04-Divided Difference
计算方法-插值b
…………
2
f [ x , x 0 , x1 ]
x x1
f [ x , x 0 , ... , x n 1 ] f [ x 0 , ... , x n ] ( x x n ) f [ x , x 0 , ... , x n ]
n1
1
←
←
3
←……
←
n1
f ( x ) f ( x 0 ) f [ x 0 , x 1 ]( x x 0 ) f [ x 0 , x 1 , x 2 ]( x x 0 )( x x 1 ) ...
(k+1)阶差商：
f [ x0 , x1 , ... , xk ] f [ x1 , ... , xk , xk 1 ] f [ x0 , ... , xk 1 ] x 0 x k 1 f [ x0 , ... , xk 1 , xk ] f [ x0 , ... , xk 1 , xk 1 ] x k x k 1
( )
实际计算过程为
x0 x1 x2 …
xn1 xn
k !
, ( x min , x max )
f (x0) f (x1) f (x2) … f (xn1) f (xn)
xn+1 f (xn+1)
f [x0, x1] f [x1, x2] …… …… f [xn1, xn] f [xn, xn+1]
f [x0, x1 , x2] …… …… f [xn2, xn1, xn] f [xn1, xn, xn+1]
f [x0, …, xn] f [x1, …, xn+1]
f [x0, …, xn+1]
计算方法牛顿插值
称为在xi,xj,xk处的2阶差商
k阶差商：
f [ x0 , x1 ,, xk 1 ] f [ x1 , x2 ,, xk ] f [ x0 , x1 ,, xk ] x0 xk
利用插值条件和差商,可求出Nn(x)的系数 Ai :
A0 f ( x0 ) f [ x0 ] A1 f [ x0 , x1 ]
差商具有如下性质
性质1 (差商与函数值的关系)
f ( xi ) f x0 , x1 ,..., xn i 0 ' ( xi )
性质2 （对称性）：差商的值与结点排列顺序无关
f x0 , , xi , , x j , , xn f x0 ,, x j ,, xi ,, xn
f ( xi ) f ( xi h) f ( xi )
f ( xi ) f ( xi ) f ( xi h)
一阶中心差分 f ( x ) f ( x h ) f ( x h ) i i i /* centered 2 2 difference */
一般地,称k阶差分的差分为k+1阶差分,如二阶 向前和向后差分分别为
f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] ( x x1 ) f [ x, x0 , x1 ]
1
2
n1
…………
f [ x, x0 , ... , xn1 ] f [ x0 , ... , xn ] ( x xn ) f [ x, x0 , ... , xn ]
1 + (x x0) 2 + … … + (x x0)…(x xn1)
性质5(差分与导数的关系）
k fi k !h k f [ xi , xi 1 ,, xi k ] hk f ( k ) ( ), ( xi xi k )
4-插值法
Nn ( x) A0 A1 ( x x0 ) A2 ( x x0 )( x x1) ... An ( x x0 )...( x xn1)
利用插值条件Nn(xj)=f(xj), j=0,1，…，n代入 上式，得关于Ak (k=0,1，…，n)的线性代数方 程组
y0
y1
x1
yn
0 a x0
xn b
X
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定理 n次插值问题的解是存在而且唯一的。
证明： 设 Pn (x)=a0 + a1x + a2x2 + ……+ anxn 是 y=f(x)在[a,b]上的n+1个互异节点x0,x1,…,xn的 插值多项式，则求Pn (x)问题归结为求系数 a0,a1,…,an。 由插值条件： Pn (xk)= yk (k = 0,1,…,n)
1 lk ( x j ) 0
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j k (j,k=0,1,…,n) jk
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则称这n+1个n次多项式l0(x), l1(x),…, ln(x)为节点 x0 ,x1,…,xn上的n次插值基函数。
由n=1,2时的讨论可得
( x x0 ) ( x xk 1 )(x xk 1 ) ( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 ) ( xk xk 1 )(xk xk 1 ) ( xk xn )
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2、Lagrange插值
2.1 线性插值与抛物插值 1.线性插值：n=1情形 给定插值节点 x0,x1， y0=f(x0)，y1=f(x1). 求线性插值多项式L1 (x)=a0+ a1x，使满足: L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1. y= L1 (x)的几何意义就是过点(x0, y0)，(x1, y1)的直线。
数学中常用英文
代数部分1、基础add，plus加subtract减difference差multiply times乘product积divide除divisible可被整除得divided evenly被整除dividend被除数divisor因子，除数quotient商remainder余数factorial阶乘power乘方radical sign, root sign根号round to四舍五入to the nearest四舍五入2、有关集合union并集proper subset真子集solution set解集3、有关代数式、方程与不等式algebraic term代数项like terms, similar terms同类项numerical coefficient数字系数literal coefficient字母系数inequality不等式triangle inequality三角不等式range值域original equation原方程equivalent equation同解方程等价方程linear equation线性方程(e、g、5x+6=22) 4、有关分数与小数proper fraction真分数improper fraction假分数mixed number带分数vulgar fraction，common fraction普通分数simple fraction简分数complex fraction繁分数numerator分子denominator分母(least)common denominator(最小)公分母quarter四分之一decimal fraction纯小数infinite decimal无穷小数recurring decimal循环小数tenths unit 十分位5、基本数学概念arithmetic mean算术平均值weighted average加权平均值geometric mean几何平均数exponent指数，幂base乘幂得底数,底边cube立方数，立方体square root平方根cube root立方根common logarithm常用对数digit数字constant常数variable变量inverse function反函数complementary function余函数linear一次得，线性得factorization因式分解absolute value绝对值，e、g、｜-32｜=32 round off四舍五入。
参考资料-牛顿差分
S ince f(>i)g, the functio has Y 1 p,{z;), fo rR»u e's T heor er n ïm Pplt ;yät a numb er } in (o.in [O, b j. The G e ner alïZ6dg‹•)(})0, SO0 f'n' f J•"(*)•pol ynomi al of de$fe•riwhose l eaöin g cœffic ie nt is f 1x0!>i!- •pin) ) = ri! f lx‹,• l , ... , x n1›J O,¡31vd t es of x.ASäC O fl S q l e 'l G-e. .z,J,Newton’s interpolat o fÿn!d iv id ed-dif f erence form ula can be ex pressed in * *Pform when <o. <i. -p, are arranged co nsec uöv ely with equ¥spacing• J»*****-•* inœoduc e the notaüon h = =‹+—x¡, f or each im 0, 1, . • • › n 1 and let x = >o +-* Then the diff erenc e x- x, can be wrineng, p q, (s —i)ù. S o @. (3.10) b ecomesP,(x) ——P,(/ -i- ›) ,J[ x0] + sh f r i o! ul +S * )2* 0' * ^2’-j-- --j- s{s Uf(s —* + )h‘/$^ ' ^ ' ' ‘•A=OUsing bin O mia l-Cœ Ncient notaöon,s s{s - 1) $ — k -I- 1)k k!wc can express P>‹x) c ompactly asSn x} m P,(x$ -J- sh} f{x9} 3- k)*!*This formula is called the Newton forseard divid ed-difference fomu+•fom, called the Newtonthe forward difference notation A introduced in Aitken’s A2 me@od.fp g :l *h - f(*o)0›*i — <o12h 2/t2‘2*(* )'Aj°(x ) —Ö f{y )tt Since Pn{ z)ïs a3 2 Divided £//,t/gFg/jCand, in general,127Then, Eq. (3.11) has the following formula.Newton For war d-Dif ference F ormula£f (<o)(3.12)If the i nterpolating nodes are reordered as z… z,—i, ... , = . a for mu la sil nildf tO Eq. (3.10) results:+ - j- f[xz, ... , x o] • - xz){x —x.—i) ‹x — xi).H the nodes are equally spaced wilx xz + sh and x xi -i- ( S 3- n —i)h, thenPz{x) ——P,{x, -i- sh)f{x n + SP f[xz, xz-i1 -1- s(s -¥1)h2J f<n. <.—i. *n—2] +-J- s{s -1- 1)- - (S + Zt I)h‘ [ n• -• . , x o]-This form is called the Newton backward divided-dNerence formula. It is used to derive a more com monly applied formula known as the Newton backward-dNerenceformul a . T O di SC uss thi s f O rmula, we need the following d efinition.Definition $.T Given the se quence {p•! n=o• define the backward difference 4 pz (read nabla p,) by"Up. ——p. —p.-i. for n ¿; 1.Higher powers are define d recwsively bypn '!!!- °'p»), for k 2i 2.De finit ion 3.7 i mplies fatf xz, x,-ifand, i n ge ner&,2h2Con sequently,f[xz, x z-;, ... •='k!h*k f••)pp g) f g n ] 3- s4 f{xz) +1'( n)•n 1)2 n!2) • '('-c H A P T L R 3 • intet polaiion anö PoJyn p NJa ï Appro ximat loH ’’’I f we e X t e fl d the b1Il Or»ial co effic ient no tatio n to includ e all real values o › by l ( -J- 1-)- - (J + k - 1 "- • — — 3— i (——* k + 1)— _ •)’ . ).thenP,[x} == j"[gq] —b(— 1)1—sQjf(y q )-ÿ(—1)2 2)-ÿ = •-f(—1)‘whieh gives the following result.Newton Back ward- DiHere nce For mul aP n {x } —— j"[x,](— 1) kkm IXAMPLE 2The divided-difference Table 3.9 eorresponds to the data in Example 1.bbte 3.91.00.76519771.30.6200860First divided differences—0.4837057Second Third ,F divided divided di differencesdiserencesdiff—0.1087339 —0.5489460 0.0658784 . 1.60.4554022—0.0494433 0.&l—0.57861200.0680685 1.90.28181860.0118183 **” ”***”*—0.5715210****””””*”Only one in t er pol ati n g poly nom ial of de gree £tt m O s t 4 u S we will organize the data QOlfltS tO O btai n t hebest eS thèsefive data po 1, 2, and 3. T his will give us a sense the given value of x. i 'l t°'P l £t u O n £f pproximation s O I of aceuracy O f t he f t 3 ll rth-deg ree approxim äIf a n a p r O xiIR t i O n t f( . ) is req uir e d, the re il s o nab le e hoiew ^o = 1 0, x i = 1.3, a:2 = 1.6, 3 = 1.9, ande for the nodes possible use of the data poiEtS cl os est to xp. 1, and alsO m ake s dif ference. This impli es that ù 0.3 and s o the Newuse of the fourtb form ll l il l S u S e d with the d ivide d dif fe re nc es fhàt ÏÎt C n f orward divided-diä…,, ave ä SO lid un derscore in T able 3•4 ( -1) = P 4 (1.0 -j- (0.3))= 0.7651997 -p (p)(—0.4837057)"* Z ( 2) (0.3)°( —0. 1087332J-s=i.3.2 f/ivJded Difi erencœ+ 31+ 30.7196480.(0.3)3(0.0658784)(0.3)4(0.0018251)To app r oz¡i » £f te a value when x is close to the end of the tabulate d V alues, s £f y, x = 2.0, we would l g • llk t o ma ke ie earliest use of ie data p O i fl tS closest to z. This requires using Öe N ewt O n backwa rd d ivided-diä erence formula w 1Î S = 2 and the divided d if feren ces in Tabl e 3.9 that have a dashed underscore: 4(2.0)4 2.2 — 2(0.3))= 0.1103623 — 2 (0.3)(—0.5715210) — 2) (0.3)2(0.0118183)3 3J)4) (0.3)3(0.0680685) — 3 J) 4-) J) (0.3)4(0.0018251)0.2238754.The Newton formulas are not appropriate for approximating f(x) when z lies near the center of ie table since employing either ie backward or forward method in such a way that the highest-order difference is involved will not allow <o to be close to x. A number of divided-diYerence formulas are available for this case, each of which has situations when it can be used to maximum advantage. These methods are Aown as centered-difference formulas. There are a number of such melods, but we will present only one, Stirling’s melod, and again refer ie interested reader to [Hild] for a more complete presentation.For the centered-difference f or mulas, we choose =0 near the point being approxi- mated and label the nodes direcXy below =o as x… x 2. . and those directly above asx _… x _2, ....With thi s co n vention, S tirling’s formu l il i s given by s/i p x) P;w p (x) f{x o] if[x -i. •o1 + J [x o. <il) + s 2h 2(3.14) nl+ 2g21)J 3.fIx —2. x-;. <o.=il + Cf=-i.=o. xz])21*—i, *o, *i5-p ... 3- s 2 (s21)(s 2 — 4) • • • ls - [ttt - l )2)h f $x ,z, ... , x,z)J(i 2 — 1-)- - (s 2 — 2)h**+'** 2(/t=— -i. . , xp! -t- f ïx q, ... , <q+,]),«» = 2« -)- 1 is o dd. If ü- 2m is even, we use the same formula but delete the last line. The entri es used for this f ormu la are underûned in Table 3.10 on page 130. c o fl s i d erl e tabl e O f d£t W °* given in the previous examples. To use Stirling’s formula to ap proxi fna te J ’(1.5) wi1*o = 1.6, we use the underlined entries in the difference Table3.11.c H A P T E R 3- lnte‹polai ion an0 P ol y nomial Appro xima tionTable 3.10First Secon ddivided divide dd if ferenc es dis erenc esThirddi videddifferen ces diffepggf{x-i, x-i. zoJfi«-i. x0l f'•- 2°-' °0’"x0 /l›0l/[ 0› lJ f lx- . x0.•ff[x-i,x0. x; , >2!x2 /lx213bble 3.JJ1.0 0.76519770.62008601.6 0.45540221.9 0,28181862.2 0.1103623 —0.5786120-0.57152100.01181830.0680685Th e f O rmul il , with A = 0.3, Up = 1.6, and s =j"(1.5) 4 1.6 -j- —} ) (0.3))3'beco mes= 0.4554022 -F0.3((—0.5489460) -j- (—0.5786120)) .(0.3)2(—0.04 94433)(0.3)3(0.0658784 + 0.0680685)= 0.51l820g. (0.3)4(0.0018251)divided diYerencesSeconddivideddifferencesThirddivideddifferences—0.48370J7—0.1087339—0.5489 460 0.0658784—0.0494433。
带重节点的牛顿插值法
带重节点的牛顿插值法牛顿插值法是一种在给定数据点的情况下通过插值函数来逼近真实函数的方法。
它属于插值法中的一种，是一种非常有用和广泛使用的数值计算方法。
牛顿插值法使用一个多项式函数来逼近真实函数，该函数使用给定的数据点来确定多项式系数。
带重节点的牛顿插值法是一种牛顿插值法的扩展形式，可以在数据点重复的情况下使用。
在牛顿插值法中，我们首先将给定的数据点按照节点值从小到大排序。
然后我们需要计算每一个节点上的差商，通过差商可以得到一个多项式函数。
差商的定义如下：$f[x_0,x_1]=\frac {f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$以此类推，差商的递归计算可以用以下公式表示：$f[x_i,x_{i+1},\dots,x_{i+j}]=\frac{f[x_{i+1},x_{i+2},\dots,x_{i+j}]-f[x_i,x_{i+1},\dots,x_{i+j-1}]}{x_{i+j}-x_i} $使用差商的定义和递归公式，我们可以得到一个多项式函数：$P_n(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+\dots+f[x_0,x_1, \dots,x_n](x-x_0)(x-x_1)\dots(x-x_{n-1})$其中，$f[x_0,x_1,\dots,x_n]$表示一个$n$阶的差商。
但是，如果在给定的数据点中有重复的节点，那么上述算法将不再适用。
为了使用带重节点的牛顿插值法，我们需要使用多重差商（divided difference）来计算插值函数。
在插值点为$x_0,x_1,\dots,x_n$且有$m+1$个插值点重复的情况下，$m+1$重差商（divided difference）定义为：对于$m+1$个插值点重复的情况，用多重差商计算插值函数的公式如下：其中，$f(x_0,x_0,\dots,x_0,x_i)$是$i+1$重差商，$\prod_{j=0}^{i-1}(x-x_j)$是拉格朗日基函数。
代数英语
(0,2) 插值||(0,2) interpolation0#||zero-sharp; 读作零井或零开。
0+||zero-dagger; 读作零正。
1-因子||1-factor3-流形||3-manifold; 又称“三维流形”。
AIC准则||AIC criterion, Akaike information criterionAp 权||Ap-weightA稳定性||A-stability, absolute stabilityA最优设计||A-optimal designBCH 码||BCH code, Bose-Chaudhuri-Hocquenghem codeBIC准则||BIC criterion, Bayesian modification of the AICBMOA函数||analytic function of bounded mean oscillation; 全称“有界平均振动解析函数”。
BMO鞅||BMO martingaleBSD猜想||Birch and Swinnerton-Dyer conjecture; 全称“伯奇与斯温纳顿－戴尔猜想”。
B样条||B-splineC*代数||C*-algebra; 读作“C星代数”。
C0 类函数||function of class C0; 又称“连续函数类”。
CA T准则||CAT criterion, criterion for autoregressiveCM域||CM fieldCN 群||CN-groupCW 复形的同调||homology of CW complexCW复形||CW complexCW复形的同伦群||homotopy group of CW complexesCW剖分||CW decompositionCn 类函数||function of class Cn; 又称“n次连续可微函数类”。
Cp统计量||Cp-statisticC。
《城市轨道交通供电系统工程施工质量验收规范》标准全文
量安全监督总站负责技术内容的解释。执行过程中，请各有关单位结合实际，不断总结经验，
并将发现的问题、意见和建议函告杭州市建设工程质量安全监督总站[地址：莫干山路 100 号耀江国际大厦 A 座 12 楼，邮政编码：311005]，以供修订时参考。
本规范主编单位、参编单位、主要起草人和主要审查人： 本规范主编单位：杭州市建设工程质量安全监督总站
本规范共分 10 章，主要技术内容包括：1 总则；2 术语；3 基本规定；4 牵引及降压变 电所；5 刚性架空接触网；6 柔性架空接触网；7 接触轨；8 杂散电流腐蚀防护系统；9 可视 化接地系统；10 电力监控与电能质量管理系统。
本规范由浙江省住房和城乡建设厅负责管理和对强制条文的解释，由杭州市建设工程质
浙江省工程建设标准
城市轨道交通供电系统施工质量验收规范
Code for acceptance of construction quality of power supply system engineering of urban rail transit
DB33/T ××/××××-201×
主编单位：杭州市建设工程质量安全监督总站 中铁电气化局集团有限公司 中铁二局集团有限公司
中铁电气化局集团有限公司 中铁二局集团有限公司 本规范参编单位：中国电建集团华东勘测设计研究院有限公司 杭州市地铁集团有限责任公司 宁波市轨道交通集团有限公司 中铁十一局集团电务工程有限公司 中铁一局集团电务工程有限公司 浙江丽水宏瑜建设有限公司 浙江德光建筑工程有限公司 浙江瓯立园林建设有限公司 纳琦绿能工程有限公司 浙江鸿旭园林建设有限公司 浙江罗邦建设有限公司 丽水市金丰建筑工程有限公司 丽水市鼎旺建设工程有限公司 浙江瓯业园林建设有限公司 丽水市汇桦市政园林有限公司 浙江屹立建设有限公司 浙江华歌建设有限公司 本规范主要起草人：史文杰 周静增 肖国军 雷 鸣 蔡佳旻 周 军 施云琼 王祥涛 于镇川 郭润桥 唐兆军 孙海东 王海涛 左传文 郭 忠 叶波涛 徐 俊 吴赟胤 王存建 王 波 朱智文 赵加建 范 卿 韩明学 陈俊卿 周洪波 何贵龙 黄美香 潘国平 蒋 真 本规范主要审查人：石西全 赵宇宏 戴新国 游劲秋 张 燕 袁 林 刘 伟 洪秀敏
数学物理化学术语英语翻译
代数代数 ALGEBRA 1. 数论数论natural number 自然数自然数 positive number 正数正数 negative number 负数负数 odd integer, odd number 奇数奇数 even integer, even number 偶数偶数偶数 integer, whole number 整数整数 positive whole number 正整数正整数 negative whole number 负整数负整数负整数 consecutive number 连续整数real number, rational number 实数,有理数有理数 irrational （number ） 无理数无理数 inverse 倒数composite number 合数合数 e.g. 4,6,8,9,10,12,14,15… prime number 质数质数 e.g. 2,3,5,7,11,13,15… reciprocal 倒数common divisor 公约数公约数 multiple 倍数倍数 (minimum) common multiple (最小)公倍数公倍数(prime) factor (质)因子因子 common factor 公因子ordinary scale, decimal scale 十进制十进制 nonnegative 非负的非负的 tens 十位十位 units 个位mode 众数众数 mean 平均数平均数 median 中值中值 common ratio 公比公比2. 基本数学概念基本数学概念arithmetic mean 算术平均值算术平均值 weighted average 加权平均值加权平均值 geometric mean 几何平均数 exponent 指数，幂指数，幂 base 乘幂的底数,底边底边 cube 立方数，立方体立方数，立方体 square root 平方根cube root 立方根方根 common logarithm 常用对数常用对数 digit 数字数字 constant 常数常数 variable 变量inverse function 反函数反函数complementary function 余函数余函数 linear 一次的，线性的一次的，线性的 factorization 因式分解因式分解 absolute value 绝对值，e.g.｜-32｜=32 round off 四舍五入数学四舍五入数学四舍五入数学3. 基本运算基本运算add ，plus 加 subtract 减 difference 差 multiply, times 乘 product 积 divide 除divisible 可被整除的可被整除的 divided evenly 被整除被整除 dividend 被除数，红利被除数，红利 divisor 因子，除数，公约数数，公约数quotient 商 remainder 余数余数 factorial 阶乘阶乘 power 乘方乘方 radical sign, root sign 根号根号 round to 四舍五入四舍五入 to the nearest 四舍五入四舍五入四舍五入4. 代数式，方程，不等式代数式，方程，不等式algebraic term 代数项代数项 like terms, similar terms 同类项同类项 numerical coefficient 数字系数literal coefficient 字母系数字母系数 inequality 不等式不等式 triangle inequality 三角不等式三角不等式 range 值域值域original equation 原方程原方程 equivalent equation 同解方程，等价方程同解方程，等价方程 linear equation 线性方程(e.g. 5x+6=22) 5. 分数，小数分数，小数proper fraction 真分数真分数 improper fraction 假分数假分数 mixed number 带分数带分数 vulgar fraction ，common fraction 普通分数普通分数 simple fraction 简分数简分数 complex fraction 繁分数numerator 分子分子 denominator 分母分母 (least) common denominator （最小）公分母（最小）公分母（最小）公分母 quarter 四分之一四分之一 decimal fraction 纯小数纯小数 infinite decimal 无穷小数无穷小数 recurring decimal 循环小数循环小数 tenths unit 十分位十分位6. 集合集合union 并集并集 proper subset 真子集真子集 solution set 解集解集7. 数列数列arithmetic progression(sequence) 等差数列等差数列 geometric progression(sequence) 等比数列等比数列8. 其它其它approximate 近似近似 (anti)clockwise (逆) 顺时针方向顺时针方向 cardinal 基数基数 ordinal 序数序数 direct proportion 正比正比 distinct 不同的不同的 estimation 估计，近似近似 parentheses 括号括号 proportion 比例permutation 排列排列 combination 组合组合 table 表格表格 trigonometric function 三角函数三角函数 unit 单位,位几何几何 GEOMETRY 1. 角alternate angle 内错角内错角 corresponding angle 同位角同位角 vertical angle 对顶角对顶角 central angle 圆心角圆心角 interior angle 内角内角 exterior angle 外角外角 supplementary angles 补角complementary angle 余角余角 adjacent angle 邻角邻角 acute angle 锐角锐角 obtuse angle 钝角right angle 直角直角 round angle 周角周角 straight angle 平角平角 included angle 夹角夹角2. 三角形三角形equilateral triangle 等边三角形等边三角形 scalene triangle 不等边三角形不等边三角形 isosceles triangle 等腰三角形角形right triangle 直角三角形直角三角形 oblique 斜三角形斜三角形 inscribed triangle 内接三角形内接三角形3. 收敛的平面图形，除三角形外收敛的平面图形，除三角形外semicircle 半圆半圆 concentric circles 同心圆同心圆 quadrilateral 四边形四边形 pentagon 五边形hexagon 六边形六边形 heptagon 七边形七边形 octagon 八边形八边形 nonagon 九边形九边形 decagon 十边形十边形 polygon 多边形多边形parallelogram 平行四边形平行四边形 equilateral 等边形等边形 plane 平面平面 square 正方形，平方正方形，平方 rectangle 长方形长方形regular polygon 正多边形正多边形 rhombus 菱形菱形 trapezoid 梯形梯形4. 其它平面图形其它平面图形arc 弧 line, straight line 直线直线直线 line segment 线段线段 parallel lines 平行线平行线 segment of a circle 弧形弧形5. 立体图形立体图形cube 立方体，立方数立方体，立方数 rectangular solid 长方体长方体 regular solid/regular polyhedron 正多面体circular cylinder 圆柱体圆柱体 cone 圆锥圆锥 sphere 球体球体 solid 立体的立体的6. 图形的附属概念图形的附属概念plane geometry 平面几何平面几何 trigonometry 三角学三角学 bisect 平分平分 circumscribe 外切外切 inscribe 内切内切 intersect 相交相交 perpendicular 垂直垂直 Pythagorean theorem 勾股定理（毕达哥拉斯定理）理） congruent 全等的全等的 multilateral 多边的多边的 altitude 高 depth 深度深度 side 边长边长 circumference, perimeter 周长周长 radian 弧度弧度 surface area 表面积表面积 volume 体积体积 arm 直角三角形的股直角三角形的股 cross section 横截面横截面center of a circle 圆心圆心 chord 弦 diameter 直径radius 半径半径 angle bisector 角平分线角平分线 diagonal 对角线化对角线化 edge 棱 face of a solid 立体的面立体的面 hypotenuse 斜边斜边 included side 夹边夹边 leg 三角形的直角边三角形的直角边 median （三角形的）中线（三角形的）中线 base 底边，底数（e.g. 2的5次方，2就是底数）数） opposite 直角三角形中的对边直角三角形中的对边midpoint 中点中点 endpoint 端点端点 vertex (复数形式vertices)顶点顶点 tangent 切线的transversal 截线截线intercept 截距截距7. 坐标坐标coordinate system 坐标系坐标系 rectangular coordinate 直角坐标系直角坐标系 origin 原点原点 abscissa 横坐标坐标ordinate 纵坐标纵坐标 number line 数轴数轴 quadrant 象限象限 slope 斜率斜率 complex plane 复平面复平面 给那些有志参加Sat 等美国变态考试的同学！等美国变态考试的同学！物理化学中英词汇对照表物理化学中英词汇对照表1．物理（包括部分化学）．物理（包括部分化学）Atomic Particle Electron 原子的原子的 粒子粒子 电子电子Proton Neutron Nucleus 质子质子 中子中子 原子核原子核Symbol Isotopes Radioactive 符号符号 同位素同位素 放射性放射性Source Mass Length Area 来源来源 质量质量 长度长度 面积面积Volume Time Density Force 体积体积 时间时间 密度密度 力Energy Power Temperature 能量能量 功率功率 温度温度Resistance Current Giga Mega 电阻电阻 电流电流 10^9 10^6 Kilo Milli （应该是这么拼）（应该是这么拼） Micro 10^3 10^-3 10^-6 Nano 10^9 2．化学．化学Element Molecule Mixture 元素元素 分子分子 混合物混合物Compound Diffusion Substance 化合物化合物 扩散扩散 物质物质Consist Chemical Exist 组成组成 化学的化学的 存在存在Form State Appearance 生成生成 状态状态 外观外观Combine Spontaneous Intermingling 结合结合 自然发生的自然发生的 混合混合Constant Random Bombardment 恒定的恒定的 随机随机 轰炸轰炸Solid Liquid Gas Arrangement 固体固体 液体液体 气体气体 排布排布Definite Compress Strength Dense 限定的限定的 压 强度强度 密集的密集的Surface Pressure Common Melting 表面表面 压力压力 共同的共同的 熔化熔化Evaporate Solidification Condensing 汽化汽化 升华（凝华）升华（凝华）升华（凝华） 液化液化液化。
7-1插值法ss
为便于表示Nn(x), 引入差商（均差）概念.
1 1 5 = 1 0 .7 2 3 8 0 5
3
• （1）差商(Divided Differences)及其性质 定义1 给定一个函数表
f ( x )关于 xi , x j的一阶差商定义为
( x − xn ) ( x j − xn )
=
x − xi i = 0,i ≠ j x j − x i
∏
n
例1 已知
x0 = 100 x1 = 121 x2 = 144
y0 = 10 y1 = 11 y 2 = 12 分别用线性插值、二次 插值求 115 。
基函数lnj(x)(j=0,1,…,n)只依赖于节点x0 , x1,... , xn 不依赖于被插值函数f(x)。
lnj ( x) =
( x − x0 ) ( x − x j −1 )( x − x j +1 ) ( x − xn ) ( x j − x0 ) ( x j − x j −1 )( x j − x j +1 ) ( x j − xn )
= ∏
n
i = 0,i ≠ j
x − xi x j − xi
(7)
l1 0 ( x ) =
x − x1 , x 0 − x1
l1 1 ( x ) =
x − x0 x1 − x 0
n 次插值多项式 Pn(x0)=y0 ,
求次数≤n的多项式Pn(x), 使其满足
Pn(x1)=y1 , ...... , Pn(xn)=yn
p 1 ( x ) = y 0 l1 0 ( x ) + y 1 l1 1 ( x )
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Page 190 – Example 4.1
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Pages 192 & 193 – Examples 4.2 & 4.3
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Page 217 – Exercises 1 and 2
17
Interpolation
Newton’s Divided Difference Polynomial Method
What is Interpolation ?
Given (x0,y0), (x1,y1), …… (xn,yn), find the value of ‘y’ at a value of ‘x’ that is not given.
which passes through (x0,y0), (x1,y1), (x2,y2), and (x3,y3).
15
The general form of Lagrange interpolating polynomial (p208)
16
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Page 207 – Example 4.6 Page 210 – Example 4.7
21
Example
The path of a rapid laser is given by these specifications. If the laser is traversing from x = 2 to x = 4.25 in a linear path, find the value of y at x = 4 using the Newton’s Divided difference polynomial method.
27
x2 5.25, y( x2 ) 6.0
Quadratic Interpolation (contd)
b0 y( x0 )
7 .2 y( x1 ) y( x0 ) 7 .1 7 . 2 b1 4.25 2.00 x1 x0 0.04444 y ( x2 ) y ( x1 ) y ( x1 ) y ( x0 ) 6.0 7.1 7.1 7.2 x2 x1 x1 x0 b2 5.25 4.25 4.25 2.00 x 2 x0 5.25 2.00 1.1 0.04444 3.25
0.04444
23
7.1
7.1 7.08 x s 10
0
5
Hale Waihona Puke 05 x s range x desired
10 x s 10
1
Linear Interpolation (contd)
7.2 7.2 7.18 7.16 ys f ( range ) f x desired 7.14
a 7.2735 7.1111 100 7.2735
2.2327 %
29
General Form
f 2 ( x) b0 b1 ( x x0 ) b2 ( x x0 )(x x1 )
where
b0 f [ x0 ] f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x 0 ) b1 f [ x1 , x0 ] x1 x0 f ( x 2 ) f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x0 ) f [ x 2 , x1 ] f [ x1 , x0 ] x 2 x1 x1 x0 b2 f [ x 2 , x1 , x0 ] x 2 x0 x 2 x0
6.5
6
6
2 2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5 5.25
x s range x desired
y( x) b0 b1 ( x x0 ) b2 ( x x0 )(x x1 ) x0 2.00, y( x0 ) 7.2
x1 4.25, y( x1 ) 7.1
Rewriting
f 2 ( x) f [ x0 ] f [ x1 , x0 ](x x0 ) f [ x2 , x1 , x0 ](x x0 )(x x1 )
30
General Form
Given (n 1) data points, x0 , y0 , x1 , y1 ,......,xn1 , yn1 , xn , yn as
x (m) y (m)
Path of a robot 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 5 X 10 15
2 4.25 5.25 7.81 9.2 10.6
26
7.2 7.1 6 5 3.5 5
Y
Quadratic Interpolation (contd)
7.56258 8 7.5 ys f ( range ) f x desired 7
Linear interpolation: Given ( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ), pass a linear interpolant through the data
f1 ( x) b0 b1 ( x x0 )
where
b0 f ( x0 )
b1 f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
Page 195 – Exercises 1(b) & 2(b)
6
Polynomial Approximation
(p200)
7
8
9
10
Reading
Page 200 – Example 4.4
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Page 205 – Exercise 2
11
Different from previous method (using system of linear equation to calculate the polynomial coefficients), we could directly give the coefficients without derivation:
31
General form
The third order polynomial, given ( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ), and ( x3 , y3 ), is
f 3 ( x) f [ x0 ] f [ x1 , x0 ](x x0 ) f [ x2 , x1 , x0 ](x x0 )(x x1 ) f [ x3 , x2 , x1 , x0 ](x x0 )(x x1 )(x x2 )
19
Interpolants
Polynomials are the most common choice of interpolants because they are easy to: Evaluate Differentiate, and Integrate.
20
Newton’s Divided Difference Method
x (m) y (m)
Path of a robot 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 5 X 10 15
2 4.25 5.25 7.81 9.2 10.6
22
7.2 7.1 6 5 3.5 5
Y
Linear Interpolation
y( x) b0 b1 ( x x0 ) x0 2.00, y( x0 ) 7.2
Lagrange linear polynomial
13
Lagrange quadratic interpolating polynomial
Page 210
which passes through (x0,y0), (x1,y1), and (x2,y2).
14
Lagrange cubic interpolating polynomial
2.00 x 5.25
At x 4,
y(4.00) 7.2 0.04444 (4.00 2.00) 0.32479 (4.00 2.00)(4.00 4.25) 7.2735 in.
The absolute relative approximate error a obtained between the results from the first and second order polynomial is
f n ( x) b0 b1 ( x x0 ) .... bn ( x x0 )(x x1 )...(x xn1 )
where
b0 f [ x0 ]
b1 f [ x1 , x0 ]
b2 f [ x2 , x1 , x0 ]
bn1 f [ xn1 , xn2 ,....,x0 ] bn f [ xn , xn1 ,....,x0 ]
-- Lagrange Polynomial -- Newton Polynomial
12
Lagrange Approximation
The French mathematician Lagrange noticed
which passes through (x0,y0) and (x1,y1).
24
7.1111in.
Quadratic Interpolation
Given ( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ), and ( x2 , y 2 ), fit a quadratic interpolant through the data.