高级宏观经济学讲义第二讲丶索罗增长模型

索洛经济增长模型

索洛经济增长模型（Solow Growth Model） 索洛经济增长模型概述 索洛经济增长模型（Solow Growth Model）是罗伯特·索洛所提出的发展经济学中著名的模型，又称作新古典经济增长模型、外生经济增长模型，是在新古典经济学框架内的经济增长模型。 正当1987年世界股票市场暴跌之时，瑞典皇家科学院宣布该年度诺贝尔经济学奖授于一直与里根政府的经济政策唱反调，主张政府必须有效地干预市场经济的美国麻省理工学院教授罗伯特·索洛（Robert M·Solow）许多经济学界人士认为，纽约股票市场的这场大动荡，恰恰证实了索洛坚持的理论，使他的经济增长理论成为当今世界热门研究课题之一。可是，他的这一理论———表明各种不同因素是如何对经济增长和发展产生影响的长期经济增长模型，早在30年前他在一篇题为《对经济增长理论的贡献》的论文中就提出来了。[1] 索洛模型变量外生变量：储蓄率、人口增长率、技术进步率内生变量：投资

索洛模型的数学公式 模型的基本假定[1] 索洛在构建他的经济增长模型时，既汲取了哈罗德—多马经济增长模型的优点，又屏弃了后者的那些令人疑惑的假设条件。 索洛认为，哈罗德—多马模型只不过是一种长期经济体系中的“刀刃平衡”，其中，储蓄率、资本—产出比率和劳动力增长率是主要参数。这些参数值若稍有偏离，其结果不是增加失业，就是导致长期通货彭胀。用哈罗德的话来说，这种“刀刃平衡”是以保证增长率（用Gw表示，它取决于家庭和企业的储蓄与投资的习惯）和自然增长率（用Gn表示，在技术不变的情况下，它取决于劳动力的增加）的相等来支撑的。 索洛指出，Gw和Gn之间的这种脆弱的平衡，关健在于哈罗德—多马模型的劳动力不能取代资本，生产中的劳动力与资本比例是固定的假设。倘若放弃这种假设，Gw和Gn之间的“刀刃平衡”也就随之消失。基于这一思路，索洛建立了一种没有固定生产比例假设的长期增长模型。 该模型的假设条件包括：

索罗增长模型

第一章索洛经济增长模型 The Solow Growth Model

基本内容 1 索洛模型的基本假定 2 离散时间的索洛模型 3离散时间索洛模型的过渡过程4连续时间的索洛模型 5连续时间索洛模型的过渡过程6持久增长 7带技术进步的索洛模型 8比较动态分析

1 索洛模型的基本假定 ● 一个分析经济增长和各国收入差异的基本框架. ● 其核心假定是新古典总的生产函数. 家庭与生产 I ● 封闭经济,唯一的最终产品. ● 离散时间，t = 0, 1, 2, .... ● 该经济里有众多的家庭，暂时假定家庭没有优化行为. ● 这也是索罗模型与新古典增长模型的主要区别. ● 为了简化，假定各个家庭相同，可以用代表性家庭来表示. 家庭与生产II

● 假定家庭的储蓄率外生 ● 所有厂商具有相同的生产函数，可以用代表性厂商表 示. ● 对该经济中的唯一最终产品，生产函数为 (1) Y T F K t L t A t ()[(),(),()] ●假定资本与最终产品相同（比如玉米）,用于生产更多 的产品. ●() A t可以理解为技术. ●主要假定: 技术是免费的; 具有非竞争性与非排他性.

关键假设1 Assumption 1 (连续性, 可微性, 边际产出为正且递减, 规 模报酬不变) 生产函数3 :F R R + +→ 关于 K 与 L 二阶连续可微, 且满足 22 22()()(,,)0 (,,)0()() (,,)0 (,,)0K L KK LL F F F K L A F K L A K L F F F K L A F K L A K L ????≡ >≡>??????≡<≡

《索洛增长模型》

第一章 索洛增长模型 一、索洛模型的介绍与一些前提假设条件 该模型是经济学家传统上用于分析经济增长的主要模型。几乎对于所有有关增长的分析而言，索洛模型是其起点。理解该模型实质上便是理解增长理论。但该模型也存在缺陷：它不能解释不同时间上人均产出的巨大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。（按边际产品取得收益的传统途径）。 ()((),()())Y t F K t A t L t = 假设：（1）生产函数关于两个自变量是规模报酬不变的，即资本与有效劳动是规模报酬不变的((,)(,),0)F cK cAL cF K AL c =?≥；（2）除资本、劳动与知识以外的其他投入是相对不重要的，特别地，模型忽略了土地与其他自然资源。 规模报酬不变的假设可以让我们利用紧凑形式的生产函数进行分析： 当11/,(,)(,)( ,1)(,)K c AL F cK cAL cF K AL F F K AL AL AL ==?=，其中， K AL 是单位有效劳动的资本量，1(,)F K AL AL 是单位有效劳动的产出。 定义K k AL =，/y Y AL =，及(,1)y F k =()y f k ?=，即把单位有效劳动的产出写成单位有效劳动的资本量的函数。 [人均收入：/(/)()Y L A Y AL Af k ==] 紧凑型生产函数()f k 假定满足(0)0f =，' ()0f k >，'' ()0f k <。因为： '(,)(/)(,)/(/)(1/)F K AL ALf K AL F K AL K ALf K AL AL =???='()f k = '()0f k >，''()0f k <的假设意味着资本的边际产品为正，但它随每单位有效劳动的资 本量的增加而下降。另()f ?被假设满足稻田条件：'' 0lim (),lim ()0k k f k f k →→∞=∞=， 其意思是在资本存量充分小量资本的边际产品是十分大的，而当资本存量变大时，资本的边际产品变得十分小。，它是确保经济的路径并不发散。 （举例柯布－道格拉斯生产函数，说明满足稻田条件的意义） 二、生产投入的时间变化描述 资本、劳动与知识的初始水平给定的，劳动与知识以不变的增长率增长： ()()L t nL t ?=，()()A t gA t ? =（n 与g 是外生参数，而变量上的一点表示关于时间的一 个导数，()()/L t dL t dt ? =，为变量的变化率。而变量的增长率指其变化的速率，它等于其 自然对数的变化率，如，ln ()()1ln ()/()()() d L t dL t n d L t dt L t dL t dt L t ? == =。ln ()ln (0)L t L nt ?=+

索罗模型和罗默模型的比较(1).docx

索罗模型和罗默模型间的比较 税务5118班杨超3115353001 一、索罗模型 索罗模型的基本研究思路是这样的：先假定技术保持不变，集中考察资本在经济增长中的作用。y = K/L称为资本-劳动比率，或者叫人均资本量，总的生产函数为，Q=F（K，L）或者y = f（k）； 这里引入资本深化的概念，资本深化是指人均资本随时间推移而增长的过程，例如铁路运输和公路运输的增多，社会投入了大量的资本品，提高了人均资本量，在技术水平既定的条件下，用于工厂和设备的大量投资的资本收益率会降低。即如果资本存量的增加快于劳动的增加，那么就会发生资本深化。如果没有技术变革，资本深化将会带来人均产出增长，带来劳动边际产品和工资的增加；它还会导致资本收益的递减并降低资本收益率。 在土地数量、自然资源贡献以及最重要的变量——技术都保持不变的前提下，人均资本增加，人均产出也会增加，但长期来看，经济会进入一种稳定状态，资本深化将终止，人均产出和工资的增长就会停滞。这就是新古典增长模型所建立的背景：假如经济增长仅仅是依靠资本积累，而这种资本积累又只不过是靠用现存的生产技术来增加工厂数量的话，那么生活水平的提高还是会停滞。 而生产技术水平的提高，使生产函数曲线随着时间推移而向上移动，注意是曲线的移动，而不是技术不变时沿着原曲线的移动因此，技术进步加上资本深化可以使人均产出增加、实际工资提高。 索罗模型有很多严格的假定条件： ①对经济总体的增长贡献被设定为由劳动、资本和技术进步三者组成； ②经济是竞争性的，并且总是在充分就业的水平上运行； ③边际生产递减的一次齐次生产函数并满足稻田条件； （稻田条件（Inada conditions），一个函数的一阶微分在自变量趋于0，它趋于无穷，而在自变量趋于无穷时，它趋于0，满足这样的条件称为稻田条件。这里的生产函数满足稻田条件，是指随着资本或劳动趋于零，资本或劳动的边际产品趋于无穷大；随着资本或劳动趋于无穷大，资本或劳动的边际产品趋于零。“稻田条件”的作用是保证经济的路径不分散。） ④劳动的增长是给定的，不受经济变量的影响； ⑤储蓄率是一定的，技术进步为外生变量等。 采用资本和劳动可替代的新古典科布-道格拉斯生产函数，索洛模型的数学公式： Y=A*F（K，L）= AKα*L1-α Y/L=（K/L）α y =kα=f（k） s * f（k）= （δ+n+g）* k s*f（k）-（δ+n+g）* k =0 其中: K：资本； L：劳动； A：技术水平； I：投资； S：储蓄；

罗默《高级宏观经济学》第版课后习题详解第章索洛增长模型

罗默《高级宏观经济学》（第3版）第1章 索洛增长模型 跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。 以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。 增长率的基本性质。利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明： （a ）两个变量乘积的增长率等于其增长率的和，即若()()()Z t X t Y t =，则 （b ）两变量的比率的增长率等于其增长率的差，即若()()()Z t X t t =，则 （c ）如果()()Z t X t α=，则()()()()//Z t Z t X t X t α=g g 证明：（a ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式： 因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式： 再简化为下面的结果： 则得到（a ）的结果。 （b ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，

那么可得下式： 因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式： 再简化为下面的结果: 则得到（b ）的结果。 （c ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式： 又由于()()ln ln X t X t αα??=?? ，其中α是常数，有下面的结果： 则得到（c ）的结果。 假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >，在1t 时刻下降 为0，在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ，在2t 时刻之后不变且等于a 。 （a ）画出作为时间函数的X 的增长率的图形。 （b ）画出作为时间函数的ln X 的图形。 答：（a ）根据题目的规定，X 的增长率的图形如图1-1所示。 从0时刻到1t 时刻X 的增长率为常数且等于a （0a >），为图形中的第一段。X 的增长率从0上升到a ，对应于图中的第二段。从2t 时刻之后，X 的增长率再次变为a 。 图1-1 时间函数X 的增长率 （b ）注意到ln X 关于时间t 的导数（即ln X 的斜率）等于X 的增长率，即： 因此，ln X 关于时间的图形如图1-2所示：从0时刻到1t 时刻，ln X 的斜率为a （0a >），在1t 时刻，()X t 的增长率出现不连续的变化，因此ln X 的

索罗模型

索洛经济增长模型 一、问题的提出 1.什么因素决定了经济增长？ 2.经济增长的一般趋势是什么？ 3.为什么国家或地区之间存在着收入差异？ 4.穷国能否赶上富国？ 二、生产函数 1.投入与产出的函数形式 A t t K t F Y L ( )) )( ), ( ( )(t 其中，Y为产量，K为资本，L为劳动力，A为知识或劳动的有效性，t表示时间 注意：AL为有效劳动，此种形式的技术进步为“劳动增进型”或“哈罗德中性” 思考：如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性），而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中性），结果会有何不同？[只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在相一致] 2.生产函数的特性假设

（1）规模报酬不变： F(cK,cAL)=cF(K,AL)，对于c ≥0 含义：经济足够大，专业化收益被穷尽；其他投入品（如自然资源）相对不重要 令c=1/AL,则),(1 )1,(AL K F AL AL K F = 令有效劳动的人均资本k=K/AL ，有效劳动人均产量y=Y/AL ，则y=f(k),总产量Y=ALf(k) （2）边际产品递减： f(k)满足f(0)=0,f’(k)>0,f”(k)<0，f’(k)是资本的边际产品 【证明】 Y=ALf(k)两边分别对K 、L 求导数： 资本的边际产品为：)('1 )('k f AL k ALf K Y ==?? 有效劳动的边际产品为： )(')(]) ()[(')()(2 k kf k f AL K k ALf k f AL Y -=-+=?? （3）稻田条件： ∞=→)('lim k f o k ,0)('lim =∞→k f k

索洛经济增长模型

索洛经济增长模型 索洛经济增长模型（Solow Growth Model）是罗伯特·索洛所提出的发展经济学中著名的模型，又称作新古典经济增长模型、外生经济增长模型，是在新古典经济学框架内的经济增长模型。 正当1987年世界股票市场暴跌之时，瑞典皇家科学院宣布该年度诺贝尔经济学奖授于一直与里根政府的经济政策唱反调，主张政府必须有效地干预市场经济的美国麻省理工学院教授罗伯特·索洛（Robert M·Solow）许多经济学界人士认为，纽约股票市场的这场大动荡，恰恰证实了索洛坚持的理论，使他的经济增长理论成为当今世界热门研究课题之一。可是，他的这一理论———表明各种不同因素是如何对经济增长和发展产生影响的长期经济增长模型，早在30年前他在一篇题为《对经济增长理论的贡献》的论文中就提出来了。 模型的基本假定 索洛在构建他的经济增长模型时，既汲取了哈罗德—多马经济增长模型的优点，又屏弃了后者的那些令人疑惑的假设条件。 索洛认为，哈罗德—多马模型只不过是一种长期经济体系中的“刀刃平衡”，其中，储蓄率、资本—产出比率和劳动力增长率是主要参数。这些参数值若稍有偏离，其结果不是增加失业，就是导致长期通货彭胀。用哈罗德的话来说，这种“刀刃平衡”是以保证增长率（用Gw表示，它取决于家庭和企业的储蓄与投资的习惯）和自然增长率（用Gn表示，在技术不变的情况下，它取决于劳动力的增加）的相等来支撑的。 索洛指出，Gw和Gn之间的这种脆弱的平衡，关健在于哈罗德—多马模型的劳动力不能取代资本，生产中的劳动力与资本比例是固定的假设。倘若放弃这种假设，Gw和Gn之间的“刀刃平衡”也就随之消失。基于这一思路，索洛建立了一种没有固定生产比例假设的长期增长模型。 该模型的假设条件包括： 1.只生产一种复合产品。 2.产出是一种资本折旧后的净产出。 3.规模报酬不变，即生产函数是一阶齐次关系式。 4.两种生产要素（劳动力和资本）按其边际实物生产力付酬。 5.价格和工资是可变的。 6.劳动力永远是充分就业的。 7.能利用的资本存货都得到充分利用。 8.劳动力与资本可相互替代。 9.存在中性技术进步。 在这些条件下，索洛建立的模型向人们显示出：在技术系数可变的情况下，资本与劳动力比率具有随时间推移而向均衡比率自行调整的倾向。如若最初的资本与劳动力比率大，资本和产出的增加就会比劳动力的增加慢得多；反之，亦然。索洛是从资本与劳动力比率入手集中分析均衡（即稳定状态）增长路径的。 索洛模型的数学公式

08经济增长理论3索洛增长模型.doc

第三节：索洛增长模型 Section III: Solow growth model 生产函数(production function) 设经济的生产函数为 ),(K L F Y = 因此函数可以化为： )/,1(/L K F L Y = 如果用N Y y /=表示人均产量，N K k /=表示人均资本量，则函数就化为了： )(k f y = MP K 为资本的边际产出(marginal product of capital)，则 )()] ([k f dk L k f L d dK dF MP K '=??== MP L 为劳动的边际产出(marginal product of labor)，则 L MP = dL dF =dL k f L d )]([?=dL L K df L k f )/()(?+ =)()(2k f L K L k f '??-=)()(k f k k f '?- 并且生产要素的边际产量是递减的。 消费函数(consumption function) 用y 表示人均产出，c 表示人均消费，i 表示人均支出，可得到 i c y += 储蓄率为s ，则人均消费 y s c ?-=)1( 代入上式，得到 i y s y +?-=)1( 移项，即得到 y s i ?=

再代入)(k f y =，得到 )(k f s i ?= I ．只包含人口增长的简单模型（略） II ．包含人口增长、资本折旧的稳定状态(steady state with population growth and capital depreciation) 如果折旧率是δ，资本存量(capital stock)为K ，那么资本的变化量 = 投资 – 折旧，用公式表示，就是 K I K ?-=δ& 由于人均资本k = K/L ，人均投资L I i /=，因此 k i L K ?-=δ/& 代入)(k f s i ?=，就得到 k k f s L K ?-?=δ)(/& 由于L K k /= 两边取对数，得到 L K k ln ln ln -= 两边取全微分，再对时间求导，得到 L L K K k k &&&-= 如果L L n /&=表示人口增长率，并代入L K k /=，则等式两边同时乘以后就得到 k n L K k ?-=/&& 代入k k f s L K ?-?=δ)(/&，就得到了新古典增长模型的基本方程 k n k f s k ?+-?=)()(δ& 因此，新古典增长理论中的稳态(steady state)的条件是： k n y s ?+=?)(δ

内生增长模型与索罗模型的根本区分是什么

一．内生增长模型与索罗模型的根本区分是什么？ 首先，索罗模型描述了在一个完全竞争的经济中，劳动和资本投入的增加引起产出的增长。其中一个重要假设是：新古典生产函数决定在劳动供给不变时，资本的边际产出递减。同时，储蓄率不变。然而，索罗模型的一些结论则是:第一，增长必须用人均数据来衡量。第二，人均产出增长率最终等于技术进步率，总的产出增长率等于技术进步率+人口增长率，第三，决定增长的三种因素：物质资本、人力资本和技术水平。等等重要因素。所以，索罗模型解释不了长期经济增长。 与索罗模型不同的是，内生经济增长模型。它不再把技术进步、强调知识积累和发明创造。而不是把知识积累看作神秘的外部力量，而是经济增长本身的结果，同时又是促进经济增长的主要力量。内生增长理论是基于新古典经济增长模型发展起来的，从某种意义上说，内生经济增长理论的突破在于放松了新古典增长理论的假设并把相关的变量内生化。然而，内生增长模型的一些结论则是：技术创新是经济增长的源泉，而劳动分工程度和专业化人力资本的积累水平是决定技术创新水平高低的最主要因素；政府实施的某些经济政策对一国的经济增长具有重要的影响。所以，可以相当好地解释发达国家的经济增长，却解释不了落后国06家为什么就发展不起来。 从以上观点发现，二者的根本区别是：（1）由于索罗模型把技术看成是外生因素，而且技术进步又是经济增长的关键因素，这就决定了索罗模型从根本上讲，说明不了经济增长的源泉和动力所在。而内生增长理论恰好对此进行了修正，力图使增长率内生化。（2）索罗模型的一个基本结论是：资本积累不是经济稳定增长的决定因素。内生增长理论也从这一角度进行了深入研究：引入人力资本,技术进步的分析。 二．比较分析新古典主义和新凯恩斯主义的基本观点。 （1）新古典主义。这是新古典宏观经济学对理性预期学派经济理论的发展和引申。它承袭了新古典经济理论的基本思想，以理性预期、市场出清和自然率假说为基本假设。 新古典宏观经济学的主要理论观点集中于对经济周期问题的分析。在这方面，新古典主义宏观经济学又分为货币经济周期学派和实际经济周期学派。 货币经济周期理论认为，如果政府改变总需求的政策是被公众预期到的，那么总供给曲线就随总需求曲线的提高而提高，从而抵消总需求对产出的影响。因此，预期到的货币冲击只影响价格水平面不影响实际产出。如果货币供给冲击是没有预测到的，在人们对价格预期既定的条件下，来自于货币增加导致的总需求增加可以对产出和就业产生影响。之所以人们对价格总水平的预期不能随时调整，原因是市场不完全和信息不完备。因此，货币因素是经济波动的初始根源。根据这一分析，新古典宏观经济学派认为政府的政策一般来说是无效的，有时甚至是有害的。 实际经济周期理论从实际因素的变动解释经济波动。该理论认为，货币数量是适应产量的变化而调整的，产量的变化引起货币存量的变化，从而引起经济波动。导致实际产量发生变化的因素有生产技术的革新、新产品开发、气候变化、原材料和能源价格变动等。 关于经济政策，新古典宏观经济学反对政府的支持相机抉择的财政政策和货币政策。尽管该理论也承认政府政策对产出和就业会产生影响，但由于经济当事人理性预期的作用，这种影响的效果也难以界定。因此，该理论主张借鉴货币主义的单一规则。 (2)新凯恩斯主义。新凯恩斯主义沿袭凯恩斯主义的传统，同时强调对市场失灵的微观原因的探讨。其基本的理论假定是：非市场出清和经济当莫人的最大化与理性预期。 关于非市场出清，新凯恩斯主义主要是从工资和价格黏性来加以说明的。相应于来自需求的各种冲击，工资和价格调整相对缓慢，使得经济回到实际产量等于正常产量的状态需要

第11章新古典增长理论-索洛模型(讲义版)

第十一章新古典增长理论——索洛模型（3） 本次授课框架： 总结波动理论，引出增长理论。 增长方程推导及对增长因素的讨论（包括索洛剩余） 增长方程推导（总量形式），假设条件 人均形式生产函数 总量与人均量之间的关系 索洛稳态方程推导过程 索洛稳态定义 根据均衡条件的推导 稳态条件的存在性讨论（生产函数假设，INADA条件） 储蓄线和投资持平线（补偿线）相互关系的讨论解释稳态调整路径 比较静态分析 储蓄率增加情况 人口增长率增加情况 总结“新古典增长理论”的关键结论（影响总量、人均增长率的因素（结合储蓄率）与各国收入趋同论） 新古典增长理论评价 一、增长方程推导 假设生产函数： 假设产品市场、要素市场完全竞争，规模收益不变。根据欧拉定理： 总量表达式 总量与人均量的关系 人均量表达式 索洛发现：技术进步、劳动供给增加和资本积累按此顺序是GDP增长的重要决定因素，而技术进步和资本积累是人均GDP增长的重要因素。在大部分历史中，两个重要的要素，当推资本积累（实物与人力）与技术进步。我们对增长理论的研究重点集中于这两个因素。 索洛剩余产出增长中不能通过资本积累和劳动投入来解释的部分，可以理解为技术进步（）带来的增长。有时也被称作“全要素生产率”（TFP），这是一个比“技术进步”更为中性的术语。实证研究表明：技术进步在产出增长中的贡献大约为80%左右。由于产出和劳动、资本投入可以直接观察到，而却不能，经济学家测量“索洛剩余”利用： 二、稳态分析 当时，按照前面推导出的增长方程（不停地迭代下去），产量增长率会怎样变化？例如，是否会有这样一个稳态点，在这一点上人均产量和人均资本都变得固定？如果有这样的稳态点，在这一点上，又具有什麽特征？（稳态特征） 现在考虑这个稳态点所具备的状态特性。已知人口以速度n增长，为使人均资本保持不变，即经济达到上述定义的稳态，则资本必须和人口以相同速度增长。即： 关键的稳态特征是三个变量N、K、Y以相同速度n增长，人均资本水平k固定。 下一个问题是：那个固定的人均资本水平k为多少？利用波动理论中的供需平衡条件求出k。在一个没有政府的封闭经济体中，均衡条件：