中学数学教学中的向量(续3)
2020年高考数学(理)重难点专练03 空间向量与立体几何(解析版)
2020年高考数学（理）重难点03 空间向量与立体几何【高考考试趋势】立体几何在高考数学是一个必考知识点，一直在高中数学中占有很大的分值，未来的高考中立体几何也会持续成为高考的一个热点，理科高考中立体几何主要考查三视图的相关性质利用，简单几何体的体积，表面积以及外接圆问题.另外选择部分主要考查在点线面位置关系，简单几何体三视图.选择题主要还是以几何体的基本性质为主，解答题部分主要考查平行，垂直关系以及二面角问题.前面的重点专题已经对立体几何进行了一系列详细的说明，本专题继续加强对高考中立体几何出现的习题以及对应的题目类型进行必要的加强.本专题包含了高考中几乎所有题型，学完本专题以后，对以后所有的立体几何你将有一个更加清晰的认识.【知识点分析以及满分技巧】基础知识点考查：一般来说遵循三短一长选最长.要学会抽象问题具体会，将题目中的直线转化成显示中的具体事务，例如立体坐标系可以看做是一个教室的墙角有关外接圆问题：一般图形可以采用补形法，将几何体补成正方体或者是长方体，再利用不在同一个平面的四点确定一个立体平面原理，从而去求.内切圆问题：转化成正方体的内切圆去求.求点到平面的距离问题：采用等体积法.求几何体的表面积体积问题：应注意巧妙选取底面积与高.对于二面角问题应采用建立立体坐标系去求.但是坐标系要注意采用左手系务必要标记准确对应点以及法向量对应的坐标.【常见题型限时检测】（建议用时：35分钟）一、单选题1．（2019·遵义航天高级中学高考模拟（理））一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．83B．163C．203D．8【答案】B 【解析】由图可知该几何体底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示：∴该几何体的体积1168233V =⨯⨯= 故选B【点睛】：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽. 2．（2019·天津高考模拟（理））已知四面体ABCD 的四个面都为直角三角形，且AB ⊥平面BCD ，2AB BD CD ===，若该四面体的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．3πB ．C ．D ．12π【答案】D 【解析】 【分析】由已知中的垂直关系可将四面体放入正方体中，求解正方体的外接球表面积即为所求的四面体外接球的表面积；利用正方体外接球半径为其体对角线的一半，求得半径，代入面积公式求得结果. 【详解】2BD CD ==Q 且BCD ∆为直角三角形 BD CD ∴⊥又AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD CD AB ∴⊥CD \^平面ABD由此可将四面体ABCD 放入边长为2的正方体中，如下图所示：∴正方体的外接球即为该四面体的外接球O正方体外接球半径为体对角线的一半，即12R == ∴球O 的表面积：2412S R ππ==本题正确选项：D 【点睛】本题考查多面体的外接球表面积的求解问题，关键是能够通过线面之间的位置关系，将所求四面体放入正方体中，通过求解正方体外接球来求得结果.3．（2019·河南高考模拟（理））如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变；1//A P ②平面1ACD ； 1DP BC ⊥③；④平面1PDB ⊥平面1ACD ．其中正确的结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解． 【详解】对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故BC 1上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，所以以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，故①正确； 对于②，连接1A B ，11A C ，111//AC AD 且相等，由于①知：11//AD BC ， 所以11//BA C 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确； 对于③，由于DC ⊥平面11BCB C ，所以1DC BC ⊥， 若1DP BC ⊥，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．4．（2019·贵州高考模拟（理））设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，有下列四个命题：∴若m α⊂，αβ⊥，则m β⊥； ∴若//a β，m β⊂，则//m α； ∴若m α⊥，//m n ，//αβ，则n β⊥； ∴若//m α，//n β，//m n ，则//αβ其中正确命题的序号是（ ） A ．∴∴ B ．∴∴C ．∴∴D ．∴∴【答案】C 【解析】∴两个面垂直，推不出面中任意直线和另一个面垂直，错误；故排除A 、B 选项，对于∴，两个平行平面，其中一个平面内的任意直线都和另一个平面平行，故正确，所以选C.5．（2019·福建高考模拟（理））在三棱锥P ABC -中，3PA PB ==，BC =8AC =，AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若球O 是三棱锥P ABC -的外接球，则球O 的半径为（ ）．A B C D ．2【答案】A 【解析】 【分析】取AB 中点D ，AC 中点E ，连PD ，ED ，得E 为∴ABC 外接圆的圆心，且OE∴平面PAB ，然后求出∴PAB 的外接圆半径r 和球心O 到平面PAB 的距离等于d ，由勾股定理得R .【详解】解：取AB 中点D ，AC 中点E ，连PD ，ED 因为AB BC ⊥，所以E 为∴ABC 外接圆的圆心因为OE∴PD ，OE 不包含于平面PAB ，所以OE∴平面PAB 因为平面PAB ⊥平面ABC ，3PA PB ==，得PD ⊥AB ，ED ⊥AB 所以PD ⊥平面ABC ，ED ⊥平面PAB且AB ==PD 1=所以球心O 到平面PAB 的距离等于ED d ==在∴PAB 中，3PA PB ==，AB =1sin 3PAB ∠=， 所以∴PAB 得外接圆半径2r 9sin PB PAB ∠==，即9r 2=由勾股定理可得球O 的半径R ==故选：A. 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，经常用球中勾股定理R =R 是外接球半径，d 是球心到截面距离，r 是截面外接圆半径.二、解答题6．（2019·山东高考模拟（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形,//AB AD AB CD ⊥，224AB AD CD ===，4PC =.（1）证明：当点E 在PB 上运动时，始终有平面EAC ⊥平面PBC ； （2）求锐二而角A PB C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）5. 【解析】 【分析】（1）由PC ⊥底面ABCD ，证得AC PC ⊥，又由勾股定理，得AC CB ⊥，利用线面垂直的判定定理，得到AC ⊥平面PBC ，再由面面垂直的判定定理，可得平面EAC ⊥平面PBC ，即可得到结论；（2）分别以CD ，CF ，CP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得平面PBC 和平面PAB 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解． 【详解】（1）由题意，因为PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC PC ⊥，又因为224AB AD CD ===，所以4AB =，2AD CD ==，所以AC BC ==，所以222AC BC AB +=，从而得到AC CB ⊥．又BC ⊂Q 平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，BC PC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC ， 又AC ⊂Q 平面ACE ，所以平面EAC ⊥平面PBC ， 所以当点E 在PB 上运动时，始终有平面EAC ⊥平面PBC. （2）由条件知PC ⊥底面ABCD ，且AB AD ⊥， AB C D ∥所以过点C 作CF CD ⊥交AB 于点F ，分别以CD ，CF ，CP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图所示），所以(0,0,0)C ，(2,2,0)A ，(2,2,0)B -，(0,0,4)P .由（1）知CA u u u r为平面PBC 的一个法向量，因为(2,2,0)CA =u u u r，(2,2,4)PA =-u u u r (2,2,4)PB =--u u u r ，设平面P AB 的一个法向量为(,,)n=x y z r，则(,,)(2,2,4)00(,,)(2,2,4)00x y z n PA x y z n PB ⎧⋅-=⎧⋅=⇒⎨⎨⋅--=⋅=⎩⎩u uu v r u u u v r ，即02x y z=⎧⎨=⎩，令1z =，则2y =，所以(0,2,1)n =r，所以|||cos ,|5||||CA n CA n CA n ⋅〈〉===uu r ruu r r uu r r ，故锐二面角A PB C --的余弦值5．【点睛】本题考查了线面垂直与面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.7（2017·广东高考模拟（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，90,60ABC ACD BAC CAD ∠=∠=︒∠=∠=︒， PA ⊥平面ABCD ，2,1PA AB ==.(1)设点E 为PD 的中点，求证： //CE 平面PAB ；(2)线段PD 上是否存在一点N ，使得直线CN 与平面PAC 所成的角θ的正弦值为5？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由. 8．（2019·天津市新华中学高考模拟（理））如图所示的几何体中，PD 垂直于梯形ABCD所在的平面，,2ADC BAD F π∠=∠=为PA 的中点，112PD AB AD CD ====，四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N .（1）求证：AC P 平面DEF ； （2）求二面角A PB C --的正弦值；（3）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为π6？若存在，求出FQ 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（23）在线段EF 上存在一点Q 满足题意，且FQ =【解析】 【分析】(1)由题意结合线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值，然后利用同角三角函数基本关系可得二面角的正弦值；(3)假设点Q 存在，利用直线的方向向量和平面的法向量计算可得点Q 的存在性和位置. 【详解】（1）因为四边形PDCE 为矩形，所以N 为PC 的中点.连接FN ，在PAC V 中，,F N 分别为,PA PC 的中点，所以FN AC ∥， 因为FN ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC P 平面DEF .（2）易知,,DA DC DP 两两垂直，如图以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0)P A B C，所以(1,1,,(1,1,0)PB BC ==-u u u r u u u r.设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =r，则(,,)(1,1,0(,,)(1,1,0)0m PB x y z m BC x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩u u u v r u u u v r即0,0,x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得,,y x z =⎧⎪⎨=⎪⎩令1x =，得1,y z =⎧⎪⎨=⎪⎩所以平面PBC的一个法向量为m =r. 设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =r，(,,)(0,1,0)0(,,)(1,1,0n AB x y z n PB x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩u u uv r u u uv r ，据此可得01x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 则平面ABP的一个法向量为)n =r，cos ,3m n <>==u r r，于是sin ,3m n 〈〉=r r. 故二面角A PB C --（3）设存在点Q 满足条件.由1,0,,(0,22F E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 设(01)FQ FE λλ=u u u r u u u r &剟，整理得1),2,22Q λλλ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则1,22BQ λλ⎛+=-- ⎝⎭u u u r . 因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π，所以1sin |cos ,|||62||||BQ m BQ m BQ m π⋅====⋅u u u r u ru u u r u r u u ur u r 解得21λ=，由知1λ=，即点Q 与E 重合.故在线段EF 上存在一点Q，且FQ EF ==. 【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n u r r 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n <>u r r互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．9．（2019·山东高考模拟（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆为等边三角形，22PA AB ==，AC CD ⊥，PD 与平面PAC 所成角的正切值 为5.(∴)证明：//BC 平面PAD ；(∴)若M 是BP 的中点，求二面角P CD M --的余弦值.【答案】（∴）见解析.（∴ 【解析】 【分析】(∴)先证明DPC ∠为PD 与平面PAC 所成的角，于是可得CD =60CAD ∠=︒．又由题意得到60BCA ∠=︒，故得//BC AD ，再根据线面平行的性质可得所证结论． (∴) 取BC 的中点N ，连接AN ，可证得AN AD ⊥．建立空间直角坐标系，分别求出平面PCD 和平面CDM 的法向量，根据两个法向量夹角的余弦值得到二面角的余弦值． 【详解】(∴)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PA CD ⊥又AC CD ⊥,CA PA A =I , 所以CD ⊥平面PAC ，所以DPC ∠为PD 与平面PAC 所成的角． 在Rt PCD V中，PC ==所以CD =所以在Rt PCD V 中，2AD =,60CAD ∠=︒. 又60BCA ∠=︒，所以在底面ABCD 中，//BC AD , 又AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ， 所以//BC 平面PAD ．(∴)解：取BC 的中点N ，连接AN ，则AN BC ⊥,由(∴)知//BC AD ， 所以AN AD ⊥，分别以AN ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Axyz .则(0,0,2)P，1,02C ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,2,0)D，1,14M ⎫-⎪⎪⎝⎭所以3,,022CD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uu u r ，(0,2,2)PD =-u u ur，9,,144DM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uuu u r设平面PCD 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r，由1100n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u vu u u v，即111130220y y z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，得1111x z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令11y =，则1,1)n =u r．设平面CDM 的一个法向量为()2222,,n x y z =u ur，由2200n CD n MD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u u v，即2222230940y y z ⎧+=⎪-+=，得222232x y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 令21y =，则232n ⎫=⎪⎭u u r ．所以121212331cos ,||||n n n n n n ++⋅<>===⋅u r u u ru r u u r u r u u r 由图形可得二面角P CD M --为锐角， 所以二面角P CD M --【点睛】空间向量是求解空间角的有利工具，根据平面的法向量、直线的方向向量的夹角可求得线面角、二面角等，解题时把几何问题转化为向量的运算的问题来求解，体现了转化思想方法的利用，不过解题中要注意向量的夹角和空间角之间的关系，特别是求二面角时，在求得法向量的夹角后，还要通过图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后才能得到结论． 10．（2018·吉林高考模拟（理））如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ， M ， N 分别是棱AB ， AD ， 11A B ， 11A D 的中点，点P ， Q 分别在棱1DD ， 1BB 上移动，且(02)DP BQ λλ==<<.（1）当1λ=时，证明：直线1//BC 平面EFPQ ；（2）是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）12λ=±.【解析】以D 为原点，射线DA ， DC ， 1DD 分别为x ， y ， z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.由已知得()2,2,0B ， ()10,2,2C ，()2,1,0E ，()1,0,0F ， ()0,0,P λ， ()1,0,2N ， ()2,1,2M ，则()12,0,2BC =-u u u u r， ()1,0,FP λ=-u u u r ， ()1,1,0FE =u u u r ， ()1,1,0NM =u u u u r ， ()1,0,2NP λ=--u u u r.（1）当1λ=时， ()1,0,1FP =-u u u r ，因为()12,0,2BC =-u u u u r ，所以12BC FP =u u u u r u u u r，即1//BC FP ，又FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ . （2）设平面EFPQ 的一个法向量为(),,n x y z =r，则由0{0FE n FP n ⋅=⋅=u u u r ru u u r r，得0{0.x y x z λ+=-+=，于是可取(),,1n λλ=-r . 设平面MNPQ 的一个法向量为()',','m x y z =r，由0{0NM m NP m ⋅=⋅=u u u u r ru u u r r，得()''0{'2'0x y x z λ+=-+-=，于是可取()2,2,1m λλ=--r. 若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则()()2,2,1,,10m n λλλλ⋅=--⋅-=r r，即()()2210λλλλ---+=，解得1λ=±，显然满足02λ<<.故存在1λ=±，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角.点睛：立体几何的有关证明题，首先要熟悉各种证明的判定定理，然后在进行证明，要多总结题型，对于二面角问题一般直接建立空间直角坐标系，求出法向量然后根据向量夹角公式求解二面角，要注意每一个坐标的准确性。
中学数学向量教学思考
半 的力 等 现象 ， 可 以利用 向量 知识 作 出合理 的解 释． 都 例 １ 一 个 人 乘 气球 飞 向天 空 ， 开 始 他 上 升 ４ ０米 ， 一 ０
然 后 向 西 北 飞 行 １０ ０ ０米 ．再 下 降 ２ ｏ米 后 又 向东 北 飞行 ０
思 想 方 法 上 研 究 新 内容 的 内 涵 实 质 ，修 整 原 有 的 认 知 ． 随 着 人 类 新 型 知 识 体 系 的 构建 和 形 成 ， 的 教 育 理 念 正 在 向 新 传 统 的教 育 模 式 发 起 挑 战 ， 其 必 须 进 行 重 大 革 命 ， 适 使 以
２ ０ ： 一 ５ ／ ，５ ／ ， ） ＝ （０ ／ ，０ ０） （２ ０、 ２ ２ ０ｘ ２ ０ ５０ｘ ２ ５ ０
、 ２ ，） ＝（，，２０ 蠕 填 砺 ＝（２０ ／ ， ／ ０ ０ ０－ ０） 一５ ｘ ２
２０ ／＿０． ５ 、Ｉ ，）
故 气 球 最 终 位 于 东 方 向离起 点 ５ ０米 的地 面 上 ． Ｅ ０
中 ． 能 从 集 合 论 的 角 度 进 行 解 释 ， 可 以 利 用 生 活 实 例 不 但 帮 助 学 生 理 解 ， 励 学 生 多 动 手 操 作 ， 实 践 中领 悟 知 识 鼓 在
的 产 生．
环 境 极 为 丰 富 ． 师 要 按 照 循 序 渐 进 的原 则 ， 教 学 的每 教 在
应 高 度 发 展 起 来 的新 型 知识 体 系 ． 强 数 学 教 师 的 在 职 培 加
５ ０米 ， 着 调 转 方 向 向 东 南 飞 行 １ ０ ０ 接 ０ ０米 ， 后 下 降 ２ ０ 最 ０
米 。 ： 球 最 后 位 于 何处 ？ 问 气 分析 这 个 问题 虽 不 复杂 ，但 用 几 何 方 法 考 虑 也 易 使
中学数学向量的教学探究
一
、
对 向 量 的初 步 认 识
１ ． 作 为 几 何 的研 究对 象
向量 能够 用 来 予 以不 同种 类 的运 算 ，该 部 分运 算 带 给 向量 集 合 自身 的组 成 ， 使得 向量 有 着 一连 串很 多的 属 性 。因 此， 毋庸 置疑的是 ， 向量 的运算 以及 向量 的性质成 为代 数的 探索对象。 ３ ． 作 为 串联 代 数 与 几何 的 导线 作为有 向线段 的向量 ， 能够用来对位置予 以确定 。然 而 要用 向量对图形的性质进行 描述 ，克服几何巾的长宽和大 小度量问题仅 有有 向线 段还不行 ，务必利用向量的代数运 算才可以得 以完成。比如说 ， 通过向量的数乘运算能够对平 行予 以描述 ，通过 向量 的数量积运算 能够对垂直以及三角 关 系等予 以描述 。所 以 ， 集数和形于一身的 向量 ， 最好地体 现 了数形结合 ， 成为串联代数 以及几何之间的导线 。 二、 向量 部 分 的教 学 意 义 １ ． 领 悟 数 学和 现 实生 活 以 及其 他 学科 之 间 的 关联 向量 是 用 来 刻 画位 置 的一 种 不 可 或 缺 的 数 学 工具 ， 在 空 间科学尖端技术 当中有着广泛 的运用 。向量亦 为对 一部 分物理量予 以描述 的数学工具 ，它很好地体现 了数学 同物
注 重 向 量 的 代 数 性 质 与 几 何 意 义 ， 同 时重 视 向量 工 具 和 方
予 以 描述 。 ２ ． 作 为 代 数 的研 究对 象
法在 物 理 、 数 学 以及 现 代 科 技 当 中的 运 用 。
【 关键词 】 中学数学； 向量教 学； 探 究 《 高 中数学课程标准 （ 实验） 》 中对 平 而和空 间向量 的内 容分别进行 了设置 ，大多数数学老 师认 为高中数学的 向量 更多地是被 当作使得几何问题简化 的某种 工具 。正因为如 此 ，把 向量教学 的探索重点聚焦于 向量在处理 几何问题当 中的运用 ，用 向量使得几何 问题简化 的技 巧即为该 教学的 主 要 方 向 。本 研 究 更 多 的 是 对 中 学 数 学 现 行 课 程 当 中 向 量 内容的定位 、向量的教育价值 以及 向量教学经 常用到的方
高中新课程中数学向量教学的研究
高中新课程中数学向量教学的研究摘要：向量既是几何的研究对象，又是代数的研究对象，是沟通代数、几何的桥梁，是重要的数学模型。
在高中数学中学习向量有助于学生体会数学与现实生活和其他学科的联系，理解数学运算的意义及价值，发展运算能力，把握处理几何问题的一种方法，体会数形结合思想，增进对数学本质的理解。
向量的教学应突出物理背景，注重向量的代数性质及其几何意义，关注向量在物理、数学、现代科学技术中的应用。
关键词：数学新课程；向量；教学向量是高中数学新课程中的重要内容。
《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）中，在必修课程（数学4）、选修课程（系列2—1）中分别设置了平面向量与空间向量的内容。
课题组在新课程远程培训和网校学习中了解到，相当一部分数学教师认为高中数学课程中的向量主要是作为解决几何问题的一种工具，以简化几何证实。
因此，对于向量教学的研究主要集中于向量在解几何问题中的应用，向量教学的重点放在用向量解几何问题的技巧上。
本文试图对高中数学新课程中向量内容的定位、向量的教育价值以及向量教学中应注重的几个问题做一探讨。
研究过程:一、对向量的理解向量早在19世纪就已成为数学家和物理学家研究的对象，20世纪初被引入中学数学。
我国在1996年高中数学教学大纲中引入了向量。
这次，《标准》中也设置了向量的内容。
高中数学新课程中之所以设置向量的内容，是基于以下几方面的熟悉。
（一）向量具有丰富的物理背景矢量是物理学研究的基本量之一，它既有大小，又有方向。
如，力、位移、速度、加速度、动量、电场强度等都是矢量。
这些量贯穿于物理学的许多分支，都是数学中的向量的现实原型，为数学中的向量提供了丰富的物理背景。
（二）向量是几何的研究对象物体的位置和外形是几何学的基本研究对象。
向量可以表示物体的位置，也是一种几何图形（有向线段），因而它成为几何学的基本研究对象。
作为几何学的研究对象，向量有方向，可以刻画直线、平面等几何对象及它们的位置关系；向量有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。
空间向量及其运算说课稿
选修2-1《3.1空间向量及其运算》说课稿北京师范大学附属中学罗德建各位专家，各位老师：大家好！我是来自北京师范大学附属中学的罗德建，今天我说课的内容是《空间向量的线性运算》，选自普通高中课程标准实验教科书人教B版选修2-1第三章.下面我就从：教学内容和学生情况分析，教学目标设定，重难点设置，教学方式，教学过程以及教学反思等方面对这节课进行说明.一.教学内容和学生情况分析本节内容是第三章《空间向量与立体几何》的第一节，由于是起始节，所以这节课中也包含了章引言的内容.章引言中提到了本章的主要内容和研究方法，即类比平面向量来研究空间向量的概念和运算.向量是既有大小又有方向的量，它能像数一样进行运算，本身又是一个“图形”，所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁，在很多数学问题的解决中有着重要的应用.本章要学习的空间向量，将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具.本小节的主要内容可分为两部分：一是空间向量的相关概念；二是空间向量的线性运算.新课标对这节内容的要求是：经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算.这节课的授课班级是高二的一个理科普通班，学生在高一时就学习了平面向量，能利用平面向量解决平面几何的问题.在平面向量的教学中，我始终注重与实数的类比、数形结合等数学思想方法的渗透，不仅让学生清楚学什么，更主要的是帮助学生理解为什么学，怎么学.基于此，我将这节课的教学目标设定为：二.教学目标1.知识与技能：理解空间向量的概念，会用图形说明空间向量的线性运算及其运算律，初步应用空间向量的线性运算解决简单的立体几何问题.2.过程与方法：学生通过类比平面向量的学习过程了解空间向量的研究内容和方法，经历向量及其运算由平面向空间的推广，体验数学概念的形成过程.3.情感，态度与价值观：培养学生的空间观念和系统学习概念的意识.三.教学重点与教学难点这节课的教学重点是空间向量的概念及线性运算.在由平面向量向空间向量的推广过程中，学生对于其相同点与不同点的理解有一定的困难，所以我将这节课的教学难点设置为体会类比的数学方法的应用.四.教学方式我采用的教学方式是通过问题启发引导学生自主完成概念的探究过程，紧紧围绕教学重点展开教学，并从教学过程的每个环节入手，努力突破教学难点.五.教学过程本节课分为6个环节：引入概念，概念形成，概念深化，应用概念，归纳小结和布置作业.其中重点是概念的形成和概念的深化，实际教学时间25分钟1.引入概念在引入概念环节中，我首先通过提问帮助学生回顾平面向量学习的内容，学习的目的和研究方法，让学生对平面向量有个整体的认识，同时也为空间向量的学习做铺垫.接着我以一个生活实例（学生从操场上完操回到教室的过程）引出空间向量的问题，通过追问激发学生学习新概念的兴趣，并给出本节课具体的研究方向.这节课作为《空间向量与立体几何》一章的第一节课，我希望让它也起到章节“导游图”的作用.2.概念形成首先我向学生提出问题：我们应该如何研究空间向量？学生回答：类比平面向量教师引导：接着我给出平面向量概念的PPT，由学生从定义、表示、方向刻画、大小刻画、特殊向量、向量间的特殊关系等方面探究空间向量的概念.师生小结：我通过问题串帮助学生将概念梳理清楚，让他们体会到空间向量与平面向量的概念完全相同，只是所处的环境不同而已.以前研究的向量都位于平面内，现在他们可以在空间中任意平移了.在这个过程中让学生明确空间向量的研究方法，体会数学的严谨性.接着我通过提问让学生类比平面向量去定义空间向量的加法，减法和数乘运算，同时得到多个空间向量求和的多边形法则，让学生进一步体会空间向量与平面向量之间的关系，突出教学重点.3.概念深化为了简化运算就需要研究空间向量线性运算的运算律.我向学生提出以下问题：平面向量中学习过哪些线性运算的运算律？这些运算律是不是也可以推广到空间中去呢？咱们先来看看哪些可以直接由平面结论得到？（PPT给出）学生通过探究发现由于加法交换律和分配律都只涉及到一个或两个向量，可以看作同一平面上的问题，可由平面结论直接得出；而空间中任意三个向量可能不共面，所以加法结合律还需要重新证明.接着由学生自主完成对加法结合律的证明.教师小结：通过结合律的证明能培养学生的空间观念，他们还能进一步体会空间向量中的某些问题与平面向量中相应问题的不同之处.4．应用概念在应用概念环节中，我设置了两道例题（PPT给出）.例1的设计意图是让学生初步应用空间向量的概念及其运算解决一些问题，平行六面体是空间向量加法运算的一个重要几何模型，需要加深对平行六面体的理解.同时通过（Ⅱ）让学生进一步猜想空间中任意一个向量是不是都能用这三个向量来表示？是不是空间中任意三个向量都能去表示别的向量？对这三个向量有什么要求？这样为下一节的内容做铺垫.例2的设计意图是帮助学生熟悉多边形法则，进一步巩固空间向量的线性运算.5．归纳小结在归纳小结环节中为了培养学生归纳总结的意识和能力，我首先提问让学生自己总结，接着我根据学生的回答补充完善小结，总结空间向量的概念内容和研究过程，尤其强调在整个研究过程中都使用到的类比的推理方法，进一步突破这节课的教学难点.6．布置作业练习A和练习B的第1，2题可帮助学生巩固基础知识；练习B的第3题是为下一节《空间向量的基本定理》做准备.六.教学反思通过这节课的备课与教学我自己主要获得了以下几方面的收获：1.在概念课教学中教师作用的体现这节课的知识本身是很容易的，对于学习程度好的学生自学应该也没有问题，那么教师在这节课中的作用是什么？我想作为教师，需要帮助学生从整体上把握知识脉络，关注这部分内容在整个数学知识体系中的地位和作用。
向量法在中学数学解题中
向量在中学数学中的应用向量是中学数学的主要内容之一,巧妙地构造向量,利用向量的运算及性质,可以解决证明有关恒等式，不等式、求某些函数极值和有关几何问题。
1.在代数解题中的应用(1)求函数的最值(值域) 利用向量的模的不等式a b a b a b →→→→→→-≤+≤+, a b a b →→→→⋅≤,可以十分简单地求一些较为复杂的、运用常规方法又比较麻烦的最值(值域)问题．例1、求函数()32f x x =++分析：观察其结构特征，由3x +令(3,4),(p q x →→==，则()2f x p q →→=⋅+，且5,2p q →→==．故()212f x p q →→≤+=，当且仅当p →与q →同向，即30x =>时取等号，从而问题得到解决．(2)证明条件等式和不等式 条件等式和不等式的证明，常常要用一些特殊的变形技巧，不易证明．若利用向量来证 明条件等式和不等式，则思路清晰，易于操作，且解法简捷．例2、设22222()()()a b m n am bn ++=+，其中0mn ≠．求证:m a =nb ． 分析：观察已知等式的结构特征，联想到向量的模及向量的数量积，令(,),p a b →= (,)q m n →=，则易知p →与q →的夹角为0或π，所以p →∥q →，0an bm -=，问题得证．(3)解方程(或方程组)有些方程(方程组)用常规方法求解，很难凑效，若用向量去解，思路巧妙，过程简洁． 例3、求实数,,x y z 使得它们同时满足方程： 2313x y z ++=和22249215382x y z x y z ++-++=．分析：将两方程相加并配方得222(2)(33)(2)108x y z ++++=，由此联想到向量模，令(2,33,2),(1,1,1)a x y z b →→=++=，则a b →→==(2)1(33)1a b x y →→⋅=⋅++⋅ (2)118z ++⋅=，又因为18a b a b →→→→⋅≤=，其中等式成立的条件即为方程组的解，即当且仅当12x =133+y =12+z 0>时等式成立，问题解决． (4)解复数问题因为复数可以用向量表示，所以复数问题都可以用向量来研究解决．例4、已知复平面内正方形ABCD 的两对角顶点A 和C 所对应的复数分别为23i +和 44i -，求另外两顶点B 和D 所对应的复数．分析：先求D ，为此得求OD --→．因OD O A A D -→-→-→=+，而AD --→是AC --→依逆时针方向旋转4π，同时将AC --→倍，因此先求AC --→．而AC OC OA --→--→--→=-，故AC --→对应的复数是 44(23)27i i i --+=-，于是AD --→对应的复数是95(27)cos sin4422i i ππ⎫-+=-⎪⎭ 又OD OA AD --→--→--→=+，所以OD --→可求．同理可求OB --→，问题解决．(5)求参变数的范围求参变数的范围是代数中的一个难点，常常要进行讨论，若用向量去解，会收到意想不到的效果.例5、设,,,a b c d R ∈，且22222(0),3k a b c d k k a b c d +++=>+++=，试讨论 ,,,a b c d 的范围．分析：由2222a b c d +++联想到向量的模，令(,,),(1,1,1)p a b c q →→==，则p q a b c k d →→⋅=++=-，p q →→==.由p q p q →→→→⋅≤得k d -≤102d ≤≤，由,,,a b c d 对称性便可得,,,a b c d 的范围． 2.在三角解题中的应用向量的数量积的定义，将向量与三角函数融为一体，体现了向量的模与三角函数之间的关系，为运用向量解决三角函数问题创造了有利的条件．(1)求值例6、已知3cos cos cos()2αβαβ+-+=，求锐角,αβ的值． 分析：由已知得3(1cos )cos sin sin cos 2βαβαβ-+=-，观察其结构特征,联想到向量的数量积，令(1cos ,sin ),(cos ,sin )a b ββαα→→=-=，则3cos 2a b β→→⋅=-，a b →→=．由a b a b →→→→⋅≤得3cos 2β-≤，所以1cos 2β=， 即3πβ=，代入已知等式便可求得α的值．(2)证明恒等式例7、求证：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+分析：由等式右边联想到向量的数量积，令(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ→→==， 则1,1a b →→==，且易知a →与b →的夹角为βα-，则cos()a b a b βα→→→→⋅=-cos()βα=-， 又cos cos sin sin a b αβαβ→→⋅=+，则问题得证．3.在平面几何解题中的应用利用向量加法、减法、数乘和内积的几何意义，可以巧妙而简捷地进行几何证明和解决几何中有关夹角的问题．例8、试证明以三角形的三中线为边可以作成一个三角形.分析：如图，,,AD BE CF 分别为ABC ∆三边上的中线，若要证明,,AD BE CF 能作成一个三角形，只须证明AD BE CF --→--→--→++=0→．证明：设AB --→=c →, BC --→=a →, CA --→=b →,则0a b c →→→→++=，而AD AB BD --→--→--→=+ 12c a →→=+，BE BC CE --→--→--→=+12a b →→=+, 所以 CF CA AF --→--→--→=+12b c →→=+． 于是 AD BE CF --→--→--→++=1()02a b c a b c →→→→→→→+++++=，即以,,AD BE CF 为边可构成一个三角形．4.向量在解析几何中的应用平面向量作为一种有向线段，本身就是线段的一段，其坐标用起点和终点坐标表示，因此向量与平面解析几何有着密切联系．在解析几何中，它可使过去许多形式逻辑的证明转化为数值的计算，化复杂为简单，成为解决问题的一种重要手段和方法.例9、已知一个圆的直径两端点为1122(,),(,)A x y B x y ，求此圆方程.解：设(,)P x y 为圆上异于,A B 的点，由圆周角定理得AP --→⊥BP --→，若(,)P x y 是与点A 或B 重合的点，则AP --→=0→或BP --→=0→，故都有AP --→⋅BP --→=0成立，从而 1122()()()()0x x y y x x y y --+--=，此即为所求圆方程．例10、求过圆22(5)(6)10x y -+-=上的点(6,9)M 的切线方程．解：如图,设(,)N x y 是所求切线上的任意一点，则MN --→(6,9)x y =--， (1,3)O M --→'=,因为MN --→⊥O M --→'，所以MN --→⋅O M --→'=0，即(6)3(9)0x y -+-=，此即为所求切线的方程(即使是,N M 重合时，仍有MN --→⋅O M --→'=0，因为此时MN --→=0→)．5.在立体几何解题中的应用直线与平面所成的角、最小角定理，异面直线所成的角，二面角及其平面角概念、求法，两平面垂直的判定及性质定理，点面、直线与平行面、两平行面、异面直线等四种距离的概念及求法以及用向量解决有关直线、平面的垂直、平行、共面以及夹角与距离问题.例11、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱1111,A D A B 的中点，求BC 和面EFBD 所成的角． 解：如图，建立空间直角坐标系D xyz -，设正方体棱长为2，则坐标为：(2,2,0),(0,0,0),B D 1(1,0,2),(2,1,2),(0,2,2)E F C ， (2,2,0),(1,0D B DE --→--→∴== y1(2,0,2)BC --→=-．设n →(,,)x y z =是平面EFBD 的法向量，n →DB --→⋅0=，n →⋅DE --→0=， 得1,2y x z x =-=-，令2x =-，得(2,2,1)n →=-，设θ为1BC 和面EFBD 所成的角，则111sin cos ,6BC n BC n BC nθ⋅=<>==⋅arcsin 6θ= 综上所述，向量是一种有效的工具，在众多数学问题中有十分广泛的应用．因此，我们应该有意识地运用向量分析问题，借助向量的知识来解决问题．。
数学与应用数学专业毕业论文-向量在立体几何中的应用
向量在立体几何中的应用摘要作为现代数学的重要标志之一的向量已进入了中学数学教学，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较复杂，运用向量作行与数的转化，则使过程得到大大的简化.向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.立体几何常常涉及到的两大问题：证明与计算，用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.装关键词：向量；立体几何；证明；计算；运用订线ABSTRACTAs one of the important signs of modern mathematics the vector has entered middle school mathematics teaching, using algebraic method research geometry problems provides powerful tools, promoted the high school of the geometry of algebra. And in the high school mathematics system, geometric occupies a very important position, some geometry problems with conventional method to solve tend to be complex, using vector for the number of rows and transformation, makes the process is greatly simplified. Vector method was used the plane geometry, it will be when the plane geometry many problems algebra effectively, programmed to solve, reflected in mathematics, the perfect combination of Numbers and forms. Three-dimensional geometry often involved the two big problems: proof and calculation, with space vector solve three-dimensional geometry in these problems, its unique, is using vector to deal with the problem of space, fade the traditional methods are "form" to "form" reasoning process, causes the problem-solving become programmed.Keywords：Vector; solid geometry; proof; calculation; use目录摘要 (Ⅰ)ABSTRACT (Ⅰ)1 向量方法在研究几何问题中的作用 (1)2 向量方法解决证明问题的直接应用 (2)2.1平行问题 (2)2.1.1证明两直线平行 (2)2.1.2证明线面平行 (3)2.2垂直问题 (4)2.2.1证明两直线垂直 (4)2.2.2证明线面垂直 (4)2.2.3证明面面垂直 (5)2.3处理角的问题 (6)2.3.1求异面直线所成的角 (6)2.3.2求线面角 (7)2.3.3求二面角 (8)3 向量方法解决度量问题的直接应用 (10)3.1两点间的距离 (10)3.2点与直线距离 (10)3.3点到面的距离 (11)3.4求两异面直线的距离 (11)3.5求面积 (12)3.6求体积 (13)4 向量方法解决证明与计算问题有关的综合应用 (14)5 向量在立体几何中应用的教学反思 (21)5.1对比综合法与向量法的利弊 (21)5.2向量法解决立体几何问题的步骤 (22)5.3向量法能解决所有立体几何问题吗 (22)参考文献 (23)1 向量方法在研究几何问题中的作用]1[向量是高中数学新增加的内容，在作用上它取代了以往复数在高中数学教材中的地位，但从目前的使用情况来看，向量的作用要远远大于复数.一个复数所对应的点只能在平面上，而向量却有平面向量和空间向量之分，这一点在与几何（尤其是立体几何）的联系上表现得更加突出.向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支上都有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容中的许多主干知识相结合，形成知识交汇点.向量进入高中数学教材，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较繁杂，而运用向量作形与数的转化，则能使过程得到大大的简化.用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点，往往会产生意想不到的神奇效果.著名教育家布鲁纳说过：“学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退.”这充分揭示了方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，重视学生在学习向量过程中产生的障碍并且提供相应的教学对策，必然能引导学生拓展思路，减轻他们的学习负担.向量方法在解决几何问题时充分体现了它的优越性，平面向量就具有较强的工具性作用，向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、测量等某些问题，还可以简捷明快地解决平面几何许多常见证明（平行、垂直、共线、相切、角相等）与求值（距离、角、比值等）问题.不难看出向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.向量法是将几何问题代数化，用代数方法研究几何问题.立体几何的证明与计算常常涉及到两大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直、线面垂直、线线平行、线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成的角，面面所成角等.用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.那么解立体几何题时就可以用向量方法，对某些传统性较大，随机性较强的立体几何问题，引入向量工具之后，可提供一些通法.2 向量方法解决证明问题的直接应用2.1平行问题]2[2.1.1证明两直线平行b a CD AB b D C a B A //,,;,⇒=∈∈λ. 知),(),,(2211y x CD y x AB ==，则有b a y x y x //1221⇒=. 例 1 已知直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足，求证：OA//BD.证明：如上图，以点O 为原点，以射线OA 为z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -，k j i ,,为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设),,(z y x BD =，∵α⊥BD ，∴j BD i BD ⊥⊥,∴0)0,0,1(),,(==⋅=⋅x z y x i BD ，0)0,1,0(),,(==⋅=⋅y z y x ，∴),0,0(z =∴k z BD =，又知O 、B 为两个不同的点，∴OA BD //.方法思路：在两条直线上分别取不同的两点得到两向量，转化为证明两向量平行.2.1.2证明线面平行1、线∉a 面α，a B A ∈,，面α的法向量为n ，α//0AB n AB n AB ⇔⊥⇔=⋅. 方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一向量，证明这一向量与法向量垂直（即证明数量积为0），则可得线面平行.2、已知面α外的直线a 的方向向量为a ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），若αλλ//2211a e e a ⇔+=.例2 如上图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直,P 、Q 分别是对角线AC 、BF 上的一点,且AP = FQ,求证:PQ ∥平面BCE.证明：设λ=，∵AP = FQ, ∴λ=，∴FQ AF PA PQ ++==λλ++-=λλλλ+-+--=)1(λλ-+∴//PQ 平面BCE.方法思路：证明直线的方向向量可用平面的一组基底线性表示（即在平面内存在一向量与方向相等），则可得面内一直线与面外的线平行，从而证明线面平行.2.1.3面面平行1、不重合的两平面α与β的法向量分别是m 和n ，βαλ//⇔=.方法思路：求平面的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行.2、不重合的两平面α与β，面α的法向量为，若βαβ//⇔⊥.方法思路：求出其中一平面的法向量，再证该法向量与另一面的不共线的两向量数量积为0（即垂直），则可得两平面平行.2.2垂直问题]3[2.2.1证明两直线垂直不重合的直线a 和直线b 的方向向量分别为a 和b ，则有b a b a ⊥⇒=⋅0. 例3 如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB //CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点.证明：PE ⊥BC证明：以H 为原点，,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴，线段HA 的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则(1,0,0),(0,1,0)A B设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n <>，则 )0,2,21(),0,,0(m E m D ， 可得)0,1,(),,2,21(-=-=m n m ， 因为0022m m PE BC ⋅=-+=， 所以 PE BC ⊥.2.2.2证明线面垂直直线l 的方向向量为]4[，平面α的方向向量为，则有αλ⊥⇒⋅=l . 例4，如图，m, n 是平面α内的两条相交直线.如果n l m l ⊥⊥,，求证：α⊥l .证明：在α内作任一直线g ，分别在g n m l ,,,上取非零向量g n m l ,,,. 因为m 与n 相交，所以向量n m ,不平行.由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对（x,y ）,使n y m x g +=将上式两边与向量l 作数量积，得n l y m l x g l ⋅+⋅=⋅，因为 0,0=⊥=⊥n l m l ，所以0=⋅g l ，所以g l ⊥即g l ⊥.这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线，所以α⊥l .方法思路：找直线的方向向量（在两直线上取两点得一向量）及平面的法向量，只需证明两向量平行，则可证线面垂直. 2.2.3证明面面垂直1、不重合的平面α与β的法向量分别为m 和n ，则有βα⊥⇔=⋅0n m . 方法思路：找平面的法向量，只需证明两向量数量积为0，则可证明两平面垂直.2、平面β的法向量为n ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），则有βαλλ⊥⇔+=2211e e n .例5 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1，CD 的中点（1）求证：AD ⊥D 1F ；(2)证明平面AED ⊥平面A 1FD 1分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为“0”的问题，当然也可用其它的证法.证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，则A(0,0,0), D(0,2,0), A 1(0,0,2)D 1(0,2,2)，E(2,0,1), F(1,2,0)(1)(0,2,0),AD = 1(1,0,2)D F =-m n gα l AB C DA 1B 1C 1D 1z y∴ 1AD D F ⋅=0×1+2×1+0×(-2)=0, ∴AD ⊥D 1F（2）AE =（2，0，1） 1D F =（1，0，-2），||5AE = ，|1|5D F = 设AE 与D 1F 的夹角为θ，则θcos =055)2(10012|F D ||AE |FD AE 11=-⨯+⨯+⨯=⋅所以D 1F ⊥AE ，由（1）知D 1F ⊥AD ，又AD ∩AE=A ，∴D 1F ⊥平面AED ，∵D 1F ⊂平面A 1FD 1M∴平面AED ⊥平面A 1FD 1方法思路：找其中以平面的法向量，证明法向量与另一平面平行，即法向量可以用另一平面的一组基底（不共线的向量）线性表示.2.3处理角的问题]5[2.3.1求异面直线所成的角a,b 是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，a ，b 所成的角为θ，则有CD AB CDAB CD AB ⋅⋅=〉〈=,cos cos θ.例6 如图所示,三棱锥A-BCD,AB ,,CD BD BCD ⊥⊥平面若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D 的大小.解: 如图建立空间直角坐标系O-xyz,∵AB=BC=2BD,设BD=1则AB=BC=2,DC=3A(1,0,2),B(1,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0))2,0,1(),0,3,0(),0,3,1(),2,0,0(==-=-=→→→→DA DCBC AB设平面ABC 的法向量为),,(1111z y x n =→, 则00.11=⇒=→→z n AB030.111=+-⇒=→→y x n BC取平面ABC 的法向量)0,1,3(1=→n 设平面ACD 的法向量为),,(2222z y x n =→则00.22=⇒=→→y n DC020.222=+⇒=→→z x n DA取法向量)1,0,2(-=→n cos<→→21,n n >=5151040131001)2(32221-=++⨯++⨯+⨯+-⨯=⋅→→→→n n n n 515arccos,21->=∴<→→πn n 互补平面角与二面角><--∴→→21,n n D AC B , 515arccos的大小的所求二面角D AC B --∴. 方法思路：找两异面直线的方向向量，转化为向量的夹角问题，套公式（但要理解异面直线所成的夹角与向量的夹角相等或互补）.2.3.2求线面角设平面α的斜线l 与面α所成的角为β，若,,l B A ∈m 是面α的法向量，则有〉〈=m AB ,cos sin β.例7如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90，侧棱AA 1＝2，D 、E分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用余弦值表示）；D D A 1C 1B 1z E解析：如图所示，建立坐标系，坐标原点为C ，设a CA 2=，则)0,0,2(a A ，)0,2,0(a B ，)1,0,0(D ，)2,0,2(1a A ，)1,,(a a E ，)31,32,32(a a G ， ∵ ()2,,333a a GE =---，()0,2,1BD a =-，032322=-=⋅a ， ∴1=a ，()112,,333GE =---，()12,2,2A B =--∵ GE 为平面ABD的法向量，且32,cos 1==〉〈GE B A . ∴ A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值是32. 方法思路：找直线的方向向量与平面的法向量，转化为向量的夹角问题，再套公式（注意线面角与两向量所在直线夹角互余）.2.3.3求二面角方法一：构造二面角βα--l 的两个半平面βα、的法向量21n n 、（都取向上的方向，如右图所示），则 ① 若二面角βα--l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即||||cos 2121n n ⋅=θ.② 若二面角βα--l 是“锐角型”的如右图所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角，即||||cos 2121n n ⋅=θ方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面βα、内求出与l 垂直的向量21n n 、，则二面角βα--l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 ||||cos 2121n n ⋅=θ.例8 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小．解 如图所示，建立空间直角坐标系xyz O -， 依题意：A 1（0，0，2），D （0，a ，0）. ∴Q （2，2，0），D （0，4，0）， ∴)20,2(),2,2,2(1-=-=A ， 面AA 1D 的法向量)0,0,1(1=n ， 设面A 1DQ 的法向量),,(3212a a a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-+=⋅,022,022*********a a QD n a a a Q A n ⎩⎨⎧==⇒,2,1312a a a a ∴)2,,(1112a a a n =， 令a 1=1，则)2,1,1(2=n ，∴66611,cos 21=⨯=>=<n n ， 二面角的平面角为锐角，∴二面角A —A 1D —Q 的大小为66arccos. 此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令11-=a ，则)2,1,1(2---=n ，∴66,cos 21->=<n n ，∴二面角A —A 1D —Q 的大小 是><21,n n 66arccos-=π的补角66arccos .所以在计算之前不妨先依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”.O （A 1z3 向量方法解决度量问题的直接应用3.1两点间的距离]6[两点间距离重在“转化”，即将空间两点间距离转化为向量的长度问题.利用向量的模，可以推导出空间两点的距离公式，即空间两点()()11112222,,,,,P x y z P x y z ，则()()()22212212121d PP x x y y z z ==-+-+-例1 在三棱锥S ABC -中，面SAC ⊥面ABC ，SA AC ⊥，BC AC ⊥6SA =,21,8AC BC ==，求SB 的长. 分析 如图，本题可以用几何法求出SB ， 但需要证明若用向量法，注意到SA ，AC ，BC 之间的关系.建立以A 点为原点的空间直角坐标系.则无须证明就有如下巧解.解 如图，建立以A 为原点的空间直角坐标系，则()()()0,0,0,21,0,0,0,6A B S ，所以()()()222080216011SB SB ==-+-+-=.本题用向量法巧妙地把与SB 有关元素的位置关系转化为相应向量是SB 的数量关系，构造向量的空间距离模型，然后通过数值计算将问题加以解决.3.2点与直线距离]7[如图 求得向量AP 在向量AB 的射影长为d , 则点P 到直线AB 22AP d -例2 设P 为矩形ABCD 所在平面外的一点，直线PA 垂直平面外的一点， 直线PA 垂直平面ABCD ，AB =3，BC =4，PA =1 求点P 到直线BP 的距离. 解()()29BP BD BA AP BC BA AB ⋅=+⋅+==BD5所以BP 在BD 上的射影长为95，又10BP =，所以点P 到直线BD 的距离3.3点到面的距离任取一点α∈Q 得m PQ ,是平面α的法向量，则有：点P 到平面α的距离mm PQ d ⋅=（向量PQ 在法向量m 的投影的长度）.方法思路：求出平面的任一法向量m （方程组可求），在平面内任取一点Q 与点P 得一向量转化为PQ 在法向量的投影长度，套公式.3.4求两异面直线的距离知b a ,是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，找一向量与两异面直线都垂直的向量m ，则两异面直线的距离mm AC d ⋅=例3如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形 B B A A ''是矩形，。
向量思想
向 量 思 想 在 数 学 解 题 中 的 应 用
向量是高中数学试验教科书中新增的一章内 容。以向量为背景,一些传统的中学数学内容和问 题就有了新的内涵。在数学教学中引导学生积极 探索向量在高中数学中的应用,不仅可深入了解数 学教科书中新增内容和传统内容的内部联系,构造 合理的数学知识结构,而且有利于拓展学生的想象 力,激发创新活力。
莱布尼兹系统框架在没有任何图形的情接表达位置角度和运动新系统能紧跟可见的图形以一种自然的分析的方式通过一个确定的程序同时给出解构造和几何的证明不需要大量的乘法不需要添加令人困惑的太多提出了一个新代数其中几何实体可以用符号来表示并且这些符号可以直接进行运算
数学思想
函数思想 向量思想
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莱布尼兹系统框架
新系统能紧 跟可见的图形, 以一种自然的、 分析的方式,通 过一个确定的 程序同时给出 解、构造和几 何的证明
在没有任 何图形的情 况下,能直 接表达位置、 角度和运动
不需要大量 的乘法,不需 要添加令人 困惑的太多 的点和线
提出了一个新代数,其中几何 实体可以用符号来表示,并且 这些符号可以直接进行运算。 然而,他没有发现一个能够相 加、减和相乘的几何系统,同 样地,他也没有看到AB和BA能 被看作相异的实体,并且没有 看到-AB的重要意义。
评
价
格拉斯曼的工作
1 AB+BC=AC
2
几何积:线的长度的积乘以它们之间夹角的正弦
3
线性积:一个向量的长度与另一个向量在它上面的垂直投影的代数积
向 量 理 论 复 数 几 何
为了复数便于应用，韦赛尔和阿尔冈分别独 立地建立起复数的几何表示，并为数学家们所接 受和熟悉，于是数学家们认识到复数可以用来表 示和研究平面上的向量。复数的几何表示是向量 理论起源的一条最重要的线索,现代向量理论就 是在这条线索上建立、发展起来的。
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中学数学教学中的向量(续3)齐民友(武汉大学数学与统计学院 430072)413 关于立体几何的教学立体几何的教学是一个困难问题,许多人都认为,学立体几何可以培养“空间想像力”.其实,什么是空间想象力说来也玄,下面举一个例,在近年高考与各种“辅导材料”中,这种“题型”的内容很多.下面可算是最简单的了.设有一个立方体,边长为1,过O ′,A ,C 三点作一平面,联结OB ′.证明它与此平面垂直,设OB ′与此平面交于P 点,求OP 之长.把图画出来,差一点的学生就眼花缭乱了,似乎OB ′C ′是一条直线,其实又不是.哪一条直线被掩盖住了,我画的图可能是错的.如果是画对了,又恰好把有用的东西遮盖起来了.图19 一个简单的立体几何题如果换一个想法:立方体12条棱,8个顶点中的5个还有6个面,都是没有用的,真正有用的只有下图(其实三条坐标轴也只是辅助性的).学生在这里的问题与其说是缺少空间想象力,不如说是缺少从纷繁的图形中把有用的要素提取出来的能力.而从上图看出真正有用的只是下图.这又不只是想象力问题,而是需要较高的数学素养才行.因此,我们的任务是如何帮助学生走一条比较平易的道路.我认为,数形结合(现在是代数化)是一个有效方法.看到题中讲的立方体,就自然想到下图的直角坐标系,以及有关的坐标.我们需要的全部信息就全在其中了,其它都可以置之不理.这就是下图的来源.于是就会问,经过这三点的平面方程是什么等等.下面的问题就只是最简单的代数计算了.图上看不清的全部可以算清,这就是热尔梅那句话的意义.读者会问,讲平面的方程是否超过课标?本来课标中已规定要讲空间直角坐标,由此再到平面的方程也就只是一句话的事.值得注意的是,哪怕只是一句话,怎样说才好,我以为最好不要只是提出定义等等.因为提出一个定义就会带来一串定义,于是就有了多少个“知识点”,麻烦就多了.现在我们提出一个问题:在研究空间直线与平面时,怎样去刻画它们?从数学上看有两个办法,一是问它们自身包含了什么样的向量.以直线为例,必是先有一个向量v ,而{λv }(λ是实数)就是一条直线(图上的虚线).但它一定通过原点.我们把它平移一下,使O 点移到x 0,这就得到了通过x 0而方向为v 的直线l.如果用x 表示l 上的任一点(即其位置向量),就得l 的表示法:x =x 0+λv(28)图20 怎样用向量表示直线和平面不论是平面直线与空间直线都可以这样写出来.我们不妨称(28)是直线(平面的或空间的)的方程.而且依我之见,完全不必再给它加一个诸如向量方程或参数方程的名称.平面也是一样,先有两个不共线(这三个字可是少不得)的向量v1,v2,按前面对于向量的几何描述的规定它们“张”起了一个经过原点的平面{λv1+μv2},(λ,μ是实数)即图上的虚线方框,再把O平移到x0就得到经过x0的方向为v1,v2的平面Π,其方程为x=x0+λv1+μv2(29)言多必失,开场白到此为止.我以为我们在教学中的一个毛病就是讲得太多.不是语言问题,而是说了一些不必说的话.好比今天社区开会,有人敲门进来,主持人说:“张总您好,请这边坐.”又来一位客人,于是:“王大爷请这边坐”.人坐定了主持人宣布开会:“近年养狗的人多了,昨天张总的小狗咬伤了王大爷的小孙女,今天我们开会立一个养狗的规矩”.至于张总的年收入多少,在哪里上班,王大爷年龄多少,曾经当过模范等等,如果到最后吵到法院上去了,由法官去问好了,社区开会讲那么多干什么?教书也是一样,该法官讲的事,您不要讲.我不完全了解中学教学的情况但据我在高校教书的经验看来,讲得太多正是通病.以为不如此就不够严格,不够系统,结果反而加重了学生的负担,烦琐不堪,效果不好.暂时把这些议论放在一边,下面讲刻画平面与直线的另一个办法:就是用该平面或直线包含它的空间(即R3)的关系来刻画它们.以平面为例,包含平面的空间就是图上画的x,y,z空间.要决定平面Π,一是要指定空间中的一点x.要决定平面Π通过此点.再则要求平面Π有一个指定的法线向量n= (n1,n2,n3).什么是法线向量?Π是由虚线方框所代表的平面{λv1+μv2}经平移得来的.法线向量就是与构成Π的向量(也就是所有的λv1+μv2)都垂直的向量.不过我们要注意,如果n是法线向量,则对任意实数c≠0,c n也是法线向量,零向量当然也与一切λv1+μv2垂直,但是这样说没有意思,所以上面规定c≠0.还要注意,对于研究平面和直线,重要的是作为一个向量的法线方向,而不是作为一条直线的法线.因为所有各点的法线方向都相同.但在研究曲线曲面时则不同了.通常的立体几何教材中有某一直线n(我们用一个向量n来表示直线,读者当然会领会到其原因)与某一平面Π相垂直的判定定理与性质定理之分.当我们用向量来讨论垂直性时,这种分别是不重要的.因为平面Π是由过原点的所有向量张成的虚线方框平移而得的.后来的平移不影响这些向量的方向.所以,谈n与构成Π的所有向量垂直,也就是讨论n与所有{λv1+μv2}垂直.其充分必要条件就是n·v1=0,n·v2=0.但是v1,v2构成基底(即不共线)这一条件必不可少,否则{λv1+μv2}不能表示构成Π的所有向量.但是平面不只有一组基底,如果n换用另一组基底{v′1, v′2},则n与平面上一切向量垂直的充分必要条件又可以表示为n·v′1=0,n·v′2=0.由平面向量的基本定理,v′1=αv1+βv2,v′2=γv1+δv2,或者v1=α′v′1+β′v′2,v2=γ′v′1+δ′v′2.所以由n·v i=0,(i=1,2)必可得到n·v′i=0,(i=1,2).反之亦然.所以n与平面垂直的充分必要条件是对某一组基底{v1,v2}有n·v1=n·v2=0.在这里我们没有区别判定定理与性质定理,而可将以上所述归结为定义 若n与任意两个不共线的构成Π的向量垂直,则称n为Π之法线向量.这样说的好处一是突出了向量的线性结构;二是突出了垂直性.既然讲的是向量的数量积,则是本文第二部分讲的概念,而与“起点”无关.既不问法线是哪一点的法线,也不问Π上与法线垂直的直线通过什么样的点(通常教材都说与Π上的所有‘直线’垂直,但我们只说与一个向量垂直.法线向量是线性空间的概念,而下面我们会看到直线则只是A空间中的概念).现在用坐标来表示第二种刻画方法.设Π是由虚线方框中的“平面{λv1+μv2}”经平移到x0而成, n是Π的法线向量,则由定义n·(x-x0)=0(30)如果n,x0,x之分量坐标(或分量)是(A,B,C), (a,b,c),(x,y,z),则上式成为A(x-a)+B(y-b)+C(z-c)=0或A x+By+Cz=D A,B,C不同时为0(31)我们称(31)是平面Π的方程.至此,不必再多讲关于方程的事,例如什么(31)是“一般方程”而(29)是“参数方程”(参数方程何曾不一般?)之类.重要在于(29)与(31)表示了我们研究空间中的平面的两种不同方法.(31)向我们直接地提供了法线向量的信息:(A,B,C)就是法线向量.正因为如此,用任意非零常数c乘(31)的双方仍表示同一平面,因为(cA,cB,cC),(c≠0)与(A,B,C)同为法线向量,表示相同的方向.对于直线l也可以从包含它的空间的角度来考查.这时就看到平面直线与空间直线的区别.一方面,它们都可用(28)表示,区别并不在于其中的向量x,x0,v是平面向量还是空间向量,因为同一个向量既可看作是平面向量也可看作是空间向量.在讨论余弦定理时我们专门讨论过这一点.但是如果包含它的空间是平面或空间,则它与包含空间的关系情况不同了.在平面上看,与l垂直的方向(法线向量n的方向)只有一个.c n,c≠0所表示的方向与n 的方向相同.如果l用所谓“一般方程”A x+By= C(A,B不同时为0)表示,此方向就是(A,B),在l 上取一点(x0,y0)则A x0+By0=C与上式相减,则这个“一般方程”可写成A(x-x0)+B(y-y0)= n·(x-x0)=0.这正是对于直线l的(30)式,你愿意把它称为“一般方程”也可,其还可称为“海赛(Hessian)法式方程”那就还要向学生解释海赛是谁———可见多一个名词并没有好处,倒是可以由此找出l上的向量v=(v1,v2)来.因为n·v=Av1+ Bv2=0,所以不妨令v=(-B,A),它恰好标志了l 自身的方向,我们常讲的斜率就是tanθ=-AB,可见若B=0(即倾角θ=π2),斜率这个概念没有用了,倒是应用(-B,A)更“安全”.这当然更多是一个习惯问题,实质性的影响不大.但是对空间问题情况就复杂了.我们不妨把l 想象为z轴,那么,(x,y)平面上的所有向量(千万不要认为平面向量与空间向量有本质的区别!)都可以作为法线向量.需要注意的是:这些向量构成一个2维线性空间.重要的并不在于向量“本身”是平面的(2维的)还是空间的(3维的).向量是什么?第一部分明确地说:向量就是线性空间的元素,可以按一定规矩来加,来用实数去乘它.本身无所谓平面与空间之分,到我们考虑的那些向量所成的“集合”(即全体)构成一个线性空间后,我们可以问这个空间的维数.这时,平面或空间的区别才显出来了.可见维数对于向量“本身”,可以说是“身外之物”.对于空间直线来说,法线向量构成一个“平面”———所谓法平面.但是在空间中研究平面,例如在(29)中,重要的是在构成它的向量中要找出一个基底来.现在也一样,在众多的构成2维线性空间(法平面)的法向量中,要取出一个基底(n1,n2)来.对于n1和n2可以各自作一个平面,均通过(28)式中的x0,而且以n1和n2为其法线向量,这两个平面就是:A1(x-x0)+B1(y-y0)+C1(z-z0)=0,(A1,B1,C1)=n1A2(x-x0)+B2(y-y0)+C2(z-z0)=0,(A2,B2,C2)=n2(32) l就是这两个平面的交线.这个讲法是我们最熟悉的,但是有一个问题:同一条直线可以用不同的n1, n2来刻画其法平面,不同的两组平面可以决定同一直线l,那么,从(32)如何来确定两条直线是相同还是不同?这与(29)式用不同的v1,v2表示同一平面有同样的困难.当然应用线性代数课程中讲的秩的理论解决起来并不难,但对中学数学显然是过分了.这就使得我们在把向量方法用于直线与平面问题时需进一步考虑:几何方法与代数方法各占什么份量.在这以前,我们先把上面讲过的内容列表总结如下:3维空间中的直线与平面通过其上的向量刻画通过数量积刻画直线·x=x0+λv·作为向量方程是一个方程·作为分量的方程共三个方程·找到法平面的一个基底n1,n2构作(32),n1·(x-x0)=n2·(x-x0)=0.·必然产生基底变为n′1,n′2时(32)式如何改变的问题通过其上的向量刻画通过数量积刻画平面·找到构成相应线性空间的基底v1,v2得到(29)式:x=x0+λv1+μv2·如果把v1,v2换成另一个基底v′1,v′2(29)式如何改变·n(x-x0)=0或A x+By+Cz=D·用同常数c≠0去乘,得到同一平面·只需一个方程2维空间的情况简单得多,总之,这个表里显出明显的对偶性.从表面上看,左上右下两框比较简单.现在我们回到图19上的那个题目.首先要研究平面O′A C,为此我们按右下框的思路去找它的方程A x+By+Cz=D,要注意这里有点麻烦,因为不少师生会去找一个“题型”:已知三个定点(xi,y i,z i),i=1,2,3,如何求上述A,B, C,D?“题型”一说真是害人不浅,学生会把(x i,y i, z i)i=1,2,3代入以下方程:A x+By+Cz=D,得到含4个未知数(A,B,C,D)的3个一次方程,但这种未知数个数与方程个数不同的联立方程怎么办?当然线性代数里有办法,但是把中学数学引导到这类问题中,岂非自找苦吃?应用向量方法于立体几何问题时常需要较多线性代数知识.我以为应当避免过多地专注于代数,而把注意力放在对具体情况的分析上.例如从图19上看到x,y,z三个轴与图中平面处于对称地位,自然可以设想A,B,C相等.因此该平面或可写为x+y+z=D/A,再以一个点(1,0,0)试验,即知D/A=1,就给出了解答.于是平面O′A C之方程为x+y+z=1,而(1,1,1)是其法线向量.再按左上框去讨论直线OB′.当然应取x0=0, v则是向量OB′=(B′-O)=(1,1,1)所以OB′的方程是x=λ(1,1,1)即x=λ,y=λ,z=λ一方面立即可见OB′的方向即平面O′A C之法线方向,所以OB′⊥O′A C.再以上式代入平面方程即得交点P对应于λ=13.既然P点在线段OB′的13处,自然有|OP|=33.图21 三垂线定理再举一例,立体几何中常讲“三垂线定理”,后来可能感到难了一些就不讲了,现在的教材就只提一下,我“百度”了一下“三垂线定理”,发现有多个教案,都把它说得很玄.其实从图21一看,这些教案讲的无非是OP与l并不相交怎么办.但是从现在的理解看,互相垂直是只涉及方向的问题,本来就与起点无关.用综合几何的方法,就一定要考虑起点,而OP与l并不相交,就使得起点不好找了.但如果用向量方法,向量本来就只有方向与大小(大小还用不上),起点都“自动地”搬到线性空间的原点(不一定是平面Π的O点)去了.这里的问题完全消解.所以用v表示构成l的向量(又是左上框),由于OP=OA+A P,读者应该用熟了沙尔定理,不会为OP究竟是固定起点的有向线段还是代表其向量成分而犯愁了,用数量积的分配律OP·v=OA·v+A P·v=OA·v所以OP与l垂直的充要条件就是其投影与l垂直.这不就是三垂线定理吗?何必一定要列一个名目呢?所以用了向量方法以后,没有三垂线定理真是一点关系也没有,但不能没有数量积的分配律.再举一个2006年湖北省一道高考题为例:图22 一道高考题在棱长为1的正方体AB CD-A1B1C1D1中,P是侧棱CC1上的一点,CP=m.(1)试确定m,使得直线A P与平面B DD1B1所成角的正切值为32;(2)在线段A1C1上是否存在一个定点Q,使得对于任意的m,D1Q在平面A PD1上的射影垂直于A P,并证明你的结论.很自然地,我们会取坐标系如图,所谓A P与B DD1B1之交角θ即A P与此平面法线交角φ的余角,因此关键是找出这个法线向量.至于法线在哪一点生根并不重要.但为此又只需找出此平面的方程,其实不必作A x+By+Cz=D并以若干点的坐标代入,利用我们的几何直觉,把BDD1B1看成一扇门,AB CD看成地板,则BD就是门缝!与它垂直的例如AC(不必在图上画了)必与此门垂直.注意到A=(0,0,0),C=(1,1,0),P=(1,1,m),立即有AC=(1,1,0),A P=(1,1,m)因此cosφ=(AC·A P)/|AC|·|A P|=2/2(2+m2)=22+m2即sinθ=22+m2.这里我们又从图上看到θ,φ一定是锐角,所以在定根号符号时不发生歧义:cosθ=m2+m2,tanθ=2m,由题设,m=1/3.这个解法比标准答案以及综合几何方法好.因为代数运算代替了一切求作补助线等等,所以不易出错,关键就是要用平面的方程(没有写出来)直接得出法线向量.对学生要求一个几何直观:法线向量只有大小和方向,起点放在哪都一样.第二部分就是“三垂线定理”.我们不这么说,标准答案上也没有点明,实际上还是用数量积的分配律好.所以作D1Q的投影D1N.于是.D1Q·A P=D1N·A P+NQ·A P=D1N·A P.所以D1N⊥A P之充要条件即D1Q·A P=0把Q的坐标写出来Q:(x,x,1),x未定.于是问题全部解决.在立体几何教学中应该多用解析方法(包括向量方法)还是多用综合方法?本来没有一定之规.一般说来,把问题化为代数问题比较容易找到确定的解法,不会茫然不知所措,比较易教易学.但是终究直观性较差,运算麻烦了同样会感到茫然.综合几何方法比较难,但是确有几何特有的魅力,时有神来之笔,教师不说学生都能真正体会到数学的美.但是,从整个数学的发展来看,目前还是对向量方法的优美与潜力注意不够.本文的主旨也在此,读者也可看到,课标提出二者结合,灵活运用,是很正确的.但是,如何实现还等努力.本文开始时提了三个怪问题,前两个在正文中都已解释了.第三个,北京的北风加上海的东风———还没有解释.提出这个怪问题是因为向量(大小、方向)与起点的关系从现实生活看可以是平移也可以不是.如果是平移,则不但有起点而且有终点.风有起点:“微风起于青萍之末”.但是“万里长风”哪里是终点?风的问题其实是一个向量场(风场)问题:每点各有一个向量———各个地方各吹自己的风,这时似乎向量又有了起点———于是人们就想,就把这一点当作原点好了.所以,在讲向量时心理上总会感到向量有起点,而且就是问题中提到的点(北京或上海),这是有原因的.总之,我们就会把向量的起点(线性空间中的原点,即零向量)与物理空间的原点(具体的地址)混起来了.因此,准确一点说,现在我们有了两个线性空间(北京的风与上海的风).两个不同线性空间的向量怎么能相加?这个问题听起来怪,其实非常常见.如果有两个电荷,大小相等方向相反:+q和-q,放在非常接近的地方.例如有许多化合物的分子,如HCl(氯化氢,盐酸),形如一个小纺锤,一端荷正电另一端荷负电,但不会互相抵消,正负电荷哪怕位置相近到同在一个分子之内也不能相加.这种电荷系统称为偶极子.我们用的天线时常以偶极子为基础.总之,向量本身只有大小和方向,而起点要另作研究,这不但是为了得到一个无矛盾的数学理论,也是现实世界给我们的启发.向量的几何表述是起点在原点的有向线段,而这个原点是线性空间的原点而不是物理空间的某一个点.这不但是数学上而且是物理上合理的作法.这就是设定第三个怪论所想表述的思想.至于把向量看作平移,并由此得到A空间,则是点与向量关联的一种方式,而我们在中学几何教材中遇到的许多问题这样才能说清.(全文完)。