向量在中学数学中的应用研究报告
向量在中学数学中的应用
向量在中学数学中的应用作者：王军林来源：《考试周刊》2013年第21期摘要：本文基于向量的基本理论与性质，主要介绍了向量在中学数学中的应用，并简单分析了向量学习的误区.关键词：向量数量积平面几何立体几何高中数学中引进向量，给中学数学带来了广阔的天地，无论是在平面几何﹑立体几何﹑解析几何﹑三角函数等方面都有着大大拓宽解题思路的重要作用.向量融“形”“数”于一体，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合.毫不夸张地说，向量的数形迁移思想在中学数学中能得到很好的体现.本文整理了几类向量在中学数学中的应用.一、预备知识1.平面向量的数量积a·b=|a||b|cosθ（a≠0，b≠0，0°≤θ≤180°）坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a·b=xx+yy.2.平面向量的基本定理如果e和e是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、λ，使a=λe+λe.3.两个向量平行的充要条件a∥b？圳a=λb坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a∥b？圳xy-xy=0.4.两个非零向量垂直的充要条件a⊥b？圳a·b=0坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a⊥b？圳xx+yy=0.二、向量应用的探究1.利用向量解三角问题例1：已知α，β∈（0，），且cosα+cosβ-cos（α+β）=，求α，β的值.解：原条件式可化为sinαsinβ+（1-cosα）cosβ+cosα-=0构造向量={sinα，1-cosα}，={sinβ，cosβ}，|·|=|cosα-|≤？圯（cosα-）≤0？圯cosα=？圯α=由α，β的对称性知β=.2.利用向量解不等式的问题对于不等式问题的解决，有时如果我们利用常规的解法，往往很繁琐.利用两个向量的数量积的一个性质：·=||·||cosθ（其中θ为向量与的夹角），又-1≤cosθ≤1，则易得到以下推论：（1）·≤||·||；（2）|·|≤||·||；（3）当与同向时，·=||·||，当与反向时，·=-||·||；（4）当与共线时，|·|=||·||.下面利用这些性质和推论来看两个例子.例2：已知a和b为正数，求证：（a+b）（a+b）≥（a+b）.证明：设=（a，b），=（a，b）则·=a+b，||=，||=由性质|·|≤||·||，得（a+b）（a+b）≥（a+b）.说明：对于例1根式不等式我们通常采用两边平方的办法，但这种办法运算量大，容易出错.而应用向量法解决不等式的问题，不仅避免了常规解法的不足，而且为解题带来了新的思路.3.利用向量求最值问题最值问题是高中数学中的一个重要问题，在高考中它的考核主要体现在求实际问题，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积（体积）最大（最小）”等诸多实际问题上.解决这些问题的办法则是将其代数化，转化为函数，再利用所学的方法如：换元法，不等式法等求解.下面将介绍利用向量方法解最值问题.例3：已知m，n，x，y∈R，且m+n=a，x+y=b，求mx+ny的最大值.解：设=（m，n），=（x，y），则由向量积的坐标运算得·=mx+ny.而||=，||=，从而有mx+ny≤·.当与同向时，mx+ny取最大值·=.三、注意向量学习的几个误区误区一：“实数a﹑b﹑c由ab=ac，a≠0推出b=c”这一性质在向量推理中不正确.例4：取||=1，||=，与的夹角为45°，||=，与的夹角为0°.显然 = =，但≠.误区二：“如果ab=0，那么a，b中至少有一个为零”在向量推理中不正确.例5：已知||=2，||=3，与的夹角为90°，则有·=2×3×cos90°=0，显然≠，≠.由·=0，可以推出以下四种可能：①=，≠；②≠，=；③=，=；④≠且≠，但⊥.误区三：乘法结合律（ab）·c=a·（bc）在向量推理中不成立.例6：试说明（·）·=·（·）不成立.解：因为在式中·是一个数量，由实数与向量的积的运算的定义，可知左边表示的是与共线的向量，同理，右边表示的是与共线的向量，而向量与一般是不共线的，故（·）·≠·（·）.误区四：平面几何中的性质在向量中不一定成立.例7：判断下列各命题是否正确，并说明为什么？①若∥，∥，则∥.②若||=||，则=±.③单位向量都相等.解：①不正确，取=，则对两不共线向量与，也有∥，∥，但不平行于.②不正确，因为||=||只是说明这两个向量的模相等，但方向未必相同.③不正确，单位向量是模均是1，但对方向没有要求.综上所述，我们发现向量集数与形于一体，沟通了代数、几何与三角函数的联系.利用向量的运算法则、数量积可解决长度、角度、垂直问题，应用实数与向量的积，则可以证明共线、平行等问题，以及它的巧妙应用.其中运用到的数形迁移思想，是重要的数学思想方法.在高中数学中引进向量，充分体现出新教材新思路﹑新方法的优越性，并且对于培养直觉思维﹑逻辑思维﹑运算求解等理性思维能力，具有重要意义.参考文献：[1]人民教育出版社中学教学室.全日制普通高级中学教科书（试验修订本，必修），数学第一册（下）[M].人民教育出版社，2001，11.[2]沈凯.利用向量解平面几何问题[J].中学数学，2003（1）：15-16.[3]张萍.浅谈用向量法解立体几何题[J].中学数学研究，2004（4）：37-38.[4]邹明.用向量方法求空间角和距离[J].数学通报，2004（5）：36-37.[5]吕林根，许子道.解析几何[M].北京：高等教育出版社，1986.[6]白华玉.巧设法向量求点面距与线面角[J].数学通报，2003.2，25-26.。
向量在中学数学解题中的巧用
例２
如图 ２ ，已知三 菱 锥 Ｄ一 ｝ Ｃ的侧棱 ＯＡ ， Ｄ ， Ｏ Ｃ 两两 垂直 ，且 Ｏ Ａ＝ｌ ， ＝Ｏ Ｃ＝２ Ｅ 是 ＤＣ 的 中点 。 ，
．
‘ ．
－ ｌ｝Ｉ 已 ∞ ６， ｌ ： ａ 知 ＝。 丽又 ０
Ａ Ｂ 为正 三 角形 ， Ａ ＝ Ｂ＝ Ｃ＝２ ＡＣ Ｃ Ａ Ｂ 。
’
．
在ＲＡ Ｎ ｔＣ Ｂ中，加 ＝ ２ √ ，可得Ⅳ Ｃ＝√ ２，故：
ｃ ｏ１４ ） （， － ，连结ＭＣ ，作Ｎ ＿ＭＣ￣ Ｈ 。 ，ｉ ＨＬ －
曾经 在 高 中数 学 教学 中解 决一 些 立 体 几何 和代 数 问题 时 ，我 们 仅 仅 应 用 本 书 中 的 定 理 、 公 理 、直 线 的位 置 关 系 ，直线 与 平 面之 间 的关 系 等 。如 果 现 在我 们 重 视用 空 问 向量 概 念来 解 决 问题 的 话 ，在 空 间 中解 决 和证 明较 难 的一 些 问题 时就 会 变 得较 为 容 易 ，而 且还 能 提 高学 生 的 思维 能 力、 分析 能力和 空 间想 象能 力 。 解 （ ） 作 Ｄ 上 Ｃ 垂 足 为 Ｄ ，连 接 Ａ ， 由侧 面 １： Ｏ Ｓ Ｃ为等 要 直 角三 角 形 ， Ａ Ｊ ０ ，如 图 ｌ Ｂ ０ － ，以 ０ 为 标 原点 ， ＯＡ为 轴 正 方向 ，建 立直 角 坐标 系 ｘ ｚ。 ｙ
丽． ： ， ０
相交 直线 Ｓ 、 Ａ 垂赢 ，所 以 ＯＧ 上平 面 Ｓ Ｂ 。 Ｅ Ｂ Ａ
一
Ａ Ｂ＝２，Ｂ ２ ２，Ｓ ＝ Ｂ＝ ３ Ｃ＝ ４ Ａ Ｓ √。
（ ）求 证 ： ． 上 Ｃ ； １
ＯＧ与 一Ｓ的夹 角 记 为 Ｄ ， Ｓ 与平 面 Ｓ Ｂ所 成 的角 Ｄ Ａ
向量在几何中应用研究
向量在几何中应用研究
向量集数形于一身，它是沟通代数、三角函数、几何的一种工具，有着极其丰富的背景。
可以这么说，向量作为中学数学必不可少的一部分进入高中教材，但研究不深，本文主要从简单平面几何、解析几何三方面来研究向量在其中的应用。
将向量作为高中数学的必学内容，是必然的。
无论是从国内外中学数学教学改革的历史经验来看，还是从当前中学数学教学的目的来看，向量进入中学数学，对于更好地学习几何，将来进一步学习高等数学，对于学生灵活运用数学知识解决实际问题都会有启蒙和奠基的作用。
1 向量在简单平面几何中的应用
向量化是几何抽象化的有效工具，是研究几何性质的量化手段，由于平面向量集与有序实数对集关于加法与数乘运算的同构，用向量法证明几何中的平行、垂直、中点等问题有许多简捷之处.
3 总结
在高中数学教材中为向量与的夹角，此公式无论对平面向量，还是空间向量都有明显的几何意义，它的引进为解决平面几何，空间几何，解析几何提供了一个实用，方便的工具，在几何角中具有举足轻重的地位。
向量课题研究报告
向量课题研究报告1. 引言向量是线性代数中的重要概念，在数学和科学领域有着广泛的应用。
本研究报告将讨论向量的基本定义、向量的代数运算、向量的几何表示以及向量的应用等方面的内容。
通过对向量的深入研究，可以帮助我们更好地理解和应用向量在不同领域中的作用。
2. 向量的基本定义在数学中，向量是有大小和方向的量。
向量可以用有序的数对(x,y)或有序的三元组(x,y,z)来表示。
向量通常用箭头表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。
向量的大小称为向量的模，向量的方向可以通过与坐标轴的夹角来表示。
3. 向量的代数运算向量的代数运算包括向量的加法和数乘。
向量的加法是将对应位置的元素相加得到新的向量，数乘是将向量的每个元素与一个实数相乘得到新的向量。
向量的加法和数乘满足一些基本性质，例如交换律、结合律和分配律等。
这些性质使得我们能够方便地进行向量的运算。
4. 向量的几何表示向量的几何表示是将向量表示为有向线段。
有向线段具有长度和方向，与向量的概念相符。
向量的起点可以选择为坐标原点，终点则表示向量的方向和大小。
几何表示的方法使得我们可以直观地理解和可视化向量。
5. 向量的应用向量在科学和工程领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，向量用来表示力、速度和加速度等物理量；在计算机图形学中，向量用来表示点、方向和颜色等属性；在经济学中，向量用来表示需求、供应和收益等因素。
向量的应用使得我们能够通过运用向量的概念和技巧来解决实际问题。
6. 结论通过本研究报告对向量进行了全面的介绍和讨论。
向量作为线性代数的基础概念，在数学和科学领域有着重要的作用。
本报告从向量的基本定义、向量的代数运算、向量的几何表示以及向量的应用等方面对向量进行了详细分析。
通过研究向量，我们能够更好地理解和应用向量在各个领域中的实际问题。
希望本报告能够为读者提供有关向量的基础知识和应用方法，以便将来的研究和学习中能够更深入地探索向量的奥秘。
向量在中学数学中的应用研究报告
向量在中学数学中的应用研究工作报告一、课题研究的背景及意义向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”,它是中学数学知识的一个交汇点,是数学问题解决的重要工具。
《普通高中数学课程标准》对其教学要求为重基础,突出向量作为工具的作用。
本课题对高中数学教科书中的向量内容进行分析,把向量作为数学工具来解决数学问题,列举在教学中积累的应用向量解决问题的实例,并进行分类讨论。
主要是向量在平面几何、函数、等式与不等式、数列、复数、三角函数、平面解析几何等数学问题解决教学方面的应用。
学生在中学阶段必须掌握利用向量来解决常见的数学问题。
在此背景下，“运用向量法解题”是一值得关注和研究的问题。
二、课题研究的目标和内容研究目标本课题研究的目标是明确向量在中学数学解题中的地位，提高对向量解题的认识，有效地促进中学数学中利用向量解题，从解题的内涵、思维过程等方面试图从向量解题的思想方法、解题策略、解题心理、解题案例等方面尽可能全面的阐述向量解题，给学习向量的人提供相应的参考。
1、优化学生认识的结构根据数学学习的同化理论，学生在数学学习的过程中，总是在原有的知识基础上，学习、接受新的知识，使旧知识获得新的意义，使原来的认知结构得到重建和优化。
如学习向量平行与垂直时，可以使原有的直线平行、垂直含义及证明的方法得到扩充，得到同化，充实了学生的知识结构。
在向量的观念下，学生可以从多角度多方面思考数学知识，达到对知识的融合，优化学生认识结构。
2、培养学生的思维品质中学数学教学的目的之一是培养学生的思维能力，而培养数学思维品质是形成数学思维能力的基本条件。
向量的引入给培养学生的思维品质提供了新的方法和途径。
利用向量知识点的多样性，一题多解，培养思维的广阔性；在平面向量这一章中许多概念及有关向量的运算、运算性质、运算律、既类似于实数的相关知识，又有本质区别，这是本章难点，在训练过程中，完善学生认识结论，克服知识负迁移，培养思维的批判性；以课文习题为蓝本实现一题多变，培养思维的灵活性；利用向量形成解题模型，做到一法多题，培养学生思维的聚合性。
向量法在中学数学中的应用开题报告材料
本科毕业论文（设计）开题报告
论文（设计）题目向量法在中学数学中的应用
专业：学生：指导教师：
教研室主任（签名）教学学院院长（签名）
年月日
赣南师大学本科毕业论文（设计）指导记录表
说明：1．此表为指导教师指导学生撰写和修改毕业论文（设计）的动态记录表，附在每一稿最后，学生根据指导教师每次的指导意见填写，指导教师签名。
2．此表可手写，也可电子文稿中填写。
3．此表由学生保管，材料归档时随同相应的文稿装订。
赣南师大学本科毕业论文（设计）指导教师评审意见表
赣南师大学本科毕业论文（设计）答辩评审意见表
赣南师大学本科毕业论文（设计）成绩评定表。
向量法在中学数学解题中
向量在中学数学中的应用向量是中学数学的主要内容之一,巧妙地构造向量,利用向量的运算及性质,可以解决证明有关恒等式，不等式、求某些函数极值和有关几何问题。
1.在代数解题中的应用(1)求函数的最值(值域) 利用向量的模的不等式a b a b a b →→→→→→-≤+≤+, a b a b →→→→⋅≤,可以十分简单地求一些较为复杂的、运用常规方法又比较麻烦的最值(值域)问题．例1、求函数()32f x x =++分析：观察其结构特征，由3x +令(3,4),(p q x →→==，则()2f x p q →→=⋅+，且5,2p q →→==．故()212f x p q →→≤+=，当且仅当p →与q →同向，即30x =>时取等号，从而问题得到解决．(2)证明条件等式和不等式 条件等式和不等式的证明，常常要用一些特殊的变形技巧，不易证明．若利用向量来证 明条件等式和不等式，则思路清晰，易于操作，且解法简捷．例2、设22222()()()a b m n am bn ++=+，其中0mn ≠．求证:m a =nb ． 分析：观察已知等式的结构特征，联想到向量的模及向量的数量积，令(,),p a b →= (,)q m n →=，则易知p →与q →的夹角为0或π，所以p →∥q →，0an bm -=，问题得证．(3)解方程(或方程组)有些方程(方程组)用常规方法求解，很难凑效，若用向量去解，思路巧妙，过程简洁． 例3、求实数,,x y z 使得它们同时满足方程： 2313x y z ++=和22249215382x y z x y z ++-++=．分析：将两方程相加并配方得222(2)(33)(2)108x y z ++++=，由此联想到向量模，令(2,33,2),(1,1,1)a x y z b →→=++=，则a b →→==(2)1(33)1a b x y →→⋅=⋅++⋅ (2)118z ++⋅=，又因为18a b a b →→→→⋅≤=，其中等式成立的条件即为方程组的解，即当且仅当12x =133+y =12+z 0>时等式成立，问题解决． (4)解复数问题因为复数可以用向量表示，所以复数问题都可以用向量来研究解决．例4、已知复平面内正方形ABCD 的两对角顶点A 和C 所对应的复数分别为23i +和 44i -，求另外两顶点B 和D 所对应的复数．分析：先求D ，为此得求OD --→．因OD O A A D -→-→-→=+，而AD --→是AC --→依逆时针方向旋转4π，同时将AC --→倍，因此先求AC --→．而AC OC OA --→--→--→=-，故AC --→对应的复数是 44(23)27i i i --+=-，于是AD --→对应的复数是95(27)cos sin4422i i ππ⎫-+=-⎪⎭ 又OD OA AD --→--→--→=+，所以OD --→可求．同理可求OB --→，问题解决．(5)求参变数的范围求参变数的范围是代数中的一个难点，常常要进行讨论，若用向量去解，会收到意想不到的效果.例5、设,,,a b c d R ∈，且22222(0),3k a b c d k k a b c d +++=>+++=，试讨论 ,,,a b c d 的范围．分析：由2222a b c d +++联想到向量的模，令(,,),(1,1,1)p a b c q →→==，则p q a b c k d →→⋅=++=-，p q →→==.由p q p q →→→→⋅≤得k d -≤102d ≤≤，由,,,a b c d 对称性便可得,,,a b c d 的范围． 2.在三角解题中的应用向量的数量积的定义，将向量与三角函数融为一体，体现了向量的模与三角函数之间的关系，为运用向量解决三角函数问题创造了有利的条件．(1)求值例6、已知3cos cos cos()2αβαβ+-+=，求锐角,αβ的值． 分析：由已知得3(1cos )cos sin sin cos 2βαβαβ-+=-，观察其结构特征,联想到向量的数量积，令(1cos ,sin ),(cos ,sin )a b ββαα→→=-=，则3cos 2a b β→→⋅=-，a b →→=．由a b a b →→→→⋅≤得3cos 2β-≤，所以1cos 2β=， 即3πβ=，代入已知等式便可求得α的值．(2)证明恒等式例7、求证：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+分析：由等式右边联想到向量的数量积，令(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ→→==， 则1,1a b →→==，且易知a →与b →的夹角为βα-，则cos()a b a b βα→→→→⋅=-cos()βα=-， 又cos cos sin sin a b αβαβ→→⋅=+，则问题得证．3.在平面几何解题中的应用利用向量加法、减法、数乘和内积的几何意义，可以巧妙而简捷地进行几何证明和解决几何中有关夹角的问题．例8、试证明以三角形的三中线为边可以作成一个三角形.分析：如图，,,AD BE CF 分别为ABC ∆三边上的中线，若要证明,,AD BE CF 能作成一个三角形，只须证明AD BE CF --→--→--→++=0→．证明：设AB --→=c →, BC --→=a →, CA --→=b →,则0a b c →→→→++=，而AD AB BD --→--→--→=+ 12c a →→=+，BE BC CE --→--→--→=+12a b →→=+, 所以 CF CA AF --→--→--→=+12b c →→=+． 于是 AD BE CF --→--→--→++=1()02a b c a b c →→→→→→→+++++=，即以,,AD BE CF 为边可构成一个三角形．4.向量在解析几何中的应用平面向量作为一种有向线段，本身就是线段的一段，其坐标用起点和终点坐标表示，因此向量与平面解析几何有着密切联系．在解析几何中，它可使过去许多形式逻辑的证明转化为数值的计算，化复杂为简单，成为解决问题的一种重要手段和方法.例9、已知一个圆的直径两端点为1122(,),(,)A x y B x y ，求此圆方程.解：设(,)P x y 为圆上异于,A B 的点，由圆周角定理得AP --→⊥BP --→，若(,)P x y 是与点A 或B 重合的点，则AP --→=0→或BP --→=0→，故都有AP --→⋅BP --→=0成立，从而 1122()()()()0x x y y x x y y --+--=，此即为所求圆方程．例10、求过圆22(5)(6)10x y -+-=上的点(6,9)M 的切线方程．解：如图,设(,)N x y 是所求切线上的任意一点，则MN --→(6,9)x y =--， (1,3)O M --→'=,因为MN --→⊥O M --→'，所以MN --→⋅O M --→'=0，即(6)3(9)0x y -+-=，此即为所求切线的方程(即使是,N M 重合时，仍有MN --→⋅O M --→'=0，因为此时MN --→=0→)．5.在立体几何解题中的应用直线与平面所成的角、最小角定理，异面直线所成的角，二面角及其平面角概念、求法，两平面垂直的判定及性质定理，点面、直线与平行面、两平行面、异面直线等四种距离的概念及求法以及用向量解决有关直线、平面的垂直、平行、共面以及夹角与距离问题.例11、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱1111,A D A B 的中点，求BC 和面EFBD 所成的角． 解：如图，建立空间直角坐标系D xyz -，设正方体棱长为2，则坐标为：(2,2,0),(0,0,0),B D 1(1,0,2),(2,1,2),(0,2,2)E F C ， (2,2,0),(1,0D B DE --→--→∴== y1(2,0,2)BC --→=-．设n →(,,)x y z =是平面EFBD 的法向量，n →DB --→⋅0=，n →⋅DE --→0=， 得1,2y x z x =-=-，令2x =-，得(2,2,1)n →=-，设θ为1BC 和面EFBD 所成的角，则111sin cos ,6BC n BC n BC nθ⋅=<>==⋅arcsin 6θ= 综上所述，向量是一种有效的工具，在众多数学问题中有十分广泛的应用．因此，我们应该有意识地运用向量分析问题，借助向量的知识来解决问题．。
向量在中学数学中的应用
向量在中学数学中的应用洛宁一高 吴怡静摘要 向量知识在代数、几何、三角、复数等数学分支中有着非常广泛的应用,利用向量知识可以巧妙而简捷地处理多种问题.文章主要讨论了向量知识在中学数学解题应用中一些新颖而独特的应用. 关键词 向量 数量积 向量法引言向量知识是解决数学问题的重要工具, 用向量法解题，方法新颖、思路清晰、运算简便、提高做题速率，是学生常用的解题方案之一。
下面举例分析向量在中学数学中的一些应用。
1. 向量在代数中的应用向量知识在中学教材中是以几何的形式出现的，给人的感觉是在几何中应用广泛，其实用向量来解决代数中的一些问题也很方便。
下面就介绍这方面的应用。
1.1 等式证明证明等式用常规方法则运算比较繁琐，如果能用向量知识解答运算则就较为简捷。
例1 已知11122=-+-a b b a ，求证a 2+b 2=1.证 设)1(2a a m -=，，()b b n ，21-= ,n 与m 的夹角为θ，][πθ，0∈.则1cos =⋅=⋅θn m n m, 又1==n m,所以cos θ＝1，θ＝0. 所以m //n.因此01122=-⋅--b a ab , 移项然后两边平方，整理得a 2+b 2=1.例2 已知（x 2+y 2+z 2)(a 2+b 2+c 2)=(ax+by+cz)，且x ，y ，z ，a ， b ，c 为非零实数，求证cz b y a x ==. 证 构造向量()()c b a n z y x m ,,,,,==. m 与n 的夹角为θ，[]πθ，0∈，则()()()1cos 222222222=++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=c b a z y x cz by ax n m n m θ, 由此得πθθ==或0,所以m //n.因此cz b y a x ==.1.2 不等式证明证明不等式主要依据有关向量的性质公式，如b a b a ⋅≤⋅.例3 已知a ，b ，c R ∈，且a+2b+3c=6，求证a 2+2b 2+3c 3≥6.证 构造向量()c b a m 32，，=,()321，，=n ,所以6=⋅n m,32132222++⋅++=⋅c b a n m.由向量不等式得32132326222++⋅++≤++=c b a c b a ,即 632222≥++c b a .例4 已知：a,b *∈R ,a+b=1.求证：221212≤+++b a . 证 构造向量()1,1=m，()1212++=b a n ， .则1212+++=⋅b a n m,2=m,2=n .由 n m n m⋅≤⋅ ,得221212≤+++b a .1.3 解方程用向量法解方程，则可使问题得到巧妙而简便的解答。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
向量在中学数学中的应用研究工作报告
一、课题研究的背景及意义
向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”,它是中学数学知识的一个交汇点,是数学问题解决的重要工具。
《普通高中数学课程标准》对其教学要求为重基础,突出向量作为工具的作用。
本课题对高中数学教科书中的向量内容进行分析,把向量作为数学工具来解决数学问题,列举在教学中积累的应用向量解决问题的实例,并进行分类讨论。
主要是向量在平面几何、函数、等式与不等式、数列、复数、三角函数、平面解析几何等数学问题解决教学方面的应用。
学生在中学阶段必须掌握利用向量来解决常见的数学问题。
在此背景下，“运用向量法解题”是一值得关注和研究的问题。
二、课题研究的目标和内容
研究目标
本课题研究的目标是明确向量在中学数学解题中的地位，提高对向量解题的认识，有效地促
进中学数学中利用向量解题，从解题的内涵、思维过程等方面试图从向量解题的思想方法、解题策略、解题心理、解题案例等方面尽可能全面的阐述向量解题，给学习向量的人提供相应的参考。
1、优化学生认识的结构
根据数学学习的同化理论，学生在数学学习的过程中，总是在原有的知识基础上，学习、接受新的知识，使旧知识获得新的意义，使原来的认知结构得到重建和优化。
如学习向量平行与垂直时，可以使原有的直线平行、垂直含义及证明的方法得到扩充，得到同化，充实了学生的知识结构。
在向量的观念下，学生可以从多角度多方面思考数学知识，达到对知识的融合，优化学生认识结构。
2、培养学生的思维品质
中学数学教学的目的之一是培养学生的思维能力，而培养数学思维品质是形成数学思维能力的基本条件。
向量的引入给培养学生的思维品质提供了新的方法和途径。
利用向量知识点的多样性，一题多解，培养思维的广阔性；在平面向量这一章中许多概念及有关向量的运算、运算性质、运算律、既类似于实数的相关知识，又有本质区别，这是本章难点，在训练过程中，完善学生认识结论，克服知识负迁移，培养思维的批判性；以课文习题为蓝本实现一题多变，培养思维的灵活性；利用向量形成解题模型，做到一法多题，培养学生思维的聚合性。
在向量教学中强化数学思想方法，优化思维品质。
3、培养学生建模能力
向量一章的内容，突出的是知识的应用。
新课标准把数学建模能力列为学生学习数学需完成的知识。
向量的工具作是显然的。
这里可以借助物理问题，通过把物理问题转化为数学问题，建立数学知识与物理知识的联系，即把物理问题抽象成数学问题，然后利用数学模型解释相关物理现象，培养学生建模能力。
4、帮助学生养成数学文化素养
向量以其独特的内容、形式和功能，反映了人类文明的优秀文化成果，作为知识的继承者，学生学好向量，完善知识结构，养成自身的数学文化素养。
研究内容
（1）向量在复数问题中的应用
（2）向量在等式和不等式问题中的应用
（3）向量在最值问题中的应用
（4）向量在三角问题中的应用
（5）向量在数列问题中的应用
（6）向量在线性规划问题中的应用
（7）向量在平面解析几何问题中的应用
（8）向量在立体几何问题中的应用
三、课题研究的方法
本课题采用文献研究法、调查研究法、实验研究法与统计研究法相结合的综合研究法。
在研究中应用好一题多解、一题多变、一法多题的解题方法。
1、一题多解，培养思维的广度。
对于一道数学题，往往由于审视的方向不同，而得到不同的解题方法。
进行一题多解的训练，有助于开阔视野，拓宽思路、开发智力、发展能力。
从辩证法的观念出发，建立在矛盾分析法基础上的一题多解，由于它以定向理论为指导，以矛盾分析为武器，这样不仅可以指导人们如何想，而且还能明白为什么这样想，让我们在解题时不仅知其然，而且知其所以然，提高我们解题的自觉性。
一题多解的关键是思维发散，而这种发散是自觉而不盲目的，是必然而不是偶然的，是有章可循而不是生搬硬套的。
例如在平面向量的教学中，我们可以选择典型例题，有意识地在已有的知识范围内，尽可能地提出不同的构想，追求更简洁、更巧妙、更美的解法，有利于培养思维的求异性、灵活性，扩展思维的广度。
2、一题多变，培养思维的灵活性
我们平常所解的习题大都是具有完备的条件和固定的结论的封闭题，它对于巩固知识、建立知识结构起着基础性作用。
但为了培养思维的灵活性、创造性和探究精神，我们可以采用隐去封闭的条件(结论)，或给出结论(条件)探索成立的条件(结论)，或采用类比、引申、拓展等方式实现一题多变，培
养思维的灵活性。
3、一法多题，培养思维的聚合性
一种方法解决多个问题，是一种模型化解题的方式，利于知识的同化，它反映了思维的聚合性，表现为对形式不同的问题，通过化归等手段集中指向同一种方法去解决，它的特点是抛弃那些非本质的繁杂的特征，揭示事物表面现象的深层本质。
四、课题研究步骤
第一阶段（2012年2月—2008年4月）主要任务是组建课题组，查阅资料，收集信息，进行理论学习和交流活动，研究制定课题实施方案。
聘请科研人员对课题进行指导和可行性论证。
第二阶段(2012年5月—2012年10月)主要是全面实施课题方案，定期检测目标完成情况，及时发现问题、解决问题，不断调整、完善方案。
做好资料积累和分类整理工作，并归类妥善管理，进行阶段性小结，实验人员定期写出个案指导、课例、笔记及论文。
第三阶段（2012年11月—12月）主要任务是归纳、整理研究资料，撰写课题研究的总结报告和实验报告，聘请专家论证、结题。
向量在中学数学中的应用研究工作报告
课题负责人：武心兵
课题组成员：宿纪兵张峥刘春燕王红
执笔：宿纪兵。