微专题训练9 “等时圆”模型
(完整版)等时圆模型
1等时圆模型一、何谓“等时圆”例：如图1所示，ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。
每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a 、b 、c 处释放（初速为0），用t 1、t 2、t 3依次表示各滑环到达d 所用的时间，则（ ） A.t 1<t 2<t 3 B.t 1>t 2>t 3 C .t 3>t 1>t 2 D.t 1=t 2=t 3解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为R ，由牛顿第二定律得，ma mg =θcos ①再由几何关系，细杆长度θcos 2R L = ②设下滑时间为t ，则221at L = ③由以上三式得，gRt 2= 可见下滑时间与细杆倾角无关，所以D 正确。
由此题我们可以得出一个结论。
结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。
推论：若将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。
像这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。
关于它在解题中的应用，我们看下面的例子：二、“等时圆”的应用1、 可直接观察出的“等时圆”例1：如图3，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ） A.球面 B.抛物面 C.水平面 D.无法确定 答案：A例2：如图4，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于M 点，与竖直墙相切于点A ，竖直墙上另一点B 与M 的连线和水平面的夹角为600，C 是圆环轨道的圆心，D 是圆环上与M 靠得很近的一点（DM 远小于CM ）。
已知在同一时刻：a 、b 两球分别由A 、B 两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M 点；c 球由C 点自由下落到M 点；d 球从D 点静止出发沿圆环运动到M 点。
等时圆模型(解析版)--高中物理动力学中的九类常见问题
动力学中的九类常见问题等时圆模型【模型解读】“等时圆”描述了一个物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆 (或光滑斜面)由静止下滑，到达圆周的最低点(或从最高点到达同一圆周上各点)的时间相等，这个时间等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间。
这个模型在物理计算中有着重要的应用，特别是在研究物体的运动轨迹和时间关系时。
由2R ·sin θ=12·g sin θ·t 2，可推得t 1=t 2=t 3。
“等时圆”模型的基本特性在于，它揭示了物体在不同路径上运动时，如果路径都在同一个竖直圆上，那么物体到达圆周最低点的时间是相等的。
这一特性不仅适用于光滑细杆，也适用于光滑斜面。
此外，如果物体的运动路径的端点在圆外，那么质点运动的时间会长一些；反之，如果端点在圆内，质点运动的时间则会短一些。
这个模型的应用不仅限于物理学科，它也体现了数学和物理之间的紧密联系。
通过“等时圆”模型，我们可以更好地理解物体在不同条件下的运动规律，以及这些规律如何影响物体的运动时间和路径。
物体在“两类”光滑斜面上的下滑时间的比较第一类：等高斜面(如图1所示)由L =12at 2，a =g sin θ，L =hsin θ可得t =1sin θ2h g ，可知倾角越小，时间越长，图1中t 1>t 2>t 3。
第二类：同底斜面(如图2所示)由L =12at 2，a =g sin θ，L =dcos θ可得t =4d g sin2θ，可见θ=45°时时间最短，图2中t 1=t 3>t 2。
【典例精析】1(2023年7月浙江宁波期末). 滑滑梯是小朋友们爱玩的游戏现有直滑梯AB 、AC 、AD 和BD ，A 、B 、C 、D 在竖直平面内的同一圆周上，且A 为圆周的最高点，D 为圆周的最低点，如图所示，已知圆周半径为R 。
在圆周所在的竖直平面内有一位置P ，距离A 点为3R ，且与A 等高。
2024年中考数学二轮复习——圆中的九大模型+同步练+++
圆中的九大模型训练题一．中点弧（过弧或弦中点作半径的垂线）̂的中点，弦CE⊥AB于点H，连接AD，分别交CE、BC 1．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是AD于点P、Q，连接BD（1）求证：∠ACH＝∠CBD；（2）求证：P是线段AQ的中点；（3）若⊙O的半径为5，BH＝8，求CE的长．2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD．过点D作DE⊥AB于点E．连接AC交DE于点F．若AE＝4，BE＝16，则DF的长为（）A．4B．4.8C．5D．6二．切割互垂3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB上的一点，以AD为直径的圆O与BC相切于点E，连接AE，DE．求证：AE平分∠BAC．4．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：AE＝AF；（2）若BE＝5，AC＝12，求CF的长．三．双切模型5．已知，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点E ，在AC 上取一点D ，使得DE ＝AD ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线．（2）当BC ＝5，AD ＝2时，求⊙O 的半径．6．如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA ＝∠CBD ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，BC ＝9，AD BD =23．求BE 的长．四．圆配旋转7．如图，点P 为等边△ABC 外接圆，劣弧为BC 上的一点．（1）求∠BPC 的度数；（2）求证：P A ＝PB +PC ．8．如图所示，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求CD的长．五．三切问题9．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN 于点D，C，且BC＝CE．（1）求证：DA＝DE；（2）若AB＝6，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．10．已知：如图，AB是圆O的直径，CD切圆于点E，CA、DB都是圆O的切线，AD、BC相交于点P，EP的延长线交AB于点F．（1）求证：EF⊥AB．（2）求证：PE＝PF．六．圆外一点作垂线（半径的垂线）11．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l 于点C ．（1）试判断线段AB 与AC 的数量关系，并说明理由；（2）若PC ＝2√5，求⊙O 的半径；（3）若在⊙O 上存在唯一点Q ，使△QAC 是以AC 为底边的等腰三角形，求⊙O 的半径．12．如图，AB 是⊙O 的弦，点C 在过点B 的⊙O 的切线上，且OC ⊥OA ，OC 交AB 于点P ．求证：CP ＝CB ．七．圆配等腰13．如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC 于E ，连接AD ，求证：DE 是⊙O 的切线．14．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ．（1）求证：DC ＝BD ；（2）求证：DE 为⊙O 的切线；（3）若DE 的长为5√32，∠BAC ＝60°，求⊙O 的半径．八．圆配角平分线（垂直+全等）15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF；（3）若CD＝1，EF=√10，求AF长．16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF；（3）已知：CD＝1，EH＝3，求AF的长．九．内心问题17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC．（1）若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1＝∠2．18．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，交BC于F．（1）若∠ABC＝40°，∠C＝80°，求∠CBD的度数；（2）求证：DB＝DE；（3）若AB＝6，AC＝4，BC＝5，求DE的长．。
等时圆模型(最新最全)(总9页)
等时圆模型(最新最全)(总9页)
等时圆模型，也称为基于等时线的圆形模型，是专为考量太阳系中行星运行速度变化而提出的天体运行模型。
它是建立在数量物理的理论框架上的，可以用来提供一种更加准确灵活的推进器性能预测方法。
简而言之，等时圆模型的主要思想是，当一个行星或小行星在恒星系的引力场中运行时，其运动速度受到重力场的抑制，由而产生一种抛物形线，即行星运动轨道形状具有椭圆或螺旋形，另外，它在运动过程中出现大量剧烈变化。
等时轨道模型是根据英国天文学家布洛克在1609年提出的费米力学原理而构建的。
他认为，行星的运行轨道具有椭圆的形状，靠近恒星的运动速度减慢，而离恒星的距离增加时，速度增加。
在这种做法下，行星在恒星系宇宙中运行时形成一种螺旋形轨道。
等时圆模型用一条。
等时圆模型(最新最全)
“等时圆”模型的规律及应用一、 等时圆模型（如图所示）二、 等时圆规律：1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。
（如图a ）2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。
（如图b ）3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d ）自由落体的时间，即gRg R g d t 2420===（式中R 为圆的半径。
） 三、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d （如右图）。
根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为αsin g a =，位移为αsin d s =，所以运动时间为gd g d a s t 2sin sin 220===αα即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。
四、应用等时圆模型解典型例题例1：如图1，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定图a 图b【解析】：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A 正确。
例2：如图2，在斜坡上有一根旗杆长为L ，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB 滑至斜坡底部，又知OB=L 。
求小环从A 滑到B 的时间。
【解析】：可以以O 为圆心，以 L 为半径画一个圆。
根据“等时圆”的规律可知，从A 滑到B 的时间等于从A 点沿直径到底端D 的时间，所以有gLg L g dt t AD AB 242==== 例3：如图5所示，在同一竖直线上有A 、B 两点，相距为h ，B 点离地高度为H ，现在要在地面上寻找一点P ，使得从A 、B 两点分别向点P 安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A 和B 沿木板下滑到P 点的时间相等，求O 、P 两点之间的距离OP 。
解析：由“等时圆”特征可知，当A 、B 处于等时圆周上，且P 点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。
等时圆模型(最新最全)
“等时圆”模型的规律及应用一、 等时圆模型（如图所示）二、 等时圆规律：1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。
（如图a ）2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。
（如图b ）3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d ）自由落体的时间，即gRg R g d t 2420===（式中R 为圆的半径。
） 三、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d （如右图）。
根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为αsin g a =，位移为αsin d s =，所以运动时间为gd g d a s t 2sin sin 220===αα即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。
四、应用等时圆模型解典型例题例1：如图1，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定图a 图b【解析】：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A 正确。
例2：如图2，在斜坡上有一根旗杆长为L ，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB 滑至斜坡底部，又知OB=L 。
求小环从A 滑到B 的时间。
【解析】：可以以O 为圆心，以 L 为半径画一个圆。
根据“等时圆”的规律可知，从A 滑到B 的时间等于从A 点沿直径到底端D 的时间，所以有gLg L g dt t AD AB 242==== 例3：如图5所示，在同一竖直线上有A 、B 两点，相距为h ，B 点离地高度为H ，现在要在地面上寻找一点P ，使得从A 、B 两点分别向点P 安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A 和B 沿木板下滑到P 点的时间相等，求O 、P 两点之间的距离OP 。
解析：由“等时圆”特征可知，当A 、B 处于等时圆周上，且P 点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。
等时圆模型
等时圆模型一、何谓“等时圆”例：如图 1 所示， ad、bd、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a 、b 、 c、 d 位于同一圆周上，y a点为圆周的最高点， d 点为最低θ点。
每根杆上都套有一个小滑环mgx（图中未画出），三个滑环分别从图 1a、b、c 处释放（初速为0），用 t 1、t 2、t 3依次表示各滑环到达 d 所用的时间，则（）A.t 1<t2<t3B.t1>t 2>t3 C.t 3>t 1>t2D.t1=t 2=t 3解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为R，由牛顿第二定律得，mg cos ma①再由几何关系，细杆长度L 2R cos②设下滑时间为 t ，则L 1 at 2③2由以上三式得，t 2R可见下滑时间与细g杆倾角无关，所以 D 正确。
由此题我们可以得出一个结论。
结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。
推论：若将图 1 倒置成图 2 的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。
图 2像这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。
关于它在解题中的应用，我们看下面的例子：1、可直接观察出的“等时圆”例 1：如图 3，通过空间任一点A A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点 A 分别沿这些倾角各不相同的图 3光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定答案： A例2 ：如图 4 ，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于 M 点，与竖直墙相切于点 A，竖直墙上另一点 B与 M 的连线和水平面的夹角为600，C是圆环轨道的圆心，D是圆环上与M 靠得很近的一点（ DM 远小于 CM）。
已知在同一时刻： a、 b 两B球分别由 A、 B两点从静CA止开始沿光滑倾斜直轨D道运动到 M 点； c球由 CM点自由下落到 M 点； d球图 4从 D点静止出发沿圆环运动到 M 点。
等时圆问题模型总结
等时圆问题模型总结等时圆问题模型是指在给定的一组点上，寻找一个圆，使得这个圆上的所有点到圆心的距离都相等。
这个问题在实际生活中有着广泛的应用，比如在无线传感器网络中，节点需要以某个节点为中心，以一定的范围进行通信，这就需要找到一个等时圆来满足通信需求。
在地理信息系统中，也经常需要寻找等时圆来确定某个地点的辐射范围。
因此，等时圆问题模型的研究具有重要的理论和实际意义。
在解决等时圆问题时，我们通常会采用数学建模的方法。
首先，我们需要确定给定点集上的一个圆心，然后确定这个圆心到各个点的距离，最后通过调整半径，使得这些距离相等。
这个过程可以用数学的方法来描述和求解。
在实际应用中，等时圆问题模型的解决往往需要考虑到一些实际情况的限制条件。
比如在无线传感器网络中，节点之间的通信范围可能受到地形、建筑物等因素的限制，这就需要在寻找等时圆的过程中考虑这些限制条件。
在地理信息系统中，地图的尺度、地形的复杂程度等因素也会对等时圆的确定产生影响。
因此，解决等时圆问题不仅需要数学方法，还需要考虑到实际应用中的各种因素。
近年来，随着计算机技术的发展，人们对等时圆问题的研究也取得了一些进展。
通过计算机模拟和优化算法，可以更快速、更精确地求解等时圆问题。
同时，人工智能、机器学习等技术的应用也为等时圆问题的求解提供了新的思路和方法。
总的来说，等时圆问题模型是一个具有理论和实际意义的重要问题。
在实际应用中，我们需要综合考虑数学建模、实际限制条件以及计算机技术等因素，来寻找等时圆的最优解。
希望在未来的研究中，我们可以进一步深化对等时圆问题的理解，为实际应用提供更加可靠、高效的解决方案。
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微专题训练9 “等时圆”模型
1．(多选)如图1所示，一物体从竖直平面内的圆环的最高点A 处由静止开始沿光滑弦轨道AB 下滑至B 点，那么( )． A ．只要知道弦长，就能求出运动时间 B ．只要知道圆半径，就能求出运动时间 C ．只要知道倾角θ，就能求出运动时间 D ．只要知道弦长和倾角，就能求出运动时间
解析 物体沿AB 弦轨道下滑，加速度为a ＝mg cos θm ＝g cos θ，弦长l ＝2R ·cos
θ，则t ＝
2l
a ＝
2·2R cos θg cos θ
＝2
R
g .可见，物体沿任何一条弦轨道下滑所
用时间均相等，且等于沿直径自由下落的时间． 答案 BD
2．(多选)如图2所示，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平轨道面相切于M 点，与竖直墙相切于A 点，竖直墙上另一点B 与M 的连线和水平面的夹角为60°，C 是圆轨道的圆心．已知在同一时刻，a 、b 两球分别由A 、B 两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M 点；c 球由C 点自由下落到M 点．则
( )． A ．a 球最先到达M 点 B ．b 球最先到达M 点 C ．c 球最先到达M 点
D ．c 、a 、b 三球依次先后到达M 点
解析 设圆轨道半径为R ，据“等时圆”模型结论有，t a ＝ 4R
g ＝ 2
R g ；
B 点在圆外，t b >t a ，c 球做自由落体运动t c ＝ 2R
g ；所以，有t c <t a <t b .C 、D
正确．
图1
图2
3．(单选)如图3所示，AB和CD为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径为R和r的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点P.设有一重物先后沿两个斜槽，从静止出发，由A滑到B和由C滑到D，所用的时间分别为t1和t2，则t1与t2之比为()．A．2∶1 B．1∶1
C.3∶1 D．1∶ 3
解析由“等时圆”模型结论有：t AP＝t CP＝2R
g
，t PB＝t PD＝2 r
g
，所以
t1＝t AP＋t PB，t2＝t CP＋t PD，知t1＝t2，B项正确．
答案 B
4．(单选)如图4所示，在倾角为θ的斜面上方的A点处放置一光滑的木板AB，B端刚好在斜面上．木板与竖直方向AC所成角度为α，一小物块自A端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α与θ角的大小关系应为()．
A．α＝θB．α＝θ2
C．α＝θ
3D．
α＝2θ
解析如图所示，在竖直线AC上选取一点O，以适当的
长度为半径画圆，使该圆过A点，且与斜面相切于D点．由
等时圆知识可知，由A沿斜面滑到D所用时间比由A到达
斜面上其他各点所用时间都短．将木板下端与D点重合即可，而∠COD＝θ，
则α＝θ
2.
图3
图4
5．(单选)如图5甲是某景点的山坡滑道图片，为了探究滑行者在滑道直线部分AE滑行的时间，技术人员通过测量绘制出如图乙所示的示意图．AC是滑道的竖直高度，D点是AC竖直线上的一点，且有AD＝DE＝10 m，滑道AE可视为光滑，滑行者从坡顶A点由静止开始沿滑道AE向下做直线滑动，g取
10 m/s2，则滑行者在滑道AE上滑行的时间为()．
甲乙
图5
A. 2 s B．2 s C. 3 s D．2 2 s
解析A、E两点在以D为圆心半径为R＝10 m的圆上，在AE上的滑行时间
与沿AD所在的直径自由下落的时间相同，t＝4R
g ＝4AD
g
＝2 s，选B.
答案 B
6．如图6所示，圆弧AB是半径为R的1
4圆弧，在AB上放置一光滑木板BD，
一质量为m的小物体在BD板的D端由静止下滑，然后冲向水平面BC，在BC上滑行L后停下．不计小物体在B点的能量损失，已知小物体与水平面BC间的动摩擦因数为μ.求：小物体在BD上下滑过程中，重力做功的平均功率．
图6
解析由动能定理可知小物体从D到C有W G－μmgL＝0，所以W G＝μmgL 由等时圆知识可知小物体从D到B的时间等于物体从圆周的最高点下落到B。