4.2 普通根轨迹法的绘制依据及规则
i =1
j =1
1
4.2 普通根轨迹的绘制依据
m
∏ (s − zi )
∏ K *
闭环特征根
i =1 n
=1
(s − pj)
j =1
（1）
— 幅值条件
m
n
∑ ∠(s − zi ) − ∑ ∠(s − pj ) = (2k +1)π
i =1
j =1
（2） — 相角条件
满足相角条件是确定s点位于根轨迹上的充分必要条件 幅值条件用来确定根轨迹上某点s对应的K*值。
K*= −1+ 2j+0 ⋅ −1+ 2j+ 2 = 5
4
4.2 普通根轨迹的绘制依据
满足相角条件是确定s点位于根轨迹上的充分必要条件 用幅值条件来确定根轨迹上某点s对应的K*值。
4.3 绘制根轨迹的基本规则
G( s )H( s ) = −1 m
∏∏ G( s) H ( s)
=
K *(s − z1)L(s − zm ) (s − p1)(s − p2 )L(s − pn )
=
K* (s
i =1 n
(s −
j =1
− zi ) pj)
因为G(s)H(s)为复数，可写为幅值和相位的形式
m
∏∏ G(s)H (s) =
K * s − z1 L s − zm s − p1 s − p2 L s − pn
= K*
(s − zi )
i =1 n
=1
(s − pj)
j =1
m
n
∠G(s)H (s) = ∑ ∠(s − zi ) − ∑ ∠(s − pj ) = (2k +1)π
2
4.2 普通根轨迹的绘制依据
例 判定si是否为根轨迹上的点。
解、G ( s )
=
K s(0.5s +1)
=
K* = 2K s(s + 2)
D(s) = s2 + 2s + K * = 0
λ1,2 = −1± 1− K *
分别验证s为0，-2，-1，-1+j， -2+j是否满足相角条件和幅值 条件
幅值条件 K* = s − p1 ⋅ s − p2
相角条件 − ∠(s − p1) − ∠(s − p2 ) = (2k +1)π
3
4.2 普通根轨迹的绘制依据
分别验证s为-0.4，-1，-3，-3+3j，-1+2j是否满足相角条件和幅 值条件
幅值条件 K* = s ⋅ s + 2 相角条件 − ∠(s − 0) − ∠(s + 2) = (2k + 1)π
s = −0.4 − ∠(−0.4 + 0) − ∠(−0.4 + 2) = −180o − 0o = −180o
K* = − 0.4 + 0 ⋅ − 0.4 + 2 = 0.64
s = −1 s = −3
− ∠(−1− 0) − ∠(−1+ 2) = −180o − 0o = −180o
K*= −1+0 ⋅ −1+ 2 =1
− ∠(−3 − 0) − ∠(−3 + 2) = −180o −180o = −360o
s = −3 + j3
− ∠(−3 + j3 − 0) − ∠(−3 + j3 + 2) = −(180o − 45o) − (180o − 71.56o) = −243.44o
s = −1+ j2
− ∠(−1 + j2 − 0) − ∠(−1 + j2 + 2) = −(180o − 63.43o ) − 63.43o ) = −180o
4.2 普通根轨迹的绘制依据
普通根轨迹:开环根轨迹增益K*从0到∞变化 产生的闭环特征根的轨迹。
将开环传递函数写为零极点形式
m
∏ G(s)H (s) = K *(s − z1)L(s − zm (s − p1)(s − p2 )L(s −
∏ 依照根轨迹方程 G( s )H( s ) = −1
) pn )
G( s )H( s ) = −1
m
∏∏ G( s) H ( s)
=
(s
K *(s − z1)L(s − zm ) − p1)(s − p2 )L(s − pn )
=
K*
n
(s
i =1
(s −
− zi pj)
)
j =1
m
n
∏ ∏ K * (s − zi ) + (s − pj ) = 0, n ≥ m
开环极点是根轨迹的起点
K* =
s − p1 L s − pn
=
sn−m 1−
p1 s
L1−
pn s
=∞
s − z1 L s − zm
1−
z1 s
L1−
zm s
j = 1, 2, L m
⎩s = ∞, n > m
开环零点是根轨迹的终点，还有（n-m)无穷零点 8
i =1
j=1
7
4.3 绘制根轨迹的基本规则
规则2 根轨迹的起点和终点： 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零
点个数少于开环极点个数，则有 n-m 条根轨迹终止于无穷远处。
当
s = pi , i = 1, 2, L n
K * = s − p1 L s − pn = 0 s − z1 L s − zm
=
K*
n
(s
i =1
(s −
− zi ) pj)
j =1
m
n
∑ ∠(s − zi ) − ∑ ∠(s − pj ) = (2k +1)π
i =1
j =1
m
∏ ( s − zi )
K * i=1 n
=1
∏(s− pj )
j =1
6
4.3 绘制根轨迹的基本规则
规则1 根轨迹的分支数，对称性和连续性： 根轨迹的分支数=开环极点数； 根轨迹连续且对称于实轴。
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根轨迹法4.2
其一: s zi (i 1, 2...m)
其二: 是在n>m时,只有当s →∞时
结论: 根轨迹的起点为系统的开环极点或无穷远点;
根轨迹的终点是系统的开环零点或无穷远点
Monday, February 24,
2
2020
法则2. 根轨迹的分支数和对称性
根轨迹分支数等于开环极点数和开环零
点数中的大者,根轨迹连续且对称实轴.
线方向的夹角称为分离角
(2k 1)
l
k 0,1L l 1
(1)若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（包括无限零点）或 开环极点（包括无限极点），则在此段根轨迹上必有分离点。 （2）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。
Monday, February 24,
4
2020
法则6 根轨迹的起始角和终止角
-8 -6 -4 -2 0 2
12
2020
[例]开环传递函数为：
Gk
(s)
s[( s
Kg 4)2
，画根轨迹。
1]
解：⒈求出开环零极点，即： p1 0，p2,3 4 j
⒉实轴上的根轨迹：(－∞，0]
⒊渐近线
0 4 4 j 4 4 j 8 2.67
60 ，2c 60
s3
8s2
64 3
s
Kg
0
将 s j 代入得：82 Kgp 0
，
3 64 0
3
Monday, Februar0y ,24,
2020
64 4.62 3
K gp 0 ,
512 3
15
⒍求分离会合点：由特征方程 8
其二: 是在n>m时,只有当s →∞时
结论: 根轨迹的起点为系统的开环极点或无穷远点;
根轨迹的终点是系统的开环零点或无穷远点
Monday, February 24,
2
2020
法则2. 根轨迹的分支数和对称性
根轨迹分支数等于开环极点数和开环零
点数中的大者,根轨迹连续且对称实轴.
线方向的夹角称为分离角
(2k 1)
l
k 0,1L l 1
(1)若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（包括无限零点）或 开环极点（包括无限极点），则在此段根轨迹上必有分离点。 （2）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。
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4
2020
法则6 根轨迹的起始角和终止角
-8 -6 -4 -2 0 2
12
2020
[例]开环传递函数为：
Gk
(s)
s[( s
Kg 4)2
，画根轨迹。
1]
解：⒈求出开环零极点，即： p1 0，p2,3 4 j
⒉实轴上的根轨迹：(－∞，0]
⒊渐近线
0 4 4 j 4 4 j 8 2.67
60 ，2c 60
s3
8s2
64 3
s
Kg
0
将 s j 代入得：82 Kgp 0
，
3 64 0
3
Monday, Februar0y ,24,
2020
64 4.62 3
K gp 0 ,
512 3
15
⒍求分离会合点：由特征方程 8
根轨迹的绘制法则
例2：系统的特征方程为：
*
求根轨迹分离点。
*
K 1 G( s) H ( s) 1 0 s ( s 1)( s 2)
jω
j 2 ( K * 6)
解：因为系统根轨迹方程为：
K 1 s ( s 1)( s 2)
K s ( s 1)( s 2)
*
(4) 实轴上的根轨迹区间为：
j 2*
j 2
( K * 6)
( K 6)
(, 2];[1, 0]
法则5：根轨迹轨迹的分离点。 两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相 遇又立即分开的点，称根轨迹的分离点。 一般常见的分离点多位于实轴上 , 但有时 也产生于共轭复数对中。分离点必然是重根点, 系统的闭环特征方程写为
j i
j 1
j i
证明： 在根轨迹上靠近起点P1较远处取一点S1,显然满足 相角条件，有 ( s1 z1 ) [( s1 p1 ) ( s1 p2 ) ( s1 p3 )] (2k 1) jω s1
当S1无限趋近于P1点时， θ p1 p 1 即 ( s1 p1 ) 为P1点的 θ 出射角 p ，一般情况下， φ z1p1 p3 0 开环复数极点Pk的出射 z1 θ p2p1 角为： m m
法则3：根轨迹的渐近线。 如果开环零点的数目m小于开环极点数n, 即 n＞m, 则有(n-m)条根轨迹沿着某条渐近线终止 于无穷远处。 渐近线的可由下面的方程决定。 渐近线与实轴的交点坐标:
a
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
渐近线与实轴正方向的夹角:
(2k 1) a nm (k 0,1, 2 n m 1)
绘制根轨迹的基本法则
4.2 绘制根轨迹的基本法则本节讨论根轨迹增益*K （或开环增益K ）变化时绘制根轨迹的法则。
熟练地掌握这些法则，可以帮助我们方便快速地绘制系统的根轨迹，这对于分析和设计系统是非常有益的。
法则1 根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数m 少于开环极点个数n ，则有)(m n -条根轨迹终止于无穷远处。
根轨迹的起点、终点分别是指根轨迹增益0=*K 和∞→时的根轨迹点。
将幅值条件式（4-9）改写为∏∏∏∏==-==--=--=mi inj j mn m i i nj jsz sp sz s ps K 1111*|1||1||)(||)(|(4-11)可见当s=j p 时，0*=K ；当s=i z 时，∞→*K ；当|s|∞→且m n ≥时，∞→*K 。
法则2 根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数m 、开环极点数n 中的大者相等，根轨迹连续并且对称于实轴。
根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环极点在s 平面上的变化轨迹。
因此，根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一致，即根轨迹分支数等于系统的阶数。
实际系统都存在惯性，反映在传递函数上必有m n ≥。
所以一般讲，根轨迹分支数就等于开环极点数。
实际系统的特征方程都是实系数方程，依代数定理特征根必为实数或共轭复数。
因此根轨迹必然对称于实轴。
由对称性，只须画出s 平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部的根轨迹即可对称画出。
特征方程中的某些系数是根轨迹增益*K 的函数，*K 从零连续变到无穷时，特征方程的系数是连续变化的，因而特征根的变化也必然是连续的，故根轨迹具有连续性。
法则3 实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
设系统开环零、极点分布如图4-5 所示。
图中，0s 是实轴上的点，)3,2,1(=i i ϕ是各开环零点到0s 点向量的相角，)4,3,2,1(=j j θ是各开环极点到0s 点向量的相角。
4-2根轨迹绘制的基本法则
0
0
0
0
0
同学们，头昏了吧？
j
j
j
0
j j 0 0
14
0
2015-1-28
4-2根轨迹绘制的基本法则
作业
• • • • 4 －1 4－3（1）（2） 4—4（1） 4-8(1)
2015-1-28
4-2根轨迹绘制的基本法则
15
4 3 2 * s 5 s 8 s 6 s k 0 2）渐近线。由于n m 4 ，故有四条渐近线， a 1.25 a 45 , 135 应用劳思判据
3）确定分离点。
1 0 i 1 d pi
n
s4 1 s3 5 s 2 34 / 5 s1 (204 25 K * ) / 34 s0 K*
R( s )
K * ( s 1) s( s 2)( s 3)
C ( s)
j
a (2k 1)180o / (3 1) 90o
a (0 2 3) (1) / (3 1) 2
（4）分离点（用试探法求解）
1 1 1 1 d 1 d d 2 d 3 d 2.47
5)利用模值条件，可得分离点的根轨迹增益
2 4 . 75 7 . 25 K d* i 1 16.37 |d z| 15 .25 i
| d p |
3
所以，当
2015-1-28
K * 16.37
系统输出产生振荡
4-2根轨迹绘制的基本法则 13
根轨迹示例
j
j j 0
j
j j
4-2根轨迹绘制的基本法则
12
例子4-5 P150
解:1) m=1,n=3, K * (s 20) G( s) z1=-20,p1=0,p2=p3=-12, 2 s ( s 24 s 144 ) 2）实轴上0--12 ,-12--20 必为根轨迹。 3）渐近线。n-m=2 故有2条渐近线. 180 12 12 (20) 90 2 2 2 1 2 1 4）确定分离点。 d d 12 d 20 试探法：d=-4.75
4-2根轨迹绘制的基本原则-2
j i
j 1
j i
其中： z j zi 为零点到此零点连线与正实轴的夹角，
p z 为极点到此零点连线与正实轴的夹角
j i
2015/12/27
18
【例4-7】如图，试确定根轨迹离开复数共轭极点的起始角。
p1 1 j1, p2 1 j1, p3 0, p4 3, z 2
分别始于0，-2，-3； 终于-1和两个无限零点。
(3)有
2
条渐近线：
-3
-2
-1
0
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
(0 2 3) (1) 2 3 1
2015/12/27
( 2k 1) 3 ， nm 2 2
13
(4).实轴上 [-3，-2] 内有一分离点 d ：
2015/12/27
23
(3)分离点：
1 1 1 1 0 d d 3 d 1 j d 1 j
可求得 d 2.3
(4)极点-p3的起始角 3 ：不难求得极点-p1、 -p2、 -p4到-p3的 幅角分别 135 、 18 .4 、90 . 所以 3 180(2k 1) (135 18.4 90) 71.6
终止于无穷远点 ( 称为无限零点 ) 。
3．m>n,即开环零点数大于开环极点数时，除有n条根轨迹起始于开环 极点(称为有限极点)外，还有m-n条根轨迹
起始于无穷远点 ( 称为无限极点) 。这种情况在实际的物理系统中 虽不会出现，但在参数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函数中。
2015/12/27
3
：取k＝0，1，2，得到
4-2 绘制根轨迹的基本法则.
6
证明：角度的简单证明
sK 无穷远处的一个闭环特征根
与有限零点和有限极点所成
角度相同，都设为
a a
a atga
相角条件
ma na (2k 1)
a
(2k 1)
mn
根轨迹对称于实轴，也可写为
(2k 1)
nm
交角有n-m个，交点只有一个
7
【例4.2.1】一个系统开环传递函数为
135
根轨迹的复平面部分是以 零点到分离点距离为半径 的圆周的一部分
Imaginary Axis
例4.2.3 2.5
2
1.5
1
135°
0.5
d=-3.414
p1=-1+j
0
z1=-2
-0.5
p2=-1-j
-1
-1.5
-2
-2.5
-4
-3
-2
-1
0
1
Real Axis
23
法则7：根轨迹与虚轴的交点
j
j 1
i 1
s z1 s z2 360 或0 s z1 s p1
s p1 s p2 360 或0
z1
p1
s p3 180 s z3 0
z3
z2
s
p3 0
s p2
s z2 p2
5
开环零点用○表示
一条根轨迹起于p1, 终止于z1
其他三条终止于无 穷远处
Imaginary Axis
=-1.67
p3=-1+j
0
p2=-4
z1=-1 p1=0 p4=-1-j
4-2根轨迹的基本规律及绘制
n
n
Cni aibni
i0
n
i0
n! aibni i!(n i)!
1
a1
b1 s
1
nm
1
1 nm
a1
b1 s
11 2! n m
n
1 m
1
a1
b1 s
2
当s值非常大时，近似有
1
1
a1
b1 s
nm
其中p1、p2、p3、z1、z2为实极点和实零点，p3、 p4、z3、z4为共轭复数零、极点。
02:08
S0点符合
相角条件：
m j 1
(s0
n
z j ) (s0
i1
pi ) (2k 1)
,
(k
0, 1, 2,
)
s0 pi pis0
θ3
z3
φ4
p4
φ3 θ 2
60 60 0
nm3
j
135
180
45
a 135
45 0
nm4
四种情况下的渐近线
规律五 根轨迹的分离点和分离角
两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立 即分开的点，称为根轨迹的分离点。
常见的根轨迹分离点位于实轴上。实轴上两个相 邻的开环极点之间或两个相邻的开环零点之间，至少 有一个分离点。分离点也可能以共轭形式成对出现在 复平面上。
3．当m>n时，即开环零点数大于开环极点数时，除有n 条根轨迹起始于开环极点(称为有限极点)外，还有m-n 条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。参数根轨迹
自动控制原理 ch 4-2 绘制根轨迹的基本法则
m
s pi s zi
nm
m 条根轨迹终止于有限零点 n m 条根轨迹终止于无穷远处——无限零点
有始有终！
法则四
实轴上的根轨迹
例：设系统的开环传递函数为
G s H s
θ3 z3 φ3 p3 θ2 z2 θ4 z4
实轴上某一区域右侧的 开环零、极点个数之和 为奇数时，该区域是根 轨迹。
2条渐近线 a 90,270 4条渐近线 a 45,135,135,45 90
j j
a
a
规则
j
j
a
a
例：已知系统的开环传递函数，求根轨迹的渐近线
K * s 2 G s H s 2 s s 1s 4
j
解：n = 4，m = 1，n-m = 3；
三条渐近线
180o
60o
σa
0 0 1 4 2 1 3
-4
-3
-2
-1
a 0
60o
a 60k 0
300o
300 / 60k 2
180 k 1
5
10/28/2013
法则六
根轨迹的分离点（分离角）
—— l 条根轨迹分支在 s 平面上相遇后又立即分开的点。 系统特征方程有等实根（实轴上的分离点）或等共轭 复根（复平面上的分离点, 成对出现） 若根轨迹位于实轴 上两个相邻的开环极点 之间（ 其中一个可以是 无限极点 ），则在这两 个极点之间至少存在一 个分离点；
根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。
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2
10/28/2013
法则三
m
根轨迹的起点和终点 起始于开环极点
终止于开环零点
2绘制根轨迹的基本法则
K
g
s ( s + 1 )( s + 5 )
，试确定根轨
上例已经确定了渐近线、实轴上的根轨迹段和分离（会合）点等， 下面确定根轨迹与虚轴的交点。
方法一：闭环特征方程： 3 + 6s 2 + 5s + K g = 0 ，令 s = jω 代入闭环特 s 征方程 ( jω ) 3 + 6( jω ) 2 + 5( jω ) + K g = 0 分解为实部和虚部： K g − 6ω 2 ) + j (5ω − ω 3 ) = 0 ( K g − 6ω 2 = 0 ω = 1,± 5 于是有： ，显然交点为 ⇒ 3 K g = 0,30 5ω − ω = 0 方法二：构造劳斯表
根据根轨迹相角条件可以写出的方向角其它各极点指向的方向角各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向考虑到k的取值为所以上式可以写成为
4.2 绘制根轨迹的基本法则
一、 180°根轨迹作图法则
法则1：根轨迹的起点和终点 根轨迹的起点是指根轨迹增益 K g = 0 时，闭环极点在s平面上的位置， K g时闭环极点在s平面上的位置。 =∞ 而根轨迹的终点则是指 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 ），而终止于开环零点 法则2：根轨迹的连续性和对称性 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 法则3：根轨迹的分支数 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数 和 的大者 的大者。 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数m和n的大者。 法则4：根轨迹的渐近线 当系统的开环增益Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条，n-m条 根轨迹趋向无穷远的方位由渐近线决定。
g
s ( s + 1 )( s + 5 )
，试确定根轨
上例已经确定了渐近线、实轴上的根轨迹段和分离（会合）点等， 下面确定根轨迹与虚轴的交点。
方法一：闭环特征方程： 3 + 6s 2 + 5s + K g = 0 ，令 s = jω 代入闭环特 s 征方程 ( jω ) 3 + 6( jω ) 2 + 5( jω ) + K g = 0 分解为实部和虚部： K g − 6ω 2 ) + j (5ω − ω 3 ) = 0 ( K g − 6ω 2 = 0 ω = 1,± 5 于是有： ，显然交点为 ⇒ 3 K g = 0,30 5ω − ω = 0 方法二：构造劳斯表
根据根轨迹相角条件可以写出的方向角其它各极点指向的方向角各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向考虑到k的取值为所以上式可以写成为
4.2 绘制根轨迹的基本法则
一、 180°根轨迹作图法则
法则1：根轨迹的起点和终点 根轨迹的起点是指根轨迹增益 K g = 0 时，闭环极点在s平面上的位置， K g时闭环极点在s平面上的位置。 =∞ 而根轨迹的终点则是指 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 ），而终止于开环零点 法则2：根轨迹的连续性和对称性 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 法则3：根轨迹的分支数 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数 和 的大者 的大者。 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数m和n的大者。 法则4：根轨迹的渐近线 当系统的开环增益Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条，n-m条 根轨迹趋向无穷远的方位由渐近线决定。
绘制根轨迹的基本法则
虚根。故可在闭环特征方程中令 s = jω ，然后分别令方程的实部和虚部均为零，从中求得 交点的坐标值及其相应的 K ∗ 值。此外，根轨迹与虚轴相交表明系统在相应 K ∗ 值下处于临 界稳定状态，故亦可用劳斯稳定判据去求出交点的坐标值及其相应的 K ∗ 值。此处的根轨迹
增益称为临界根轨迹增益。
例 4-4 某单位反馈系统开环传递函数为
1221)π n−m
⎨ ⎪
n
m
∑ p j − ∑ zi
⎪σ ⎩
a
=
j =1
i =1
n−m
（ k =0，±1，±2，… n − m − 1）
（4-12）
证明 （1）渐近线的倾角ϕa ：假设在无穷远处有闭环极点 s* ，则 s 平面上所有从开 环零点 zi 和极点 p j 指向 s* 的向量相角都相等，即 ∠(s* − zi ) = ∠(s* − p j ) = ϕa ，代入相角
件式（4-9）改写为
∏ ∏ K * =
n
| (s −
j =1
pj)|
=
s n−m
n
|1−
j =1
pj s
|
m
∏| (s − zi ) |
i =1
∏m | 1 − zi |
i =1
s
(4-11)
可见，当 s = p j 时，K * = 0 ；当 s = zi 时，K * → ∞ ；当| s | → ∞ 且 n ≥ m 时，K * → ∞ 。 法则 2 根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数 m 、开环
（4-16） （4-17）
于是有
∑ ∑ n
1
m
=
1
j=1 s − p j i=1 s − zi
增益称为临界根轨迹增益。
例 4-4 某单位反馈系统开环传递函数为
1221)π n−m
⎨ ⎪
n
m
∑ p j − ∑ zi
⎪σ ⎩
a
=
j =1
i =1
n−m
（ k =0，±1，±2，… n − m − 1）
（4-12）
证明 （1）渐近线的倾角ϕa ：假设在无穷远处有闭环极点 s* ，则 s 平面上所有从开 环零点 zi 和极点 p j 指向 s* 的向量相角都相等，即 ∠(s* − zi ) = ∠(s* − p j ) = ϕa ，代入相角
件式（4-9）改写为
∏ ∏ K * =
n
| (s −
j =1
pj)|
=
s n−m
n
|1−
j =1
pj s
|
m
∏| (s − zi ) |
i =1
∏m | 1 − zi |
i =1
s
(4-11)
可见，当 s = p j 时，K * = 0 ；当 s = zi 时，K * → ∞ ；当| s | → ∞ 且 n ≥ m 时，K * → ∞ 。 法则 2 根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数 m 、开环
（4-16） （4-17）
于是有
∑ ∑ n
1
m
=
1
j=1 s − p j i=1 s − zi