以c<b<a. 所以最大角为A，由余弦定理
b 2 c 2 a 2 (4 3) 2 ( 13) 2 7 2 得：cosA= 2bc 2 4 3 13 48 13 49 39 . 26 8 39 故△ABC的最大角的余弦值为 39 . 26
【方法技巧】已知三边解三角形的方法及注意事项 (1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正， 角为锐角；值为负，角为钝角，思路清晰，结果唯一.
b 5， c 3.
【补偿训练】
1.在△ABC中，边a，b的长是方程x2-5x+2=0的两个 根，C=60°，则c=__________.
【解析】由题意：a+b=5，ab=2.
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab =(a+b)2-3ab=52-3×2=19.
当C=60°时，A=90°，
由勾股定理 a b 2 c2 32 (3 3)2 6，
当C=120°时，A=30°，△ABC为等腰三角形，
则a=3.
类型二
已知三边解三角形
【典例】1.在△ABC中，若a=7，b=4 3 ，c= 13 ，则 △ABC的最小角为________.
2.已知△ABC的三边长为a=2 3 ，b=2 2 ，c= 6 2,
2 2 2 a b c ab 1 【解析】由余弦定理得：cosC= . 2ab 2ab 2 1 答案： 2
【知识探究】
知识点 余弦定理பைடு நூலகம்
观察图形，回答下列问题：
问题1：图(1)中，已知△ABC的两边a，c及夹角B，如 何求b？ 问题2：图(2)中，已知△ABC的三边长，能否确定三个 内角的大小？ 问题3：余弦定理的适用范围及结构特征是什么？
1.1.2
余弦定理
【知识提炼】 余弦定理 1.文字表述 其他两边的平方的和 减 三角形中任何一边的平方等于___________________ 夹角的余弦的积 的两倍. 去这两边与它们的_______________
2.公式表达 b2+c2-2bccosA ， a2=_____________
(2)由余弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的 大小；由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边 对大角、大角对大边”法则确定角的大小，最后由三 角形内角和为180°确定第三个角的大小. (3)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质 引入k，从而转化为已知三边求解.
2 2 2 a b c 49 48 13 3 ，所以C= 所以cosC= . 6 2ab 2 2 7 4 3 答案： 6
2 2 2 b c a 2.由余弦定理得： cos A 2bc (2 2) 2 ( 6 2) 2 (2 3) 2 1 ， 2 2 2 2 ( 6 2)
【方法技巧】 1.已知两边及其中一边的对角解三角形的方法 (1)先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的
内角和定理求出第三角，再用正弦定理求出第三边.要
注意判断解的情况.
(2)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，
运用解方程的方法求出此边长.这样可免去取舍解的麻 烦.
2.已知两边及其夹角解三角形的方法 方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理 和三角形内角和定理求出其他两角. 方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理 和三角形内角和定理求出其他两角.
所以A=60°.
a 2 c2 b 2 (2 3) 2 ( 6 2) 2 (2 2) 2 2 cosB= ， 2ac 2 2 2 3 ( 6 2)
所以B=45°，所以C=180°-A-B=75°.
【延伸探究】
1.(变换条件)若将典例1中“a=7”改为“cosA= 其他条件不变，那么如何求△ABC的最小角？
2 a 2 c，因为 b2 2ac
0<B<π ，所以B唯一，从而A也唯一.所以三角形其他元 素唯一确定.
2.在△ABC中，已知a=4，b=6，C=120°，则边c的值 是(
A.8
)
B.2 17 C.6 2 D.2 19
【解析】选D.由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC
1 =16+36-2×4×6×( )=76， 2
【变式训练】在△ABC中，已知A=120°，a=7，b+c=8，
求b，c.
【解析】由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA =(b+c)2-2bc(1+cosA)，
所以49=64-2bc(1- 1 )，即bc=15，
2 b c 8， b 3，或 由 解得 bc 15 ， c 5
所以c= 19 .
答案：19
2.在△ABC中，已知b=3，c=3 3 ，B=30°，试解此三
角形.
【解析】方法一：由余弦定理b2=a2+c2-2accosB， 得32=a2+(3 3 )2-2a×3 3 ×cos30°， 所以a2-9a+18=0，得a=3或6. 当a=3时，A=30°，所以C=120°.
4.在△ABC中，AB=4，BC=3，B=60°，则AC等于 __________.
【解析】由条件已知三角形的两边及其夹角，故可以
直接利用余弦定理求得边AC，即AC2=AB2+BC22AB·BC·cosB=16+9-2×4×3× 1 =13.
2
所以AC= 13.
答案： 13
5.在△ABC中，若a2-c2+b2=ab，则cosC=__________.
2.(改变问法)若典例1条件不变，如何求最大角的余弦 值呢？
【解析】因为c<b<a，所以最大角为角A，所以由余弦
2 2 2 2 2 2 b c a (4 3) ( 13) 7 定理可得：cosA= 2bc 2 4 3 13 48 13 49 39 . 26 8 39 故△ABC的最大角的余弦值为 39 . 26
所以c= 2 19.
3.若三角形的三条边长分别为4，5，7，则这个三角形 是( ) B.直角三角形 D.钝角或锐角三角形
A.锐角三角形 C.钝角三角形
【解析】选C.边长为7的边所对的角为最大角，不妨设
42 52 72 1 为C，由余弦定理得cosC= ＜0 2 45 5
所以C为钝角，此三角形为钝角三角形.
39 ”， 26
【解析】由余弦定理，
a2=b2+c2-2bccosA =(4 3 )2+( 13 )2-2×4 3 13 39
26
=48+13-12
=49，
所以，a=7，所以c<b<a，所以最小角为角C.
a 2 b 2 c2 49 48 13 3 所以cosC= ， 2ab 2 27 4 3 所以C= . 6
提示：由余弦定理得到关于b的方程，解方程求解. 2.典例2中已知角C是已知边a，b的夹角，如何求边c？
提示：利用余弦定理直接求c.
【解析】1.选B.由余弦定理得： a2=b2+c2-2bccosA，所以 22=b2+(2 3 )2-2×b×2 3 × 3 ，
2
即b2-6b+8=0，解得：b=2或b=4，
b2 c2 a 2 3 所以cosA= . 2bc 2
又0°<A<180°，所以A=30°， 所以B=180°-A-C=180°-30°-15°=135°.
【延伸探究】若典例2中条件变为“a= 3 ，b= 2 ，
B=45°”，则如何解三角形？ 【解析】方法一：由余弦定理知
b2=a2+c2-2accosB，所以 2 3 c2 2 3 2 c，
【即时小测】 1.思考下列问题:
(1)在△ABC中，若a2<b2+c2，则△ABC是锐角三角形吗？
提示：不一定.因为△ABC中a不一定是最大边，所以 △ABC不一定是锐角三角形.
(2)已知三角形的两边及其夹角，三角形的其他元素是 否唯一确定？ 提示：由余弦定理可知：不妨设a，b边和其夹角C已知， 则c2=a2+b2-2abcosC，c唯一，cosB=
因为0°<A<90°， 所以A=30°，所以B=180°-A-C=180°-30°15°=135°.
方法二：cos15°=cos(45°-30°)= 6 2 ，
4
由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC