根轨迹绘制的基本准则(二)
Gk ( s)
k g ( s a) s( s 2)(s 3)
k g kA，a 1/ A
根据A的取值范围的不同，有以下两种情况： A>0时，kg>0，应选择180o等相角根轨迹的绘制规则进行 绘制。 A<0 时，kg<0 ，应选择0o等相角根轨迹的绘制规则进行绘 制。
本节小结
+
G (s)
Y ( s)
H ( s)
0<=kg<+∞时为180o等相角根轨迹，-∞<kg<0时为0o等相角根 轨迹。但是对于如图所示的正反馈环节，其结论是相反的。
正反馈环节的闭环特征方程为： 1 G( s ) H ( s) 0
根轨迹方程为：
k g (s z j )
j 1 m
R( s) +
j 1 j i 1
m
当-∞<kg<0时，根轨迹的幅值条件和相角条件为：
| k g | (s z j )
j 1
m
k g (s z j )
j 1
m
(s pi )
m
i 1
n
1
n
( s pi )
i 1
n
1
1 ， 2， (s z ) (s p ) (2k 1)，k 0，
+
G (s)
Y ( s)
H ( s)
( s pi )
i 1
m
n
1
可见，当0<=kg<+∞时，根轨迹的幅值条件和相角条件为：
k g (s z j )
j 1
(s p )iBiblioteka i 1n1n
应当按照0o等相角根轨迹的绘 制规则绘制根轨迹。
i
1 ， 2， (s z ) (s p ) 2k，k 0，
kg
E ( s)
G (s)
Y ( s)
(s z
j 1 n i
m
H ( s)
j
) 1
(s p )
i 1
1 ， 2， (s z ) (s p ) 2k，k 0，
j 1 j i 1 i
m
n
与180 等相角根轨迹的幅值条件和相角条件相比较，两 者的幅值条件相同，而相角条件不同。与相角条件有关的一 些规则是不同的，需要调整。
s( s 2 n s n )
2 2
g2
在绘制根轨迹时，如果没有特别指明，一般认为是绘制负 反馈控制系统的根轨迹图，根轨迹增益kg作为参变数，且大 于零。
例4.2.6 系统的开环传递函数为： k ( As 1) Gk ( s ) s( s 2)(s 3) k作为参变量，且k≥0。当A取不同值时，应当如何选择绘 制根轨迹的规则？
i 1 j 1 n 1
m
1
p ( s ze j )
(s pe )
i i 1
j 1 n
1
上式称为等效根轨迹方程。其等式左边部分相当于某一等 效系统的开环传递函数，参变量p称为等效根轨迹增益。pei和 zej分别称为等效开环零点和开环极点。
等效开环零点和开环极点与原系统 的开环零点和开环极点是不同的。 等效系统与原系统具有相同的闭环 极点。
k (1 2s) ,k 0 例如： ( s 2)(s 3)
k (s 2 3s 2) ，k 0 2 2 s(s 2 n s n )
在绘制根轨迹时，应将它们转换为零、极点形式： k g1 (s 0.5) ，k g1 2k 0 由于kg1和kg2小于零，所 (s 2)(s 3) o根轨迹绘制 以应采用 0 k g 2 ( s 2 3s 2) ，k k 0 规则进行绘制
pk ( pk z j ) ( pk pi )
j 1 i 1 ik
m
n
根轨迹上开环极点-zk处的入射角为:
zk ( zk z j ) ( zk pi )
j 1 j k i 1
m
n
4.2.3
参量根轨迹
上面介绍的根轨迹的基本绘制规则，是以根轨迹增益kg作 为参变量而得出的，这种情况在实际系统中是最常见的。但有 时也需要绘制除根轨迹增益kg之外的其它参量（比如时间常数， 反馈系数，开环零点和极点等）作为参变量时的根轨迹。这种 根轨迹称为参量根轨迹，又称为广义根轨迹。
负反馈控制系统的方块图为：
R( s) +
-
开环传递函数为：
E ( s)
G (s)
Y ( s)
Gk ( s )
H ( s)
kg ( s z j)
j 1
m
(s p )
i i 1
n
假设取其中一个开环极点p作为参变量，kg为常量。下面讨 论p作为参变量实根轨迹的画法。系统的闭环特征方程为：
以闭环特征方程中不含参量p的各项除以特征方程，
得等效系统的根轨迹方程。该方程中原系统的参变量p 即为等效系统的根轨迹增益。 根据已有的根轨迹绘制规则，可绘制等效系统的根 轨迹，即为原系统的参量根轨迹。
4.2.4
关于180o和0o等相角根轨迹的几个问题
正反馈环节的根轨迹
上面所介绍的180o和0o等相 R( s) + 角根轨迹的绘制规则是以负反馈 控制系统为基础，根据根轨迹增 益kg为正或者为负，应用根轨迹 方程的不同相角条件进行推导的。
kg (s z j ) ( s p) ( s pi )
i 1 j 1 n 1 m
1
变形得：
n 1 i 1
p ( s pi )
i 1 m j 1
n 1
s ( s pi ) k g ( s z j )
n 1
1
kg (s z j ) ( s p) ( s pi )
4.2
绘制根轨迹的基本规则（之二）
4.2.1
4.2.2 4.2.3
180°等相角根轨迹的绘制规则
0°等相角根轨迹的绘制规则 参量根轨迹
4.2.4
关于180°和0°等相角根轨迹的几个问题
4.2.2
0o等相角根轨迹的绘制规则
R( s) +
-
当根轨迹增益kg为负数(∞<kg<0)时，这时绘制的根轨迹 o 称为0 等相角根轨迹。根轨迹满 足的幅值条件和相角条件如下:
o
需要调整的规则：
根轨迹的渐近线
2k , k 0,1,2,...n m 1 渐近线的倾角为： nm 渐近线与实轴的交点：不变
实轴上的根轨迹
实轴上的某一区域，若其右方开环零点和极点个数之 和为偶数（包括0），则该区域必是根轨迹。
渐近线的出射角和入射角 根轨迹上开环极点-pk处的出射角为:
解： 当A=0时，系统的开环传递函数为： kg k Gk ( s) s( s 2)(s 3) s( s 2)(s 3) 由于kg=k≥0，所以应当选择180o等相角根轨迹的绘制规则 进行绘制。
当A≠0时，系统的开环传递函数为： k g ( s a) kA( s 1/ A) Gk ( s) s( s 2)(s 3) s( s 2)(s 3) 其中：kg kA，a 1/ A
p ( s ze j )
n 1
(s pe )
i i 1
j 1 n
1
可以用上面介绍的基本规则绘制等效根轨迹增益从 p=0到p=±∞变化时等效系统的根轨迹。由于等效系 统与原系统有相同的闭环极点，故该根轨迹就是原系 统参量的参量根轨迹。
绘制参量根轨迹的步骤 列出原系统的闭环特征方程。
j 1 j i 1 i
应当按照180o等相角根轨迹的绘制规则绘制根轨迹。 因此，在绘制正反馈和负反馈控制系统的根轨迹时，应 该注意这种区别。
绘制根轨迹时，应将开环传递函数写成零极点形式 有些控制系统虽然是负反馈结构，但在其开环传递函数的 分子或分母多项式中，s的最高次幂项的系数为负，使系统具 有正反馈的性质。
•
0o等相角根轨迹的绘制规则 与180o等相角根轨迹的绘制规则的不同之处（相角条 件不同，与相角条件有关的规则变化了）
•
•
参量根轨迹的绘制步骤
关于180o和0o根轨迹的几个问题 正反馈环节根轨迹的绘制（与负反馈系统根轨迹的 不同）
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2第二节根轨迹绘制的基本准则
实轴上的会合点和分离点
5、根轨迹的会合点和分离点： 若干根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为分 离点或会合点。 如图所示某系统的根轨迹，由开环 极点 p1 , p2 出发的两支根轨迹， 随着 K g的增大在实轴上A点相遇再 Kg 0 Kg Kg Kg 0 分离进入复平面。随着 K g的继续增 2 p B A p1 z 大，又在实轴上B点相遇并分别沿 实轴的左右两方运动。当 K g 时，一支根轨迹终止于 z , 另一支 走向 。A、B点称为根轨迹在实 轴上的分离点和会合点。
根轨迹的支数和起始点
绘制根轨迹的基本准则
1、根轨迹的支数： n阶特征方程有n个根。当 K g 从0到无穷大变化时，n个根在 复平面内连续变化组成n支根轨迹。即根轨迹的支数等于系统阶 数。 2、根轨迹的起点和终点： m 根轨迹方程为： ( s zi )
(s p j ) j 1
i 1 n
实轴上的会合点和分离点
5、根轨迹的会合点和分离点： 若干根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为分 离点或会合点。
Kg
Kg
B
z
p
Kg 0
2
Kg 0
A p1
一般说来，若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹，则这两 相邻极点之间必有分离点； 如果实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷远零点）之间 有根轨迹，则这相邻零点之间必有会合点。 如果实轴上根轨迹在开环零点与开环极点之间，则它们之间 可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会合点。
注意：由上式可求得的点是分离点和会合点必要条件，还需求 出这些点对应的增益，若增益为大于零的实数，则所求出的点 为分离会合点。
第2讲 绘制根轨迹的基本规则
证明：（2）对称性
因为特征方程的根或为实数，或为共轭复数，所以根轨迹对 称于实轴。
规则2：根轨迹的分支数及其起点和终点
闭环特征方程：
n
m
s pl K0 s zi 0 (1 GH 0)
l 1
i 1
当K0 由0 变化时，方程中任一根由始点连续地向终点变化
的轨迹称为根轨迹的一条分支；
例1 绘制下图所示系统的根轨迹
解： 1） 有三条根轨迹分支,它们的始点为开环极点(0,-1,-2） 2） 三条根轨迹分支的终点均在无限远
3） 渐近线与正实轴的夹角
2k 1 , , 5 ,
3
33
j j1.414 [s]
k 0,1,2
渐近线与正实轴的交点为
- A
1 3
2
1
4）实轴上的-1 至0和-2至-∞间 的线段为根轨迹
3） 渐近线与正实轴的夹角
2k 1 , , 5 ,
3
33
Im j1.414 [s]
k 0,1,2
渐近线与正实轴的交点为
- A
1 3
2
1
4）实轴上的-1 至0和-2至-∞间 的线段为根轨迹
180
60
2
1 60
0
Re
控制系统方框图
j1.414
❖ n=[1]; ! 分子 1 各项系数 ❖ d1=[1 0]; ! 分母第一项 (s+0) 各项系数 ❖ d2=[1 3 2]; ! 分母第二项( s^2+3s+2) 各项系数 ❖ d=conv(d1,d2); ! 分母二项相乘 ❖ rlocus(n,d); ! 绘制根轨迹 ❖ sgrid; !绘制出阻尼系数和自然频率栅格
例3 已知一单位反馈控制系统的开环传递函数为
4-2根轨迹绘制的基本法则
0
0
0
0
0
同学们，头昏了吧？
j
j
j
0
j j 0 0
14
0
2015-1-28
4-2根轨迹绘制的基本法则
作业
• • • • 4 －1 4－3（1）（2） 4—4（1） 4-8(1)
2015-1-28
4-2根轨迹绘制的基本法则
15
4 3 2 * s 5 s 8 s 6 s k 0 2）渐近线。由于n m 4 ，故有四条渐近线， a 1.25 a 45 , 135 应用劳思判据
3）确定分离点。
1 0 i 1 d pi
n
s4 1 s3 5 s 2 34 / 5 s1 (204 25 K * ) / 34 s0 K*
R( s )
K * ( s 1) s( s 2)( s 3)
C ( s)
j
a (2k 1)180o / (3 1) 90o
a (0 2 3) (1) / (3 1) 2
（4）分离点（用试探法求解）
1 1 1 1 d 1 d d 2 d 3 d 2.47
5)利用模值条件，可得分离点的根轨迹增益
2 4 . 75 7 . 25 K d* i 1 16.37 |d z| 15 .25 i
| d p |
3
所以，当
2015-1-28
K * 16.37
系统输出产生振荡
4-2根轨迹绘制的基本法则 13
根轨迹示例
j
j j 0
j
j j
4-2根轨迹绘制的基本法则
12
例子4-5 P150
解:1) m=1,n=3, K * (s 20) G( s) z1=-20,p1=0,p2=p3=-12, 2 s ( s 24 s 144 ) 2）实轴上0--12 ,-12--20 必为根轨迹。 3）渐近线。n-m=2 故有2条渐近线. 180 12 12 (20) 90 2 2 2 1 2 1 4）确定分离点。 d d 12 d 20 试探法：d=-4.75
4-2根轨迹绘制的基本原则-2
j i
j 1
j i
其中： z j zi 为零点到此零点连线与正实轴的夹角，
p z 为极点到此零点连线与正实轴的夹角
j i
2015/12/27
18
【例4-7】如图，试确定根轨迹离开复数共轭极点的起始角。
p1 1 j1, p2 1 j1, p3 0, p4 3, z 2
分别始于0，-2，-3； 终于-1和两个无限零点。
(3)有
2
条渐近线：
-3
-2
-1
0
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
(0 2 3) (1) 2 3 1
2015/12/27
( 2k 1) 3 ， nm 2 2
13
(4).实轴上 [-3，-2] 内有一分离点 d ：
2015/12/27
23
(3)分离点：
1 1 1 1 0 d d 3 d 1 j d 1 j
可求得 d 2.3
(4)极点-p3的起始角 3 ：不难求得极点-p1、 -p2、 -p4到-p3的 幅角分别 135 、 18 .4 、90 . 所以 3 180(2k 1) (135 18.4 90) 71.6
终止于无穷远点 ( 称为无限零点 ) 。
3．m>n,即开环零点数大于开环极点数时，除有n条根轨迹起始于开环 极点(称为有限极点)外，还有m-n条根轨迹
起始于无穷远点 ( 称为无限极点) 。这种情况在实际的物理系统中 虽不会出现，但在参数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函数中。
2015/12/27
3
：取k＝0，1，2，得到
第2讲根轨迹绘制的基本原则
解：开环零点为-1.5，-2+j，-2-j 开环极点为 0，-2.5，-0.5+j1.5，-0.5-j1.5
1). 实轴上(-，-2.5]，[-1.5，0]为根轨迹
2). 根轨迹有4条分支： 始于0，-2.5， -0.5+j1.5，-0.5-j1.5； 终于-1.5，-，-2+j，-2-j；
3). 无分离点。
求K1 =8.16得，再根据行s2系数得到辅助方程：
34 5
s2
K1
0
令 s j
得： 1.1
[例]开环传递函数为：
的交点和 K gp 。
Gk(s)s(s1K)g(s5)，试求根轨迹与虚轴
方法一：闭环系统的特征方程为：
F ( s ) s ( s 1 )s ( 5 ) K g s 3 6 s 2 5 s K g 0
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
p3
根据对称性，可知 p2 点的出射角为：2c 26.6
请根据相角条件自行计算。
[注意]： 相角要注意符号：逆时针为正，顺时针为负。
注意矢量的方向。p 2 p 1 , p 1
例.设系统开环传递函数为：
G (s) K *(s 1 .5 )s(2j)s(2j) s(s2 .5 )s( 0 .5j1 .5 )s( 0 .5j1 .5 )
所以 3 1 ( 2 k 8 1 ) 0 ( 1 1 3 . 4 8 5 9 ) 0 7 . 6 1
同理不难求得极点-p4处的起始角：4 71.6 终止角在无穷远处。
(5) 根轨迹与虚轴的交点： 方法一：由特征方程求
特征方程 ：s4 5 s3 8 s26 sK 10
s j (4 82 K 1) j(-5 3 6) 0
1). 实轴上(-，-2.5]，[-1.5，0]为根轨迹
2). 根轨迹有4条分支： 始于0，-2.5， -0.5+j1.5，-0.5-j1.5； 终于-1.5，-，-2+j，-2-j；
3). 无分离点。
求K1 =8.16得，再根据行s2系数得到辅助方程：
34 5
s2
K1
0
令 s j
得： 1.1
[例]开环传递函数为：
的交点和 K gp 。
Gk(s)s(s1K)g(s5)，试求根轨迹与虚轴
方法一：闭环系统的特征方程为：
F ( s ) s ( s 1 )s ( 5 ) K g s 3 6 s 2 5 s K g 0
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
p3
根据对称性，可知 p2 点的出射角为：2c 26.6
请根据相角条件自行计算。
[注意]： 相角要注意符号：逆时针为正，顺时针为负。
注意矢量的方向。p 2 p 1 , p 1
例.设系统开环传递函数为：
G (s) K *(s 1 .5 )s(2j)s(2j) s(s2 .5 )s( 0 .5j1 .5 )s( 0 .5j1 .5 )
所以 3 1 ( 2 k 8 1 ) 0 ( 1 1 3 . 4 8 5 9 ) 0 7 . 6 1
同理不难求得极点-p4处的起始角：4 71.6 终止角在无穷远处。
(5) 根轨迹与虚轴的交点： 方法一：由特征方程求
特征方程 ：s4 5 s3 8 s26 sK 10
s j (4 82 K 1) j(-5 3 6) 0
4-2 绘制根轨迹的基本法则.
6
证明：角度的简单证明
sK 无穷远处的一个闭环特征根
与有限零点和有限极点所成
角度相同，都设为
a a
a atga
相角条件
ma na (2k 1)
a
(2k 1)
mn
根轨迹对称于实轴，也可写为
(2k 1)
nm
交角有n-m个，交点只有一个
7
【例4.2.1】一个系统开环传递函数为
135
根轨迹的复平面部分是以 零点到分离点距离为半径 的圆周的一部分
Imaginary Axis
例4.2.3 2.5
2
1.5
1
135°
0.5
d=-3.414
p1=-1+j
0
z1=-2
-0.5
p2=-1-j
-1
-1.5
-2
-2.5
-4
-3
-2
-1
0
1
Real Axis
23
法则7：根轨迹与虚轴的交点
j
j 1
i 1
s z1 s z2 360 或0 s z1 s p1
s p1 s p2 360 或0
z1
p1
s p3 180 s z3 0
z3
z2
s
p3 0
s p2
s z2 p2
5
开环零点用○表示
一条根轨迹起于p1, 终止于z1
其他三条终止于无 穷远处
Imaginary Axis
=-1.67
p3=-1+j
0
p2=-4
z1=-1 p1=0 p4=-1-j
第4章根轨迹法(2)
自动控制原理
第四章 根轨迹法
Chapter 4 ROOT LOCUS
大连民族学院机电信息工程学院
College of Electromechanical ＆ Information Engineering
自动控制原理
4.2
绘制根轨迹的基本法则
根轨迹分支数、 根轨迹分支数、起点和终点 实轴上的根轨迹 根轨迹的连续性和对称性 根轨迹的渐近线 根轨迹的分离点和汇合点 根轨迹的起始角和终止角 根轨迹与虚轴的交点 闭环特征方程根之和与根之积
点或零点所提供的幅角为180°；
s1左边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为0°。
大连民ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学院机电信息工程学院
自动控制原理
已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。
K ( s + 1)( s + 4)( s + 6) G( s) = s 2 ( s + 2)( s + 3)2
[-1，-2] 右侧实零、极点数=3。 [-4，-6] 右侧实零、极点数=7。
i =1 i =1
σa＝i=1
∑p −∑z
i
n
m
n−m
i=1
i
=
0+(−4)+(−2)＋−2) ( =−2 4
大连民族学院机电信息工程学院
自动控制原理
K* G( s) H ( s) = s( s + 4)( s 2 + 4 s + 20)
根据规则6 求根轨迹的分离点
1 + G(s)H(s) = 1 + K* =0 2 s(s + 4)(s + 4s + 20)
±(2k + 1)π φb = l
第四章 根轨迹法
Chapter 4 ROOT LOCUS
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自动控制原理
4.2
绘制根轨迹的基本法则
根轨迹分支数、 根轨迹分支数、起点和终点 实轴上的根轨迹 根轨迹的连续性和对称性 根轨迹的渐近线 根轨迹的分离点和汇合点 根轨迹的起始角和终止角 根轨迹与虚轴的交点 闭环特征方程根之和与根之积
点或零点所提供的幅角为180°；
s1左边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为0°。
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自动控制原理
已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。
K ( s + 1)( s + 4)( s + 6) G( s) = s 2 ( s + 2)( s + 3)2
[-1，-2] 右侧实零、极点数=3。 [-4，-6] 右侧实零、极点数=7。
i =1 i =1
σa＝i=1
∑p −∑z
i
n
m
n−m
i=1
i
=
0+(−4)+(−2)＋−2) ( =−2 4
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自动控制原理
K* G( s) H ( s) = s( s + 4)( s 2 + 4 s + 20)
根据规则6 求根轨迹的分离点
1 + G(s)H(s) = 1 + K* =0 2 s(s + 4)(s + 4s + 20)
±(2k + 1)π φb = l
2绘制根轨迹的基本法则
K
g
s ( s + 1 )( s + 5 )
，试确定根轨
上例已经确定了渐近线、实轴上的根轨迹段和分离（会合）点等， 下面确定根轨迹与虚轴的交点。
方法一：闭环特征方程： 3 + 6s 2 + 5s + K g = 0 ，令 s = jω 代入闭环特 s 征方程 ( jω ) 3 + 6( jω ) 2 + 5( jω ) + K g = 0 分解为实部和虚部： K g − 6ω 2 ) + j (5ω − ω 3 ) = 0 ( K g − 6ω 2 = 0 ω = 1,± 5 于是有： ，显然交点为 ⇒ 3 K g = 0,30 5ω − ω = 0 方法二：构造劳斯表
根据根轨迹相角条件可以写出的方向角其它各极点指向的方向角各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向考虑到k的取值为所以上式可以写成为
4.2 绘制根轨迹的基本法则
一、 180°根轨迹作图法则
法则1：根轨迹的起点和终点 根轨迹的起点是指根轨迹增益 K g = 0 时，闭环极点在s平面上的位置， K g时闭环极点在s平面上的位置。 =∞ 而根轨迹的终点则是指 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 ），而终止于开环零点 法则2：根轨迹的连续性和对称性 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 法则3：根轨迹的分支数 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数 和 的大者 的大者。 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数m和n的大者。 法则4：根轨迹的渐近线 当系统的开环增益Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条，n-m条 根轨迹趋向无穷远的方位由渐近线决定。
g
s ( s + 1 )( s + 5 )
，试确定根轨
上例已经确定了渐近线、实轴上的根轨迹段和分离（会合）点等， 下面确定根轨迹与虚轴的交点。
方法一：闭环特征方程： 3 + 6s 2 + 5s + K g = 0 ，令 s = jω 代入闭环特 s 征方程 ( jω ) 3 + 6( jω ) 2 + 5( jω ) + K g = 0 分解为实部和虚部： K g − 6ω 2 ) + j (5ω − ω 3 ) = 0 ( K g − 6ω 2 = 0 ω = 1,± 5 于是有： ，显然交点为 ⇒ 3 K g = 0,30 5ω − ω = 0 方法二：构造劳斯表
根据根轨迹相角条件可以写出的方向角其它各极点指向的方向角各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向考虑到k的取值为所以上式可以写成为
4.2 绘制根轨迹的基本法则
一、 180°根轨迹作图法则
法则1：根轨迹的起点和终点 根轨迹的起点是指根轨迹增益 K g = 0 时，闭环极点在s平面上的位置， K g时闭环极点在s平面上的位置。 =∞ 而根轨迹的终点则是指 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 ），而终止于开环零点 法则2：根轨迹的连续性和对称性 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 法则3：根轨迹的分支数 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数 和 的大者 的大者。 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数m和n的大者。 法则4：根轨迹的渐近线 当系统的开环增益Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条，n-m条 根轨迹趋向无穷远的方位由渐近线决定。
第二节根轨迹绘制的基本法则 自动控制原理课件
当Kg→∞，由于m<n，故s→∞满足根轨迹方程，上式近似为
sn m (a n 1 b m 1 )sn m 1 K g
snm(1an1 sbm 1)Kg
两边开n-m次方
s(1an 1 sbm 1)n 1m(K g)n 1m
利用二项式定理
( 1 x ) K 1 K K ( K x 1 ) x 2 K ( K 1 ) ( K I 1 ) x I ( 1 x 1 )
180
45
45 0
nm4
8
[例4-2]系统开环传递函数为：Gk(s)s(sK 1)g(s5) ，试确定根 轨迹支数，起点和终点。若终点在无穷远处，求渐近线与实轴
的交点和倾角。
[解]：根轨迹有3支。起点为开环极点 p 1 0 , p 2 1 , p 3 5 , 无有限值零点，所以三支根轨迹都趋向无穷远。
这是与实轴交n 点 为m －，斜率n 为m tg (2k 1)
nm
的直线方程。也就
nm
是渐近线方程。渐近线与实轴的夹角(称为渐近线的倾斜角为
q(2k1 ) k0, 1 , 2
nm
180 0
nm1
90
90 0
nm2
180 60
0
nm3 60
2020/10/10
根轨迹分析法--绘制根轨迹的基本 法则
在原点有两个极点，双重极点用“”表示。
2020/10/10
根轨迹分析法--绘制根轨迹的基本
14
法则
实轴上的会合点和分离点
7、根轨迹的会合点和分离点：
若干根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为分
离点或会合点。
如图所示某系统的根轨迹，由开环
q4
z2
4.2.14.2根轨迹绘制的基本法则学习资料
3条渐近线与正实轴的夹角分别为
a
（2k 1）
30
60, 60, 180,
k 0, 1, 2
画出系统根轨迹的渐近线如图所示。
j j4
j3
j2
180 60
j
4 3 7 3
60 0 j
j2
j3
j4
4.2 根轨迹绘制的基本法则
法则5 根轨迹的分离点和会合点（特征方程的重根点） （1）若实轴两相邻开环极点之间有根轨迹: 该区段必有分离点;若实轴两相邻开环零点之
的值，分离角为 （2k 1） / l
j
b
a
z1 p1
p2 0
4.2 根轨迹绘制的基本法则
例4-3 考虑例4-2中的开环传递函数
G(s)H (s)
K*
s(s 3)(s 4)
1 1 1 0 d d 3 d 4
3d 2 14d 12 0
7 13
7 13
d1 3 3.5352 , d2 3 1.1315
根 轨 迹 实 轴 区 段:[3,0 ]
4.2 根轨迹绘制的基本法则
（5）根轨迹的分离点与分离角
根轨迹实轴区段[3,0]必有分离点,
1 1
1
1
0
d d 3 d 2 j d 2 j
d 1.1104（其他不在[3,0]，舍去）
分离角为直角。
（6）根轨迹的起始角
根 轨 迹在 开 环 极 点p1 2 j2的起 始角:
求 得 交 点 坐 标 和 相 应K *值 。
例4-5 已知开环传递函数
G(s)H (s)
K*
s(s 3)(s 4)
闭环特征方程：s3 7s2 12s K * 0
方法1：