机械波的几个概念

机械波
在室温下， 例 在室温下，已知空气中的声速 u1为340 m/s， ， 求频率为200 Hz和2000 Hz 水中的声速 u 2 为1450 m/s ，求频率为 和 的声波在空气中和水中的波长各为多少？ 的声波在空气中和水中的波长各为多少？ 频率为200 Hz和2000 Hz 的声波在 和 解 由 λ = u ，频率为
简谐波：在均匀的、无吸收的介质中， 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作 简谐运动时，在介质中所形成的波. 简谐运动时，在介质中所形成的波 平面简谐波：波面为平面的简谐波. 平面简谐波：波面为平面的简谐波
（32、33）机械波、平面简谐波 32、33）机械波、
以速度u 沿
机械波
x 轴正向传播的
平面简谐波 . 令 原点O 原点 的初相为 零，其振动方程 时间推 迟方法
∆x21
λ
λ
（32、33）机械波、平面简谐波 32、33）机械波、 波线上各点的简谐运动图
机械波
（32、33）机械波、平面简谐波 32、33）机械波、
机械波
3 若 x, t 均变化，波函数表示波形沿传播方 均变化， 向的运动情况（行波） 向的运动情况（行波）.
y
O
u
t
时刻
t + ∆t 时刻
∆x
x x
-1
机械波 已知波动方程如下，求波长、周期和波速. 例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速
-1
y = (5cm) cosπ [(2.50s )t − (0.01cm ) x].
解：方法二（由各物理量的定义解之）. 方法二（由各物理量的定义解之） 波长是指同一时刻 波长是指同一时刻 t ，波线上相位差为 2π 的两 点间的距离. 点间的距离
机械波
固体
ρ
弹性模量 E 弹性模量
横波
u=
液、气体 u
ρ
体积模量 K体积模量
纵波
=
ρ
343 m s 空气，常温 空气， 4000 m s 左右，混凝土 左右，
如声音的传播速度
（32、33）机械波、平面简谐波 32、33）机械波、
四 波线 波面 波前 波前 波面
机械波
λ λ
*
球面波
波线
平面波
（32、33）机械波、平面简谐波 32、33）机械波、
x1 t x1 ϕ1 = ω (t − ) + ϕ = 2 π ( − ) + ϕ u T λ x2 t x2 ϕ2 = ω (t − ) + ϕ = 2 π ( − ) + ϕ u T λ
波程差
∆x21 = x2 − x1
∆ϕ = 2π ∆x
∆ϕ12 = ϕ1 −ϕ2 = 2π
x2 − x1
λ
= 2π
特征：具有交替出现的波峰和波谷 特征：具有交替出现的波峰和波谷.
（32、33）机械波、平面简谐波 32、33）机械波、
机械波
纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波. 纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波 平行的波 可在固体、液体和气体中传播） （可在固体、液体和气体中传播）
特征：具有交替出现的密部和疏部 特征：具有交替出现的密部和疏部.
（32、33）机械波、平面简谐波 32、33）机械波、
3、 如果波源不在原点 处 、 如果波源不在原点0处 以速度u 沿 x 轴正向传播的平面简谐波 . 已知波源在坐标a处 已知波源在坐标 处，其振动方程 时间推 迟方法 波源点振动状态
机械波
ya = Acosωt
x-a
点P
ya = Acosωt
x ∆t = u
机械波
x t x y = A cos[ω (t − ) + ϕ ] = A cos[2 π( − ) + ϕ ] u T λ
2 当 t 一定时，波函数表示该时刻波线上各点 一定时， 相对其平衡位置的位移，即此刻的波形. 相对其平衡位置的位移，即此刻的波形 波具有空间的周期性） y ( x, t ) = y ( x + λ , t ) （波具有空间的周期性）
机械波
周期 T ：波前进一个波长的距离所需要 的时间. 的时间 周期的倒数， 频率 ：周期的倒数，即单位时间内波 动所传播的完整波的数目. 动所传播的完整波的数目
ν
ν =1 T
波动过程中，某一振动状态（ 波速 ：波动过程中，某一振动状态（即 振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）. 振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）
ν
空气中的波长
340 m ⋅ s −1 = 1 .7 m λ1 = = ν1 200 Hz u1
在水中的波长
λ2 =
ν2
u2
u1
= 0.17 m
1450 m ⋅ s λ1′ = = ν1 200 Hz u2
−1
′ = 7.25 m λ2 =
ν2
= 0.725m
（32、33）机械波、平面简谐波 32、33）机械波、
平面简谐波的波动方程 一 平面简谐波的波函数
机械波
介质中任一质点（ 介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的 ） 位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y ( x, t ) 称 位移（ ）随时间的变化关系， 为波函数. 为波函数 y = y ( x, t ) 各质点相对平 衡位置的位移 衡位置的位移 波线上各质点 平衡位置 平衡位置
（32、33）机械波、平面简谐波 32、33）机械波、
三 波长 波的周期和频率 波速 A O −A
机械波
y
u
λ
x
λ
沿波的传播方向，两个相邻的、 波长 λ ：沿波的传播方向，两个相邻的、相 的振动质点之间的距离， 位差为 2π 的振动质点之间的距离，即一个完整 波形的长度. 波形的长度
（32、33）机械波、平面简谐波 32、33）机械波、
波函数
x−a y = A cos ω (t − ) u
（32、33）机械波、平面简谐波 32、33）机械波、 x y = Acos[ω(t − ) +ϕ] u
波动方程的其它形式
机械波
t x y(x,t) = Acos[2 π( − ) +ϕ] T λ y(x,t) = Acos(ωt − kx +ϕ)
x2 − x1 = λ = 200 cm T = t 2 − t1 = 0.8 s
x2 − x1 u= = 250 cm ⋅ s −1 t 2 − t1
（32、33）机械波、平面简谐波 32、33）机械波、
处质点振动方程为： 例. 已知 X = λ/2 处质点振动方程为： y λ = A cos( ω t + ϕ ) 写出波动方程。 写出波动方程。
比较得
2.50 -1 0.01 -1 y = (5cm ) cos 2π [( s )t − ( cm ) x ] 2 2
λ 2cm 2 −1 = 200 cm u = = 250cm⋅ s T = s = 0.8 s λ = T 0.01 2.5
（32、33）机械波、平面简谐波 32、33）机械波、
u
u=
注意
λ
T
= λν波源的振动! 周期或频率只决定于波源的振动! 波速只决定于媒质的性质！ 波速只决定于媒质的性质！
（32、33）机械波、平面简谐波 32、33）机械波、
波速
u 与介质的性质有关， ρ 为介质的密度 与介质的性质有关， 为介质的密度.
u=
切变模量 G 切变模量
1 当 x 固定时， 波函数表示该点的简谐运动 固定时， 方程， 振动的相位差. 方程，并给出该点与点 O 振动的相位差
x x ∆ ϕ = −ω = − 2 π u λ 波具有时间的周期性） y ( x, t ) = y ( x, t + T ) （波具有时间的周期性）
（32、33）机械波、平面简谐波 32、33）机械波、
2
机械波
解
x−λ u 2 ) + ϕ]
y = A cos[ ω ( t −
（32、33）机械波、平面简谐波 32、33）机械波、
例. 已知 t=0 解 A = 0 ⋅ 5m , λ = 2m , T = λ = 4 s u π ω = 2π = π , ϕ = 3π T 2 2
机械波
时刻的波形曲线， 时刻的波形曲线，写出波动方程
机械波
已知波动方程如下，求波长、周期和波速. 例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速
y = (5cm) cosπ [(2.50s -1 )t − (0.01cm -1 ) x].
解：方法一（比较系数法）. 方法一（比较系数法）
t x y = A cos 2π ( − ) T λ
把题中波动方程改写成
角波数 k =
质点的振动速度， 质点的振动速度，加速度
2π
∂y x v = = −ωAsin[ω(t − ) +ϕ] ∂t u 2 ∂y x 2 a = 2 = −ω Acos[ω(t − ) +ϕ] ∂t u
λ
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二 波函数的物理意义
机械波
x t x y = A cos[ω (t − ) + ϕ ] = A cos[2 π( − ) + ϕ ] u T λ
π [(2.50s-1 )t − (0.01cm-1 ) x1 ] −π [(2.50s-1 )t −
(0.01cm -1 ) x2 ] = 2π
-1 -1
λ = x2 − x1 = 200 cm
-1 -1
周期为相位传播一个波长所需的时间 周期为相位传播一个波长所需的时间
π [(2.50s )t1 − (0.01cm ) x1 ] = π [(2.50s )t2 − (0.01cm ) x2 ]