湖南省怀化高考数学三模试卷(文科)解析版

高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复平面内表示复数的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|y=}，则A∩B=（）A. {}1，2}B. {0，1，2}C. {-2，-1}D. {-2，-1，0}3.已知函数f（x）=（2x+2-x）ln|x|的图象大致为（）A. B.C. D.4.已知等比数列{a n}满足a1=4，a1a2a3=a4a5＞0，则公比q=（）A. B. C. D. 25.设x，y满足约束条件，则z=x+y的最小值是（）A. -4B. -2C. 0D. 26.m=log3，n=7-0.1，p=log425，则m，n，p的大小关系为（）A. m＞p＞nB. p＞n＞mC. p＞m＞nD. n＞p＞m7.在△ABC中，D为BC边上一点，E是AD中点，若=，=+，则λ+μ=（）A. B. - C. D. -8.“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础，刘徽把圆内接正多边形的面积直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据．如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据=2.0946）（）A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.14139.已知函数f（x）＝cos（ωx＋φ）（ω＞0）的最小正周期为π，且对x∈R，恒成立，若函数y＝f（x）在[0，a]上单调递减，则a的最大值是（）A. B. C. D.10.在四棱锥P一ABCD中，所有侧棱都为4，底面是边长为2的正方形，O是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线OP与BM所成角为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°11.已知双曲线的左、右焦点分别为,过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为,若(+)·=0,则此双曲线的标准方程可能为（）A. B. C. D.12.已知函数，若关于的方程无实数解,则的取值范围为（）B. C. D.A.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y关于x的线性回归方程为______14.一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在y轴的负半轴上，则该圆的标准方程为______．15.若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为______．16.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，满足，则=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b sin B+c sin C=a（+sin A）（1）求A的大小；（2）若a=，B=，求△ABC的面积18.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，A1D与AD1交于点E，AA1=AD=2AB=4．（1）证明：AE⊥平面ECD．（2）求点C1到平面AEC的距离．19.某度假酒店为了解会员对酒店的满意度，从中抽取50名会员进行调查，把会员对酒店的“住宿满意度”与“餐饮满意度”都分为五个评分标准：1分（很不满意）；2分（不满意）；3分（一般）；4分（满意）；5分（很满意）．其统计结果如下表（住宿满意度为x，餐饮满意度为y）（）求“住宿满意度”分数的平均数；（2）求“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的方差；（3）为提高对酒店的满意度，现从2≤x≤3且1≤y≤2的会员中随机抽取2人征求意见，求至少有1人的“住宿满意度”为2的概率．20.已知曲线G上的点到点F（1，0）的距离比它到直线x=-3的距离小2．（1）求曲线G的方程．（2）是否存在过F的直线l，使得l与曲线G相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A'，且△A'BF的面积等于4？若存在，求出此时直线l的方程；若不存在，请说明理由．21.已知函数，.(1)当为何值时，直线是曲线的切线；(2)若不等式在上恒成立，求的取值范围.22.在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x+y-a=0，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且直线OA与OB的斜率之积为，求a．23.已知函数f（x）=|x+2|．（1）求不等式f（x）+f（x-2）＜x+4的解集；（2）若∀x∈R，使得f（x+a）+f（x）≥f（2a）恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查复数的四则运算以及几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.利用复数的运算法则化简复数为a+bi的形式，然后求解坐标所在的象限．【解答】解：=，它在复平面对应的点在第一象限．故选：A．2.【答案】D【解析】解：B={x|x≤0}；∴A∩B={-2，-1，0}．故选：D．可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的定义，以及交集的运算．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，判断函数的奇偶性和零点个数求解即可．【解答】解：f（-x）=（2-x+2x）ln|-x|=（2x+2-x）ln|x|=f（x），函数的定义域为，∴f（x）是偶函数，排除D，由f（x）=0得ln|x|=0，则|x|=1，即x=1或x=-1，即f（x）有两个零点，排除C，当时，,排除A，故选B．4.【答案】A【解析】解：∵等比数列{a n}满足a1=4，a1a2a3=a4a5＞0由等比数列的通项公式可得，（4q）3=16q7＞0解可得，q2=2，∴q=故选：A．由已知结合等比数列的通项公式即可求解公比q本题主要考查了等比数列的通项公公式的简单应用，属于基础试题5.【答案】C【解析】解：依题意x，y满足约束条件画图如下：当z=0时，有直线l1：x+y=0和直线l2：x-y=0，并分别在上图表示出来，当直线向x-y=0向下平移并过A点的时候，目标函数z=x+y有最小值，此时最优解就是A点，点A的坐标是：A（2，-2），所以目标函数z=x+y的最小值是0．故选：C．先画出可行域的边界，即三个直线方程对应的直线，再利用一元二次不等式表示平面区域的规律，确定可行域，将目标函数的函数值看做目标函数对应直线的纵截距，平移目标函数，数形结合找到最优解，即可求出结果．本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查三个数的大小的判断，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵m=log3＜log31=0，0＜n=7-0.1＜70=1，p=log425＞log44=1，则m，n，p的大小关系为p＞n＞m．故选：B．7.【答案】B【解析】解：=+=-+•=-+（）=-（），又=+，根据平面向量基本定理可得：=，且-（+）=μ，解得λ=，μ=-，∴λ+μ=-=-．故选：B．选，为基向量，将用基向量表示，再根据平面向量基本定理可得．本题考查了平面向量基本定理，属中档题．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了几何概型中的面积型及正六边形、圆的面积公式，属中档题．由几何概型中的面积型及正六边形、圆的面积公式得：=0.8269，所以=0.8269，又=2.0946，所以π≈3.1419，得解．【解答】解：由几何概型中的面积型可得：=0.8269，所以=0.8269，所以=2.0946，所以π≈3.1419，故选：A．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力，属于中档题．利用函数的周期求出ω，对x∈R，恒成立，推出函数的最小值，求出φ，然后求解函数的单调区间即可．【解答】解：函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，，又对任意的x，都有，所以函数f（x）在上取得最小值，则，k∈Z，即，k∈Z．所以，令，k∈Z，解得，k∈Z，则函数y=f（x）在上单调递减，故a的最大值是．故选：B．10.【答案】C【解析】【分析】由题意画出图形，可知四棱锥P-ABCD为正四棱锥，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线OP与BM 所成角．本题考查异面直线所成角的求法，考查利用空间向量求解空间角，是中档题．【解答】解：如图，由题意，四棱锥P-ABCD为正四棱锥，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，P(0，0，)，B(0，，0)，M(-，0，)，，，∴cos＜＞==．∴异面直线OP与BM所成角为60°．故选：C．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题．由向量的加减运算和数量积的性质，可得|AF2|=|F2F1|=2c，由双曲线的定义可得|AF1|=2a+2c，再由三角形的余弦定理，可得3c=5a，4c=5b，即可得到所求方程．【解答】解：若（+）•=0，即为若（+）•（-+）=0，可得2=2，即有|AF2|=|F2F1|=2c，由双曲线的定义可得|AF1|=2a+2c，在等腰三角形AF1F2中，tan∠AF2F1=-，cos∠AF2F1=-=，化为3c=5a，即a=c，b=c，可得a：b=3：4，a2：b2=9：16．故选：D．12.【答案】A【解析】【分析】本题考查导数的应用，考查函数与方程、化归与转化、数形结合的数学思想以及运算求解能力．求出函数的导数判断函数的单调性，画出函数的图象，设出切点坐标，转化求解即可．【解答】解：函数，可得，令f'（x）=0，解得x=1，当x＜1时，f′（x）＞0，可知函数f（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．绘制函数y=|f（x）|的图象如图所示，直线y=mx-e恒过点（0，-e）．当直线y=mx-e与曲线y=|f（x）|相切时，切点为（x0，y0），此时，解得．结合图象可知，关于x的方程|f（x）|=mx-e无实数解，此时m∈（-2e，0]．故选A．13.【答案】【解析】解：由已知表格中的数据可得，，，∴，①又，②联立①②解得：，．∴y关于x的线性回归方程为．故答案为：．由已知求得样本点的中心的坐标，结合已知列关于与的方程组，求解即可得到y关于x的线性回归方程．本题考查线性回归方程，考查计算能力，是基础题．14.【答案】x2+（y+1）2=4【解析】解：因为一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在y轴的负半轴上，所以该圆过椭圆的左、右两个顶点和下顶点．设圆心坐标为（0，m），半径为r，所以（3-r）2+3=r2，解得r=2，则m=-1．所以圆的标准方程为x2+（y+1）2=4．故答案为：x2+（y+1）2=4．利用已知条件，判断圆经过的点，设出圆心与半径，转化求解即可．本题考查椭圆与圆的标准方程，椭圆的简单性质的应用，考查运算求解能力．15.【答案】8π【解析】解：如图，圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则正方形的边长为2，∴正方形的对角线即圆柱外接球的直径为，半径为．∴该圆柱的外接球的表面积为．故答案为：8π．由题意画出图形，求出圆柱外接球的直径，得到外接球的半径，则外接球的表面积可求．本题考查旋转体外接球的表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16.【答案】【解析】解：当n=1时，，解得a1=1；当n≥2时，，相减可得，，可得a n-a n-1=2，所以a n=1+2（n-1）=2n-1，，可得；=，所以=．故答案为：．利用数列的递推关系式求出首项，然后推出数列是等差数列，求出数列的通项公式以及数列的和，化简所求表达式的通项公式，然后利用裂项消项法求解即可．本题考查数列的递推关系以及数列的求和，考查运算求解和推理论证能力．17.【答案】解：（1）∵b sin B+c sin C=a（+sin A），∴由正弦定理可得：b2+c2=a（+a），∴b2+c2-a2=，∴2bc cos A=bc，解得：cos A=，可得：A=．（2）∵sin C=sin（A+B）=，由正弦定理，可得：b=，∴S△ABC=ab sin C=．【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得b2+c2=a（+a），可得b2+c2-a2=，进而可求cos A=，从而可得A的值．（2）利用两角和的正弦函数公式可求sin C的值，利用正弦定理可得b，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴AA1⊥CD，又AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AE，∵四边形ADD1A1是平行四边形，∴E是A1D的中点，∵AA1=AD，∴AE⊥DE，又CD∩DE=D，∴AE⊥平面ECD．（2）解：连接CD1，则点C1到平面AEC的距离即为点C1到平面ACD1的距离．在△ACD1中，AC=2，AD1=4，CD1=2，∴CE⊥AD1，且CE==2，∴S===4，设C1到平面ACD1的距离为h，则V==．又V=V==，∴4h=16，即h=．∴点C1到平面AEC的距离为．【解析】（1）证明CD⊥平面ADD1A1可得CD⊥AE，根据AA1=AD可得AE⊥DE，故而AE⊥平面EDC；（2）根据V=V列方程计算C1到平面AEC的距离．本题考查了线面垂直的判定，棱锥体积与线面距离的计算，属于中档题．19.【答案】解：（1）“住宿满意度”分数的平均数为：=3.16．（2）当“住宿满意度“为3分时的5个”餐饮满意度“人数的平均数为：=3，其方差为=2．（3）符合条件的所有会员共6人，其中“住宿满意度”为2的3人分别记为a，b，c．“住宿满意度”为3的3人分别记为d，e，f．从这6人中抽取2人有如下情况：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种情况，所以至少有1人的“住宿满意度”为2的概率P==．【解析】（1）根据平均数公式可得；（2）根据平均数和方差公式以及题目中数据可计算得．（3）利用列举法以及古典概型的概率公式可得．本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．20.【答案】解：（1）设S（x，y）为曲线G上任意一点，依题意，点S到F（1，0）的距离与它到直线x=-1的距离相等，所以曲线G是以F（1，0）为焦点，直线x=-1为准线的抛物线，所以曲线G的方程为y2=4x．（2）设直线l的方程为x=my+1，与抛物线C的方程联立，得，消去x，得y2-4my-4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=-4．S△A'BF=S△AA'B-S△AA'F=，解得m=±1．所以存在直线l使得△A'BF的面积等于4，此时直线l的方程为x±y-1=0．【解析】（1）设S（x，y）为曲线G上任意一点，判断曲线G是以F（1，0）为焦点，直线x=-1为准线的抛物线，求出曲线G的方程．（2）设直线l的方程为x=my+1，与抛物线C的方程联立，消去x，设A（x1，y1），B（x2，y2），通过韦达定理以及三角形的面积，转化求解m即可．本题考查抛物线的方程的求法直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．如果考试，建议评分细则：（1）第一问解法二，设S（x，y）为曲线G上任意一点，，结合图象可知，x＞-3，则（x-1）2+y2=（x+1）2，解得y2=4x．（2）第二问中，设y=k（x-1），联立列出关系式得（1分），对A（x1，y1），B（x2，y2）写出韦达定理得（2分），答案不正确则按步骤酌情给分．21.【答案】解：（1）令n（x）=kf（x）=k ln x，，设切点为（x0，y0），则，x0-1=k ln x0，则．令，，则函数y=F（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．且F（1）=1，所以k=1．（2）令，则．①当a≤0时，h'（x）＜0，所以函数h（x）在[1，e]上单调递减，所以h（x）≤h（1）=0，所以a≤0满足题意．②当a＞0时，令h'（x）=0，得x=4a2，所以当x∈（0，4a2）时，h'（x）＞0；当x∈（4a2，+∞）时，h'（x）＜0．所以函数h（x）在（0，4a2）上单调递增，在（4a2，+∞）上单调递减．（i）当4a2≥e，即时，h（x）在[1，e]上单调递增，所以，所以，此时无解．（ⅱ）当1＜4a2＜e，即时，函数h（x）在（1，4a2）上单调递增，在（4a2，e）上单调递减．所以h（x）≤h（4a2）=a ln（4a2）-2a+1=2a ln（2a）-2a+1≤0．设，则m'（x）=2ln（2x）＞0，所以m（x）在上单调递增，，不满足题意，（ⅲ）当0＜4a2≤1，即时，h（x）在[1，e]上单调递减，所以h（x）≤h（1）=0，所以满足题意．综上所述：a的取值范围为．【解析】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．（1）令n（x）=kf（x）=k ln x，，设切点为（x0，y0），则，x0-1=k ln x0，利用函数的单调性结合F（1）=1，求出k．（2）令，求出导函数，通过①当a≤0时，判断函数的单调性，②当a＞0时，判断函数的单调性．（i）当4a2≥e，（ⅱ）当1＜4a2＜e，（ⅲ）当0＜4a2≤1，分析函数的最值推出结果即可．22.【答案】解：（1）将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入x+y-a=0的方程中，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-a=0．在曲线C的参数方程中，消去α，可得，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入的方程中，所以曲线C的极坐标方程为ρ2（4sin2θ+cos2θ）=4．（2）直线l与曲线C的公共点的极坐标满足方程组，由方程组得a2（4sin2θ+cos2θ）=4（cosθ+sinθ）2，可化为4a2tan2θ+a2=4+8tanθ+4tan2θ，即（4a2-4）tan2θ-8tanθ+a2-4=0，．则，解得．【解析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次次方程根和系数的关系式的应用及直线的斜率求出a的值．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．23.【答案】解：（1）f（x）=|x+2|，f（x）+f（x-2）＜x+4，即为|x|+|x+2|＜x+4，当x≥0时，x+x+2＜x+4，解得0≤x＜2；当-2＜x＜0时，-x+x+2＜x+4，解得-2＜x＜0；当x≤-2时，-x-x-2＜x+4，解得x∈∅．综上可得不等式的解集为{x|-2＜x＜2}；（2）f（x+a）+f（x）≥f（2a），即为|x+a+2|+|x+2|≥|2a+2|，由|x+a+2|+|x+2|≥|x+a+2-x-2|=|a|，可得|2a+2|≤|a|，即有4a2+8a+4≤a2，可得3a2+8a+4≤0，解得-2≤a≤-．【解析】（1）由题意可得|x|+|x+2|＜x+4，由绝对值的意义，对x讨论，去绝对值，解不等式，求并集即可；（2）由题意可得|x+a+2|+|x+2|≥|2a+2|，运用绝对值不等式的性质可得|2a+2|≤|a|，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．。