幅相频率特性图—奈奎斯特Nyquist图
精品文档-自动控制原理(第二版)(千博)-第5章
图 5-5 惯性环节的波德图
25
三、对数幅相图(Nichols图)
对数幅相图是以相角(°)为横坐标, 以对数幅频L(ω)(dB)
为纵坐标绘出的G(jω)曲线。频率ω为参变量。因此它与幅相
频率特性一样, 在曲线的适当位置上要标出ω的值, 并且要用
箭头表示ω增加的方向。
用对数幅频Hale Waihona Puke 性及相频特性取得数据来绘制对数幅相
第五章 频 域 分 析 法
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 关系 第九节 德图
频率特性的基本概念 频率特性的表示方法 典型环节的频率特性 系统开环频率特性 奈奎斯特稳定性判据和波德判据 稳定裕度 闭环频率特性 开环频率特性和系统阶跃响应的
利用MATLAB绘制奈奎斯特图和波
8
图 5-2 频率特性与系统描述之间的关系
9
利用频率特性曲线分析研究控制系统性能的方法称为频域 分析法。频域分析法主要有傅氏变换法和经典法。
(1) 傅氏变换法就是系统在输入信号r(t)的作用下，其输 出响应为
即把时间函数变换到频域进行计算并以此分析研究系统的方法。 (2) 经典法就是先求出系统的开环频率特性G(jω)并绘成
的对数频率
22
(1) 对数幅频特性曲线。通常用L(ω)简记对数幅频特性, 故
ω从0变化到∞时的对数幅频特性曲线如图5-3所示。
23
(2) 相频特性曲线。通常以j(ω)表示相频特性, 即 j (ω)=∠G(jω)。对于惯性环节, 有
j (ω)=-arctanTω 对不同ω值, 逐点求出相角值并绘成曲线即为相频特性曲线, 如图5-5所示。
45
图 5-11 振荡环节近似波德图
2频率特性的图解方法
G( j ) A( )e j ( )
频率特性的极坐标图⑵
⒉典型环节的极坐标图 ⒉典型环节的极坐标图 ①积分环节 传递函数为
G(s) 1 s
频率特性为 G ( j )
1 j
幅频特性和相频特性分别为
A( ) 1
( ) 90
积分环节和微分环节互为倒数 积分环节和微分环节互为倒数
由于计算机的出现，作图已经变得很容易了，但 这些图解方法的重要性在于，其物理意义非常明确， 使人们易于掌握系统的物理本质和动态特性。
一 频率特性的极坐标图⑴
1.Nyquist 图的画法 1.Nyquist 图的画法 可用向量表示某一频率下的频率 特性。 通常，将极坐标重合在直角坐标 中，极点取直角坐标的原点，极坐标 轴取直角坐标的实轴。 尽管频率特性可以分解为实频和 虚频两部分，因此可以用实频和虚频 在直角坐标中画出各频率下的对应的 点，但尽量不要采用这种方法，而应 采用矢径（幅频特性）和相角绘制。 表示频率特性的向量的矢端的轨 迹称为幅相频率特性曲线，或奈奎斯 特曲线。 设系统的频率特性为
频率特性的极坐标图⑸
令
d A( ) 0 r d
r
1 1 2 2 n 1 2 2 T
1 2 1 2
2
则谐振频率为 谐振峰值为：
M r A( ) max
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
, 0 0.707
当环节在谐振频率处出现谐振峰值时，表示环节 对谐振频率附近的谐波分量的放大能力特别强，输入 信号中接近谐振频率的谐波分量被放得很大，在输出 信号中这些谐波分量特别突出，因此，环节的阶跃响 应有以谐振频率附近的频率进行振荡的倾向。 其他典型环节不再赘述。 其他典型环节不再赘述。
机械工程控制基础-典型环节奈氏图
基本步骤
将开环传递函数表示成若干典型环节的串 联形式： ( s) G1 ( s)G2 ( s)Gn ( s) G 求系统的频率特性：
G ( j ) A( )e
j ( ) j 1 ( )
A1 ( )e
A2 ( )e
j 2 ( )
An ( )e
j n ( )
1 2
=0.5 =0.3 =0.2 =0.1
0 1 2 3
Im -3
-4 -5 -6
=n
-3 -2 -1
Re
第4章 频域分析法 谐振现象(resonance)
4
3
2
= 0.05 = 0.15 = 0.20 = 0.25 = 0.30 = 0.40 = 0.50 = 0.707 = 1.00
由正实轴方向沿逆时针方向绕原点转至向量gj方向的角度等于比例环节二典型环节的频率特性图二典型环节的频率特性图传递函数
奈奎斯特(Nyquist)图（极坐标图、幅相频率特性图）
G ( j) Re[G ( j)] j Im[ G ( j)] P () jQ () G ( j) e
A()
1
0
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
/n
1.2 1.4 1.6 1.8 2
第4章 频域分析法 由振荡环节的幅频特性曲线可见，当 较小 时，在 = n附近，A()出现峰值，即发 生谐振。谐振峰值 Mr 对应的频率r 称为谐 振频率。 由于： A( )
1 n
= n时
A( ) A( n ) 1 2
( ) ( n ) 90
= 时
自动控制原理第5章_线性控制系统的频率特性分析法
5. 2控制系统开环传递函数的对数频率特性
5.2.2 系统伯德图的绘制
开环对数幅频渐近特性曲线的绘制步骤： （1）把系统开环传递函数化为标准形式，即化为典型环节的传递函
数乘积，分析它的组成环节； （2）确定一阶环节、二阶环节的转折频率，由小到大将各转折频率
标注在半对数坐标图的频率轴上； （3）绘制低频段渐近特性线； （4）以低频段为起始段，从它开始每到一个转折频率，折线发生转
开环极点的个数。
5. 4 频域稳定判据与系统稳定性
5.4.4 控制系统的相对稳定性
开环频率特性 G( j)H( j)在剪切频率 c处所对应的相角与 180 之差称为相角裕度，记为 ，按下式计算
(c ) (180 ) 180 (c )
开环频率特性 G( j)H的( 相j)角等于 时所1对80应的角频率称为相
闭环系统稳定的充要条件是，当 由 0 时0，开 环奈奎斯 特曲线逆时针方向包围( )点 周1, j。0 是具P有2 正实部P 的开 环极点的个数。 需注意，若开环传递函数含有 v 个积分环节，所谓 由 0 0 ，指的 是由 0 0 0 ，此时奈 奎斯特曲线需顺时针增补 v 角度的无穷大半径的圆弧。
5. 4 频域稳定判据与系统稳定性
5.4.1 奈奎斯特稳定判据
若闭环系统在[ s]右半平面上有 个P开环极点，当 从 变化到
时，奈奎斯特曲线 G( j对)H点( j) 的包围1周, j数0 为 （ 为逆时N针，
为顺N 时 0针），则系统N<在0[ ]右半平面上的闭环极点s的个数为 。
折，斜率变化规律取决于该转折频率对应的典型环节的种类； （5）如有必要，可对上述折线渐近线加以修正，一般在转折频率处
5.3典型环节的nyquist
0
2
⒋ 振荡环节的频率特性：
1 G( s) 2 2 (T 0,0 1) T s 2Ts 1
1 G ( j ) 2 2 (1 T ) j 2T
幅频特性为： A( )
1 (1 T 2 2 )2 (2T )2
乘积，相频特性为各环节相频特性叠加。
1.起点规律
(1)
10(0.5 j 1) G j ( j 1)(0.05 j 1)
A 10 1 (0.5 ) 2 1 2 1 (0.05 ) 2
1
0.5 1 1 0.05 tg (tg tg ) 1 1 1
1
(3)
10(0.5 j 1) G j ( j ) 2 ( j 1)(0.05 j 1)
A 10 1 (0.5 ) 2
2 1 2 1 (0.05 ) 2
0.5 1 1 0.05 tg ( tg tg ) 1 2 2 1 1
⑤ 利用实频特性、虚频特性求出与实轴的交点（包
括交点对应的频率值）。
例
G( s )
5 ，画G(j)曲线。 s( s 1)(2 s 1)
5 j5(1 j )(1 j 2 ) G( j ) j (1 j )(1 j 2 ) (1 2 )(1 4 2 )
1
1 1 T
2
e
j
A( )
1 T
2
2
( ) tg T
1
Nyquist曲线
0
Im
Re
绘制方法
（1）
( ) 0 （2） A( ) 0 ( ) 2 （3） : 0 A( ) : 1 0 ( ) : 0
4.2.14.2频率特性的几何表示法
对数频率特性曲线——伯德图
对数相频特性曲线
1 横坐标为的对数lg 分度 2 纵坐标为()
频率每变化十倍，称为十倍频程，记作dec。
对数频率特性曲线——伯德图
对数幅频特性 横坐标表示为：ω 为方便只表示
纵坐标表示为：
L(ω )=20lgA(ω)
L(ω )=20lgA(ω ) dB
40 -20dB/dec
（3）在一张图上绘制低、中、高频段特 性，对系40dB/dec
-1
0
1 lgω
0
0.1
1
10 ω
-20 -40
十倍频程 dec
-20dB/dec
φ (ω )
单位为 dB
0
0.1
1
-90
10 ω
对数相频特性 -180
伯德图的优点
（1）对数运算，将串联环节的幅值相 乘转化为幅值相加的运算
（2）这种方法建立在渐近线的基础上， 简化了幅频特性的绘制过程
频率特性的几何表示法
频率特性法是一种图解分析法，常见的频率 特性曲线有两种：
1 幅相频率特性曲线
2 对数频率特性曲线
幅相频率特性曲线——奈奎斯特曲线（奈氏图）
特点： 以频率ω为变量，将频率特性的幅频特性A(ω)
和相频特性φ(ω)同时表示在复平面上。
Im
= 0 Re
=0
幅相频率特性曲线——奈奎斯特曲线（奈氏图）
作图方法： 取=0和=两点，必要时可在0< < 之间选取
一些特殊点，算出这些点处的幅频值和相频值，然后在 幅相平面上做出这些点，并用光滑的曲线连接起来。
Im
= 0 Re
=0
对数频率特性曲线——伯德图
第5章-频率法1
相频特性
( ) arctan T
L( ) 20 lg T 2 2 1 对数幅频
信通学院
18
L( ) dB
[20]
1 T
0
精确曲线
10
( )
90
45
0
信通学院
六.振荡环节
2 n G (s) 2 2 s 2n s n
G ( j )
2
G
( )
[-20] 表示每10倍频程下降20dB 特征点： =1rad/s，L=0
信通学院
三.微分环节 传递函数
G( s) s
j
频率特性 G( j ) j e
2
幅频特性 A( ) G ( j )
相频特性 ( ) G( j ) 对数幅频
信通学院
四、频率特性的三种图示法 1.幅相频率特性曲线——Nyquist图（又叫幅相频率特性、极坐 标图或奈奎斯特图简称奈氏图）
G ( j ) A( )e j ( )
对于某一特定ω，总可以在复平面上找到一个向量与G(jω) 对应，该向量的长度为A(ω),与实轴的夹角为 ( ω)。 2.对数频率特性曲线——Bode图（又叫伯德图） 包括对数幅频特性曲线、相频特性曲线 横坐标按lg ω进行线性分度，但标注ω。 纵坐标分别为L (ω)和 ( ω)。 L(ω)＝20 lgA(ω)
幅频特性 A( ) G ( j ) K 相频特性 ( ) G ( j ) 0
L( )
均与无关
对数幅频 L( ) 20lg A() 20lg K
j
[G ]
20 lg K
0
控制工程基础---第4章--频域分析法1
☎ 4.1.3 频率特性的图示方法
V( )
系统的频率特性可分解为实部 和虚部，即
直角坐标形式： G( j) U () jV ()
极坐标形式： G( j ) A( )e j ()
O
式中：极直U坐角(标坐形标) _式形_：式__：实频GG特(( jj性))； UA(())ej
对数频率特性又称为博德图。
☆半对数坐标图（纸）
对数幅频特性：
L( ) 其中： L( ) 20 lg A( ) (dB )
对数相频特性：
( )
（3）对数幅相频率特性（尼科尔斯图 Nichols）。
在所需要的频率范围内，以频率作为参数 来表示的对数幅值和相角关系的图。
据“根符据号“符法号”法 ” ‘( ‘(电电路路’’中中有有介介绍绍
)：)X：iXm im
Xim Xe ji0m0 e
j00
X
Xom
om
A(A).(X
im).eXj
(
im
)e
j
此时 定此义时定“ 义系x“i统(系t)稳统态稳X态输im 输si nt 出出与与输输入入信信号号的复的数复比数比 ”为：为：
(t)
U 1
im T T 2
2
t
eT
U im sin( t arctan T ) ( 4 .3) 1 T 2 2
uo(t) 的稳态uo解 (t)
Uim sin(tarctTan) 1T22
Ui
Uimej0
， U o
Uim 1T2
其 中 ： 这(xj就Ao这(((t是))j就) 系－是)A 统幅系XX(频 统的XXoi特)的mm“X oimm性“频i；m 频s率率AAi特特((n tXX[)) ..根i XmiXm据 此ei(m“e 时i jme0符性 定j0)e0号 性j义”0(法 ]“(jj”” 系)( )统 稳) 态‘XXA(输oi电m(m路A’)(.Ae中 (有 出jX))介 与.(.iXm绍 e输e)i其m 入jje00信)j中：(X号(Xo的)m)im复
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第二章控制系统的数学模型1．本章的教学要求1）使学生了解控制系统建立数学模型的方法和步骤；2）使学生掌握传递函数的定义、性质及传递函数的求取方法；3）掌握典型环节及其传递函数；4）掌握用方框图等效变换的基本法则求系统传递函数的方法。
2．本章讲授的重点本章讲授的重点是传递函数的定义、性质；用方框图等效变换的基本法则求系统传递函数的方法。
3．本章的教学安排本课程预计讲授10个学时第一讲2.1 线性系统的微分方程1．主要内容：本讲介绍数学模型定义、特点、种类；主要介绍控制系统最基本的数学模型——微分方程，通过举例说明列写物理系统微分方程的基本方法和步骤。
2．讲授方法及讲授重点：本讲首先给出数学模型定义，说明为什么建立数学模型；介绍建立数学模型的依据；介绍数学模型特点，重点说明相似系统的概念、模拟的概念，由此引出今后研究控制系统问题都是在典型数学模型基础上进行的；介绍数学模型种类，说明本课程主要介绍微分方程、传递函数、频率特性形式数学模型。
其次，本讲主要以电气系统为例介绍列写物理系统微分方程的方法和步骤，通过例题的详细讲解，使学生了解微分方程是描述控制系统动态性能的数学模型，熟悉在分析具体的物理系统过程中，要综合应用所学过的物理、力学、机械等学科的知识。
3．教学手段：Powerpoint课件与黑板讲授相结合。
4．注意事项：在讲授本讲时，应说明列写物理系统微分方程的依据是系统本身的物理特性，本课程主要讲授物理系统微分方程列写的方法和步骤。
5．课时安排：1学时。
6．作业：p47 2-17．思考题：复习拉普拉斯(Laplace)变换2.2 拉普拉斯变换的基本知识1．主要内容：本讲简要回顾拉普拉斯(Laplace)变换定义、拉普拉斯反变换、常用函数的拉普拉斯变换、拉普拉斯变换的基本运算定理等基本知识；主要介绍应用拉普拉斯变换法求解微分方程。
2．讲授方法及讲授重点：本讲首先简要回顾拉普拉斯(Laplace)变换定义、拉普拉斯反变换、介绍拉氏变换的特点及应用，重点介绍常用函数的拉普拉斯变换、拉普拉斯变换的基本运算定理等基本知识，强调本课程只要求记住结论，推导过程自己看参考书。
在介绍应用拉氏变换把线性微分方程的求解问题转换为代数方程运算和查表求解的问题时，公式可直接给出，不用推导，强调会应用公式灵活解决求解微分方程的问题。
在讲解本讲过程中，应举1-2个例子说明求解微分方程问题的方法。
3．教学手段：Powerpoint课件与黑板讲授相结合，以板书为主。
4．注意事项：在讲授本讲时，应重点说明应用拉普拉斯变换法求解微分方程的方法。
本讲不要求推导公式，但要求会应用公式。
5．课时安排：1学时。
6．作业：P48，2-4第二讲2.3 传递函数1．主要内容：本讲主要介绍传递函数的定义、性质及传递函数的求取方法；典型环节及其传递函数。
2．讲授方法及讲授重点：本讲首先介绍描述控制系统的又一数学模型——传递函数，介绍其基本概念，给出传递函数公式，绘制动态结构图，说明输入量、输出量、传递函数三者之间的关系。
在讲传递函数的性质时，一方面要重点说明传递函数的分母只取决于系统的结构和元件的参数等与外界无关的固有因素，因而它描述了系统的固有特性，而分子取决于系统与外界的关系，因而它描述了系统与外界的联系；另一方面要画图重点说明一定的传递函数与其零、极点分布图相对应，因此传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。
在讲求取传递函数的方法时，重点介绍直接计算法，其它两种方法以后陆续介绍。
本讲在介绍组成控制系统的典型环节及其传递函数时，首先说明环节的概念，用公式给出典型环节的数学表达式；然后，通过实例分别介绍各个典型环节，其中应重点介绍惯性环节、振荡环节，说明这两个环节的特点。
3．教学手段：Powerpoint课件与黑板讲授相结合。
4．注意事项：在讲授本讲时，应强调掌握传递函数的定义、性质的重要性，在讲典型环节及其传递函数时，应联系实际，适当多举一些例子。
5．课时安排：2学时。
6．作业：书后P48，2-5，第三讲2.4 方框图1．主要内容：本讲主要介绍控制系统的函数方框图及其等效变换法则，要求学生熟练掌握函数方框图等效变换法则。
另外还介绍反馈控制系统的传递函数，控制系统传递函数推导举例。
2．讲授方法及讲授重点：本讲首先介绍函数方框图的概念，表达内涵，说明比较点、引出点的特点，重点说明比较点的代数运算功能。
在讲授函数方框图变换法则时，应利用黑板进行公式推导，首先讲清串联法则、并联法则、反馈法则，与此同时，由于并联法则、反馈法则在应用中易混淆，应说明并联法则用于同向环节的并联运算、反馈法则用于回路的反馈运算；其次，在讲比较点、引出点等效移动时，画图进行讲解、推导，说明等效的含义，注意强调，两个相邻的比较点可互换位置，两个相邻的引出点也可互换位置，一个比较点和一个引出点即使相邻也不能简单地互换位置。
最后，举1-2个例子说明函数方框图变换法则的灵活应用情况，总结出一些规律性的东西。
即：回路的传递函数保持不变，前项通道的传递函数保持不变。
在讲授系统方框图举例时，通过实际的物理系统的例子说明绘制方框图的方法，重点说明如何由单个环节的数学模型，直接绘制出单个环节传递函数框图，然后根据信号传递方向，连线绘制出整个闭环系统的传递函数框图。
给出反馈控制系统的开环传递函数的概念，推导控制系统在控制输入量和扰动输入量的分别作用下的闭环传递函数计算公式，以及系统在控制输入量和扰动输入量的同时作用下的输出量计算公式3．教学手段：Powerpoint课件与黑板讲授相结合。
4．注意事项：本讲是本门课的重点，在讲授本讲时，应强调掌握传递函数的等效变换法则的重要性，在讲传递函数等效变换时，应展开多讲几种解决问题的方法，使同学能灵活运用所学方法，解决各种等效变换问题。
5．课时安排：2学时。
6．作业：书后P48，2-6，2-7第四讲2.5 信号流图1．主要内容：本讲主要介绍信号流图和梅逊公式反馈控制系统的传递函数2．讲授方法及讲授重点：本讲首先在讲授信号流图和梅逊公式时，首先说明信号流图的概念，然后，讲清公式的应用注意事项，通过1-2个例子说明梅逊公式的具体应用。
3．教学手段：Powerpoint课件与黑板讲授相结合。
4．注意事项：在讲授本讲时，应强调掌握反馈控制系统的开环传递函数、闭环传递函数和偏差传递函数的概念及推导方法，在讲授控制系统传递函数推导举例时，重点说明的是求取传递函数的方法。
应使同学能灵活运用所学方法，解决各种实际控制系统求取传递函数问题。
5．课时安排：1学时。
6．作业：书后P48，2-97．思考题：书后P48，2-8，2-10第五讲1．主要内容：本讲为习题课。
本章讲述的内容很多,牵扯到数学和物理系统的一些理论知识,有些需要进一步回顾,有些需要加深理解，特别是对时间域和复频率域的多种数学描述方法，各种模型之间的对应转换关系，都比较复杂。
学习和复习好这些基础理论，对下一步深入讨论自控理论具体方法至关重要。
2．讲授重点：先作本章小结（5条）基本概念归纳1）在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换值比，定义为线性定常系统的传递函数。
传递函数表达了系统内在特性，只与系统的结构、参数有关，而与输入量或输入函数的形式无关。
2）一般控制系统由若干个典型环节构成，常用的典型环节有比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节和延迟环节等。
3）组成方框图的基本符号有四种，即信号线、比较点、方框和引出点。
4）环节串联后总的传递函数等于各个环节传递函数的乘积。
环节并联后总的传递函数是所有并联环节传递函数的代数和。
5）在使用梅逊增益公式时，注意增益公式只能用在输入节点和输出节点之间。
传递函数、方框图、梅森公式例3．教学手段：黑板讲授，动画演示。
4．课时安排：2学时。
小结：1．数学模型是描述系统（或元件）动态特性的数学表达式，是从理论上进行分析和设计系统的主要依据。
2．本章介绍了线性定常系统的四种数学模型：微从方程、传递函数、动态结构科和信号流图。
微分方程是描述自动控制系统动态特性的基本方法。
传递函数是经典控制理论中与更为重要的模型，它是从对微分方程在零初始条件下进行拉氏变换得到的，在工程上用得最多。
动态结构图是传递函数的一种图解形式，它能直观、形象地表示出系统各组成部分的结构及系统中信号的传递与变换关系，有助于对系统的分析研究。
对于较为复杂的系统，应用信号流图更为简便，用梅逊公式可直接求出系统中任意两个变量之间的关系。
3．一个复杂的系统可以分解为为数不多的典型环节，常见的基本环节有比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节和时滞环节等，熟悉各典型环节数学表达式和响应特性骨助于对复杂系统的动态分析和设计。
4．对于同一个系统，不同的数学模型只是不同的表示方法。
因此，系统动态结构图与其它数学模型有着密切的关系。
由系统微分方程经过拉氏变换得到的变换方程，可能很容易画出动态结构图。
通过动态结构图的等效变换可求出系统的传递函数。
对于同一个系统，动态结构图不是唯一的，但由不同的动态结构图得到的传递函数是相同的。
5．一般地讲，系统传递函数多是指闭环系统输出量对输入量的传递函数，但严格说来，系统传递函数是个总称，它包括几种典型传递函数：开环传递函数、闭环传递函数、在给定和扰动作用下的闭环传递函数及由给定的扰动引起的误差传递函数。