参数根轨迹的画法规则总结
§4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能
§4.3
§4.3.1 参数根轨迹 —
广义根轨迹
除 K* 之外其他参数变化时系统的根轨迹
例 单位反馈系统开环 G( s )
传递函数 1 1 解. (1) D( s ) s 3 s 2 s a 0
m n
1
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i m
1
— 模值条件 — 相角条件
G( s ) H ( s ) ( s zi ) ( s p j ) 2k
i 1 j 1
绘制零度轨迹的基本法则
法则 1 根轨迹的起点和终点 法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性
d 2 2d d (d 2) 0
d 1 j d 1 j K d1 d 1
d1 2
d2 0
d 2
2
K d2
d 1 j d 1 j d 0 2 d 1
§4.3.2
零度根轨迹（2）
K * ( s 1) 例 系统开环传递函数 G( s ) ,分别绘制 0º 、180º 根轨迹。 3 ( s 3) K * ( s 1) K K * 27 解. G ( s ) ( s 3) 3 v0
i 1 i j
m
(s p )
j 1
n
K * ( s z1 )( s zm ) G( s ) H ( s ) ( s p1 )(s p2 )( s pn )
K * s z1 s zm G( s ) H ( s) K* s p1 s p2 s pn
★ 法则 3 ★ 法则 4 实轴上的根轨迹 渐近线
a
n
p z
i 1 i j 1
n
m
i
nm
a 2k
nm
法则 5 分离点 法则 6 与虚轴交点
★ 法则 7 出射角/入射角
m 1 1 d p i 1 j 1 d z j i
ReD( j ) ImD( j ) 0
① 实轴轨迹：[-∞, -1] ② 出射角： [-1, ∞]
90 90 180
90 90 0
180
③ 分离点： 整理得： 解根：
0
1 1 2(d 1) 1 2 d 1 j d 1 j d 2d 2 d 1
§4.3
广义根轨迹
K
*
§4.3.2 零度根轨迹 —系统实质上处于正反馈时的根轨迹
K * ( s z1 )( s zm ) G( s ) H ( s) ( s p1 )(s p2 )( s pn )
F( s ) 1 G( s ) G( s ) H ( s )
(s z )
ReD( j ) ImD( j ) 0
n m (s p ) (s z ) (2k 1)π i j i1 n j1
i i 1 i
法则 7 出射角/入射角
n
法则 8 根之和
p
i 1
C ( nm 2 )
自动控制原理
§4 根轨迹法
(s a) 4 ，a=0→∞ 变化，绘制根轨迹；x1时， F(s)? 2 s ( s 1)
4
构造 “ 等效开环传递函数 ”
4 G* ( s)
① 实轴根轨迹：[-∞,0]
② 渐近线： ③ 分离点： 整理得：
a4 a4 s 3 s 2 s 4 s( s 0.5) 2
a 1 3
绘制根轨迹的法则
法则 1 根轨迹的起点和终点 法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性 法则 3 实轴上的根轨迹 法则 4 渐近线 法则 5 分离点 法则 6 与虚轴交点
a
n
p z
i 1 i j 1
n
m
i
nm
a
( 2k 1) nm
m 1 1 d p i 1 j 1 d z j i
(1) 绘制 180º 根轨迹
① 实轴上的根轨迹：[-3, -1] ② 出射角：
3 3 3 1 4 ③ 渐近线： a 2 ( 2k 1) a 90 2
3 (2k 1) 2k 1 0, 120
④
d 1 6 2 ad 4 d d 0.5 2 27 与虚轴交点： D( s ) s 3 s 2 s 4 a 4 0
1 2 0 d d 0.5
a 60, 180
3d 0.5 0
ImD( j ) 3 4 0
ReD( j ) 2 a 4 0
1 2
a 1
§4.3.1
参数根轨迹（1）
解. (2) x1 时，对应于分离点 d ，ad=2/27
1 1 2 ( s a ) ( s ) a 2 27 a4 * 4 4 27 G ( s) G( s ) 2 s( s 0.5) 2 s ( s 1) s 2 ( s 1) 1 2 1 2 (s ) (s ) 4 27 27 F( s ) 4 1 2 1 2 s 2 ( s 1) ( s ) ( s ) 2 ( s ) 4 27 6 3
n m (s p ) (s z ) 2k i j i1 j1
法则 8 根之和
i 1
n
i
C
( nm 2 )
§4.3.2
零度根轨迹（1）
例 系统结构图如图所示，K*= 0→∞, 变化,
试分别绘制 0°、180°根轨迹。 K ( s 1) K ( s 1) Kk K 2 解. G ( s ) 2 s 2 s 2 ( s 1 j )( s 1 j ) v0 (2) 0º 根轨迹 (1) 180º 根轨迹
§4.3
§4.3.1 参数根轨迹 —
广义根轨迹
除 K* 之外其他参数变化时系统的根轨迹
例 单位反馈系统开环 G( s )
传递函数 1 1 解. (1) D( s ) s 3 s 2 s a 0
m n
1
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i m
1
— 模值条件 — 相角条件
G( s ) H ( s ) ( s zi ) ( s p j ) 2k
i 1 j 1
绘制零度轨迹的基本法则
法则 1 根轨迹的起点和终点 法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性
d 2 2d d (d 2) 0
d 1 j d 1 j K d1 d 1
d1 2
d2 0
d 2
2
K d2
d 1 j d 1 j d 0 2 d 1
§4.3.2
零度根轨迹（2）
K * ( s 1) 例 系统开环传递函数 G( s ) ,分别绘制 0º 、180º 根轨迹。 3 ( s 3) K * ( s 1) K K * 27 解. G ( s ) ( s 3) 3 v0
i 1 i j
m
(s p )
j 1
n
K * ( s z1 )( s zm ) G( s ) H ( s ) ( s p1 )(s p2 )( s pn )
K * s z1 s zm G( s ) H ( s) K* s p1 s p2 s pn
★ 法则 3 ★ 法则 4 实轴上的根轨迹 渐近线
a
n
p z
i 1 i j 1
n
m
i
nm
a 2k
nm
法则 5 分离点 法则 6 与虚轴交点
★ 法则 7 出射角/入射角
m 1 1 d p i 1 j 1 d z j i
ReD( j ) ImD( j ) 0
① 实轴轨迹：[-∞, -1] ② 出射角： [-1, ∞]
90 90 180
90 90 0
180
③ 分离点： 整理得： 解根：
0
1 1 2(d 1) 1 2 d 1 j d 1 j d 2d 2 d 1
§4.3
广义根轨迹
K
*
§4.3.2 零度根轨迹 —系统实质上处于正反馈时的根轨迹
K * ( s z1 )( s zm ) G( s ) H ( s) ( s p1 )(s p2 )( s pn )
F( s ) 1 G( s ) G( s ) H ( s )
(s z )
ReD( j ) ImD( j ) 0
n m (s p ) (s z ) (2k 1)π i j i1 n j1
i i 1 i
法则 7 出射角/入射角
n
法则 8 根之和
p
i 1
C ( nm 2 )
自动控制原理
§4 根轨迹法
(s a) 4 ，a=0→∞ 变化，绘制根轨迹；x1时， F(s)? 2 s ( s 1)
4
构造 “ 等效开环传递函数 ”
4 G* ( s)
① 实轴根轨迹：[-∞,0]
② 渐近线： ③ 分离点： 整理得：
a4 a4 s 3 s 2 s 4 s( s 0.5) 2
a 1 3
绘制根轨迹的法则
法则 1 根轨迹的起点和终点 法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性 法则 3 实轴上的根轨迹 法则 4 渐近线 法则 5 分离点 法则 6 与虚轴交点
a
n
p z
i 1 i j 1
n
m
i
nm
a
( 2k 1) nm
m 1 1 d p i 1 j 1 d z j i
(1) 绘制 180º 根轨迹
① 实轴上的根轨迹：[-3, -1] ② 出射角：
3 3 3 1 4 ③ 渐近线： a 2 ( 2k 1) a 90 2
3 (2k 1) 2k 1 0, 120
④
d 1 6 2 ad 4 d d 0.5 2 27 与虚轴交点： D( s ) s 3 s 2 s 4 a 4 0
1 2 0 d d 0.5
a 60, 180
3d 0.5 0
ImD( j ) 3 4 0
ReD( j ) 2 a 4 0
1 2
a 1
§4.3.1
参数根轨迹（1）
解. (2) x1 时，对应于分离点 d ，ad=2/27
1 1 2 ( s a ) ( s ) a 2 27 a4 * 4 4 27 G ( s) G( s ) 2 s( s 0.5) 2 s ( s 1) s 2 ( s 1) 1 2 1 2 (s ) (s ) 4 27 27 F( s ) 4 1 2 1 2 s 2 ( s 1) ( s ) ( s ) 2 ( s ) 4 27 6 3
n m (s p ) (s z ) 2k i j i1 j1
法则 8 根之和
i 1
n
i
C
( nm 2 )
§4.3.2
零度根轨迹（1）
例 系统结构图如图所示，K*= 0→∞, 变化,
试分别绘制 0°、180°根轨迹。 K ( s 1) K ( s 1) Kk K 2 解. G ( s ) 2 s 2 s 2 ( s 1 j )( s 1 j ) v0 (2) 0º 根轨迹 (1) 180º 根轨迹
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绘制根轨迹的一般规则
n
s
p
j
2h
1180所规定
i 1
j 1
相角条件的,即开环传递函数的共轭复数极点和零点,
对实轴上根轨迹的位置没有影响.实轴上的根轨迹仅
取决于实轴上的开环极点和零点。
第三节 绘制根轨迹的一般规则
2如果实数开环零点z3位于s1的左方，则向量
s1 z3 0，这说明左侧实数零点的存在并不影响
第三节 绘制根轨迹的一般规则
渐近线与实轴交点
p 1
p 2
p n
z 1
z 2
z m
0
1
2
1
a
nm
3
渐近线与实倾角 2h 1 2h 1 h 0,1,2
a nm
3
h 0时， 180 180 60
1 nm 3
N
s
Ds
N s
Ds
0
显然解方程可求出根轨迹的分离点和会合点。
这个方程怕记混淆，为便于记忆，dGsH s 0 1
ds
对特征方程1 GsH s 0求导，
第三节 绘制根轨迹的一般规则
d1 GsH s dGsH s kNsDs NsDs
当n>m时，有n-m条根轨迹随着k的增大 而趋向无穷，这些趋向无穷远处的根轨迹， 将随着k的无限增大而接近于n-m条直线， 这些直线称为根轨迹的渐近线。渐近线的位 置由以下两个参数确定，即渐近线倾角和渐 近线与实轴的交点。
第三节 绘制根轨迹的一般规则
1.渐近线倾角 a
a
2h 1 h
jw
第2讲 绘制根轨迹的基本规则
证明：（2）对称性
因为特征方程的根或为实数，或为共轭复数，所以根轨迹对 称于实轴。
规则2：根轨迹的分支数及其起点和终点
闭环特征方程：
n
m
s pl K0 s zi 0 (1 GH 0)
l 1
i 1
当K0 由0 变化时，方程中任一根由始点连续地向终点变化
的轨迹称为根轨迹的一条分支；
例1 绘制下图所示系统的根轨迹
解： 1） 有三条根轨迹分支,它们的始点为开环极点(0,-1,-2） 2） 三条根轨迹分支的终点均在无限远
3） 渐近线与正实轴的夹角
2k 1 , , 5 ,
3
33
j j1.414 [s]
k 0,1,2
渐近线与正实轴的交点为
- A
1 3
2
1
4）实轴上的-1 至0和-2至-∞间 的线段为根轨迹
3） 渐近线与正实轴的夹角
2k 1 , , 5 ,
3
33
Im j1.414 [s]
k 0,1,2
渐近线与正实轴的交点为
- A
1 3
2
1
4）实轴上的-1 至0和-2至-∞间 的线段为根轨迹
180
60
2
1 60
0
Re
控制系统方框图
j1.414
❖ n=[1]; ! 分子 1 各项系数 ❖ d1=[1 0]; ! 分母第一项 (s+0) 各项系数 ❖ d2=[1 3 2]; ! 分母第二项( s^2+3s+2) 各项系数 ❖ d=conv(d1,d2); ! 分母二项相乘 ❖ rlocus(n,d); ! 绘制根轨迹 ❖ sgrid; !绘制出阻尼系数和自然频率栅格
例3 已知一单位反馈控制系统的开环传递函数为
根轨迹法的基本法则
为求根轨迹从P3点处的出射角，在其附
近找一个实验点Sa，并认为该点在根轨
迹上，则它应满足幅角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2k 1)
j 1
i 1
P3 s3 a
j j
-1 -2 -3 -4 (2k 1)180o 前提：Sa无限靠近P3
例如，某系统开环零极点分布 如图。现在要判断实轴上的某
P1j 1Fra bibliotek Sai 1
j
点Sa是不是根轨迹上的点. P5 Z2
各开环零、极点的幅角： P2
P4 Z1
P3
0
(sa - z2 ) 0o (sa - p5 ) 0o
(sa - p1) 1 (sa - p2 ) 2
G(s)
K (s 1)
s(s 4)(s2 2s 2)
四个开环极点：0、-1+j、-1-j、-4 一个开环零点：-1
共有四条根轨迹，
实轴上的根轨迹为0→－1 , －4→－∞
渐近线与实轴交点：
n
m
＝
a
i 1
pi z j
j 1
nm
(0) (1
j) (1 4 1
求出重根为： s1、2 = - 2.07
之间找；若求出的重根点在 实轴上但不符合“实轴上根 轨迹”的判断规则就要舍去
法则六 根轨迹的起始角与终止角
复数极点附近根轨迹形态怎样？
在复数极点附近取一个试验点Sa，各零、极点到试 验点Sa的矢量幅角和应满足幅角条件，当Sa点无限 趋近该复数极点时，可求出根轨迹从该点出射方向。
i1
j 1
i1
闭环特征方程的根（即闭环极点）与特征方程的系数关系：
绘制根轨迹的基本法则
4.2 绘制根轨迹的基本法则本节讨论根轨迹增益*K （或开环增益K ）变化时绘制根轨迹的法则。
熟练地掌握这些法则，可以帮助我们方便快速地绘制系统的根轨迹，这对于分析和设计系统是非常有益的。
法则1 根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数m 少于开环极点个数n ，则有)(m n -条根轨迹终止于无穷远处。
根轨迹的起点、终点分别是指根轨迹增益0=*K 和∞→时的根轨迹点。
将幅值条件式（4-9）改写为∏∏∏∏==-==--=--=mi inj j mn m i i nj jsz sp sz s ps K 1111*|1||1||)(||)(|(4-11)可见当s=j p 时，0*=K ；当s=i z 时，∞→*K ；当|s|∞→且m n ≥时，∞→*K 。
法则2 根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数m 、开环极点数n 中的大者相等，根轨迹连续并且对称于实轴。
根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环极点在s 平面上的变化轨迹。
因此，根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一致，即根轨迹分支数等于系统的阶数。
实际系统都存在惯性，反映在传递函数上必有m n ≥。
所以一般讲，根轨迹分支数就等于开环极点数。
实际系统的特征方程都是实系数方程，依代数定理特征根必为实数或共轭复数。
因此根轨迹必然对称于实轴。
由对称性，只须画出s 平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部的根轨迹即可对称画出。
特征方程中的某些系数是根轨迹增益*K 的函数，*K 从零连续变到无穷时，特征方程的系数是连续变化的，因而特征根的变化也必然是连续的，故根轨迹具有连续性。
法则3 实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
设系统开环零、极点分布如图4-5 所示。
图中，0s 是实轴上的点，)3,2,1(=i i ϕ是各开环零点到0s 点向量的相角，)4,3,2,1(=j j θ是各开环极点到0s 点向量的相角。
4-2根轨迹绘制的基本法则
0
0
0
0
0
同学们，头昏了吧？
j
j
j
0
j j 0 0
14
0
2015-1-28
4-2根轨迹绘制的基本法则
作业
• • • • 4 －1 4－3（1）（2） 4—4（1） 4-8(1)
2015-1-28
4-2根轨迹绘制的基本法则
15
4 3 2 * s 5 s 8 s 6 s k 0 2）渐近线。由于n m 4 ，故有四条渐近线， a 1.25 a 45 , 135 应用劳思判据
3）确定分离点。
1 0 i 1 d pi
n
s4 1 s3 5 s 2 34 / 5 s1 (204 25 K * ) / 34 s0 K*
R( s )
K * ( s 1) s( s 2)( s 3)
C ( s)
j
a (2k 1)180o / (3 1) 90o
a (0 2 3) (1) / (3 1) 2
（4）分离点（用试探法求解）
1 1 1 1 d 1 d d 2 d 3 d 2.47
5)利用模值条件，可得分离点的根轨迹增益
2 4 . 75 7 . 25 K d* i 1 16.37 |d z| 15 .25 i
| d p |
3
所以，当
2015-1-28
K * 16.37
系统输出产生振荡
4-2根轨迹绘制的基本法则 13
根轨迹示例
j
j j 0
j
j j
4-2根轨迹绘制的基本法则
12
例子4-5 P150
解:1) m=1,n=3, K * (s 20) G( s) z1=-20,p1=0,p2=p3=-12, 2 s ( s 24 s 144 ) 2）实轴上0--12 ,-12--20 必为根轨迹。 3）渐近线。n-m=2 故有2条渐近线. 180 12 12 (20) 90 2 2 2 1 2 1 4）确定分离点。 d d 12 d 20 试探法：d=-4.75
4-2 绘制根轨迹的基本法则.
6
证明：角度的简单证明
sK 无穷远处的一个闭环特征根
与有限零点和有限极点所成
角度相同，都设为
a a
a atga
相角条件
ma na (2k 1)
a
(2k 1)
mn
根轨迹对称于实轴，也可写为
(2k 1)
nm
交角有n-m个，交点只有一个
7
【例4.2.1】一个系统开环传递函数为
135
根轨迹的复平面部分是以 零点到分离点距离为半径 的圆周的一部分
Imaginary Axis
例4.2.3 2.5
2
1.5
1
135°
0.5
d=-3.414
p1=-1+j
0
z1=-2
-0.5
p2=-1-j
-1
-1.5
-2
-2.5
-4
-3
-2
-1
0
1
Real Axis
23
法则7：根轨迹与虚轴的交点
j
j 1
i 1
s z1 s z2 360 或0 s z1 s p1
s p1 s p2 360 或0
z1
p1
s p3 180 s z3 0
z3
z2
s
p3 0
s p2
s z2 p2
5
开环零点用○表示
一条根轨迹起于p1, 终止于z1
其他三条终止于无 穷远处
Imaginary Axis
=-1.67
p3=-1+j
0
p2=-4
z1=-1 p1=0 p4=-1-j
42 绘制根轨迹的基本原则
例：开环传递函数为 GK ( s ) 并计算临界开环增益。 K ,试 求 根 轨 迹 和 虚 轴 的点 交， s( s 1)(s 2)
解：（ 1） 把s j代 入1 G ( s ) H ( s ) 0得1 G （ j ） H ( j ) 0 令 Re[ 1 G （ jω） H（jω） ] 0， Im [ 1 G ( jω)H ( jω)] 0解 得及K c jω 3 3ω 2 j 2ω K 0 K 3ω 2 0 ω 3 2ω 0 由此解得 ω1 0 ω2 3 2 rad S K C 6
s1 4 2 2 1.172 分离点
s1 4－2 2 6.828
会合点
(s 4) - s - (s 2) 180
在复平面上，s j ，于是得
( j 4) - ( j) - ( j 2) 180
即
9.闭环极点的和与积 s n a n -1s n -1 a1s a 0 0 设根为s1 , s 2 ,, s n , 则有 (s - s1 )(s - s 2 ) (s - s n ) 0 由代数方程根与系数的 关系, 有
s
i 1
n
i
-an -1
( si ) a 0
K K GK ( s) s(0.5s 1) s( s 2)
解：（1）起点：有两个开环极点，所以起点为
s1 ＝0 ，s2 ＝ －2 。
（2）终点：因没有有限零点，所以两条根轨迹都将趋于无穷远。 （3）实轴上的根轨迹：根据法则4，根轨迹存在的区间为［－2，0］。
（4）计算分离点：将 N(s) ＝ 1，D(s)＝s(s＋2) 代入分离点计算公式
解：（ 1） 把s j代 入1 G ( s ) H ( s ) 0得1 G （ j ） H ( j ) 0 令 Re[ 1 G （ jω） H（jω） ] 0， Im [ 1 G ( jω)H ( jω)] 0解 得及K c jω 3 3ω 2 j 2ω K 0 K 3ω 2 0 ω 3 2ω 0 由此解得 ω1 0 ω2 3 2 rad S K C 6
s1 4 2 2 1.172 分离点
s1 4－2 2 6.828
会合点
(s 4) - s - (s 2) 180
在复平面上，s j ，于是得
( j 4) - ( j) - ( j 2) 180
即
9.闭环极点的和与积 s n a n -1s n -1 a1s a 0 0 设根为s1 , s 2 ,, s n , 则有 (s - s1 )(s - s 2 ) (s - s n ) 0 由代数方程根与系数的 关系, 有
s
i 1
n
i
-an -1
( si ) a 0
K K GK ( s) s(0.5s 1) s( s 2)
解：（1）起点：有两个开环极点，所以起点为
s1 ＝0 ，s2 ＝ －2 。
（2）终点：因没有有限零点，所以两条根轨迹都将趋于无穷远。 （3）实轴上的根轨迹：根据法则4，根轨迹存在的区间为［－2，0］。
（4）计算分离点：将 N(s) ＝ 1，D(s)＝s(s＋2) 代入分离点计算公式
2绘制根轨迹的基本法则
K
g
s ( s + 1 )( s + 5 )
，试确定根轨
上例已经确定了渐近线、实轴上的根轨迹段和分离（会合）点等， 下面确定根轨迹与虚轴的交点。
方法一：闭环特征方程： 3 + 6s 2 + 5s + K g = 0 ，令 s = jω 代入闭环特 s 征方程 ( jω ) 3 + 6( jω ) 2 + 5( jω ) + K g = 0 分解为实部和虚部： K g − 6ω 2 ) + j (5ω − ω 3 ) = 0 ( K g − 6ω 2 = 0 ω = 1,± 5 于是有： ，显然交点为 ⇒ 3 K g = 0,30 5ω − ω = 0 方法二：构造劳斯表
根据根轨迹相角条件可以写出的方向角其它各极点指向的方向角各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向考虑到k的取值为所以上式可以写成为
4.2 绘制根轨迹的基本法则
一、 180°根轨迹作图法则
法则1：根轨迹的起点和终点 根轨迹的起点是指根轨迹增益 K g = 0 时，闭环极点在s平面上的位置， K g时闭环极点在s平面上的位置。 =∞ 而根轨迹的终点则是指 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 ），而终止于开环零点 法则2：根轨迹的连续性和对称性 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 法则3：根轨迹的分支数 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数 和 的大者 的大者。 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数m和n的大者。 法则4：根轨迹的渐近线 当系统的开环增益Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条，n-m条 根轨迹趋向无穷远的方位由渐近线决定。
g
s ( s + 1 )( s + 5 )
，试确定根轨
上例已经确定了渐近线、实轴上的根轨迹段和分离（会合）点等， 下面确定根轨迹与虚轴的交点。
方法一：闭环特征方程： 3 + 6s 2 + 5s + K g = 0 ，令 s = jω 代入闭环特 s 征方程 ( jω ) 3 + 6( jω ) 2 + 5( jω ) + K g = 0 分解为实部和虚部： K g − 6ω 2 ) + j (5ω − ω 3 ) = 0 ( K g − 6ω 2 = 0 ω = 1,± 5 于是有： ，显然交点为 ⇒ 3 K g = 0,30 5ω − ω = 0 方法二：构造劳斯表
根据根轨迹相角条件可以写出的方向角其它各极点指向的方向角各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向考虑到k的取值为所以上式可以写成为
4.2 绘制根轨迹的基本法则
一、 180°根轨迹作图法则
法则1：根轨迹的起点和终点 根轨迹的起点是指根轨迹增益 K g = 0 时，闭环极点在s平面上的位置， K g时闭环极点在s平面上的位置。 =∞ 而根轨迹的终点则是指 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 ），而终止于开环零点 法则2：根轨迹的连续性和对称性 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 法则3：根轨迹的分支数 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数 和 的大者 的大者。 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数m和n的大者。 法则4：根轨迹的渐近线 当系统的开环增益Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条，n-m条 根轨迹趋向无穷远的方位由渐近线决定。
根轨迹绘制的基本法则
i =1
m
(1− qz j ) = 0
j =1
m
当 K → 时，等价方程为： qn−m (1− qz j ) = 0 j =1
qi = 0, i = 1, 2, n − m
qj
=
1 zj
,
j = 1, 2,
m
上述等价方程的根对应于
si → , i = 1, 2, n − m s j = z j , j = 1, 2, m
第四章 根轨迹法（第二讲）
绘制根轨迹的基本法则
1
根轨迹法则介绍
1、首先讨论负反馈系统在开环增益 K 或根轨迹增益 K 变 化时的根轨迹的绘制法则，又称常规根轨迹的绘制法则; 2、当其他参数变化时，只要适当变换，常规根轨迹的法 则仍然可用；
3、虽然用这些法则绘制的根轨迹不够精确，但基本可以 满足工程上的应用；
i =1
s = pi , i = 1, 2, n
即当根轨迹增益为零时，开环极点就是闭环极点，所以，根轨迹
起始于开环极点。
5
(2) 根轨迹的终点
n
m
(s − pi ) + K (s − z j ) = 0
i =1
j =1
令s = 1， 得等价方程： q
1 K
n
(1− qpi ) + qn−m
R(s)
0 K
1. 根轨迹的分支数等于特征方程的阶数
C(s) G(s)
H (s)
当开环根轨迹增益变化时，共有n个极点在复平面上移动， 共形成n条轨迹。所以，根轨迹的分支数等于开环极点的个数。
2. 根轨迹是连续的且对称于实轴
在开环零、极点确定的情况下，闭环特征根是开环根轨迹 增益的连续函数。由于特征方程的系数是实数，所以特征根或 是实数，或是共轭复数，即根轨迹对称于实轴。
m
(1− qz j ) = 0
j =1
m
当 K → 时，等价方程为： qn−m (1− qz j ) = 0 j =1
qi = 0, i = 1, 2, n − m
qj
=
1 zj
,
j = 1, 2,
m
上述等价方程的根对应于
si → , i = 1, 2, n − m s j = z j , j = 1, 2, m
第四章 根轨迹法（第二讲）
绘制根轨迹的基本法则
1
根轨迹法则介绍
1、首先讨论负反馈系统在开环增益 K 或根轨迹增益 K 变 化时的根轨迹的绘制法则，又称常规根轨迹的绘制法则; 2、当其他参数变化时，只要适当变换，常规根轨迹的法 则仍然可用；
3、虽然用这些法则绘制的根轨迹不够精确，但基本可以 满足工程上的应用；
i =1
s = pi , i = 1, 2, n
即当根轨迹增益为零时，开环极点就是闭环极点，所以，根轨迹
起始于开环极点。
5
(2) 根轨迹的终点
n
m
(s − pi ) + K (s − z j ) = 0
i =1
j =1
令s = 1， 得等价方程： q
1 K
n
(1− qpi ) + qn−m
R(s)
0 K
1. 根轨迹的分支数等于特征方程的阶数
C(s) G(s)
H (s)
当开环根轨迹增益变化时，共有n个极点在复平面上移动， 共形成n条轨迹。所以，根轨迹的分支数等于开环极点的个数。
2. 根轨迹是连续的且对称于实轴
在开环零、极点确定的情况下，闭环特征根是开环根轨迹 增益的连续函数。由于特征方程的系数是实数，所以特征根或 是实数，或是共轭复数，即根轨迹对称于实轴。
4.2.14.2根轨迹绘制的基本法则学习资料
3条渐近线与正实轴的夹角分别为
a
（2k 1）
30
60, 60, 180,
k 0, 1, 2
画出系统根轨迹的渐近线如图所示。
j j4
j3
j2
180 60
j
4 3 7 3
60 0 j
j2
j3
j4
4.2 根轨迹绘制的基本法则
法则5 根轨迹的分离点和会合点（特征方程的重根点） （1）若实轴两相邻开环极点之间有根轨迹: 该区段必有分离点;若实轴两相邻开环零点之
的值，分离角为 （2k 1） / l
j
b
a
z1 p1
p2 0
4.2 根轨迹绘制的基本法则
例4-3 考虑例4-2中的开环传递函数
G(s)H (s)
K*
s(s 3)(s 4)
1 1 1 0 d d 3 d 4
3d 2 14d 12 0
7 13
7 13
d1 3 3.5352 , d2 3 1.1315
根 轨 迹 实 轴 区 段:[3,0 ]
4.2 根轨迹绘制的基本法则
（5）根轨迹的分离点与分离角
根轨迹实轴区段[3,0]必有分离点,
1 1
1
1
0
d d 3 d 2 j d 2 j
d 1.1104（其他不在[3,0]，舍去）
分离角为直角。
（6）根轨迹的起始角
根 轨 迹在 开 环 极 点p1 2 j2的起 始角:
求 得 交 点 坐 标 和 相 应K *值 。
例4-5 已知开环传递函数
G(s)H (s)
K*
s(s 3)(s 4)
闭环特征方程：s3 7s2 12s K * 0
方法1：