吉林省延边市长白山第一高级中学2021-2022高二数学上学期学科竞赛试题

吉林省延边市长白山第一高级中学2021-2022高二数学上学期学科竞
赛试题
时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（每题5分，共60分）
1．命题:(1,),23x
p x ∀∈+∞> ，则p ⌝ 是（ ）
A.(1,),2
3x
x ∀∈+∞ B.(,1],2
3x
x ∀∈-∞ C.0
0(1,),2
3x x ∃∈+∞
D.0
0(,1],2
3x x ∃∈-∞
2．已知23:,522:≥=+q p ,则下列判断中，错误的是 （ ）
A ．p 或q 为真，非q 为假
B ． p 或q 为真，非p 为真
C ．p 且q 为假，非p 为假
D ． p 且q 为假，p 或q 为真 3．“x y =”是“||||x y =”的（ ）条件 A ．充要 B ．充分不必要
C ．必要不充分
D ．既不充分也不必要
4. 过椭圆2
2
41x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆交于,A B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长为（ ）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 5．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①m α⊂，n ⊂α，m β，n βα
β⇒ ②n m ∥，n m αα⊂⇒
③α
β，m α⊂，n m n β⊂⇒ ④m α∥，n m
n α⊂⇒
其中，真命题的个数有（ ）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
6．已知()()3,0,3,0,6M N PM PN --=，则动点P 的轨迹是（ ） A ．一条射线
B ．双曲线右支
C ．双曲线
D ．双曲线左支
7．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1AD 所成角的大小为（ ）
A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
8. 圆：01222
2
=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最小值是（ ） A ． 2 B ．21+ C ．12- D ．221+
9．过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为其右焦点，
若1230F F P ∠=，则椭圆的离心率为（ ） A ．
2
2
B ．13
C ．12
D ．
3
3
10．不论m 取任何实数，直线()0121:=++--m y x m l 恒过一定点，则该定点的坐标 是（ ）
A ．()3,2
B ．()3,2-
C ．()0,2-
D ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
21,1 11．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =，若鳖臑P ADE -的体积为1，则阳马P ABCD -的外接球的
表面积等于（ ）
A ．17π
B ．18π
C ．19π
D ．20π
12.已知椭圆C 的焦点为121,0,0F F -()，(1)，过2F 的直线与C 交于,A B 两点.若
222AF F B =,1AB BF =，则椭圆C 的方程为（ ）
A ．22143x y +=
B ．2254
1x y +=
C ．2
212x y +=
D ．22132
x y +=
二、填空题（共计20分）
13．求过点（2，3）且在x 轴和y 轴截距相等的直线的方程 ． 14. 双曲线2
2
4640x y -+=上的一点P 到它的一个焦点的距离等于1，那么点P 到另一个焦点的距离为_______
15. 四棱锥S ABCD -中， 底面ABCD 为平行四边形，E 是SA 上一点，当点E 满足条件：____ ______时，SC 平面EBD .
16．给出以下命题，
①命题“若5a b +≠，则2a ≠或3b ≠”为真命题； ②命题“若1x =，则20x x -=”的否命题为真命题； ③若平面α上不共线的三个点到平面β距离相等，则αβ；
④若α，β是两个不重合的平面，直线l α⊂，命题:p l β，命题:q α
β，则p 是q 的
必要不充分条件；
⑤平面α过正方体1111D C B A ABCD -的三个顶点1,,B D A ，且α与底面1111A B C D 的交线为
l ，
则l ∥11B D 。

其中，真命题的序号是 三、解答题（共70分）
17．（共10分）求下列双曲线的实轴和虚轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标渐进线方程。

（1）2
2
416x y -= （2）2
2
981y x -=
18．（共12分）已知
1:123
x p --≤，()22:2100q x x m m -+-≤>，若p ⌝是q ⌝的充分
而不必要条件，求实数m 的取值范围．
19．（共12分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是1111,,C ,BC CC D A A 的中点。

求证：
（1）求证：EG ∥平面11BB D D ；
（2）求异面直线BF 与1HB 所成角的余弦值。

20. （共12分）已知双曲线C 和椭圆22
141
x y +=有公共的焦点，且离心率为3。

（1）求双曲线C 的方程。

（2）经过点()2,1M 作直线l 交双曲线C 于A ， B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程。

21．（共12分）如图， ABCD 是正方形，O 是正方形的中心， PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。

2,2PO AB ==
求证：
（1）PA ∥平面BDE ； （2）平面PAC ⊥平面BDE ； （3）求二面角E BD A --的大小。

22. （共12分） 已知在平面直角坐标系xOy 中，动点P 与两定点
(2,0),(2,0)A B -连线的斜率之积为1
2-
，记点P 的轨迹为曲线C 。

（1）求曲线C 的方程；
（2）若过点(1,0)-的直线l 与曲线C 交于,M N 两点，曲线C 上是否存在点E 使得四边形
OMEN 为平行四边形？若存在，求直线l 的方程，若不存在，说明理由。

高二数学答案
1.C
2.C
3.B
4.B
5.A
6.A
7.C
8.C
9.D 10.B 11.A 12.D 13.
3
50
2
y x x y =+-=或 14. 17 15.E 为中点 16.①④⑤ 17.
3
(1)831
2
x
±±±实轴长，虚轴长4，离心率，焦点坐标（2，0），
顶点坐标（4，0），渐近线方程y=
22
(2)8623
3x
±±±实轴长1，虚轴长6，离心率，焦点坐标（0，），
顶点坐标（0，9），渐近线方程y=
18．3m ≤
19.（1）取BD 的中点O ，连接EO 、D 1O ，则OE ∥1D C ，OE ＝
112
D C ．又D 1G ∥DC ，D 1G ＝1
2DC ，
∴OE ∥D 1G ，OE ＝D 1G ，∴四边形OEGD 1是平行四边形，∴GE ∥D 1O ．又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，∴EG ∥平面BB 1D 1D ． （2）
20.(1)
2
2
1
2
y x -= (2)47y x =-
21.(1),(2)证明略（3）34
π
22. 解：（1）设P （x ,y ）,有PA k ·PB k =-12得2y x +·2y
x -=-12得2242
x y +
=1（x ≠±2）∴C 的方程为22
42
x y +
=1（x ≠±2） （2）假设存在符合条件的点E （00x y ，）由题意知直线l 的斜率不为零设直线l 的方程为
x =my 2M 坐标为（11x y ，）、点N 坐标为（22x y ，）由22
1
24
x my x y =-⎧⎨+=⎩得：（2m +2）
2y -2my -3=0,△>0∴1y +2222
m y m =
+则121(x x m y +=+2
)2y -=-24
2m +由四边形OMEN 为平行四边形，得OE OM ON =+∴E （-224222m
m m -++，）
点E 坐标代入C 方程得：4220m m +==0，解得20m =∴此时直线l 的方程为1x =-，但
2x ≠±，所以不存在.。