向量法在中学数学中地指导应用
平面向量在高中数学教学中的作用
平面向量在高中数学教学中的作用平面向量是高中数学引入的一个新概念.利用平面向量的定义、定理、性质及有关公式,可以简化解题过程,便于学生的理解和掌握.向量运算主要作用可以提高学生针对数学运算的理解层次，本身这个运算学生总最初接触运算都是数与数之间的运算，而加入向量运算之后，向量运算涉及到数学元素更高，比如说实数、字母、甚至向量，甚至还可以把几何图形加入运算当中，这本身对数学层次更大的一个提高。
而且向量运算对数学的思想也体现的比较多，就是在解析几何当中，或者是在平面几何当中，向量应用确实很方便，一个运算既有代数意义又有几何意义，但是到了立体几何的话，我觉得向量运算仅仅就变成算术了，算术对立体几何本意还是没有有一点想像，就是它到底人学生重点掌握什么，掌握运算还是掌握思维和想像。
一、向量在代数中的应用根据复数的几何意义，在复平面上可以用向量来表示复数。
这样复数的加减法，就可以看成是向量的加减，复数的乘除法可以用向量的旋转和数乘向量得到，学了向量，复数事实上已没有太多的实质性内容。
因而变选学内容也就不难理解了。
另外向量所建立的数形对应也可用来证明代数中的一些恒等式、不等式问题，只要建立一定的数模型，可以较灵活地给出证题方法。
二、向量在三角中的应用当我们利用单位圆来研究三角函数的几何意义时，表示三角函数就是平面向量。
利用向量的有关知识可以导出部分诱导公式。
由于用向量解决问题时常常是从三角形入手的，这使它在三角里解决有关三角形的问题发挥了重要作用，一个最有力的证据就是教材中所提供的余弦定理的证明：只要在根据向量三角形得出的关系式的两边平方就可利用向量的运算性质得出要证的结论，它比用综合法提供的证明要简便得多。
三、向量在平面解析几何中的应用由于向量作为一种有向线段，本身就是有向直线上的一段，且向量的坐标可以用起点、终点的坐标来表示，使向量与平面解析几何特别是其中有关直线的部分保持着一种天然的联系。
平面直角坐标系内两点间的距离公式，也就是平面内相应的向量的长度公式；分一条线段成定比的分点坐标，可根据相应的两个向量的坐标直接求得；用直线的方向向量（a , b ）表示直线方向比直线的斜率更具有一般性，且斜率实际是方向量在 a = 0时的特殊情形。
向量在中学数学中的应用
向量在中学数学中的应用作者：王军林来源：《考试周刊》2013年第21期摘要：本文基于向量的基本理论与性质，主要介绍了向量在中学数学中的应用，并简单分析了向量学习的误区.关键词：向量数量积平面几何立体几何高中数学中引进向量，给中学数学带来了广阔的天地，无论是在平面几何﹑立体几何﹑解析几何﹑三角函数等方面都有着大大拓宽解题思路的重要作用.向量融“形”“数”于一体，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合.毫不夸张地说，向量的数形迁移思想在中学数学中能得到很好的体现.本文整理了几类向量在中学数学中的应用.一、预备知识1.平面向量的数量积a·b=|a||b|cosθ（a≠0，b≠0，0°≤θ≤180°）坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a·b=xx+yy.2.平面向量的基本定理如果e和e是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、λ，使a=λe+λe.3.两个向量平行的充要条件a∥b？圳a=λb坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a∥b？圳xy-xy=0.4.两个非零向量垂直的充要条件a⊥b？圳a·b=0坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a⊥b？圳xx+yy=0.二、向量应用的探究1.利用向量解三角问题例1：已知α，β∈（0，），且cosα+cosβ-cos（α+β）=，求α，β的值.解：原条件式可化为sinαsinβ+（1-cosα）cosβ+cosα-=0构造向量={sinα，1-cosα}，={sinβ，cosβ}，|·|=|cosα-|≤？圯（cosα-）≤0？圯cosα=？圯α=由α，β的对称性知β=.2.利用向量解不等式的问题对于不等式问题的解决，有时如果我们利用常规的解法，往往很繁琐.利用两个向量的数量积的一个性质：·=||·||cosθ（其中θ为向量与的夹角），又-1≤cosθ≤1，则易得到以下推论：（1）·≤||·||；（2）|·|≤||·||；（3）当与同向时，·=||·||，当与反向时，·=-||·||；（4）当与共线时，|·|=||·||.下面利用这些性质和推论来看两个例子.例2：已知a和b为正数，求证：（a+b）（a+b）≥（a+b）.证明：设=（a，b），=（a，b）则·=a+b，||=，||=由性质|·|≤||·||，得（a+b）（a+b）≥（a+b）.说明：对于例1根式不等式我们通常采用两边平方的办法，但这种办法运算量大，容易出错.而应用向量法解决不等式的问题，不仅避免了常规解法的不足，而且为解题带来了新的思路.3.利用向量求最值问题最值问题是高中数学中的一个重要问题，在高考中它的考核主要体现在求实际问题，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积（体积）最大（最小）”等诸多实际问题上.解决这些问题的办法则是将其代数化，转化为函数，再利用所学的方法如：换元法，不等式法等求解.下面将介绍利用向量方法解最值问题.例3：已知m，n，x，y∈R，且m+n=a，x+y=b，求mx+ny的最大值.解：设=（m，n），=（x，y），则由向量积的坐标运算得·=mx+ny.而||=，||=，从而有mx+ny≤·.当与同向时，mx+ny取最大值·=.三、注意向量学习的几个误区误区一：“实数a﹑b﹑c由ab=ac，a≠0推出b=c”这一性质在向量推理中不正确.例4：取||=1，||=，与的夹角为45°，||=，与的夹角为0°.显然 = =，但≠.误区二：“如果ab=0，那么a，b中至少有一个为零”在向量推理中不正确.例5：已知||=2，||=3，与的夹角为90°，则有·=2×3×cos90°=0，显然≠，≠.由·=0，可以推出以下四种可能：①=，≠；②≠，=；③=，=；④≠且≠，但⊥.误区三：乘法结合律（ab）·c=a·（bc）在向量推理中不成立.例6：试说明（·）·=·（·）不成立.解：因为在式中·是一个数量，由实数与向量的积的运算的定义，可知左边表示的是与共线的向量，同理，右边表示的是与共线的向量，而向量与一般是不共线的，故（·）·≠·（·）.误区四：平面几何中的性质在向量中不一定成立.例7：判断下列各命题是否正确，并说明为什么？①若∥，∥，则∥.②若||=||，则=±.③单位向量都相等.解：①不正确，取=，则对两不共线向量与，也有∥，∥，但不平行于.②不正确，因为||=||只是说明这两个向量的模相等，但方向未必相同.③不正确，单位向量是模均是1，但对方向没有要求.综上所述，我们发现向量集数与形于一体，沟通了代数、几何与三角函数的联系.利用向量的运算法则、数量积可解决长度、角度、垂直问题，应用实数与向量的积，则可以证明共线、平行等问题，以及它的巧妙应用.其中运用到的数形迁移思想，是重要的数学思想方法.在高中数学中引进向量，充分体现出新教材新思路﹑新方法的优越性，并且对于培养直觉思维﹑逻辑思维﹑运算求解等理性思维能力，具有重要意义.参考文献：[1]人民教育出版社中学教学室.全日制普通高级中学教科书（试验修订本，必修），数学第一册（下）[M].人民教育出版社，2001，11.[2]沈凯.利用向量解平面几何问题[J].中学数学，2003（1）：15-16.[3]张萍.浅谈用向量法解立体几何题[J].中学数学研究，2004（4）：37-38.[4]邹明.用向量方法求空间角和距离[J].数学通报，2004（5）：36-37.[5]吕林根，许子道.解析几何[M].北京：高等教育出版社，1986.[6]白华玉.巧设法向量求点面距与线面角[J].数学通报，2003.2，25-26.。
向量在中学数学解题中的巧用
例２
如图 ２ ，已知三 菱 锥 Ｄ一 ｝ Ｃ的侧棱 ＯＡ ， Ｄ ， Ｏ Ｃ 两两 垂直 ，且 Ｏ Ａ＝ｌ ， ＝Ｏ Ｃ＝２ Ｅ 是 ＤＣ 的 中点 。 ，
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－ ｌ｝Ｉ 已 ∞ ６， ｌ ： ａ 知 ＝。 丽又 ０
Ａ Ｂ 为正 三 角形 ， Ａ ＝ Ｂ＝ Ｃ＝２ ＡＣ Ｃ Ａ Ｂ 。
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在ＲＡ Ｎ ｔＣ Ｂ中，加 ＝ ２ √ ，可得Ⅳ Ｃ＝√ ２，故：
ｃ ｏ１４ ） （， － ，连结ＭＣ ，作Ｎ ＿ＭＣ￣ Ｈ 。 ，ｉ ＨＬ －
曾经 在 高 中数 学 教学 中解 决一 些 立 体 几何 和代 数 问题 时 ，我 们 仅 仅 应 用 本 书 中 的 定 理 、 公 理 、直 线 的位 置 关 系 ，直线 与 平 面之 间 的关 系 等 。如 果 现 在我 们 重 视用 空 问 向量 概 念来 解 决 问题 的 话 ，在 空 间 中解 决 和证 明较 难 的一 些 问题 时就 会 变 得较 为 容 易 ，而 且还 能 提 高学 生 的 思维 能 力、 分析 能力和 空 间想 象能 力 。 解 （ ） 作 Ｄ 上 Ｃ 垂 足 为 Ｄ ，连 接 Ａ ， 由侧 面 １： Ｏ Ｓ Ｃ为等 要 直 角三 角 形 ， Ａ Ｊ ０ ，如 图 ｌ Ｂ ０ － ，以 ０ 为 标 原点 ， ＯＡ为 轴 正 方向 ，建 立直 角 坐标 系 ｘ ｚ。 ｙ
丽． ： ， ０
相交 直线 Ｓ 、 Ａ 垂赢 ，所 以 ＯＧ 上平 面 Ｓ Ｂ 。 Ｅ Ｂ Ａ
一
Ａ Ｂ＝２，Ｂ ２ ２，Ｓ ＝ Ｂ＝ ３ Ｃ＝ ４ Ａ Ｓ √。
（ ）求 证 ： ． 上 Ｃ ； １
ＯＧ与 一Ｓ的夹 角 记 为 Ｄ ， Ｓ 与平 面 Ｓ Ｂ所 成 的角 Ｄ Ａ
高中数学选择性必修一1 4 空间向量的运用 _1116184420
1.4 空间向量的运用★★★★学习目标★★★★1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理．4.理解直线与平面所成角的概念.5.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题.6.体会用空间向量解决立体几何问题的三步曲★★★★必备知识★★★★平行垂直问题基础知识直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)．平面α，β的法向量u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(1)线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0(2)线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝k u⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3(3)面面平行：α∥β⇔u∥v⇔u＝k v⇔a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4(4)面面垂直：α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，P A⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，P A＝AB＝1，BC＝2.(1)求证：EF∥平面P AB；(2)求证：平面P AD⊥平面PDC.[证明]以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E11,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，F10,1,2⎛⎫⎪⎝⎭，EF＝1,0,02⎛⎫-⎪⎝⎭，PB＝(1,0，－1)，PD＝(0,2，－1)，AP＝(0,0,1)，AD＝(0,2,0)，DC＝(1,0,0)，AB＝(1,0,0)．(1)因为EF＝－12AB，所以EF∥AB，即EF∥AB.又AB⊂平面P AB，EF⊄平面P AB，所以EF∥平面P AB.(2)因为AP ·DC ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD ·DC ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以AP ⊥DC ，AD ⊥DC ，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC .又AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以DC ⊥平面P AD .因为DC ⊂平面PDC ，所以平面P AD ⊥平面PDC .使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直.例2、在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上， 且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ；(2)平面EGF ∥平面ABD .证明：(1)以B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，设BA ＝a ，则A (a,0,0)， 所以BA ＝(a,0,0)，BD ＝(0,2,2)，1B D ＝(0,2，－2)，1B D ·BA ＝0，1B D ·BD ＝0＋4－4＝0，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .又BA ∩BD ＝B ，因此B 1D ⊥平面ABD .(2)由(1)知，E (0,0,3)，G ,1,42a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，F (0,1,4)，则EG ＝,1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，EF ＝(0,1,1)， 1B D ·EG ＝0＋2－2＝0，1B D ·EF ＝0＋2－2＝0，即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .又EG ∩EF ＝E ，因此B 1D ⊥平面EGF . 结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD .利用空间向量求空间角基础知识(1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，异面直线所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a·b ||a ||b |.(2)向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n ，直线的方向向量a ，设线面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝|n·a ||n ||a |.(3)向量法求二面角：求出二面角α－l －β的两个半平面α与β的法向量n 1，n 2，若二面角α－l －β所成的角θ为锐角，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|； 若二面角α－l －β所成的角θ为钝角，则cos θ＝－|cos 〈n 1，n 2〉|＝－|n 1·n 2||n 1||n 2|. 例1、如图，在直三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．【解析】(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0，0,4)，C 1(0,2,4)，所以1A B ＝(2,0，－4)，1C D ＝(1，－1，－4)．因为cos 〈1A B ，1C D 〉＝1111||||A B C D A B C D ⋅＝310102018=⨯所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010. (2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD ＝(1,1,0)，1AC ＝(0,2,4)，所以n 1·AD ＝0，n 1·1AC ＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面ABA 1的一个法向量为n 2＝(0,1,0)．设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝2391=⨯，得sin θ＝53. 因此，平面ADC 1与平面ABA 15(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤： ①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论． (2)求空间角应注意：①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cos α＝|cos β|.②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求．例3、如图，在四棱锥SABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE＝ED3SE⊥AD.(1)证明：平面SBE⊥平面SEC；(2)若SE＝1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值．【解析】(1)证明：∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，SE⊂平面SAD，SE⊥AD，∴SE⊥平面ABCD. ∵BE⊂平面ABCD，∴SE⊥BE. ∵AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，AE＝ED3，∴∠AEB＝30°，∠CED＝60°. ∴∠BEC＝90°，即BE⊥CE. 又SE∩CE＝E，∴BE⊥平面SEC. ∵BE⊂平面SBE，∴平面SBE⊥平面SEC.(2)由(1)知，直线ES，EB，EC两两垂直．如图，以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，ES为z轴，建立空间直角坐标系．则E(0,0,0)，C (0,23，0)，S(0,0,1)，B(2,0,0)，所以CE＝(0，－3，0)，CB＝(2，－30)，CS＝(0，－31)．设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)，则0,0.n CBn CS⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即230,230.xz⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令y＝1，得x3，z＝3，则平面SBC的一个法向量为n＝33)．设直线CE与平面SBC所成角的大小为θ，则sin θ＝|n·CE|n|·|CE||＝14，故直线CE与平面SBC所成角的正弦值为1 4 .利用空间向量解决探索性问题例1、如图1，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角ADCB(如图2)．(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求二面角EDFC的余弦值；(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？如果存在，求出BP BC的值；如果不存在，请说明理由． 【解析】(1)在△ABC 中，由E ，F 分别是AC ，BC 中点，得EF ∥AB .又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF .(2)以点D 为坐标原点，以直线DB ，DC ，DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (0，30)，E (031)，F (13，0)，DF ＝(13，0)，DE ＝(03，1)，DA ＝(0,0,2)．平面CDF 的法向量为DA ＝(0,0,2)．设平面EDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ DF ·n ＝0， DE ·n ＝0，即30,30,x y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩取n ＝(333)， cos 〈DA ，n 〉＝DA ·n | DA ||n |＝217，所以二面角E DF C 的余弦值为217. (3)存在．设P (s ，t,0)，有AP ＝(s ，t ，－2)，则AP ·DE 3t －2＝0，∴t ＝233， 又BP ＝(s －2，t,0)，PC ＝(－s,3t,0)，∵BP ∥PC ，∴(s －3－t )＝－st ， 3s ＋t ＝3. 把t ＝233代入上式得s ＝43，∴BP ＝13BC ， ∴在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE . 此时，BP BC ＝13. (1)空间向量法最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.(2)解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法.例2、.如图所示，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝BC ＝2AC ＝2.(1)若D 为AA 1中点，求证：平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D ；(2)在AA 1上是否存在一点D ，使得二面角B 1CD C 1的大小为60°？【解析】(1)证明：如图所示，以点C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)，D (1,0,1)， 即11C B ＝(0,2,0)，1DC ＝(－1,0,1)，CD ＝(1,0,1)．由11C B ·CD ＝(0,2,0)·(1,0,1)＝0＋0＋0＝0，得11C B ⊥CD ，即C 1B 1⊥CD .由1DC ·CD ＝(－1,0,1)·(1,0,1)＝－1＋0＋1＝0，得1DC ⊥CD ，即DC 1⊥CD . 又DC 1∩C 1B 1＝C 1，∴CD ⊥平面B 1C 1D .又CD ⊂平面B 1CD ，∴平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D .(2)存在．当AD ＝2AA 1时，二面角B 1CD C 1的大小为60°.理由如下： 设AD ＝a ，则D 点坐标为(1,0，a )，CD ＝(1,0，a )，1CB ＝(0,2,2)，设平面B 1CD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·1CB ＝0m ·CD ＝0⇒220,0,y z x az +=⎧⎨+=⎩令z ＝－1，得m ＝(a,1，－1)． 又∵CB ＝(0,2,0)为平面C 1CD 的一个法向量，则cos 60°＝|m ·CB ||m |·|CB |＝12，解得a (负值舍去)，故AD ＝2AA 1.∴在AA 1上存在一点D 满足题意． ★★★★综合训练★★★★一、单选题1．（2020·黑龙江省牡丹江一中高一月考）在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11ADD A 上的动点，1PB 与1A C 垂直，则直线1PB 与直线AB 所成角的正弦值的最小值是（ ）A ．13BC ．12D ．2【答案】B【解析】解法一：如图，连接1111,,B D AD AB ，易证得直线1A C ⊥平面11AB D ．因为1PB 与1A C 垂直，且P 是侧面11ADD A 上的动点，所以点P 是线段1AD 上的动点． 又11//AB A B ，所以直线1PB 与直线AB 所成的角即11A B P ∠．连接1A P ，11A B ⊥平面11AA D D ，1A P ⊂平面11AA D D ，111A B A P ∴⊥，在直角三角形11A B P 中，设111A B =，112A P t t ⎛⎫=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭，则1B P =11sin A B P ∠==，1t ≤≤，所以当t =时，11sin A B P ∠解法二：以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则11(1,1,1),(1,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,0)B A C A B ，设(,0,)P a c ，其中01,01a c ≤≤≤≤，则11(1,1,1),(1,1,1),(0,1,0)PB a c AC AB =--=--=， 因为1PB 与1A C 垂直，所以110PB AC ⋅=，所以1a c +=， 所以111cos ,||||(1PB AB PB AB PB AB ⋅〈〉====， 因为01a ≤≤，所以当12a =时，1cos,PB AB <>， 此时1sin ,PB AB <>取得最小值3；解法三：如图，连接1111,,B D AD AB ，易证得直线1A C ⊥平面11AB D ．因为1PB 与1A C 垂直，且P 是侧面11ADD A 上的动点，所以点P 是线段1AD 上的动点， 以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则11(1,0,0),(0,0,1),(1,1,1),(1,1,0)A D B B ，于是1(1,0,1),(0,1,0)AD AB =-=，设1(,0,)(01)AP AD λλλλ==-≤≤，所以(1,0,)P λλ-，所以1(,1,1)PB λλ=-，所以111cos ,||||PB AB PB AB PB AB λ⋅<>====， 因为102λ≤≤，所以当12λ=时，1cos ,PB AB <>取得最大值3， 此时1sin ,PB AB <> 故选：B.2．（2020·江苏省高二期末）若平行六面体1111—ABCD A B C D 的底面ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，1AA ⊥底面ABCD ，11AA =，则异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值为（ ） A ．13 B ． C ．15 D ．15- 【答案】A【解析】连,AC BD 交于O ，1111,ACB D 交于1O ，连1OO ，则11//OO AA， 1AA ⊥底面ABCD ，1OO ∴⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，AC BD ∴⊥，60,2,BAD BD AC ∠=︒∴==，以点O 为坐标原点，1,,OA OB OO 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，11(0,1,1),((A B C C11(23,0,1),(3,1,1)AC B C =-=---，1111116cos ,13||||13AC B C AC B C AC B C ⋅<>===， 所以异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值为13. 故选：A .3．（2020·邢台市第二中学高二开学考试）直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC ＝BC ＝AA′，∠ACB ＝90°，E 为BB′的中点，异面直线CE 与C A '所成角的余弦值是（）AB ．5-C ． D【答案】D【解析】直三棱柱ABC A B C -'''中，AC BC AA =='，90ACB ∠=︒，E 为BB '的中点． 以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC '为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AC BC AA =='=，则(0C ，0，0)，(0E ，2，1)，(0C '，0，2)，(2A ，0，0)， (0CE =，2，1)，(2C A '=，0，2)-，设异面直线CE 与C A '所成角为θ， 则||210cos 10||||58CE C A CE C A θ'==='．∴异面直线CE 与C A '所成角的余弦值为10． 故选：D ．4．（2020·邢台市第二中学高二开学考试）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为（ ）A B C D 【答案】D【解析】以D 点为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),A B C C (0,2,1),1(2,0,1),(2,2,0),BC AC AC ∴=-=-为平面11BB D D 的一个法向量．1410cos ,558BC AC ∴<>==⋅． ∴直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为105.故选：D ． 5．（2020·浙江省高三其他）如图，三棱锥V ABC -的侧棱长都相等，底面ABC 与侧面VAC 都是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E 为线段AC 的中点，F 为直线AB 上的动点，若平面VEF 与平面VBC 所成锐二面角的平面角为θ，则cos θ的最大值是（ ）A ．3B ．23C ．3D ．3【答案】D【解析】底面ABC 与侧面VAC 都是以AC 为斜边的等腰直角三角形，则Rt ABC Rt VAC ≅，所以VA VC BA BC ===设2VA VC BA BC VB =====，由E 为线段AC 的中点，则VE BV ==，由222VE BE VB +=，所以VE EB ⊥，以E 为原点，EB 为x 轴，EC 为y 轴，EV 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则()C，)B，(V，设(),F x x ，(0,VC =，(2,0,VB =，(EV=，(,VF x x =， 设平面VBC 的一个法向量()111,,m x y z =，则00m VC m VB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即111100⎧+=⎪=， 令11x =，则11y =，11z =，所以()1,1,1m =.设平面VEF 的一个法向量()222,,n x y z =，则00n EV n VF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即(222200x x x y =⋅+⋅=⎪⎩， 解得20z =，令21y=，则21x =， 所以21,1,0n x ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，平面VEF 与平面VBC 所成锐二面角的平面角为θ，则cos 3m n m n θ⋅==， 将分子、分母同除以1x，可得=令()2266632f x x x ⎛=-+=-+ ⎝⎭， 当2x =时，()min 3fx =， 则cos θ3=.故选：D 6．（2020·广西壮族自治区两江中学高二月考（理））在正方体1111-ABCD A B C D 中，已知M N 、分别是11AB BB 、的中点，则直线AM 与CN 所成角的余弦值为（）A ．23B ．10C ．25D ．35【答案】B【解析】建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()0,1,1AM =，()2,0,1CN =，设直线AM 与CN 所成角为θ，则2cos101AM CNAM CN θ⋅===⋅.故选：B7．（2020·广东省高三其他（文））已知直三棱柱111ABC A B C -，90ABC ∠=︒，12AB BC AA ===，1BB 和11B C 的中点分别为E 、F ，则AE 与CF 夹角的余弦值为（ ）A B ．25 C ．45 D 【答案】B【解析】如图所示：分别以1,,BA BC BB 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.故()0,2,0A ，()2,0,0C ，()0,0,1E ，()1,0,2F ，故()0,2,1AE =-，()1,0,2CF =-. 2cos ,5AE CF AE CF AE CF ⋅==⋅，即AE 与CF 夹角的余弦值为25. 故选：B .8．（2020·绥德中学高三其他（理））在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为AA 1、BC 、C 1D 1的中点，现有下面三个结论：①△EFG 为正三角形；②异面直线A 1G 与C 1F 所成角为60°；③AC ∥平面EFG .其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①B ．②③C ．①②D ．①③【答案】A【解析】建立空间直角坐标系如下图所示，设正方体的边长为2：则 ()()()2,0,1,1,2,0,0,1,2E F G ，EF ==EG ==，FG ==EFG 是在三角形，①正确.()()112,0,2,0,2,2A C ，所以()()112,1,0,1,0,2AG C F =-=-，设异面直线1A G 与1C F 所成角为α，则11112cos 55AG C FAG C F α⋅===⋅，所以60α≠，②错误. ()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0A C AC =-，()()1,2,2,2,1,1EF EG =--=-，设平面EFG 的法向量为(),,n x y z =，则22020n EF x y z n EG x y z ⎧⋅=-+-=⎨⋅=-++=⎩，令4x =，得5,3y z ==，所以()4,5,3n =，由于81020AC n ⋅=-+=≠，所以③错误.综上所述，正确的命题序号为①.故选：A二、填空题9．（2020·杭州市西湖高级中学高二月考）正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，1AA =D 为棱11A B 的中点，则异面直线AD 与1CB 成角的大小为_______．【答案】6π 【解析】如图，1111111122AD AA A D AA A B AA AB =+=+=+，111CB CA AB BB AA AC AB =++=-+，且12,AB AC BC AA ====，侧棱和底面垂直， ∴1111()2AD CB AA AB AA AC AB ⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪⎝⎭ 2211122AA AB AC AB =-⋅+11182249222=-⨯⨯⨯+⨯=，13,AD CB ====∴1cos ,AD CB <>==，且[]1,0,AD CB π<>∈， ∴1,6AD CB π<>=，∴异面直线AD 与1CB 成角的大小为6π．故答案为：6π． 10．（2020·上海高三专题练习）在长方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱1BB ，11B C 的中点，若90CMN ︒∠=，则异面直线1AD 与DM 所成的角为________.【答案】90︒【解析】以1D 为坐标原点,11111,,D A D C D D 所在直线分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,如图,设11111,,D A a D C b D D c ===,则(0,,),(,,),(,,0)22c aC b c M a b N b ,(,0,),(0,0,)A a cD c , (,0,)(,0,)222c a c CM a MN =-=--，,1(,,)(,0,)2c DM a b D A a c =-=， 因为90CMN ∠=︒,所以0CM MN ⋅=,即有222c a =. 因为2222102c DM D A a a a ⋅=-=-=,所以1DM AD ⊥,即异面直线1AD 和DM 所成角为90︒. 故答案为：90︒.11．（2020·邢台市第二中学高二开学考试）在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是1BB ，CD 的中点，则异面直线1D F 与DE 所成角的大小为___________.【答案】90【解析】以D 为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，设正方体边长为2，故()()()12,2,1,0,0,2,0,1,0E D F ，所以()10,1,2D F =-，设直线1D F 和直线DE 所成角为θ，则11cos 0D F DED F DE θ⋅==⋅，所以90θ=.12．（2020·广西壮族自治区两江中学高二月考（理））已知正四棱锥P -ABCD 的侧棱与底面所成角为60°，M 为P A 中点，连接DM ，则DM 与平面P AC 所成角的大小是________．【答案】45°【解析】设底面正方形的边长为a， 建立如图所示空间直角坐标系，则平面P AC 的法向量为()1,0,0n =，D ,0,02a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，0,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭A ，P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，M 0,a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，DM＝,⎫⎪⎪⎝⎭， 所以cos ,DM n ＝⋅⋅DM DM n n＝，所以DM 与平面P AC 所成角为45°. 三、解答题13．（2020·湖北省高三其他（理））如图所示，多面体是由底面为ABCD 的直四棱柱被截面AEFG 所截而得到的，该直四棱柱的底面为菱形，其中2AB =，5CF =，1BE =，60BAD∠=．(1)求BG 的长；(2)求平面AEFG 与底面ABCD 所成锐二面角的余弦值．【答案】(1) 【解析】因为多面体是由底面为ABCD 的直四棱柱被截面AEFG 所截而得到的，所以平面ADG //平面BCFE ，又平面ADG 平面AEFG AG =,平面BCFE ⋂平面AEFG EF =,所以//AG EF ，同理//AE GF ，所以四边形AEFG 是平行四边形，连结AC ,BD 交于O ，以O 为原点，,OB OC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,A ，(1,0,0)B ，(1,0,1)E ，F ，所以(4)AG EF ==-，(1,AB =，所以(2,0,4)BG AG AB =-=-，所以||(BG =-=所以BG 的长为(2)根据题意可取平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m =，由(1)知(4)AG =-，(1,AE =，设平面AEFG 的法向量为(,,)n x y z =，则由00n AE n AG ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得040x z x z ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩，即32y z x z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，令z =，则x =，5y =-，所以(33,5,n =-，所以cos ,||||1m n m n m n ⋅〈〉===⋅⨯， 所以平面AEFG 与底面ABCD 14．（2020·福建省福州第一中学高三其他（理））如图，组合体由半个圆锥S O -和一个三棱锥S ACD -构成，其中O 是圆锥S O -底面圆心，B 是圆弧AC 上一点，满足BOC ∠是锐角，2===AC CD DA .（1）在平面SAB 内过点B 作//BP 平面SCD 交SA 于点P ，并写出作图步骤，但不要求证明； （2）在（1）中，若P 是SA中点，且SO =BP 与平面SAD 所成角的正弦值.【答案】（1）答案见解析；（2）5. 【解析】（1）①延长AB 交DC 的延长线于点Q ；②连接SQ ；③过点B 作//BP QS 交SA 于点P . （2）若P 是SA 中点，则B 是AQ 中点，又因为CB AQ ⊥，所以CA CQ =，所以90QAD ∠=，从而30BAC ∠=.依题意，,,OS OC OD 两两垂直，分别以OC ，OD ，OS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()()(111,0,0,,,,0,,,2222A D S P B ⎛⎛⎫--- ⎪⎝⎭⎝⎭， 从而()()1,3,0,1,0,3,AD AS BP ⎛===- ⎝⎭， 设平面SAD 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,AS n AD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,0,x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩取x =)1,1=--n .则cos ,51n BPn BPn BP ⋅====-+， 所以直线BP 与平面SAD 所成角的正弦值为5.15．（2020·全国高三月考（理））如图，四棱锥P ABCD -中，60,BAD AC ∠=︒平分BAD ∠.AB BC ⊥.AC CD ⊥.（1）设E 是PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ；（2）设PA ⊥平面ABCD ，若PD 与平面ABCD 所成的角为45°，求二面角A PC B --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）25【解析】（1）证明：111()222CE CA AE CF FA AP AD AB AP =+=+++=-+，即CE 能被平面PAB 内两个不共线的向量表示，且CE ⊂平面PAB ，//CE ∴平面PAB ；（2）因为PA ⊥平面ABCD ，且PD ⋂平面ABCD D =，故PDA ∠为PD 与平面ABCD 所成的角，故45PDA ︒∠=，从而PA AD =.不妨设AC =BC =，3AB =，2CD =，4=AD ，D 到AB的距离为以A 坐标原点，AB ，AP 分别为y ，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，如图所示.(0,0,0),(0,3,0),(0,0,4)A B C D P .∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA CD ⊥，又∵CD AC ⊥，∴CD ⊥平面PAC ∴(3,1,0)CD =-是平面PAC 的一个法向量.设平面PCB 的一个法向量为(,,)n x y z =，由0,0,n PB n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩得(,,)(0,3,4)0,(,,)0,x y z x y z ⋅-=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩即得(0,4,3)n =. 设所求的角为θ，则θ为锐角，则||42cos 255||||CD n CD n θ⋅===⨯⋅， 即所求的二面角的余弦值为25. 16．（2020·广西壮族自治区高三其他（理））如图，直三棱柱111ABC A B C-中，底面ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=，12AA AC =，P 是侧棱1CC 上的点．（1）若60APB ∠=，证明：P 是1CC 的中点；（2）若13CP PC =，求二面角B AP C --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】（1）由直三棱柱111ABC A B C -得1C C ⊥平面ABC ， AC 、BC ⊂平面ABC ，1C C AC ∴⊥，1C C BC ⊥，ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=，AC BC ∴=且AB =，由勾股定理得AP BP ===，60APB ∠=，ABP ∴是等边三角形，则AP AB ==，由勾股定理得111122PC AC AA CC ====，P ∴为1CC 的中点； （2）易知CA 、CB 、1CC 两两垂直，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系C xyz -，设2AC =，则()2,0,0A 、()0,2,0B 、()0,0,3P ，(2,2,0)AB =-，()2,0,3AP =-，设平面ABP 的法向量为(),,n x y z =，由00n AB n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得220230x y x z -+=⎧⎨-+=⎩， 令3x =，得3y =，2z =，()3,3,2n ∴=，又平面ACP 的法向量为()0,1,0m =，3cos ,221m nm n m n ⋅∴<>===⨯⋅，由图形可知，二面角B AP C --为锐角，所以，二面角B AP C --的余弦值为22. 17．（2020·广西壮族自治区南宁三中高二月考（理））如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，4AB =，60DAB ∠=︒，AP PD ⊥，AP =4BP =，M 为AD 的中点.（1）求证：平面BPM ⊥平面APD ；（2）若点N 在线段BC 上，当直线PN 与平面PMC所成角的正弦值为8时，求线段BN 的长. 【答案】(1)见解析.(2)2.【解析】 (1)证明：由题意易得BM AD ⊥，且BM =，在Rt APD ∆中，2PD ==，∴60PDA ∠=︒，∴2PM =，在PMB ∆中，222PM BM BP +=，∴PM MB ⊥，又AD PM M =，∴BM ⊥面APD ，又∴BM ⊂面BPM ，∴平面BPM ⊥平面APD .（2）由（1）可知BM ⊥面APD ，所以以点M 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0M，(P，()4,0C ， 设平面PMC 的一个法向量为(,,)m x y z =，由00040y m MP m MC y ⎧⎧=⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎩⎩，则令2x =，y =1z =，所以(2,m =，∴cos ,m PN <>=8=， 解得2a =或8a =（舍），故BN=2.。
向量的数量积在中学数学解题中的应用
唐咸桂 1- b , b =
2
由 ¹ º 可得 m = n, 则 a = 即 a2 + b 2 = 1- b 2 + 1- a2 . _ a 2 + b 2 = 1.
1- a ,
2
点评 : 向量的数量积除用来证明等式外, 还可以 用来证明不等式, 一般比用常规方法证明来得简明. 二、 求函数最值问题
已知 a, b I R, 且 a
2
1- b + b
2
2
1- a
2
2
=例 2> 值.
求函 数 f ( x ) =
5x +
6- x 的最 大
= 1, 求证: a + b = 1. 证明: 构造向量 m = ( a, 1- a ) , n= (
2
1- b ,
解: 令 a= ( 5, 1 ) , b= ( x , x = 5
图 1- 2 由已知3DH , DA 4= 60 b, _ DA # DH = | D A | # | DH | cos3 DH , D A 4, 即 2m = 2 , 1) . 2 2 2 @ 0+ @ 0+ 1 @ 1 2 2 ( 1 ) 因为 co s3H D, CCc4= 1@ 2 = 2 , 所以3DH , DCc4= 45b, 即 DP 与 CCc所成的角 2 为 45 b. ( 2) 平面 A AcDcD 的一个法向量是 DC = ( 0, 1, 0) . 2 2 @ 0+ @ 1+ 1 @ 0 2 2 因为 cos 3DH , DC 4= = 1@ 2 1 , 所以3DH , DC4= 60b, 可得 D P 与平面 A A cDcD 2 所成的角为 30 b. 点评: 本例用向量方法求立体几何中/ 线线角 0 、 / 线面角0 的优势十分明显 , 避开了找角的麻烦 , 更使 运算趋于简单. 另外求二面角也可以通过法向量转化 为/ 线线角0 来解决. 四、 解决解析几何中有关角度的问题 2 m 2 + 1 , 解得 m = 2 2 , 所以 DH = ( , 2 2
初中数学向量的运算与应用知识点
初中数学向量的运算与应用知识点提起初中数学的向量，那可真是一段让我又爱又恨的回忆。
还记得当初刚接触向量的时候，我整个人都是懵的。
看着那些带着箭头的线段，脑袋里就像一团乱麻。
老师在讲台上讲得口沫横飞，我在下面听得云里雾里。
向量的运算，什么加法、减法，还有数乘，一开始对我来说简直就是天书。
就拿向量的加法来说吧，两个向量相加，居然不是简单地把它们的长度相加，而是要遵循平行四边形法则或者三角形法则。
当时我就想，这数学怎么这么爱“刁难”人呐！比如说，有两个向量 a 和 b ，a 的坐标是（3，4），b 的坐标是（1，2），要计算它们的和。
按照三角形法则，得把 b 的起点平移到 a 的终点，然后连接 a 的起点和 b 的终点，得到的新向量就是 a ＋ b 。
这过程中，得仔细算坐标，可不能马虎。
就这一个简单的例子，我当时做练习的时候，那是算了一遍又一遍，草稿纸都用了好几张。
向量的减法也不简单。
它可不是直接把长度相减，而是要把减的那个向量取反，然后再做加法。
有一次做作业，遇到一个向量减法的题目，我想当然地就把长度一减，结果答案错得一塌糊涂。
被老师批改后，那一个个大红叉，真让我面红耳赤。
不过，向量的数乘倒是相对简单一些。
一个向量乘以一个实数，就是把向量的长度放大或者缩小，方向相同或者相反。
但这里也有容易出错的地方，比如符号问题，一不小心就会搞错方向。
在学习向量运算的过程中，我还闹过不少笑话。
有一次课堂小测验，有道题是计算两个向量相加的结果。
我信心满满地做完交了上去，结果老师发下来的时候，我发现自己居然把方向搞反了。
当时我那个懊恼啊，恨不得找个地缝钻进去。
随着不断地学习和练习，我渐渐摸到了向量运算的门道。
我发现，只要认真画图，按照法则一步一步来，其实也没有那么难。
向量的应用那也是相当广泛。
在物理学中，力、速度、位移这些都可以用向量来表示和计算。
就拿扔铅球来说吧。
铅球出手时的速度就是一个向量，它有大小和方向。
要计算铅球能扔多远，就得分析这个速度向量。
向量在平面几何、解析几何中的应用
摘要：向量在平面几何与解析几何中多有应用，在历年来的高考试卷中也涉及部分向量知识。
向量知识不但让难题迎刃而解，还可让学生形成通用性规则，利用平面向量视角研究几何问题将取得良好成果与进展。
关键词：平面向量平面几何解析几何高中数学一、引言使用向量方法解题存在对应解题步骤，各步骤间联系紧密，存在逻辑顺序，在审题后需仔细核对题目题干，寻求问题突破口，在将几何问题转化为代数问题后，可实现题目的高精度运算，达到预期目的。
因此类题型具有复杂特点，在学生做题量得到提升后，学生对解答此类题目将拥有独到的个人见解，不但让图形对应特征得以描述，也让问题解决难度有所降低，下面将对相关题型与具体解题思路进行说明论证，在同学们阅读对应题干时，需带着对问题的解决思路求解。
二、向量教学存在的问题向量是高中数学的一大重点内容，在历年的高考试卷中有所涉及，也常与其他学科一同考试，为此提升向量教学效率，让学生灵活掌握向量知识，在拥有基本阅读审题能力的同时，提前了解向量习题的解题策略，不但有效保证做题效率，还让学生在复习前即可拥有一定知识储备，但现阶段教学存在的问题也较明显。
1.课内教学内容与高考试题具有脱轨性。
学生在学习人教版数学教材时，会学到复杂、零碎的知识，教师讲解新知识点时，也会向学生传授以往讲授过的知识点，用温故而知新的教学方法试图让学生快速进入学习状态，并建立对应向量学习思维。
高考试卷题量有限，不但要做到对高中阶段全部知识的灵活考查，还要做到面面俱到、照顾各个学习层次学生，并具有区分性，向量本身具有一定基础性，学生在初中阶段即接触过向量知识，在培养学生独立完成习题能力的同时，即使学生完全掌握教材教学内容，也不一定做对高考对应的向量试题，在与平面几何和立体几何综合出题考查的同时，学生对知识的综合运用能力也将决定做题准确率与效率。
面临新高考的改革，数学教师还需明确自身育人使命，适当给学生传授高考习题解题技巧，改变以往题海战术的陈旧教学模式，让学生热爱学习数学学科知识，并善于发现生活中的数学元素。
向量法解几何问题
向量法解几何问题作者：孙海明来源：《科技资讯》 2012年第18期孙海明(秦皇岛市第五中学河北秦皇岛 066000)摘要:向量作为高中数学的新增内容,同时具有代数形式和几何形式,能容数形于一体,通常作为解决问题的载体,本文主要侧重向量在几何问题中的应用进行了探讨。
关键词:向量解析几何立体几何中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2012)06(c)-0186-02向量作为高中数学新引入的基本内容之一,不仅具有代数的抽象,同时还具有几何的直观,是集“数”和“形”于一身的数学概念,完美的体现了数形结合思想。
向量与中学数学的许多主干知识综合,形成知识的交汇点。
因此, 它或作为知识的载体,或作为解决问题的工具,几乎渗透到数学的所有分支之中。
它的引入给高中数学增添了新的活力,给学生的思维搭建了一个更加广阔的平台。
高中数学中许多难度较大的问题,用向量来处理就能迎刃而解。
自从向量引入高中数学后,高考每年都考查一个向量基本知识的选择或填空题,并在很多解答题中都有体现。
因此向量的教学和学习在现在的教学中就显得尤为重要。
本文主要就向量在解析几何、立体几何等问题中的应用进行了详细的探讨。
1 在解析几何中的应用向量与解析几何都是代数形式和几何形式的统一体,有着异曲同工之妙。
向量既能体现“形”的直观位置特征,又具有“数”的良好运算性质,是数形结合与转换的桥梁和纽带;而解析几何也具有数形结合与转换的特征。
因此在平面解析几何的考查中,经常以向量为载体给出各类几何条件,在解题中,以向量的基本知识为切入点,考查解析几何的知识,体现了高考在知识的交汇点处命题的原则,成为中学数学命题的一个新的亮点。
分析:本题是运用向量的数量积公式将两向量的夹角余弦值分别求出来,再作论证。
运用向量的数量积,可以把有关的角度几何关系迅速转化为数量关系,从而“计算”出所要求的结果。
2 在立体几何中的应用以多面体为载体,论证线线关系、线面关系、面面关系和求解空间角、距离等问题,是立体几何题的主要特征。
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存档编号学士学位论文题目：向量法在中学数学中的应用教学学院: 数学与计算机科学学院届别: 2017届专业: 数学与应用数学学号: ***********: ***指导教师: 颖芬完成日期: 2016年12 月向量法在中学数学中的应用摘要在数学学习中，涉及到的相关解题方法是非常多的，如向量法、几何法、面积法、三角法等，本论文主要针对向量法在中学数学中的应用来进行研究及分析，对于向量法相关的解题方法及技巧进行了详细的研究。
本论文采用归纳演绎的方法对向量法的相关概念、常用公式及定理等进行了介绍，并采用举例分析法对向量法在解题中的实际应用进行了论证，且选择了几个不同的方面来对向量法在中学数学中解题的巧用进行了研究，希望本论文的研究及分析工作能够为类似数学方面的研究带来一定的指导意义。
关键词：向量法；应用；举例分析法；中学数学AbstractIn Learning Mathematics, related to problem-solving approach is very much involved, such as Vector, geometric method, area method, trigonometry, etc., the main application of Vector paper in middle school mathematics for research and analysis carried out on solving Problems associated with the vector methods and techniques have been studied in detail. This paper uses the method of induction and deduction related concepts vector method, commonly used formulas and theorems were introduced, and then, using the example of vector analysis method in solving problems of practical application were demonstrated. The paper chose several different aspects of vector method in middle school mathematics problem solving clever use were studied, hoping to research and analysis work in this paper can bring a certain significance for the study of mathematics is similar.Keywords: Vector; applications; for example analysis; Middle School Mathematics目录摘要 (Ⅰ)1 引言 (1)2 相关理论知识介绍 (2)2.1 向量的概念 (2)2.2 向量的表示 (2)2.3 向量的运算 (4)2.3.1 加法运算 (4)2.3.2 减法运算 (4)2.3.3 数乘运算 (4)2.3.4 向量的数量积 (4)2.3.5 向量的平移公式 (5)2.3.6 线段定比分点公式 (5)2.4 向量的基本定理 (5)2.4.1 平面向量的基本定理 (5)2.4.2 空间向量的基本定理 (5)2.4.3 共线向量的基本定理 (6)2.4.4 共面向量的基本定理 (6)3 向量法在中学几何中的应用 (6)3.1 向量法在平面几何中的应用 (6)3.2 向量法解决立体几何问题 (7)3.3 向量法在解析几何中的应用 (10)4 向量法在中学代数中的应用 (15)4.1 求函数的最值 (16)4.2 求参变数围 (16)4.3 解方程 (17)4.4 解复数问题 (17)4.5 证明条件等式 (18)4.6 向量法在证明解不等式问题中的应用 (18)4.7 向量法解决方程组问题 (18)5 向量法解三角函数的问题 (19)5.1 求值 (19)5.2 证明恒等式 (21)结论 (22)参考文献 (23)致 (24)1 引言对于向量及向量法在中学数学中的应用等相关理论知识而言，它是我国中学数学进行改革之后新增加的容，目的在于为学生提供更好的工具来解决相关数学问题及更好的拓展学生的思维能力。
它具有代数形式以及几何形式等的双重身份，即它把数、形融为一体，从而更好的帮助解决相关几何及代数问题。
在中学数学的诸多知识点里面，向量法及其计算应用等是一个非常重要的交汇点，它经常与复数、平面解析几何、函数、导数、空间解析几何等方面的容进行交叉渗透，从而使得相关的数学问题更加具有综合性、更加具有新颖性，这样才能够更好的反应学生对所学知识的融会贯通的能力。
向量法作为中学数学一项有力的解题工具，通过对其熟练掌握和灵活应用，能够帮助我们提高解题的效率、拓展我们解题的思维能力、以及对知识进行融会贯通的能力等。
向量作为中学数学的一个基本概念，只有对其进行良好的掌握及理解，才能够更好的把向量法应用到相关数学问题中去求解。
对于向量而言，它除了具有方向之外，还具有大小的一个量。
因此，其对我国中学数学的发展起着非常重要的作用，向量是代数课程、函数分析、几何分析等相关课程研究的基本容。
向量及向量法在相关数学问题中的应用等理论知识是作为我国新课改之后引入的新的容，对我国数学的发展起到很重要的作用。
它不但具有代数形式的身份，而且还具有几何形式的身份，可见，它是中学数学的一个交汇点。
通过把向量引入到我国中学数学课程里面，它能够促进高中数学的整个体系架构更加完善，通过对向量法进行灵活应用，能够把许多传统的代数问题、几何问题等变得简单化，从而进一步的拓展了学生解决数学问题的思维能力及方法，也为学生进行创新等方面奠定了良好的基础。
对于平面向量而言，它主要是将代数知识以及几何知识等进行有机的结合到一起，从而更好的帮助解决相关数学问题，它主要渗透到函数、平面几何、数列、三角函数、解析几何、立体几何等相关的知识体系中，并且，在研究这些数学问题的时候得到了非常广泛的应用。
2、相关理论知识介绍2.1 向量的概念在中学数学的学习中，向量是一个非常重要的知识点，只要把向量的相关理论知识及应用掌握透彻了，便可以灵活的应用向量法在中学几何中进行解题或者在代数中进行应用。
在进行向量法的基本应用之前，我们需要先了解向量的基本理论知识，那么，什么是向量？我们把既有大小又有方向的量称之为向量。
我们把具有方向的线段称之为有向的线段，比如，以A 作为起点，B 作为终点的有向线段，可以把它记为。
另外，对于有向线段AB 的长度，则把它称为向量的模，故把其记为∣∣。
通过上述介绍可以很明确的知道向量的三要素为：起点、方向以及长度。
我们把两个方向相反或者方向相同的非零向量称之为平行向量，如向量a 、b 平行，可以把它记为a →//b →。
把长度相等并且方向也相同的向量称之为相等向量。
对于任何一组平行向量来讲，都可以把它移动到同一条直线上面，因此，也可以把平行向量叫做共线向量。
对于长度为0的向量，把它称之为零向量，记为0。
零向量具有很多特点，如它与任何向量都是垂直的，它的方向也是任意的，与任意向量也都是平行的。
把长度等于1个单位长度的向量称之为单位向量。
2.2 向量的表示（1）向量的代数表示：通常情况之下，它是采用黑体小写字母a 、b 、c …等来进行表示，而对于手写，则在a 、b 、c 、d …等字母上加一箭头来进行表示。
（2）向量的几何表示：向量的几何表示图法，对于向量来讲，它可以采用有向线段来进行表示。
而有向线段的长度，它则表示向量的大小，对于箭头所指的方向，则表示为向量的方向。
假如规定线段AB 的大小，对于箭头所指的方向，则表示为向量的方向。
假如规定线段AB 的端点A 为起点，B 为终点，那么，该线段就具有了从起点A 到终点B 的方向、长度。
因此，我们把这种具有长度、方向的线段称之为有向线段。
（3）坐标表示：1）在平面直角坐标系XY 中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量→i ，→j 作为一组基底。
对于→a 来讲，它是为平面直角坐标系xy 的任意一个向量，以坐标原点o 为起点作向量→--OP =→a 。
由平面向量基本定理可以知道，有且只有一对实数（x ，y ），使得→a =向量→--OP =x →i +y →j ，因此，我们就可以把实数对（x ，y ）叫做向量→a 的坐标，记作→a =（x ，y ）。
这就是向量→a 的坐标表示。
其中，（x ，y ）就是点P 的坐标。
向量→--OP 称之为点P 的位置向量。
2）在立体三维坐标系xyz 里面，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的3个单位向量→i ，→j ，k 作为一组基底。
假设→a 为xyz 坐标系里面的任意一个向量，那么，采用坐标原点O 为起点来作向量→--OP =→a 。
因此，通过空间基本定理便可以知道，有且只有一组实数（x ，y ，z ），使得→a =向量→--OP =x →i +y →j +zk ，因此，我们把实数对（x ，y ，k ）称之为向量→a 的坐标，记作→a =（x ，y ，z ）。
这也是向量→a 的坐标表示。
其中（x ，y ，k ），也就是点p 的坐标。
向量→--OP 称为点P 的位置向量。
图1 向量的坐标表示图3) 另外,对于空间多维向量来讲,它也是可以通过类似的方法来得到的，本论文对于空间多维向量就不在进行介绍。
2.3 向量的运算2.3.1 加法运算已知，向量a →、b →，在空间平面之任意取一个点A ，做=b →，=a →，故向量被称之为向量a →与向量b →的和，把它记为a →+b →，即+=，故把这种求和的方法叫做向量加法的三角形法则。
向量加法的运算规律为：a b b a →→→→+=+；()()a b c a b c →→→→→→++=++。
2.3.2 减法运算假设向量a →、b →，并且在平面任意取一点O ，作 =a →，=b →，那么，=a →-b →，即a →-b →可以表示为向量b →的终点指向向量a →的终点的向量。
对于这种求差的方法，我们把它称之为向量减法的三角形法则。
对向量减法来讲，它的实质就是加法的一种逆运算。
2.3.3 数乘运算对于实数与向量a →来讲，它们的积是一个向量，因此，我们把这种运算叫做向量的数乘，把它记为，对于∣∣=∣∣∣a →∣而言，如果<0，则的方向与a →的方向是相反的；如果＞0，则的方向与a →的方向是相同的；如果=0，则=0.设定、μ为实数，那么，实数与向量的积有：1）()a b a b λλλ→→→→+=+2）()a a b λμλμ→→→+=+3）()()a a λμλμ→→=2.3.4 向量的数量积 已知，两个非零向量a →、b →，它们之间的夹角为θ，那么，它的数量积定义表达式为cos ,a b a b a b →→→→→→⋅=〈〉，当,2a b π→→〈〉=时，称向量a → 与b →互相垂直，记作a →⊥b →． 零向量与任意向量的数量积都是为0的。