幅相频率特性图—奈奎斯特Nyquist图
第五章频率特性
1．本章的教学要求
1) 掌握频率特性的基本概念、性质及求取方法；
2)掌握典型环节及系统的频率特性图—奈奎斯特(Nyquist)图的绘制方法；
3)掌握典型环节及系统的对数频率特性图—波德图(Bode)图的绘制方法；
4)使学生掌握频率特性的实验测定法。
5）使学生掌握奈奎斯特（Nyquist）稳定性判据应用；
6）掌握对数频率稳定性判据（Bode判据）应用；
7）掌握相对稳定性的基本概念，相位裕量Υ、幅值裕量K g定义、计算、在Nyquist图与Bode图上的表示。
2．本章讲授的重点
本章讲授的重点是掌握频率特性的基本概念、求取方法；奈奎斯特(Nyquist)图的绘制方法；波德图(Bode)图的绘制方法;利用频率特性分析控制系统。
3．本章的教学安排
本课程预计讲授14个学时
第一讲
5.1 频率特性
1．主要内容：
1）频率响应和频率特性
2）频率特性的求取方法
3）频率特性的表示方法
2．讲授方法及讲授重点：
本讲首先给出频率响应定义，用图说明线性系统稳态响应曲线的特点，由此引出幅频特性、相频特性的概念，然后给出频率特性的定义及数学表达式，利用图及公式说明幅频特性、相频特性、实频特性、虚频特性的关系。
在介绍频率特性的求取方法时，首先说明频率特性一般有三种求法：利用定义求取、根据系统的传递函数来求取、通过实验测得。
在此主要说明和推导根据系统的传递函数来求取的方法, 第三种方法后面介绍。
在介绍频率特性的表示方法时，首先说明频率特性的表示方法主要有如下几种：幅频特性和相频特性图、幅相频率特性图、对数频率特性图、对数幅相频率特性图、实频特性图和虚频特性图，分别简单介绍各自特点，然后强调本章重点介绍幅相频率特性(Nyquist)图和对数频率特性(Bode)图。
3．教学手段：
Powerpoint课件与黑板讲授相结合。
4．注意事项：
在讲授本讲时，频率特性概念比较抽象，同学不好理解，但此概念在本门课中又非常重要，可以联系实际举几个简单例子说明此概念。
5．课时安排：2学时。
6．作业：
书后P173，习题5-2
第二讲
5.2 典型环节的频率特性
1．主要内容：
1）频率特性图—奈奎斯特(Nyquist)图
2）典型环节的奈奎斯特图
3）系统的开环频率特性的奈奎斯特图
（1）系统的开环频率特性的奈奎斯特图的绘制
（2）系统的开环奈奎斯特图的形状特点
2．讲授方法及讲授重点：
本讲首先通过绘图介绍Nyquist图的形成过程及绘制方法，然后强调奈奎斯特图能显示出G(jω)矢量端点轨迹上的频率分布，一个图上就表示了整个频率域的频率特性，同时给出了幅频、相频、实频、虚频特性信息，这对于了解系统的动态特性比较直观。
在讲解典型环节的奈奎斯特图时，将比例环节、积分环节、理想微分环节、惯性环节、振荡环节、一阶微分环节、二阶微分环节分别作介绍，其中重点介绍惯性环节、振荡环节的曲线特征与参数的关系。
在讲解系统的开环频率特性的奈奎斯特图时，重点介绍开环奈奎斯特图的形状特点，讲授概略绘制开环奈奎斯特图的要求和方法。
3．教学手段：
Powerpoint课件与黑板讲授相结合。
4．注意事项：
在讲授本讲时，简单说明应用Matlab绘制控制系统图形的方法，主要是说明利用计算机可以绘制很复杂的奈奎斯特图形，但是手工绘制，仅仅可以获得简单、粗略的图形。
5．课时安排：2学时。
6．作业：
书后P73,习题5-1(奈奎斯特图)
第三讲
5.3 系统的开环频率特性
1．主要内容：
1）对数频率特性图—波德(Bode)图
2）典型环节的波德图
3）系统的开环波德图
（1）系统的开环波德图的绘制
（2）系统的开环波德图的特点
4）最小和非最小相位系统
2．讲授方法及讲授重点：
本讲首先强调Bode图是系统频率特性的又一图解法，由对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线共同构成，其坐标采用对数坐标系。
在讲解典型环节的波德图时，将比例环节、积分环节和理想微分环节、惯性环节和一阶微分环节、振荡环节和二阶微分环节分别进行对比，分组介绍，其中重点介绍积分环节、惯性环节和振荡环节的曲线特征。
在讲解系统的开环波德图时，重点介绍开环波德图的绘制方法、步骤，强调对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线的对应关系。
介绍最小和非最小相位系统的概念及两种系统的各自特点。
3．教学手段：
Powerpoint课件与黑板讲授相结合。
4．注意事项：
在讲授本讲时，应注意引导学生在熟练掌握典型环节波德图的基础上，提高对系统特性进行分析的能力。
简单说明应用Matlab绘制控制系统图形的方法。
5．课时安排：2学时。
6．作业：
书后P173, 习题5-3(波德图)
第四讲
5.4 乃奎斯特稳定判据
1．主要内容：
奈奎斯特（Nyquist）稳定性判据。
2．讲授方法及讲授重点：
本讲首先介绍代数稳定性判据与频率稳定性判据的区别，强调频率稳定性判据是对系统在频率域的稳定性分析，该判据是用系统开环频率特性的Nyquist图来判别闭环系统的稳定性，是判别系统稳定性的图解法，因此是一种几何判据。
本讲重点介绍频率稳定性判据的描述及其应用。
要求学生熟练掌握该判据的应用。
在授课过程中，通过讲解各种形式的例题，使学生充分理解并熟练掌握。
3．教学手段：
Powerpoint课件与黑板讲授相结合。
4．注意事项：
在讲授本讲时，注意讲清楚奈奎斯特判据的基本原理及判断稳定性的方法是本节的难点。
对于其原理，只要求了解奈奎斯特判据N=Z-P的来源即可，不要求推导。
但判断稳定性的方法要熟练掌握。
通过掌握不同型次、阶次系统奈奎斯特图的规律，找出起点、终点和几个特征点，该方法就不难了。
5．课时安排：2学时。
6．作业：
书后P174，习题5-7
第五讲
5.4 对数频率稳定判据
1．主要内容：
对数频率稳定性判据（Bode判据）
2．讲授方法及讲授重点：
本讲首先强调对数频率稳定性判据是由系统的开环对数频率特性来判定闭环系统的稳定性，通过介绍Nyquist图与Bode图的对应关系，引出对数频率稳定性判据（Bode判据）。
本讲重点介绍对数频率稳定性判据在不同情况下的描述及应用。
要求学生熟练掌握该判据的应用方法。
在授课过程中，通过讲解各种形式的例题，使学生充分理解并熟练掌握。
3．教学手段：
Powerpoint课件与黑板讲授相结合。
4．注意事项：
在讲授本讲时，注意讲清楚对数频率稳定性判据的基本原理及判断稳定性的方法是本节的难点。
对于其原理，只要求了解Nyquist图与Bode图的对应关系，从而由Nyquist判据推导出Bode判据。
5．课时安排：1学时。
6．作业：书后P174，习题5-8
5.5 控制系统的相对稳定性
1．主要内容：
相对稳定性的基本概念，相位裕量、幅值裕量定义、计算、在Nyquist图与Bode图上的表示。
2．讲授方法及讲授重点：
本讲首先介绍系统相对稳定性的基本概念，强调稳定性裕量是衡量一个闭环稳定系统稳定程度的指标，常用的有相位裕量和幅值裕量。
本讲重点介绍相位裕量和幅值裕量的计算方法以及在Nyquist图与Bode图上的表示。
同时系统地分析影响系统稳定性的主要因素。
在授课过程中，通过讲解各种形式的例题，使学生充分理解并熟练掌握。
3．教学手段：
Powerpoint课件与黑板讲授相结合。
4．注意事项：
在讲授本讲时，注意讲清楚相位裕量和幅值裕量的计算方法以及在Nyquist 图与Bode图上的表示是本节的难点，通过例题讲解使学生熟练掌握。
5．课时安排：1学时。
6．作业：
书后P160，习题5-10
第六讲
5.6 闭环系统的频率特性
5.7 用频率特性分析系统品质
1．主要内容：
1）简介闭环系统的频率特性。
2）频域分析
（1）确定系统频率域与时间域指标的关系；
（2）最小相位系统频率特性的估算；
2．讲授方法及讲授重点：
本节首先介绍闭环系统的频率特性
在讲解闭环系统的频率特性时，简单介绍开环频率特性与闭环系统的频率特性的关系，对照图形简单介绍用等幅值轨迹(等M圆图)、等相角轨迹(等N圆图)绘制闭环频率特性图的方法，重点说明闭环频率特性的性能指标：谐振峰值M r 和谐振频率ωr、截止频率ωb和截止带宽等频率域性能指标。
其次介绍频率域与时间域指标的关系，最小相位系统性能指标的估算。
3．教学手段：
Powerpoint课件与黑板讲授相结合。
4．注意事项：
在讲授本讲时，应对照图形简介本讲内容，便于同学接受。
5．课时安排：1学时。
6．作业：
书后P175, 习题5-13
第七讲
习题课
1．主要内容：习题课
2．讲授方法及讲授重点：
本节首先小结频率特性
其次举例。
3．教学手段：
Powerpoint课件与黑板讲授相结合。
4．注意事项：
在讲授本讲时，应对照图形简介本讲内容，便于同学接受。
5．课时安排：2学时。
精品文档-自动控制原理(第二版)(千博)-第5章
图 5-5 惯性环节的波德图
25
三、对数幅相图(Nichols图)
对数幅相图是以相角(°)为横坐标, 以对数幅频L(ω)(dB)
为纵坐标绘出的G(jω)曲线。频率ω为参变量。因此它与幅相
频率特性一样, 在曲线的适当位置上要标出ω的值, 并且要用
箭头表示ω增加的方向。
用对数幅频Hale Waihona Puke 性及相频特性取得数据来绘制对数幅相
第五章 频 域 分 析 法
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 关系 第九节 德图
频率特性的基本概念 频率特性的表示方法 典型环节的频率特性 系统开环频率特性 奈奎斯特稳定性判据和波德判据 稳定裕度 闭环频率特性 开环频率特性和系统阶跃响应的
利用MATLAB绘制奈奎斯特图和波
8
图 5-2 频率特性与系统描述之间的关系
9
利用频率特性曲线分析研究控制系统性能的方法称为频域 分析法。频域分析法主要有傅氏变换法和经典法。
(1) 傅氏变换法就是系统在输入信号r(t)的作用下，其输 出响应为
即把时间函数变换到频域进行计算并以此分析研究系统的方法。 (2) 经典法就是先求出系统的开环频率特性G(jω)并绘成
的对数频率
22
(1) 对数幅频特性曲线。通常用L(ω)简记对数幅频特性, 故
ω从0变化到∞时的对数幅频特性曲线如图5-3所示。
23
(2) 相频特性曲线。通常以j(ω)表示相频特性, 即 j (ω)=∠G(jω)。对于惯性环节, 有
j (ω)=-arctanTω 对不同ω值, 逐点求出相角值并绘成曲线即为相频特性曲线, 如图5-5所示。
45
图 5-11 振荡环节近似波德图
2频率特性的图解方法
G( j ) A( )e j ( )
频率特性的极坐标图⑵
⒉典型环节的极坐标图 ⒉典型环节的极坐标图 ①积分环节 传递函数为
G(s) 1 s
频率特性为 G ( j )
1 j
幅频特性和相频特性分别为
A( ) 1
( ) 90
积分环节和微分环节互为倒数 积分环节和微分环节互为倒数
由于计算机的出现，作图已经变得很容易了，但 这些图解方法的重要性在于，其物理意义非常明确， 使人们易于掌握系统的物理本质和动态特性。
一 频率特性的极坐标图⑴
1.Nyquist 图的画法 1.Nyquist 图的画法 可用向量表示某一频率下的频率 特性。 通常，将极坐标重合在直角坐标 中，极点取直角坐标的原点，极坐标 轴取直角坐标的实轴。 尽管频率特性可以分解为实频和 虚频两部分，因此可以用实频和虚频 在直角坐标中画出各频率下的对应的 点，但尽量不要采用这种方法，而应 采用矢径（幅频特性）和相角绘制。 表示频率特性的向量的矢端的轨 迹称为幅相频率特性曲线，或奈奎斯 特曲线。 设系统的频率特性为
频率特性的极坐标图⑸
令
d A( ) 0 r d
r
1 1 2 2 n 1 2 2 T
1 2 1 2
2
则谐振频率为 谐振峰值为：
M r A( ) max
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
, 0 0.707
当环节在谐振频率处出现谐振峰值时，表示环节 对谐振频率附近的谐波分量的放大能力特别强，输入 信号中接近谐振频率的谐波分量被放得很大，在输出 信号中这些谐波分量特别突出，因此，环节的阶跃响 应有以谐振频率附近的频率进行振荡的倾向。 其他典型环节不再赘述。 其他典型环节不再赘述。
03频率特性法——奈氏图和伯德图画法
惯性环节
G( j)H ( j)
40(0.5 j 1) j(2 j 1)( 1 j 1)
30
转折频率：0.5 2 30 低频段：V=1，在ω＝1 处 20lgK=20lg40=32 , －20 dB/dec，
L(ω)
[-20] 40db
G(s)H(s)
40(0.5s 1) s(2s 1)( 1 s
由于奈奎斯特曲线可以确定起点和终点，只是一个粗略图。
二、控制系统开环频率特性
1．系统奈奎斯特曲线
G
j
b0 a0
j m j n
b1 a1
j m1 j n1
bm1 j bm an1 j an
n阶系统
K
j
j1 1 j2 jT1 1 jT2
1 1
m n
0 1 2
0型系统 I型系统 II型系统
开环含有v个积分环节的系统，Nyquist 曲线起自幅角为－v90°的无穷远处。
Nyquist曲线终点幅值为 0 ，而相角为 －(n－m)×90°。
伯德图画法详解
重点 掌握
系统的开环传递函数通常可以写成典型环节串联 的形式， 即： G(s)H(s)=G1(s)G2(s)...Gn(s)
系统的开环频率特性为
i 1
伯德图画法详解 重点 掌握
幅频特性 = 组成系统的各典型环节 的对数幅频特性之代数和。
相频特性 = 组成系统的各典型环节 的相频特性之代数和。
伯德图画法详解 重点 掌握
一般步骤：
绘制系统开环对数频率特性曲线的一般步骤：
1) 将开环传递函数化成典型环节的乘积。
2）画出各典型环节的对数幅频和对数相 频特性曲线；
L(ω)=20lgK=x 即
机械工程控制基础-典型环节奈氏图
基本步骤
将开环传递函数表示成若干典型环节的串 联形式： ( s) G1 ( s)G2 ( s)Gn ( s) G 求系统的频率特性：
G ( j ) A( )e
j ( ) j 1 ( )
A1 ( )e
A2 ( )e
j 2 ( )
An ( )e
j n ( )
1 2
=0.5 =0.3 =0.2 =0.1
0 1 2 3
Im -3
-4 -5 -6
=n
-3 -2 -1
Re
第4章 频域分析法 谐振现象(resonance)
4
3
2
= 0.05 = 0.15 = 0.20 = 0.25 = 0.30 = 0.40 = 0.50 = 0.707 = 1.00
由正实轴方向沿逆时针方向绕原点转至向量gj方向的角度等于比例环节二典型环节的频率特性图二典型环节的频率特性图传递函数
奈奎斯特(Nyquist)图（极坐标图、幅相频率特性图）
G ( j) Re[G ( j)] j Im[ G ( j)] P () jQ () G ( j) e
A()
1
0
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
/n
1.2 1.4 1.6 1.8 2
第4章 频域分析法 由振荡环节的幅频特性曲线可见，当 较小 时，在 = n附近，A()出现峰值，即发 生谐振。谐振峰值 Mr 对应的频率r 称为谐 振频率。 由于： A( )
1 n
= n时
A( ) A( n ) 1 2
( ) ( n ) 90
= 时
自动控制原理--幅相频率特性幅相频率特性(Nyquist图)相关知识
1
起点
Байду номын сангаас
终点
v 3 v 0
5.2.2 开环系统的幅相频率特性
例7
G1 ( s )
s2 (T1s
K 1)(T2s
1)
G1( j0) 180
G1 G1
G1( j) 0 360
G2 ( s)
K ( s 1)
s2 (T1s 1)(T2s 1)(T3s
1)
G2( j0) 180
G(
j )
1
2 n2
1
j2
n
n
n
1
G
[1
2
2 n
]2
[2
n
]2
2
G arctan
n 2
1 - n2
5.2.1 典型环节的幅相频率特性
谐振频率r 和谐振峰值Mr
G 1
[1
2 n2
]2
[2
n
]2
d G 0
d
d
d
[1
2 n2
]2
[2
n
]2
0
2[1
2 n2
][2(n2
)]
2
[ 2
W( j) K () 0
比例环节的幅相特性 是G平面实轴上的一 个点
5.2幅相频率特性曲线（Nyquist）
5.2.1典型环节的幅相特性曲线 微分环节的幅值与成正比，
2. 微分环节频率特性
相角恒为90度。频率从0→∞
（1）理想微分环节频率特性
幅相特性曲线由G平面原点趋 向虚轴的+j∞处。
① 传递函数 W (s) X c (s) s
n
2
](
自动控制第四章
Nyquist步骤：1 2 3 频率特性
幅频 G ( jw ) =
1 1+w 2T 2
w 0，幅值，相角
w ，幅值，相角
与实轴或虚轴的交点
幅相特性(Nyquist)
Re
相频 G( jw)=-arctg(wT)
2 wn ⑹ 振荡环节 G( s) 2 2 s 2wn s w n w 2 1 ( ) wn U (w ) w 2 2 w 2 2 [1 ( ) ] 4 ( ) wn wn w 2 wn V (w ) w 2 2 w 2 [1 ( ) ] 4 2 ( ) wn wn
一、典型环节的奈氏图
⑴ 比例环节 G( s) K ⑵ 微分环节 G( s ) s
1 ⑶ 积分环节 G ( s ) s
G( jw ) K G ( jw ) jw
幅值相角
G K G 0 G w G 90 G 1 w G 90
G 1
奈氏图
1 G( jw ) jw
0.237 76
G
G ( j )
2(2 j ) 0 j 0 0 90 2 2 2
证明：惯性环节 G ( jw )
G ( jw )
1 1 jwT的幅相特性为半圆
1 1 jw T X jY 2 2 1 jw T 1 w T
G( j 0.6) 0.92 j 0.27 0.959 16.4 G( j1) 0.8 j 0.4 0.804 26.6 G( j 2) 0.5 j 0.5 0.707 45 G( j 4) 0.2 j 0.4 0.447 63.4 G( j8) = 0.06 - j 0.24
自动控制原理5第三节极坐标图
当w 时，A(w) 0，(w) 180，P(w) 0，Q(w) 0
24
令Q(w ) 0，解得与实轴交点 w 2
1
T1T2 T1Td T2Td
注意与实轴交点有交点 的条件为： T1T2 T1Td T2Td 0
Td (T1 T2 ) T1T2
P(w )
K ( T1T2 T1 T2
w Im
w 0
Re
w
一阶微分环节的奈氏图
② 一阶微分：
A(w) 1 T 2w2，(w) tg1Tw
P(w) 1，Q(w) Tw
w
Im
一阶微分环节的极坐标 图为平行于虚轴直线。
频率w从0→∞特性曲线
相当于纯微分环节的特 性曲线向右平移一个单 位。
w 0 Re
w
12
二阶微分环节的频率特性
5
P() 0，Q() 0
w
0
w1 T
Re
w 0
惯性环节的奈氏图
极坐标图是一个圆，对 称于实轴。证明如下：
P(w
)
1
K
T 2w
2
Q(w
)
KTw 1 T 2w 2
Q(w) Tw P(w )
Im
w
0
w1 T
Re w 0
P
1
K
T 2w
2
1
K (Q
)2
P
整理得： (P K )2 Q2 ( K )2
n/2(弧度)。并且只要在原点处存在极点，极坐标图在w=0的幅
22 值为无穷大。
⒊ 增加有限零点
设
G5 ( s)
s(T1s
K 1)(T2s
1)
A(w)
奈奎斯特曲线
G(
j )
T
2
(
j )2
1
2T
(
j )
1
| G( j) |
1
(1 T 2 2 )2 (2 T)2
G(
j
)
tg
1
2T 1 T 2 2
当 0 时
| G( j) |1 G( j) 0o
当 时
| G( j) | 0,G( j) 180o
R
相频特性(): 稳态输出信号的相角与输入信号相角之差。
第五章 频域分析法
频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正 弦输入信号的响应特性。(稳态)
频率特性＝
输出的复数形式 输入的复数形式
W ( j ) X c ( j ) A( )e j X r ( j )
2
1.5
奈氏图
| G( j) |＝ U 2 V 2 K2 02 K
G( j) tg1 V tg1 0 0
U
K
第五章 频域分析法
2. 惯性环节:G(s)=1/(Ts+1)
G( j ) 1 Tj 1
1
j T U jV | G( j ) | e jG( j )
第五章 频域分析法
6.
二阶微分环节 G(s)
s2 wn2
2
wn
s 1 T 2s2
2Ts 1
A()
(1
T
2
2
)2
(2T
)2
,
(
)
tg 1
1
2T T 2
2
P() 1 T 2 2 , Q() 2 T
第5章2——Nyquist曲线
2 n arc tg n 2 1 2 n 2 n arc tg n 2 1 2 n
2016/5/20
autocumt@
5-2 幅相频率特性——Nyquist曲线
d A( ) 0 d d 1 0 d 2 2 2 2 1 n n
S (T j S 1)
j 1
h
1 ( n h ) 2 j 1
2 2 ( T j S 2 jT j S 1)
开环传递函数分解成 典型环节串连形式
autocumt@ 1
G( S ) H ( S ) Gi ( S )
i 1
N
5-2 幅相频率特性——Nyquist曲线
谐振频率：r n 1 2 2 谐振峰值：M r 1 2 1
2
自动控制原理
Im 0
0 1 Re
1 2
n
M
r
A ( r )
r
2 谐振条件： 0 0.707 2
autocumt@ 12
振荡环节的幅相特性曲线
2016/5/20
A( ) 1 T 1
2 2
( ) arctan T
Im
A(0) 1; (0) 0 A() 0; () 90
0 45
1 0
Re
autocumt@ 6
1 T
2016/5/20
5-2 幅相频率特性——Nyquist曲线
i 1
结论：开环幅频特性是串联环节幅频特性幅值之积 开环相频特性是串联环节相频特性相角之和
autocumt@
自动控制理论 5-4 频域：奈氏 判据
Z =2（ N- -N+ ）+P=-2+1= -1 所以，系统不稳 定。
18
例5-14 为
已知一单位反馈系统的开环传递函数
K
G(s)H (s) 1 T1s1 T2s
T1 T2 0
试判别系统的稳定性。
W=0-
19
自控理论实验‘频率分析’中
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=N+P=2 所以系统不稳定。
13
例7: 一系统开环传递函数为：
G(s)H
(s)
K 1 T2s s2 1 T1s
( T1,2 0, K 0)
试分析时间常数对系统稳定性的影响，并画出它们所对应的乃氏图。
解：本系统的开环频率特性
G(
j)H
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=N+P=0 所以系统稳定。
6
例4: 一系统开环传递函数为：
G(s)H
(s)
K
s1 Ts
( T 0, K 0)
试判别系统的稳定性。
解：本系统的开环频率特性
G( j)H ( j)
K
j1 Tj
0 0
(1, j0)
Im
G( j)H ( j)
L( ) dB
0 Re
0
( )
0
c
16
参照极坐标中奈氏判据的定义，对数坐标下的奈
判据可表述如下：
当 由 0 时，奈氏曲线GH对于（-1， j0）点围绕的圈数N与其相频特性曲线 () 在开环对数 幅频特性L() 0 的频段内，负、正穿越次数之差相等， 即