沪教版高中三年级数学：球面距离
球面两点距离公式
球面两点距离公式在我们学习数学的奇妙世界里，有一个挺有意思的家伙，那就是球面两点距离公式。
咱先来说说啥是球面。
想象一下，一个超级大的皮球，那个皮球的表面就是球面啦。
而在这个球面上面，随便选两个点，要算出这两个点之间的距离，就得靠我们今天要说的球面两点距离公式。
我记得有一次，我和朋友去游乐场玩。
游乐场里有一个巨大的地球仪模型，我们就在那研究起来。
朋友好奇地指着上面两个不同的地方问我：“这两个地方的距离咋算呀？”我当时就跟他说：“这就得用到球面两点距离公式啦。
”那这个公式到底是啥呢？简单来说，就是通过一些角度和半径的计算来得出距离。
但是别被这几个词吓到，咱们慢慢捋一捋。
假设球的半径是 R ，球面上两个点 A 和 B 对应的经度分别是α1 和α2 ，纬度分别是β1 和β2 。
那这两点的距离 d 就可以通过下面这个公式来算：d = R×arccos[sinβ1×sinβ2 + cosβ1×cosβ2×cos(α1 - α2)] 。
是不是看起来有点复杂？其实啊，咱们把它拆分开来理解就没那么难了。
比如说，sinβ1×sinβ2 这部分，就是考虑了两个点在纬度上的差异对距离的影响。
而cosβ1×cosβ2×cos(α1 - α2) 这部分呢，则是综合了经度和纬度的共同作用。
再举个例子，咱们把地球当成这个球。
北京和纽约就是球面上的两个点。
通过测量它们的经纬度，再代入这个公式，就能算出它们之间的球面距离。
回到那个游乐场的地球仪模型，我和朋友就试着用这个公式，大致估算了一下我们所在城市和另一个城市在这个“大皮球”上的距离，虽然不太精确，但那种探索的乐趣可真是让人难忘。
在实际生活中，这个球面两点距离公式用处可多啦。
比如飞机的航线规划，航海中的路径计算，都离不开它。
学习这个公式，就像是打开了一扇通往未知世界的小窗户。
让我们能从一个新的角度去理解我们生活的这个大大的地球，还有那些看似遥不可及的地方。
沪教版——15.6球面距离PPT
A
在A、B之间的劣弧的长越小！
在过A、B点的球的截面中半径最大的是
过球心的大圆
球面距离
A、B两点的球面距离：
过A、B两点的大圆
在A、B间的劣弧长
O
度。
注意：球面距离是球面上 两点间的最短距离
过球面上两点的大圆是唯一的吗？
当A,B,O三点共线时，不唯一； 当A,B,O三点不共线时，唯一。
A B
小试牛刀
球的概念
复习1．球的概念
半圆以它的直径为旋转轴，旋转 所成的曲面叫做球面．
球面所围成的几何体叫做球体． 简称球．
球的概念
球的直径
球心
球的半径
球的性质
复习2．球的性质
性质1：球心和截面圆心的连线垂直 于截面．
性质2：球心到截面的距离 d与
球的半径 R及截面的半径 r 有下面的
关系：r R 2 d 2
O
A 赤道
南极
经线
例1、 已知地球的半径为 6371km,上海的位置约为东经 1210,北纬310，台北的位置约为东经1210,北纬250, 求 两个城市间的距离。（精确到1km）
城市D位于东经121°，南纬29°
A
B
P
O
赤道
C
D
(2)P地的经度的规定： 经过P点的经线与地轴确定的半
平面和本初子午线与地轴确定
性质3：球面被经过球心的平面截得的 圆叫做大圆，被不经过的截面截得的圆 叫做小圆。
• 从北京飞往纽约沿哪个方向能最快到达呢？
平面上两点连线线段的长度 ---平面上两点间的距离 球面上联结两点的最短路径的长度--- 球面上两点间的距离
球面上两点间的距离该如何去寻求呢？
B
《球面距离》教案与说课稿
于感兴趣或者学有余力的学 2. 强化定义，落实关键词： 练习：判断图中联结 A、B 两点的红色曲线的长度是否 A、B 间的 球面距离？ 加深对定义中的关键词： “大圆” 、 “劣弧”的理解。 生，可在课后进一步探讨。
3. 球面上两点的球面距离具有唯一性 在定义中指出球面距离是大圆上一段劣弧的长度，所以该定义 有没有涉及 A、B、O 三点共线的情况？ 在、B 间的劣弧是否唯一？ 所以两点的球面距离具有唯一性。 4. 球面距离的计算： 复习扇形的弧长公式，得到两点间球面距离的计算方法： s R （其中 为∠AOB 的弧度，R 为球半径） 练习： 1． 已知球 O 的半径为 R，A、B 是球面上两点。 ∠AOB= B 两点的球 分析教材边栏中提出的问题。
，求 A、B 两点的球面距离。 4
2．
2. 已知球 O 的半径为 R，A、B 是球面上两点。 AB=R, 求 A、B 两点的球面距离。
通过一组练习使学生初步 掌握球面距离的计算方法，并 为之后的例题解答进行铺垫。
3． 已知球 O 的半径为 R=4 2 ，A、B 是球面上 两点。 A、 B 所在的小圆 O’的半径 r=4， ∠AO’B= 求 A、B 两点的球面距离。
二． 新知构建 1. 球面距离定义的给出： 可以证明，通过球面上两点的大圆劣弧是这两点在球面上的最 短路径，我们把它的长度定义为两点间的球面距离。 由于证明“通过球面上两点的大圆劣弧是这两点在球面上的最 短路径”需要更多数学知识，学生的基础不够，所以课本表述为“可 以证明”但没有给出证明。
由于对此定义合理性的证 明教材中没有提及，课程标准 中没有要求，也不是学生在高 中时必须掌握的能力，故没有 纳入这节课的教学目标。这里 采取和教材中相同的描述即 “可以证明”的处理方式，对
球面距离的几种证明方法
球面距离的几种证明方法
球面距离是指在椭球面上，任意两点之间的最短路径，它是椭球面上任意两点的距离。
在地球表面的航行中，球面距离是最常见的几何距离，它以地球表面的维度和经度表示。
需要定义两点的维度经度，使用数学计算就能求出两点之间的球面距离，求出的球面距离与实际距离无论大小都有较大的差异，所以球面距离的应用非常广泛。
在此，本文将介绍几种球面距离的证明方法。
第一种证明方法：三角形证明法。
通过建立两点之间的三角形，定义出三条边长，利用三角形和地球球面之间的特殊关系，可以计算出三角形的面积，进而确定两点之间的球面距离。
第二种证明方法：空间分析法。
通过对两点之间连接的弧的长度和圆心角的空间分析，可以求出两点之间的球面距离。
第三种证明方法：旋转投影法。
这种证明方法基于地球球面的旋转特性，将空间点图投影到局部圆锥曲面上，求出局部圆锥曲面上的距离，最终得出两点之间的球面距离。
第四种证明方法：GPS定位法。
GPS定位法是利用GPS定位技术，根据卫星定位两点坐标，通过计算得出两点的经纬度和高度，最后求出两点之间的球面距离。
第五种证明方法：椭球体参数法。
球面距离
球面距离球面距离是空间几何中一个重要的概念，用来衡量球面上两点之间的距离。
在地理学、天文学等领域，球面距离具有广泛的应用。
本文将介绍球面距离的定义、计算以及一些相关的应用场景。
首先，我们需要明确球面距离的定义。
在几何学中，球面距离是指球面上两点之间最短弧的长度。
它与我们常见的直线距离不同，直线距离是指直线上两点之间的距离。
球面距离的计算需要考虑球面的曲面特性，因此与直线距离的计算方式不同。
计算球面距离可以利用球面三角形的概念。
球面三角形是指球面上由三个弧段组成的三角形。
在球面上，我们可以使用经度和纬度来确定点的位置。
通过将两点之间的经度和纬度转换成弧度，我们可以计算出球面上两点之间的球面距离。
具体的计算方法可以使用球面三角形的公式，如余弦定理或半正矢公式。
在地理学中，球面距离被广泛应用于计算地球上两个地点之间的距离。
通过获取两个地点的经纬度信息，并利用球面距离的计算公式，我们可以得到这两个地点之间的最短路径距离。
这对于导航系统、航空航天等领域非常重要。
在天文学中，球面距离用于计算天体之间的距离。
天体往往呈现出球状的形态，因此球面距离可以帮助我们确定天体之间的相对位置。
通过测量天体的坐标，并利用球面距离的计算方法，天文学家可以研究恒星、行星等天体之间的相互作用及运动规律。
除了地理学和天文学，球面距离还在其他领域有着广泛的应用。
在计算机图形学中，球面距离可以用来判断两个球面模型之间的相似程度。
在物理学中，球面距离可以衡量相对于球心的力场强度。
总结一下，球面距离是空间几何中一个重要的概念，用于衡量球面上两点之间的最短弧的长度。
它在地理学、天文学等领域具有广泛的应用。
通过计算经度和纬度的差值，并利用球面三角形的计算方法，我们可以计算出球面上两点之间的距离。
对于导航系统、航空航天、天文观测等领域来说，球面距离是非常重要的工具。
无论是在研究地球上的距离，还是研究宇宙中的天体距离，球面距离都发挥了重要的作用。
球面距离1
AOB 60
B
C
A
O
D
在COD中，CD AB R，
, 西经 70 B的位置可能是：东经110
球面距离
球面上两点间的距离
1、平面上两点间的最短距离是连结这两点的线段的 长度。
2、球的表面是曲面，球面上P、Q两点间的最短距离 显然不是线段PQ的长度，那是什么呢？
B
问题1:直观的观察,发现：
过A,B的圆中，半径越大， 在A,B之间的劣弧的长越小！
A
在过A,B两点的球的截面中半径最大的是 球的大圆
63 AB的弧长 2 6371 360
例3、 已知地球的半径为 6371km,北京的位置约为东 经1160,北纬400，纽约的位置约为西经740,北纬400, 求两个城市间的距离。
AOC BOD 40 , COD 360 (116 74 ) 170 由余弦定理，得：
练习、把地球当作半径为R的球，地球上A,B两点都在 北纬450的纬线上,A,B两点的球面距离是 R，A在东 3 0，求B点的位置。 经20 R
R
OC OD Rcos45
OC 2 OD2 CD 2 cos COD 0 2OC OD COD 90
球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过 这两点的大圆的劣弧的长度.我们把这个弧长叫 做这两点的球面距离.
球面距离
A、B两点的球面距离为：
A
O
过A、B两点的大圆在 A、B间的劣弧长度。
注意：球面距离是球面上 两点间的最短距离。
B
若设球心角 AOB (弧度制)
AB的弧长 R
地球仪中的经纬度
A
C O
O1
高中高三数学《球面距离》优秀教学案例
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成若干小组，每组针对以下问题进行讨论：
a.球面距离的计算方法有哪些？
b.如何将球面距离应用于实际问题？
c.在计算球面距离时，可能会遇到哪些困难？如何解决？
2.各小组讨论并在黑板上展示讨论成果，教师巡回指导，解答学生疑问。
5.运用信息技术手段，如几何画板、数学软件等，辅助教学，提高学生的学习效果。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣和热情，使学生体会到数学在现实生活中的重要性。
2.培养学生勇于探索、敢于创新的精神，提高学生面对困难和挑战时的自信心。
3.培养学生的空间观念，使学生认识到数学知识在人类文明进步中的价值。
（二）问题导向
本节课将采用问题导向的教学策略，引导学生主动探究球面距离的计算方法。在教学过程中，设计一系列由浅入深的问题，如：“球面距离与空间直线距离有何区别？”“如何利用球面三角学知识计算球面距离？”等。通过这些问题，激发学生的思维，引导学生逐步掌握球面距离的计算方法。
（三）小组合作
小组合作是本节课的重要教学策略。在问题导向的基础上，将学生分成若干小组，每组针对某一问题进行讨论、交流和合作。小组成员之间相互支持、相互学习，共同解决问题。在这个过程中，教师要注意观察各小组的讨论情况，适时给予指导，确保每个学生都能参与到小组合作中。
4.培养学生的合作意识，让学生在团队协作中体验到共享成果的喜悦。
5.培养学生的环保意识，通过球面距离的学习，引导学生关注地球家园，培养学生的社会责任感。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解球面距离的概念，本节课将采用情景创设的教学策略。首先，通过展示地球仪上不同城市的位置，提出问题：“如何计算地球表面上两点之间的最短距离？”引发学生对球面距离的好奇心和探究欲望。接着，利用多媒体课件呈现地球的立体图像，让学生在视觉上直观地感受球面的弯曲，从而引出球面距离的学习。
高中数学沪教版高三上册《球面距离》课件
过平面上一点A的两条射线AB,AC所形成的图形叫 作角，记成∠BAC.
过平面上一点A的两条直线，可以形成4个角。一般规 定，两条直线的夹角为不大于90°的角。
在平面几何中，一般不区分角和角的大小，都用同一个 记号，比如在三角形ABC中，∠BAC既表示角，也表示角的 大小。
从球面S上的一点出发的两条大圆半弧所构成的图形叫 做球面角。这个点叫作球面角的顶点，两条大圆半弧叫作球 面角的边。
如图所示，球面角的顶点为P，P的极线与球面角的两 边交于A,B两点。设P的对径点是P′,则这个球面角的两边
是 PAP和 PBP 。
球面角可以表示成∠APB， 在不产生混淆时，也可以简单 表示成∠P。与平面几何相同， ∠APB既表示角，也表示角的 大小。
设射线PD是 PA 的切线，射线PE是 PB 的切线，则球面
角∠APB的大小＝∠DPE的大小。简写为∠P＝∠DPE。我
们规定 0 P 。 当两个大圆所交成的球面角 等于 时，就说象概括
定理1.1 球面角的大小等于它的两边所在平面组成 的二面角的大小；
2
(2)如图所示，设B为北京所在位置，S 为上海所在位置，那么过点B的经线所在 平面与过点S的经线所在平面的夹角为： 121°29′－ 116°20′＝5°9′ 因此，过北京和上海两点的经线的夹角为5°9′.
课后作业
资料来源：3A备课网--整册备课资料打包下载
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球面角的大小等于顶点的极线夹在两边之间的弧长。
例1 (1)地球上，经线与赤道的夹角是多少？ (2)已知北京位于北纬39°56′、东经116°20′；上海位于 北纬31°14′，东经121°29′，求过这两点的经线的夹角。
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他们在同一个大圆上
A AOB 31 25 6
O
B r 6371
AB的弧长 2 6371 6
360
例2、 已知地球的半径为 6371km,北京的位置约为东 经1160,北纬400，纽约的位置约为西经740,北纬400, 求两个城市间的距离。 AOC BOD 40 ,
6
圆的周长为 4 ，求这个球的半径。
O 设球的半径为R,可知小圆的半径为2
A O
如图设O为球心，三点为A, B,C,
C O为ABC的外接圆的圆心
可知ABC为正三角形且AB 2 3
A，B，C的球面距离两两相等
B AOB AOC BOC 2
63
R AB 2 3
cos AOB 0.1647 AOB 99.48 AB的弧长 2 6371 99.48 360
练习、把地球当作半径为R的球，地球B两点的球面距
离是 R，A在东经200，求B点的位置
3
AB的弧长 R AOB 60
度数，即：某地点的经度就是经过这点的经 线和地轴确定的半平面与本初子午线与地轴 确定的半平面所成二面角的平面角的度数．
北极
P
本
初
地
子 轴
午
O
线
A
道
赤
B
纬度——B点的纬度，即经过这点的球半径和赤 道平面所成的角度(即线面角)．
O1 B
Oα
A
如图，∠AOB的大小即为B点所在的纬度。
例1、 已知地球的半径为 6371km,上海的位置约为东 经1210,北纬310，台北的位置约为东经1210,北纬250, 求两个城市间的距离。
3
AOB为正三角形 AB R
B
CO
A
在COD中，CD AB R， OC OD Rcos45
D cos COD OC 2 OD2 CD2 0
2OC OD COD 90
B的位置可能是：东经110 ,西经 70
例3、球面上有三个点，其中任意两点的球面 距离都等于大圆周长的 1 ，经过三个点的小
COD 360 (116 74 ) 170
由余弦定理，得：
AB2 CD2 OC2 OD2
A
O1
B
CO D
2OC OD cos COD,
cos AOB OA2 OB2 AB2 , 2 OA OB
其中OA OB 6371,
OC OD 6371cos 40
弧的长度.我们把这个弧长叫做两点的球面 距离
球面距离
A、B两点的球面距离：
过A、B两点的大圆 在A、B间的劣弧长 度。
A OB
注意：球面距离是球面 上两点间的最短距离
若设球心角AOB (弧度制)
AB的弧长 R
所以，欲求球面距离，关键在于求球心角
地球仪中的经纬度 经度——P点的经度，也是 或AOB 的
球面上两点间的距离
平面上两点间的最短距离是连结这两点 的线段的长度
而球的表面是曲面，球面上P、Q 两点间的最短距 离显然不是线段PQ的长度，那是什么呢？
B
问题1: 直观的观察, 发现：
A
过A,B的圆中，半径越大， 在A,B之间的劣弧的长越小！
在过A,B点的球的截面中半径最大的是 过球心的大圆
球面上两点之间的最短连线的长度， 就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣