西电数字信号处理大作业-浅谈奈奎斯特频率采样和压缩感知

浅谈奈奎斯特频率采样和压缩感知信息技术的飞速发展使得人们对信息的需求量剧增。

现实世界的模拟化和信号处理工具的数字化决定了信号采样是从模拟信源获取数字信息的必经之路。

在信号和图像处理领域，凡是涉及到计算机作为处理工具的场合，所面临的首要问题就是模拟信号的数字化问题，然后再对得到的离散的样本进行各种处理。

连续信号转化为离散的数字化信号的过程称为采样。

对模拟信号采样所得的离散数字信号能否代表并恢复成原来的连续模拟信号呢？如能恢复应具备什么样的条件呢？这个问题直接关系到是否可以用数字处理工具和数字化的方法处理模拟信号。

一奈奎斯特频率采样奈奎斯特采样定理给我们提供了如何采样的重要理论基础。

它指出，如果信号是带限的，采样速率必须达到信号带宽的两倍以上才能精确重构信号。

事实上，在音频和可视电子设备、医学图像设备、无线接收设备等设备中的所有信号采样协议都隐含了这样的限制。

奈奎斯特采样定理至出现以来一直是数字信号和图像处理领域的重要理论基础，它支撑着几乎所有的信号和图像处理过程，包括信号和图像的获取、存储、处理、传输等。

采样定理，又称香农采样定理，奈奎斯特采样定理，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E.T.Whittaker (1915年发表的统计理论),克劳德·香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。

另外,V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。

采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。

采样定理指出，如果信号是带限的，并且采样频率高于信号带宽的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。

带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是有限的。

采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。

高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。

大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。

1 采样简介从信号处理的角度来看，此采样定理描述了两个过程：其一是采样，这一过程将连续时间信号转换为离散时间信号；其二是信号的重建，这一过程离散信号还原成连续信号。

连续信号在时间（或空间）上以某种方式变化着，而采样过程则是在时间（或空间）上，以T为单位间隔来测量连续信号的值。

T称为采样间隔。

在实际中，如果信号是时间的函数，通常他们的采样间隔都很小，一般在毫秒、微秒的量级。

采样过程产生一系列的数字，称为样本。

样本代表了原来地信号。

每一个样本都对应着测量这一样本的特定时间点，而采样间隔的倒数，1/T即为采样频率，fs，其单位为样本/秒，即赫兹(hertz)。

信号的重建是对样本进行插值的过程，即，从离散的样本x[n]中，用数学的方法确定连续信号x(t)。

从采样定理中，我们可以得出以下结论：∙如果已知信号的最高频率f H，采样定理给出了保证完全重建信号的最低采样频率。

这一最低采样频率称为临界频率或奈奎斯特频率，通常表示为f N∙相反，如果已知采样频率，采样定理给出了保证完全重建信号所允许的最高信号频率。

以上两种情况都说明，被采样的信号必须是带限的，即信号中高于某一给定值的频率成分必须是零，或至少非常接近于零，这样在重建信号中这些频率成分的影响可忽略不计。

在第一种情况下，被采样信号的频率成分已知，比如声音信号，由人类发出的声音信号中，频率超过5 kHz的成分通常非常小，因此以10 kHz 的频率来采样这样的音频信号就足够了。

在第二种情况下，我们得假设信号中频率高于采样频率一半的频率成分可忽略不计。

这通常是用一个低通滤波器来实现的。

2 混叠如果不能满足上述采样条件，采样后信号的频率就会重叠，即高于采样频率一半的频率成分将被重建成低于采样频率一半的信号。

这种频谱的重叠导致的失真称为混叠，而重建出来的信号称为原信号的混叠替身，因为这两个信号有同样的样本值。

一个频率正好是采样频率一半的弦波信号，通常会混叠成另一相同频率的波弦信号，但它的相位和振幅改变了。

二压缩感知然而随着人们对信息需求量的增加，携带信息的信号带宽越来越宽，以此为基础的信号处理框架要求的采样速率和处理速度也越来越高，因而对宽带信号处理的困难在日益加剧．例如高分辨率地理资源观测，其巨量数据传输和存储就是一个艰难的工作。

另一描述和处理的理论框架，使得在保证信息不损失的情况下，用远低于奈奎斯特采样定理要求的速率采样信号，同时又可以完全恢复信号?即能否将对信号的采样转变成对信息的采样?如果这个问题被解决，就可以极大地降低信号的采样频率及数据存储和传输代价，显著地降低信号处理时间和计算成本，并将带领信号处理进入一个新的革命时代．近几年来出现的一种新颖的理论——Compressive Sensing表明这是可能的．目前还没有一个统一的中文词汇与之对应，有人称之为压缩传感，也有人称其为“压缩感知”。

压缩感知理论与传统奈奎斯特采样定理不同，它指出，只要信号是可压缩的或在某个变换域是稀疏的，那么就可以用一个与变换基不相关的观测矩阵将变换所得高维信号投影到一个低维空间上，然后通过求解一个优化问题就可以从这些少量的投影中以高概率重构出原信号，可以证明这样的投影包含了重构信号的足够信息．在该理论框架下，采样速率不决定于信号的带宽，而决定于信息在信号中的结构和内容．事实上，压缩感知理论的某些抽象结论源Kashin创立的范函分析和逼近论，最近由Candes，Romberg，Tao和Donoho等人构造了具体的算法并且通过研究表明了这一理论的巨大应用前景。

1信号的稀疏表示如果一个信号中只有少数元素是非零的, 则该信号是稀疏的。

通常时域内的自然信号都是非稀疏的, 但在某些变换域可能是稀疏的。

这就需要采用信号的稀疏表示。

信号的稀疏表示就是将信号投影到正交变换基时, 绝大部分变换系数的绝对值很小, 所得到的变换向量是稀疏或者近似稀疏的, 可以将其看作原始信号的一种简洁表达。

这是压缩传感的先验条件, 即信号必须在某种变换下可以稀疏表示。

由于一个长度为N的一维离散时间信号, 可以表示为一组标准正交基的线性组合：其中，为列向量,N×1列向量x是f 的加权系数序列，。

见x是信号f 的等价表示，如果x只有很少的大系数, 则称信号f是可压缩的。

如果x只有K个元素为非零, 则称x为信号f的K稀疏表示。

通常变换基可以根据信号本身的特点灵活选取, 常用的有离散余弦变换基、快速傅立叶变换基、离散小波变换基、Curvelets基、Gabor基，当信号不能用正交基稀疏表示时, 可以采用冗余字典稀疏表示。

2编码测量已知长度为N的K稀疏信号x、测量矩阵求测量值。

当x稀疏时可由得到。

当x非稀疏时，首先把x稀疏表示x=Ψα，然后求测量值。

Φ的每一行可以看作是一个传感器（Sensor）,它与信号相乘，拾取了信号的一部分信息。

为了重构信号，Candes和Tao给出并证明了传感矩阵必须满足约束等距性条件。

对于任意K稀疏信号x和常数，如果成立，则称矩阵满足约束等距性。

Baraniuk给出约束等距性的等价条件是测量矩阵Φ和稀疏表示的基Ψ不相关, 即要求Φ的行不能由Ψ的列稀疏表示，且Ψ的列不能由Φ的行稀疏表示。

由于Ψ是固定的, 要使得=ΦΨ满足约束等距条件，可以通过设计测量矩阵Φ解决。

已经证明当Φ是高斯随机矩阵时，传感矩阵能以较大概率满足约束等距性条件。

因此可以通过选择一个大小为M×N的高斯测量矩阵得到，其中每一个值都满足的独立正态分布。

其他常见的能使传感矩阵满足约束等距性的测量矩阵还包括一致球矩阵、二值随机矩阵、局部傅立叶矩阵、局部哈达玛矩阵以及托普利兹矩阵等。

3信号重构算法信号重构算法是压缩传感理论的核心，是指由M次测量向量y重构长度为N的稀疏信号x的过程。

因为，并且y的维数远远低于x的维数，所以方程有无穷多解，无法重构信号。

然而如果原始信号是K稀疏的并且测量矩阵满足一定条件，理论证明，信号x可以由测量值y通过求解范数问题精确重构：上式中，为向量的范数, 表示向量x 中非零元素的个数。

Candes等指出, 如果要精确重构K稀疏信号x, 测量次数M（即y的维数）必须满足。

但Donoho指出，最小范数问题是一个NP-hard问题。

鉴于此，研究人员提出了一系列求得次最优解的算法，主要包括最小范数法、匹配追踪系列算法、迭代阈值法以及专门处理二维图像问题的最小全变分法等。

4压缩感知的应用压缩传感理论带来了信号采样理论的变革, 具有广阔的应用前景, 包括压缩成像、模拟信息转换、生物传感等。

值得注意的是，Rice 大学已经成功设计出了一种基于压缩感知的新型单像素相机，在实践中为取代传统相机迈出了实质性的一步。

以下主要讨论在通信领域中的应用。

1.雷达成像压缩传感技术可应用于雷达成像领域，与传统雷达成像技术相比压缩传感雷达成像实现了两个重要改进：在接收端省去脉冲压缩匹配滤波器；同时由于避开了对原始信号的直接采样，降低了接收端对模数转换器件带宽的要求。

Bhattacharya等将压缩传感理论应用到合成孔径雷达图像数据获取上, 解决了海量数据采集和存储问题, 显著降低了卫星图像处理的计算代价。

2.信源/信道编码当原始信号具有稀疏性时，利用压缩采样理论可对其进行有效压缩，减少冗余信息压缩传感理论中关于稀疏性、随机性和凸最优化的结论可以直接应用于设计快速误差校正编码, 这种编码方式在实时传输过程中不受误差的影响。

3．模拟/信息转换对于带宽非常高的信号，根据香农采样定理，要获得完整的信号信息，所采用的模数转换器必须有很高的采样频率。

然而由于传感器及转换硬件性能的限制，获得的信号的带宽远远低于实际信号的带宽，存在较大的信息丢失。

利用压缩传感理论首先获得原始信号的线性测量，再利用后端DSP重构原始信号或直接计算原始信号的统计数据等信息。

4.信道估计把压缩传感应用于OFDM信道估计中，可以在使用较少导频的条件下获得很好的信道估计性能,从而可以提高系统频谱有效性。

三比较在过去的半个世纪里，奈奎斯特采样定理几乎支配着所有的信号或图像等的获取、处理、存储以及传输。

它要求采样频率必须大于或等于信号带宽的两倍，才能不失真的重构原始信号。

在许多实际应用中，例如高分辨率的数码装置及超带宽信号处理，高速采样产生了庞大的数据，为了降低存储，处理或传输成本，只保留其中少量的重要数据。

由于采样后得到的大部分数据都被丢弃了，所以这种方式造成了采样资源的严重浪费。

设想如果在采样的同时直接提取信号的少量重要信息，就可以大大降低采样频率，节约资源，提高效率而且仍能够精确重构原始信号或图像。