矩形波导谐振腔的谐振频率
4.3 矩形谐振腔
(4-31)
第四章 微波谐振器
矩形谐振腔 §4.3 矩形谐振腔
横向场量可以用纵向场量求出来
r 1 ∂ H t = 2 (∇t H z ) K c ∂z r 1 Et = 2 ( jωµ z × ∇t H z ) ˆ Kc v v ˆ Et = − Z TE z × H t
Ex = − jωµ ∂H z 2 K c ∂y
2
λr =2ຫໍສະໝຸດ v 2π = fr K2
m n p + + a b l
λr =
2π 2 = 2 2 2 K m n p + + a b l
(4-37)
第四章 微波谐振器
矩形谐振腔 §4.3 矩形谐振腔
两个传播方向相反的行波叠加时， 两个传播方向相反的行波叠加时，场的表达式为
mπ + E z = E0 sin a mπ − y e − jβ z + E0 sin a nπ x sin b y e jβ z
若z=0处放一短路板，则有边界条件 z=0处放一短路板， 处放一短路板
E x z =l = 0
pπ ( p = 0,1,2,3L) l
βl = pπ 或 β =
则腔体内TM 则腔体内TMmnp模的纵向电场为
矩形谐振腔讲义
五、TE101模的Q值
结合上面三种情况可知
Rs λ2 2 ab bl 1 a l 0 PL = E0 2 + 2 + + 2 8η 2 l a a l
代入Q 代入Q值公式
Q0 =
Rsλ 8η
2 0 2
8 ab 1 a bl l + E 02 2 + 2 + 2 l a a l
四、矩形构
五、TE101模的Q值
W = (We ) max
2 1 1 l b a 2 2 π = ε ∫ E dv = ε ∫ ∫ ∫ E0 sin a 2 V 2 0 0 0
π x sin 2 l
l
1 2 z dxdydz = ablεE0 8
二、品质因数Q0
v2 1 W = We + Wm = ∫ µ| H | dv 2 v
(31(31-7)
而导体壁损耗
1 1 2 PL = ∫ | J s | Rs ds = Rs ∫ | Hτ |2 ds S 2 S 2
ω0µ
s
(31(31-8)
式中R 是表面电阻率， 式中Rs是表面电阻率， R = 2σ , H 为切向磁场。 为切向磁场。 因此， 所对应的谐振腔Q 因此，有限电导率σ所对应的谐振腔Q值
βl = pπ
则有
( p = 1,2,3,L )
(31(31-4)
λ0 =
2 m n p + + a b l
2 2 2
=
1 1 p + λ 2l c
2 2
(31(31-5)
二、品质因数Q0
《矩形谐振腔》课件
矩形谐振腔的设计
1
设计参数
2
包括谐振腔尺寸、波导位置、材料选择
等。
3
一般步骤
确定频率、计算谐振腔尺寸、优化设工具等。
矩形谐振腔的应用
微波和微纳电子学
矩形谐振腔在微波电路和微纳电子学中广泛应用， 用于滤波、频率选择和放大等。
量子计算
矩形谐振腔是量子计算中的关键元件，用于存储和 操作量子比特。
参考文献
相关研究论文
1. "矩形谐振腔的设计与制作"，XXX期刊，2020 年。
网络资源
2. "如何设计优秀的矩形谐振腔"，微电子论坛， https://www.***.com
谐振模式的定义
谐振模式是矩形谐振腔中特定频率下的电磁场分布形态，不同模式对应不同的场分布和电磁能量分布。
不同谐振模式的特点
TE10
最简单的模式，电场仅沿一个方向震荡。
TM11
电场和磁场都存在，和波导边界垂直。
TE01
场与波导边界垂直，纵向波动不变。
TE20
正方形波导才有的模式，电场沿两个方向震荡。
实验
1
测量共振频率
通过改变谐振腔的尺寸，测量不同谐振
测量Q值
2
模式的共振频率。
通过测量共振峰的宽度，计算谐振腔的 品质因数（Q值）。
结论
1 优点与不足
2 未来发展趋势
矩形谐振腔具有结构简单、易于制作的优点， 但波导的存在会引入损耗。
随着技术的不断进步，矩形谐振腔将在量子 计算和通信领域发挥越来越重要的作用。
《矩形谐振腔》PPT课件
矩形谐振腔是微波和微纳电子学中常见的元件。本课件将详细介绍矩形谐振 腔的定义、工作原理、谐振模式以及设计和应用。
射频电路与天线（华工）试卷及答案,华工射频电路天线,习题答案参考,试卷资料,电信学院大三
射频电路与天线（华⼯）试卷及答案,华⼯射频电路天线,习题答案参考,试卷资料,电信学院⼤三⼀、填空题1、⽆耗传输线终端短路，当它的长度⼤于四分之⼀波长时，输⼊端的输⼊阻抗为容抗，将等效为⼀个电容。
[见P19段路线输⼊阻抗公式1-45]2、⽆耗传输线上驻波⽐等于1时，则反射系数的模等于0。
3、阻抗圆图上，|Γ|=1的圆称为单位圆，在单位圆上，阻抗为纯电抗，驻波⽐等于⽆限⼤。
4、只要⽆耗传输终端接上⼀个任意的纯电阻，则⼊射波全部被吸收，没有反射，传输线⼯作在匹配状态。
[ZL=ZC才能匹配]5、在传输线上存在⼊射波和反射波，⼊射波和反射波合成驻波，驻波的最⼤点电压值与最⼩点上的电压值的⽐即为传输线上的驻波⽐。
6、导纳圆图由等反射系数圆、等电抗圆和等电阻圆组成，在⼀个等电抗圆上各点电抗值相同。
7、圆波导的截⽌波长与波导的截⾯半径及模式有关，对于TE11模，半径越⼤，截⽌波长越短。
[⽆论是矩形波导，还是圆波导，截⽌波长都与a(矩形时为宽边，圆时为半径)成正⽐。
圆波导主模TE11，次模TM10]8、矩形波导的⼯作模式是TE10模，当矩形波导传输TE10模时，波导波长（相波长）与波导截⾯尺⼨有关，矩形波导截⾯的窄边尺⼨越⼩，波导波长（相波长）越长。
[见P45-相波长（波导波长）的公式，可知其只与某⼀频率和截⽌波长有关，且与截⽌波长（=2a）成反⽐，与窄边b⽆关。
矩形波导主模TE10，次模TE20]9、在矩形谐振腔中，TE101模的谐振频率最⼩。
[矩形谐振腔主模TE101]10、同轴线是TEM传输线，只能传输TEM波，不能传输TE或TM波。
[都能传，但⼤多数场合⽤来传TEM波]11、矩形波导传输的TE10波，磁场垂直于宽边，⽽且在宽边的中间上磁场强度最⼤。
[P46倒数第三⾏，磁场平⾏于波导壁⾯。
电场沿x轴正弦变化，在x=a/2处电场最⼤。
]12、圆波导可能存在“模式简并”和“极化简并”两种简并现象。
13、矩形波导中所有的模式的波阻抗都等于377欧姆。
基于时域有限差分法(FDTD)的矩形谐振腔分析
一、 设计任务采用FDTD 数值计算的方法来分析理想谐振腔中的场，谐振腔尺寸为25*12.5*60mm 填充空气，采用直角坐标系下的场分量迭代公式，激励源采用高斯脉冲源，源的参数根据谐振腔的尺寸来确定。
分析时间和空间离散度以及采样点数对分析结果的影响。
二、 方案设计（1）学习FDTD 理论，并推导直角坐标系下maxwell 方程的差分方程；（2）理论学习并推导理想矩形谐振腔中的时谐场，并分析其谐振频率分布； （3）激励源采用高斯脉冲源，导体采用PEC 边界，利用FDTD 编程求解谐振腔内的场分量；（4）对谐振腔内部分点处的采样数据进行频谱分析，提取其谐振频率分布，并与理论对比，并分析时间和空间离散度以及采样点数对分析结果的影响。
三、 设计原理3.1时域有限差分法FDTD(finite diference time domain)方法属于全波分析法， 它是Yee 在1966年所提出的数值方法“ ，其原理是将麦克斯韦方程式中两个微分形式的旋度方程式以中心差分式做离散化。
求解过程由递推完成，尤其适合计算机编程实现。
3.1.1有限差分法有限差分法是用变量离散的、含有有限个未知数的差分方程近似的代替连续变量的微分方程，即构造合理的差分格式，使其解能保持原问题的主要性质，并有相当高的精确度。
假设f(x),为x 的连续函数，在x 轴上每隔h 距离取一点，其中任意某一点用x i 表示，则叫做f(x)在x i 点的中心差分。
在时域有限差分法中正是用中心差商代替微商，同时用Max-well 方程组建立差分方程。
3.1.2 Yee ’s 差分算法H E, 场分量取样节点在空间和时间上采取交替排布，利用电生磁，磁生电的原理tt ∂∂=∂∂=⨯∇ED H εt t ∂∂-=∂∂-=⨯∇HB E μ--（1）如图3-1所示，Yee 单元有以下特点：（1）E 与H 分量在空间交叉放置，相互垂直；(i ,(i ,j+1,k+1)(i+1,(i+1,j+1,k+1)E yE x（2）每一坐标平面上的E分量四周由H分量环绕，H分量的四周由E分量环绕；（3）每一场分量自身相距一个空间步长，E和H相距半个空间步长（4）电场取n时刻的值，磁场取n+0.5时刻的值；（5）电场n+1时刻的值由 n 时刻的值得到，磁场n+0.5时刻的值由n-0.5时刻的值得到；电场n+1时刻的旋度对应(n+1)+0.5时刻的磁场值，磁场n+0.5时刻的旋度对应 (n+0.5)+0.5时刻的电场值；（6）3个空间方向上的时间步长相等，以保证均匀介质中场量的空间变量与时间变量完全对称。
矩形谐振腔
传输线—二维 kc
传输腔—三维 k
图 31-3 二维谐振和三维谐振
一、谐振频率0
进一步,如果讨论的是传输型谐振腔，即
l p
(p 1 ,2 ,3 , ) (31-4)
则有
0
2 m2n2p2 a b l
Байду номын сангаас
k
2 x
E
0
d 2E dy 2
k
2 y
E
0
d 2E 2E 0 dz 2
k
2 x
k
2 y
k
2 c
k c2 k 2 2
y -z
x
0
d 2E dx 2
k
2 x
E
0
d 2E dy 2
k
2 y
E
0
d 2E dz 2
k
2 z
E
0
k
2
k
2 x
k
2 y
k
2 z
一、谐振频率0
(31-1)
一、谐振频率0
理想腔
C
Go
L
耦合腔
Go L
C
非理想腔 G-介 质
C G
L Go
Q
G0
图 31-2 谐振腔研究的思路框图
一、谐振频率0
但是在求解中,它与传输线不同。在传输线中z是优 势方向:即。从概念上讲：x、y方向是驻波，而z方向
假定是行波。
传输线
谐振腔
y -z
谐振腔的谐振频率
Ex
k2
1
k
2 z
x
( Ez z
)
jkz
z
Ey
k2
1
k
2 z
y
( Ez z
)
Hx
j
k 2 kz2
Ez y
Hy
j
k
2
k
2 z
Ez x
Hz 0
2019/5/15
电磁场理论
9
第九章 导行电磁波
Ez
(
x,
y,
z)
sin(
m
a
x)sin( n
2019/5/15
电磁场理论
4
第九章 导行电磁波
y d
为了得到一个高频下的谐振电路，通
b
常采用封闭的金属壳（将传输线短路）构
成谐振腔，电磁场被限制在金属壳的内部 z
a
g /2
，避免了电磁场向外辐射。
x
把长度为d的空心金属波导两端用金属壁封闭，即可构成谐 振腔。封闭金属谐振腔也存在多种结构，例如，矩形谐振腔、 圆柱谐振腔、同轴谐振腔等，本节主要讨论矩形谐振腔。
因为随着频率升高，必须减小 LC 谐振电路的电感量和电 容量，但是当 LC 很小时，分布参数的影响不可忽略。电容器 的引线电感、线圈之间以及器件之间的分布电容必须考虑。
随着频率升高，回路的电磁辐射效应显著，电容器中的 介质损耗也随之增加，这些因素导致谐振电路的品质因素 Q 值显著下降。
在米波以上的微波波段，经常使用相应波段的传输线来构 成谐振器件。
对于由理想导体构成的矩形谐振腔，除了在 z = 0 和 z = d 处增加了新的边界条件外，其它方面与矩形波导相同。
矩形介质谐振器谐振频率的计算
矩形介质谐振器谐振频率的计算
矩形介质谐振器是一种常见的微波器件，具有宽带、低损耗等优点，被广泛应用于微波频段的滤波器、耦合器、方向耦合器等实际应
用中。
对于矩形介质谐振器来说，其谐振频率的计算是非常重要的。
下面，我将介绍矩形介质谐振器谐振频率的计算步骤：
1、确定矩形介质谐振器的基本参数：包括矩形介质谐振器的长度、宽度、高度等尺寸参数，以及介质的相对介电常数、矩形波导的
工作模式等。
2、求解矩形波导的截止频率：矩形波导的截止频率是指在该频
率以下，矩形波导无法传输电磁波。
因此，根据波导的基本参数，可
以采用计算公式或者查阅表格来求解矩形波导的截止频率。
3、计算矩形介质谐振器的电磁模态：根据矩形介质谐振器的尺
寸和相对介电常数，可以使用Maxwell方程求解矩形介质谐振器的电
磁模态，进一步确定其电磁场分布和基本参数。
4、计算矩形介质谐振器的谐振频率：根据矩形介质谐振器的电
磁模态以及矩形波导的截止频率，可以采用计算公式来求解矩形介质
谐振器的谐振频率。
值得注意的是，不同的电磁模态对应的谐振频率是不同的，因此
在实际计算过程中需要进行分类讨论，并选择合适的计算公式来求解。
综上所述，矩形介质谐振器谐振频率的计算所需的步骤包括确定
基本参数、求解矩形波导的截止频率、计算电磁模态以及计算谐振频率。
这些步骤需要采用Maxwell方程、计算公式、查表等方法，通常
需要借助计算工具和软件来完成。
在实际设计和应用中，需要根据具
体的需求和限制来确定矩形介质谐振器的参数和性能指标，以确保其
能够满足所需的功能要求并具有合适的带宽、损耗等性能。
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双导线
同轴线
矩形波导
圆波导
带状线
微
带
介质波导 光 纤
图7-1 常用的导波系统
7.1 电磁波沿均匀导波系统传播的一般解
一、 横向场分量与纵向场分量之间的关系
设导波系统的横截面沿Z方向是均匀的，电磁波 沿Z方向传播，导行系统内填充的媒质是线性、均匀、 0 各向同性且无耗（ ），导行系统远离波源，没 , 0导波系统内的场量随时 ,J 0 有外源分布，即 间作正弦变化,则导波系统内的电磁场可以表示为
2 E k 2 E 0
2 H k 2 H 0
在直角坐标系下，矢量拉普拉斯算符可分解为与横 2 截面坐标有关的 2 xy 和与纵坐标有关的 z 两部分， 即 2 2 2 2 2 2
x
2
y
2
z
2
xy z
代入波动方程得 2 2 E k 即 xy c E 0 同理可得磁场的类似方程
轴的圆柱导体构成，两导体之间可以填充空气或介质
金属波导是由单根空心的金属管构成，截面形状为矩
形的称为矩形波导，截面形状为圆形的称为圆波导；
带状线是由两块接地板和中间的导体带构成；微带线 是由介质基片及其两侧的导体带、接地板构成；介质 波导是由单根的介质棒构成。
电磁波在不同的导行系统中传播具有不 同的特点，分析方法也不相同。
(7-5c)
Hy
1 k c2
E z H z j x y
(7-5d)
2 2 2 k k 式中 c ，k 2 2
由式（7-5）可见：如果能够求出导波系统中电 磁场的纵向分量，那么导波系统中的其他分量即可 由上式得到。电磁场的纵向分量又如何求呢？ 已知波动方程
图7-2 任意截面的均匀导波系统
E ( x, y, z） E ( x, y）e z
H ( x, y, z） H ( x, y）e z
(7-1)
(7-2)
j 。下面介 式中 为传播常数。一般情况下， 绍如何求解 E ( x, y ) 和 H ( x, y)，分别简写为 E 和 H 。在 直角坐标中，
1 Ex 2 kc E z H z x j y
(7-5a) (7-5b)
1 Ez H z Ey 2 j kc y x
1 Hx 2 kc
E z H z j y x
第七章
导行电磁波
上一章：讨论了电磁波在无限大空间和半 无限大空间的传播规律。 本章：将要讨论电磁波在有界空间传播的 问题。 导波系统：将电磁波约束在有界空间内从 一处传播到另一处的装置 导行电磁波：被引导的电磁波
常用的导波系统如图7-1所示，其中平行双导线是 由两根相互平行的金属导线构成；同轴线是由两根同
E Ex e x E y e y Ez ez
H H x e x H y e y H z ez
由麦克斯韦旋度方程
E j H
得
Ez E y j H x y Ex E y Ez j H y x
（7-3）
Ex j H z x y
由 H j E ，得
H z H y j E x y H z Hx j E y x H y H x j E z x y
（7-4）
根据上述方程，可以求得导波系统中横向场分 H z 之间的关系，即 Hx、 Ey 、 H y 和纵向场分量 E z 、 量Ex 、
2 2 H k xy c H 0
2 xy E
2E 2 2 2 2 k E E ( k )E 0 xy 2 z
(7-6) (7-7) （7-8a） （7-8b）
因此有
2 2 E k xy Z c EZ 0
2 2 H k xy Z c HZ 0
（7-12）
z
2
0 ，因此
2 xy E s
0
（7-13）
比较式(7-10)与式(7-12)。可见，TEM波电场所满足 的微分方程与同一系统处在静态场中其电场所满足 的微分方程相同，又由于它们的边界条件相同，因 此，它们的场结构完全一样，由此得知：任何能建 立静电场的导波系统必然能够维持TEM波。
二、 电磁波沿均匀导波系统传播的一般解
对于沿方向传播的电磁波 (1)如果电磁波在传播方向上没有电场和磁场分 量， E z 0 ，H z 0 ，即电磁场完全在横截面内，这种 电磁波称为横电磁波，简称TEM波； (2)如果电磁波在传播方向上有电场分量，没有 H z 0 ，即磁场限制在横截面内， Ez 0 ， 磁场分量， 这种电磁波称为横磁波，简称TM波； (3)如果电磁波在传播方向上有磁场分量，没有 电场分量， E z 0 ，H z 0 ，即电场限制在横截面内， 这种电磁波称为横电波，简称TE波。
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E
E
es
H H TEM波 TE波
es
H
es
TM波
Hy H x、 H z 0 时， Ex、 E y、 由式(7-5)可见，当 E z 0 ， 存在的条件是 k c2 2 k 2 0
得
jk j
(7-9)
这与无界空间无耗媒质中均匀平面波的传播常数相 同，因此TEM波的传播速度为
v
1 k
（7-10） （7-11）
当 kc2 0 时，（7-6）式变为
2 xy E 0
表明: 传播TEM波的导波系统中，电场必须满足横向 拉普拉斯方程。
已知静电场 E s 在无源区域中满足拉普拉斯方程， 即
2 Es 0
2 对于沿Z方向均匀一致的导波系统， E s